ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂK LĂK
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THỒNG CHUYÊN
NGUYỄN DU

ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP ÁNH
XẠ TRONG GIẢI
TOÁN TỔ HỢP
NGƯỜI THỰC HIỆN : LÊ NGỌC ĐỨC
LỚP : 10CT
NIÊN KHÓA : 2017-2020


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

MỤC LỤC
Mục lục …………………………………………………………………………………………………..1
Lời cảm ơn ……………………………………………………………………………………………….2
Giới thiệu và tổng quan về vấn đề nghiên cứu …………………………………………………………...4
Một số chữ viết tắt và các kí hiệu toán học trong tài liệu …………………………..…………………….5
Cơ sở lí thuyết …………………………………………………………………………………………….
Ánh xạ ……………………………………………………………………………………...……………6
Ứng dụng của ánh xạ trong các bài toán tổ hợp …………………………………………………………7
Lời kết ……………………………………………………………………………………………...……28
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………………………...….29

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 2

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện dự án, chúng tôi đã nhận
được nhiều sự giúp đỡ. Giờ đây khi nội dung dự án đã được hoàn thành, chúng tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến:
Quý Thầy, Cô của trường THPT chuyên Nguyễn Du tỉnh Đắk Lắk đã tận
tình giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ chúng tôi học tập và hỗ trợ chúng tôi trong việc
thực hiện đề tài nghiên cứu.
Đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Quang, giáo viên hướng dẫn khoa học, đã tận
tình hướng dẫn chúng tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành dự án.
Chúng tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, tuy không giảng dạy
trực tiếp nhưng đã chia sẻ những bài toán tổ hợp hay với cách giải bằng phương
pháp ánh xạ rất độc đáo để chúng tôi tham khảo.
Xin gửi tặng các bạn cùng lớp, những người đã dành cho chúng tôi những
tình cảm, lời động viên, sự giúp đỡ trong cuộc sống và trong quá trình học tập vừa
qua.
Lần đầu tiên chúng tôi tập làm nghiên cứu, nội dung có lẽ chưa được đầy đủ
và còn nhiều thiếu sót, mong nhận được những góp ý bổ ích từ quý Thầy, Cô cùng
các độc giả.
Xin trân trọng cảm ơn!
Buôn Ma Thuột, ngày 16 tháng 10 năm 2017
Tác giả

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 3


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

A. LỜI GIỚI THIỆU VÀ TỔNG QUAN
Cùng với chương trình phát triển trọng điểm toán học giai đoạn 2010 – 2020 ,
toán học Việt Nam đã có nhiều phát triển và tiến bộ.Đi cùng với đó,phong trào
chuyên toán phổ thông những năm gần đây đã có nhiều dấu hiệu khởi sắc với kết
quả các kì thi HSG toán quốc gia và quốc tế của chúng ta ngày càng được nâng
cao. Hằng năm các trường hè,trường đông được Viện toán học tổ chức ngày càng
phát triển về quy mô và chất lượng. Cùng với những sự phát triển đó thì nhu cầu tài
liệu càng được nhiều học sinh quan tâm. Đặc biệt là những tài liệu mang tính thời
sự và chuyên môn sâu về các phân môn. Lịch sử và quá trình giảng dạy cho ta thấy
điểm yếu của học sinh Việt Nam đó chính là toán tổ hợp và rời rạc. Trong các kìthi
HSG toán phổ thông, số học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán tổ hợp là rất ít, thậm
chí không có học sinh nào. Trên thực tế như vậy, việc biên soạn một cuốn sách
chuyên khảo sâu về tổ hợp và rời rạc là việc rất cần thiết.Và đó cũng là lý do chúng
tôi biên soạn tài liệu này.Tài liệu này cung cấp những khái niệm về ánh xạ và ứng
dụng của nó trong toán học.
Trong toán học, tổ hợp là một dạng toán rất khó nhưng lại rất thu hút vì
những lài giải hay, độc đáo và có ý nghĩa quan trọng trong các nghành học công
nghệ thông tin. Trong các kì thi học sinh giỏi, tổ hợp luôn là bài toán khó nhất nên
hầu hết học sinh đều ngại học chủ đề này, vì mỗi kì chỉ có vài ba bạn giải được. Do
đó có rất nhiều nghiên cứu về chủ đề này, từ đó có rất nhiều phương pháp để tiếp
cận. Ánh xạ là một trong các công cụ đầu tiên, đơn giản nhưng hiệu quả trong bài
toán đếm. Thông qua ánh xạ ta đưa một bài toán đếm phức tạp về một bài toán
đếm đơn giản hơn ; tuy nhiên việc xây dựng ánh xạ phù hợp mới là việc khó khăn
đòi hỏi phải và chạm nhiều và phải có kinh nghiệm. Bài nghiên cứu này nhằm mục
đích ban đầu là tự học, tổng hợp các bài toán để có thêm nhiều kinh nghiệm; sau đó
là một tài liệu tham khảo cho các bạn bước đầu học tổ hợp.
Tuy nhiên, dù đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót .
Mong các bạn đọc góp ý để bài nghiên cứu hoàn thiện tốt hơn.

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 4


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG TÀI LIỆU
I/Một số chữ viết tắt:
IMO
International Mathematical Olympiad
Olympic Toán học Quốc tế
VMO
Vietnam Mathematical Olympiad
Olympic Toán học Việt Nam
APMO Asian Pacific Math Olympiad
Olympic toán Châu Á – Thái Bình Dương
II/Một số kí hiệu toán học
A là số phần tử của tập hợp A

Cmn là tổ hợp chập n của tập hợp gồm m phần tử

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 5


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

B. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I/ÁNH XẠ

1/KHÁI NIỆM
Một ánh xạ f đi từ tập X đến Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X
với một (và chỉ một) phần tử của Y
Phần tử này được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f(x).
(i)
Tập X được gọi là tập xác định của f. Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của f.
(ii) Ánh xạ f đi từ X đến Y được kí kiệu là f: X → Y
x ↦y=f(x)
(iii) Khi X và Y là các tập số thực , ánh xạ f được gọi là một hàm số xác định
trên X
(iv) Cho a thuộc X, b thuộc Y. Nếu f(a)=y thì ta nói y là ảnh của a và a là nghịch
ảnh của y qua ánh xạ f
(v) Tập hợp Y = {y=Y : mọi x thuộc X, y=f(x)} gọi là tập ảnh của f.
2/Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
2.1. Định nghĩa đơn ánh:
Ánh xạ f:X
được gọi là đơn ánh nếu với a ∈ X,b ∈ Y mà a≠b thì f(a)≠f(b),
tức là hai phần tử phân biệt sẽ có hai ảnh phân biệt.
Từ định nghĩa ta suy ta ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với a ∈ X, b ∈ Y mà
f(a)=f(b), ta phải có a=b.
2.2. Định nghĩa toàn ánh
Ánh xạ f: X ↦ Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần tử y ∈ Y đều tồn tại một
phần tử x ∈ X sao cho y=f(x).
Như vậy f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Y=f(X).
2.3. Định nghĩa song ánh
Ánh xạ f : X ↦ Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Như vậy ánh xạ f : X↦Y là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y  Y , tồn tại và duy
nhất một phần tử x  X để y = f(x)
3. Ánh xạ ngược của một song ánh
3.1.Định nghĩa

Ánh xạ ngược của f, được kí hiệu bởi
,là ánh xạ từ Y đến X gán cho mỗi
phần tử y Y phần tử duy nhất x X sao cho y = f(x) . Như vậy
3.2. Chú ý. Nếu f không phải là song ánh thì ta không thể định nghĩa được ánh
xạ ngược của f. Do đó chỉ nói đến ánh xạ ngược khi f là song ánh.
4. Ánh xạ hợp
4.1. Định nghĩa. Nếu g : A↦ B và f : B ↦ C và g(A)  B thì ánh xạ hợp
được xác định bởi
.
Kí hiệu
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 6


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Nguyên lý ánh xạ. Cho A và B là các tập hữu hạn khác rỗng và f : A B là một
ánh xạ. Khi đó:
a) Nếu f là đơn ánh thì | A| |B |
b) Nếu f là toàn ánh thì |A | |B |
c) Nếu f là song ánh thì |A | |B |
Phương pháp ánh xạ dựa vào ý tưởng rất đơn giản:
- Nếu tồn tại một song ánh từ tập hữu hạn A vào tập hữu hạn B thì |A| = |B|. Do đó,
muốn chứng minh hai tập hợp có cùng số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh
giữa chúng. Hơn nữa, ta có thể đếm được số phần tử của một tập hợp A bằng cách
xây dựng song ánh từ A vào một tập hợp B mà ta đã biết cách đếm hoặc dễ đếm
hơn.
- Nếu tồn tại một đơn ánh (tương ứng toàn ánh) từ A vào B thì |A| |B| (tương ứng
|A| |B |). Do đó, đơn ánh và toàn ánh chủ yếu được sử dụng để chứng minh các
bài toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp. Chuyển bài toán cần chứng minh về

việc so sánh số phần tử của hai tập hợp, trong đó có một tập hợp đã biết cách đếm
hoặc dễ đếm. Tương tự nguyên lý Dirichle, về mặt ý tưởng thì hết sức đơn giản tuy
nhiên thực thế thì không phải đơn giản như thế. Để sử dụng phương pháp này ta
cần xác định được một song ánh giữa tập cần đếm vào một tập đã biết cách đếm
việc làm này không phải lúc nào cũng thực hiện dễ dàng. Sau đây là một số bài tập
áp dụng phương pháp trên
II/ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ TRONG TỔ HỢP
Để khởi đầu cho phần này tôi xin gửi đến các bạn một định lí đơn giản nhưng có
ứng dụng rất lớn trong giải toán tổ hợp đó là “Bài toán chia kẹo của Euler”
Định lí: Cho k,n là các số tự nhiên ; số nghiệm tự nhiên của phương trình +
+…+
= n là
Chứng minh
Ta cho tương ứng mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình +
+…
+
= n (1) với một xâu nhị phân độ dài n+k-1 trong đó có n bit 1 và k-1 bit 0, cụ
thể xâu gồm bit 1, sau đó là 1 bit 0,tiếp theo là
bit 1, sau đó là 1 bit 0, cứ như
thế, cuối cùng là
bit 1. Dễ dàng chứng minh được đây là một song ánh từ tập A
các nghiệm nguyên không âm của (1) vào tập hợp B các xâu nhị phân độ dài n+k-1
với n bit 1 và k-1 bit 0. Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có
(đpcm).
Ví dụ 1:
Có n người xếp thành hàng dọc.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra k người sao cho
không có hai người liên tiếp được chọn ?
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 7

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Lời giải
Ta lần lượt đánh số thứ tự của hàng người bằng các số nguyên dương là 1,2,3,...,n.
Vậy ta sẽ đưa đề về dạng : Cho n số nguyên dương 1,2,…,n.Hỏi có bao nhiêu cách
chọn k số phân biệt trong n số đã cho sao cho không có 2 số nguyên liên tiếp nào?
Một cách chọn thích hợp chính là bộ số 1 ≤
…< ≤ n thỏa mãn
tức là
.
Vậy ta cần tìm số phần tử của
A={( , , ,…,
1≤
…< ≤ n,
với
i=1,2,…,k-1}
Xét ánh xạ :
=
với =
thì rõ
ràng ta có:
i)
≥1
ii)
iii)
Suy ra
là phần tử của tập hợp B
B={
│1≤

…< ≤ n – k +1}
Dễ thấy f là một đơn ánh
Ngoài ra ánh xạ g
=
với
cho
chúng ta một đơn ánh từ B vào A.Vậy
Ví dụ 2:
Cho 49 số tự nhiên liên tiếp 1,2,…,49 . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bộ 6 số
khác nhau từ 49 số đó trong đó có ít nhất 2 số nguyên liên tiếp
Lời giải
Giả sử bộ gồm 6 số tùy ý , ,
Không giảm tổng quát, ta giả sử
…<
(1)
Ứng với dãy (1) xét tương ứng dãy sau : ,
,
,
,
,
(2)
Rõ ràng dãy (2) gồm các số khác nhau khi cà chỉ khi dãy (1) không chứa 2 số
nguyên liên tiếp.Rõ ràng ta có các số trong dãy (2) được sắp xếp từ bé đến lớn.
Như vậy dãy 6 số trong đó không chứa 2 số nguyên liên tiếp được đặt tương ứng
với dãy 6 số khác nhau được chọn từ các số 1 đến 44.
Từ đây ta hoàn toàn có thể tính được kết quả cần tính
Nhận xét: Bài toán đang xét với 1 tập 49 số và bạn đọc hoàn toàn có thể mở rộng
ra với n số. Điểm nhấn đặc biệt đó là việc đặt tương ứng dãy (1) với dãy (2), điều
này khá tự nhiên. Nhưng nó đã gắn kết bài toán và khiến mọi thứ trở nên tường
minh hơn.

Bài tập ứng dụng : Cho 2018 số tự nhiên liên tiếp 1,2,…,2018 . Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra một bộ 6 số khác nhau từ 2018 số đó trong đó có ít nhất 2 số nguyên
liên tiếp
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du
Trang 8


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Các bạn đã bao giờ nghĩ rằng nếu kết hợp cả hai ví dụ trên thì bài toán sẽ như thế
nào không? Vâng tôi xin được gửi đến bạn sự kết hợp vi diệu ấy ở Ví dụ 3.
Ví dụ 3:
Cho n số 1,2,3,...,n.Có bao nhiêu cách chọn m số phân biệt từ n số đã cho sao cho
trong m số ấy có ít nhất 2 số liên tiếp với giả thiết n ≥ 2m-1
Lời giải
Gọi A là tập hợp tất cả các cách chọn m số từ n số phân biệt đã cho, ta có: =
Gọi B là tập hợp các cách chọn m số phân biệt trong n số đã cho sao cho không có
2 số nguyên liên tiếp nào.
Gọi C là tập hợp các cách chọn m số phân biệt trong n số đã cho sao cho có ít nhất
2 số nguyên liên tiếp.
Áp dụng Ví dụ 1 , ta có :
Kết quả :
Nhận xét :
Giả thiết n ≥ 2m-1 là cần thiết bởi vì khi đó n+1-m ≥ m.
Vì nếu ngược lại thì theo nguyên lí Dirichlet trong mọi cách chọn đều có 2 số
nguyên liên tiếp được chọn (Bạn đọc hãy tự lí giải điều này). Một câu hỏi các bạn
cần trả lời được đó là : Nếu bỏ đi điều kiện n ≥ 2m-1 thì cần phải có thêm quy ước
gì?
Ví dụ 4:
Cho tập hợp E ={1;2;…;n}.Gọi g(n,k) là số các tập con gồm k phần tử của E mà
không chứa 2 số nguyên liên tiếp nào. Còn

là số tất cả các tập con của E mà
không chứa 2 số nguyên liên tiếp nào. Chứng mình rằng:
a)
g(n,k) =
b)
Lời giải
Ở câu a) , ta có thể dễ dàng chứng minh như ở ví dụ trước
Giờ ta chỉ việc xét câu b)
Kí hiệu P là tập hợp tất cả các tập hợp con của E thỏa mãn điều kiện mà tập hợp
con đó đều không chứa 2 số nguyên liên tiếp nào của E
Đặt
và A chứa n.
và A không chứa n.
Như vậy ta có
Theo định nghĩa thì ta có
Nếu A
thì n A. Vì a
nên a cũng thuộc P mà theo định nghĩa của P thì
n
nên n-a không thuộc A. Vậy A\{n}
’, ở đây P’ là tập hợp tất cả các tập
hợp con của A\{n,n-1} thỏa mãn điều kiện là mỗi tập hợp con đó đều không chứa 2
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 9


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
số nguyên liên tiếp nào của {1,2,3,…,n-2}. Như vậy với mỗi A
tương ứng

đúng với một tập con của P’. Vậy ta có :
.
Nhưng theo định nghĩa thì ta lại có
. Lập luận tương tự
ta có được :
.Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét :
Kết quả của bài toán cho ta phép định nghĩa dãy Fibonacci theo tư tưởng của phép
đếm. Một lần nữa chung ta thấy được vẻ đẹp của tổ hợp, những yếu tố tưởng
chừng như không liên quan gì lại cho ta dãy Fibonacci. Từ đây đôi lúc khi làm việc
với day Fibonacci ta có thể tổ hợp hóa và giải quyết bài toán theo hướng tổ hợp.
Ví dụ 5:(VMO 2002)
Cho tập S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1,2001]. Gọi T là tập hợp tất cả
các tập con không rỗng của S. Với mỗi X thuộc T, ký hiệu m(X) là trung bình cộng
các phần tử của X. Tính m=
.
Lời giải
Xét ánh xạ f :T → T như sau : f(X) = {2003 - x│x ∈ X},  X∈T.
Vì f là song ánh nên m(X)=m(f(X)). Do đó : 2m =
Mà m(X) +m(f(X)) = 2003 nên m =
Ví dụ 6:( Trung Quốc 1994)
Chứng minh rằng :
Lời giải
Bước 1 : Ta chọn ra n số từ 2n+1 số như sau. Trước hết từ 2n+1 số ta chia ra n cặp
và số x.
Bước 2 : Ta chọn ra k cặp rồi từ mỗi cặp chọn ra một số.
Bước 3 : Chọn [
cặp trong n-k cặp còn lại.
Ngoài ra số x sẽ được chọn nếu n-k lẻ và sẽ không được chọn nếu n-k chẵn.Rõ
ràng ở bước 2 có

cách chọn và bước 3 có
được tổng cộng n số, trong đó k chạy từ 0 đến n.

cách chọn. Lúc này, ta chọn

Ví dụ 7:
Cho n là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông n ×
n. Hỏi trong bảng đã cho có bao nhiêu hình vuông
Lời giải
Xét hình vuông như trên ( chỉ mang tính minh họa)
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 10


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Ta chiếu các điểm lên một đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình
vuông đã cho, giả sử là cạnh AB.
Đếm các hình vuông có hai cạnh song song với 2 cạnh còn lại của hình vuông ban
đầu, giả sử là BC,CD,DA bằng cách chọn ra bốn điểm theo thứ tự trên đường
thẳng đã chiếu.
Rõ ràng với hình vuông có cạnh được chia thành n phần thì số cách sẽ là
nên
tổng cộng có tất cả 4
Ví dụ 8:(Olympic 30/4 2000)
Hãy tính trung bình cộng tất cả các số N gồm 2002 chữ số thỏa mãn N 99 và các
chữ số của N thuộc {1;2;3;4;5;6;7;8}
Lời giải
Gọi M là tập các số N thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ta xây dựng ánh xạ f:M→M như sau:

Nếu N=
thì f(N)=
,với
Do N+f(N)=
chia hết cho 9, nên f là song ánh
Từ đó suy ra 2.  ( N ) 
N M

 ( N   ( N )) 2.  ( N )   ( N   ( N )) =
N M

N M

N M

Cuối cùng ta nhận được trung bình cộng các số N là
Ví dụ 9 : (APMO 1998).
Giả sử F là tập hợp tất cả các bộ gồm n tập {
con của tập {1,2,...,2012} . Tính
 A1  A2  ...  An .

trong đó

là tập

( A1 , A2 ,..., An )F

Với i phần tử
{
Ta cho các phần tử

phần tử

Lời giải
{1,2,...,2012} ta đếm xem có bao nhiêu bộ
thỏa mãn A1  A2  ...  An = {
} (*)
đăng kí có mặt trong tập
bằng cách với mỗi

ta gán cho 1 bộ số

sao cho

. Một

bộ đăng kí là hợp lệ nếu có ít nhất 1 số 1 (nếu không thì phần tử tương ứng không
có mặt trong tập A1  A2  ...  An . Với i phiếu đăng kí
(ta gọi là
nhóm phiếu đăng kí), ta sẽ lập được bộ
. Ngược lại, với 2 nhóm
phiếu đăng kí khác nhau ta sẽ có 2 bộ tập hợp (
khác nhau, do đó
số bộ
thỏa mãn (*) bằng số nhóm phiếu đăng kí hợp lệ. Vì
phiếu đăng kí của
gồm n chữ số 0 hoặc 1 và phải có ít nhất 1 số
1 nên có
cách ghi phiếu cho , suy ra có
nhóm phiếu đăng kí
hợp lệ khác nhau. Có

cách chọn i phần tử nên suy ra
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 11


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP



( A1 , A2 ,..., An )F

2012

i
n
i
n
n (2012 1)
 2012(2 n  1)2 2011n .
A1  A2  ...  An =  iC2012 (2  1)  2012(2  1)2
i 1

Nhận xét:
Bài toán này không dùng phương pháp song ánh theo nghĩa thường, ở đây sẽ
không có ánh xạ nào cả. Nguyên lý ánh xạ ở đây được dùng bằng cách, thay vì tính
tổng này ta tìm cách tính một tổng khác dễ hơn và có giá trị bằng tổng đã cho. Với
mỗi {1,2,...,2012} ta gọi i S là số các bộ trong F mà i thuộc hợp các phần tử của
họ. Rõ ràng trong S thì i được đếm lần, do đó S=  Si . Dễ thấy các bằng
nhau và bằng (2n  1)22011n và tổng cần tính bằng 2012(2n  1)22011n .

Ví dụ 10:(Ucraina 1996)
Gọi M là số các số nguyên dương viết trong hệ thập phân có n chữ số, trong đó chỉ
có n chữ số 1 và n chữ số 2 , Gọi n là số tất cả các số viết trong hệ thập phân có n
chữ số, trong đó chỉ có các chữ số 1,2,3,4 và số chữ số 1 bằng số chữ số 2. Chứng
minh rằng : M=N=
Lời giải
Kết luận của bài toán rõ ràng giúp ta nghĩ ngay đến việc xây dựng một song ánh từ
2 tập với nhau.
Số có n chữ số chỉ chứa các chữ số 1,2,3,4 và có số các số 1 bằng 2 như thế nào.
Ta cần tìm ra một cách để làm điều này . Đầu tiên gấp đôi số có n chữ số đó lên,
nghĩa là nhân bản số đó 2 lần và viết cạnh nhau. Sau đó các chữ số 3 ở n số đầu
được đổi thành số 1, chữ số 3 của n số sau được đổi thành chữ số 2, còn chữ số 4 ở
n số đầu được đổi thành chữ số 2 và chữ số 3 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số
1.
Ví dụ với A =123442. Ta thực hiện như sau:
123442→123442123442→12121221221112
Như thế ta thu được một số có đúng n số 1 và n số 2. Rõ ràng đây là một đơn ánh.
Để chứng minh đây là song ánh, ta xây dựng một ánh xạ ngược như sau: Với một
số có n chữ số
1 và n chữ số 2. Ta cắt n số đầu và n số cuối rồi thực hiện phép cộng 2 số lại theo
quy tắc sau: 1+1=1,2+2=2,1+2=3,2+1=4. Ta thu được một số có n chữ số được tạo
thành từ 1,2,3,4 và thỏa mãn đề bài. Như vậy rõ ràng là ta chỉ ra được M=N
Tiếp theo, ta xét bài toán sau: Tìm số các số có n chữ số chỉ chứa các số 1,2,3,4
trong biểu diễn thập phân và có số 1 bằng số 2.
Bài toán này không hề đơn giản, cách giải quyết truyền thống vẫn là đếm bình
thường như sau: Giả sử i là số các chữ số 1 và chữ số 2. Vậy có
cách chọn
vị trí cho i số 1 và i số 2 này. Ở đây rõ ràng ta cần có điều kiện của I, ta có i ≤
Vậy còn lại n-2i vị trí trống để đặt các số 3 và 4. Vậy có
2i vị trí còn lại.

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

.

cách xác định cho nTrang 12


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
n
 2 

Vậy số các số thỏa mãn là : N=  Cni Cni i 2n 2i
i 0

Việc tính tổng này bằng
bằng trực tiếp đại số quả là không dễ, để đơn giản ta
cần phải dung đến kĩ thuật đếm bằng hai cách
Ví dụ 11: (Putnam 2002).
Cho n 1 là một số nguyên dương và
là số các tập con khác rỗng của tập
{1,2,...,n} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên.
Chứng minh rằng - n là một số chẵn.
Hướng dẫn.
Có n tập con 1 phần tử và các tập này đều thoả mãn điều kiện trong đầu bài. Vậy ta
chỉ cần chứng minh số các tập con nhiều hơn một phần tử có tính chất đó là một số
chẵn là xong. Ta hãy ghép các tập con này thành từng cặp như sau: Các tập có
trung bình thuộc nó đi với một tập có trung bình không thuộc nó.
Ví dụ 12:
Có 20 người xếp thành một vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao
cho không có hai người kề nhau được chọn.

Lời giải
Ta giải các bài toán tổng quát sau
Ví dụ 12.1. Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách chọn ra k
người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn?
Cách 1. (Phương pháp song ánh) Ta giải như ở ví dụ 1
Lời giải
Ta lần lượt đánh số thứ tự của hàng người bằng các số nguyên dương là 1,2,3,...,n.
Vậy ta sẽ đưa đề về dạng : Cho n số nguyên dương 1,2,…,n.Hỏi có bao nhiêu cách
chọn k số phân biệt trong n số đã cho sao cho không có 2 số nguyên liên tiếp nào?
Một cách chọn thích hợp chính là bộ số 1 ≤
…< ≤ n thỏa mãn
tức là
.
Vậy ta cần tìm số phần tử của
A={( , , ,…,
1≤
…< ≤ n,
với
i=1,2,…,k-1}
Xét ánh xạ :
=
với =
thì rõ
ràng ta có:
i)
≥1
ii)
iii)
Suy ra
là phần tử của tập hợp B

B={
│1≤
…< ≤ n – k +1}
Dễ thấy f là một đơn ánh
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 13


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Ngoài ra ánh xạ g
=
chúng ta một đơn ánh từ B vào A.Vậy

với

cho

Cách 2 : (Sử dụng bài toán chia kẹo của Euler). Giả sử ta chọn được k người. Gọi
là số người tính từng người đầu tiên đến trước người thứ nhất được chọn, là
số người nằm giữa người thứ nhất và người thứ hai, …,
là số người nằm giữa
người thứ k-1 và người thứ k và +1 là số người nằm sau người thứ k đến cuối.
Khi đó ta có + + … + +1 = n – k (1) và , +1 là các số nguyên không
âm, còn , …, là các số nguyên  1. Ngược lại, nếu ( , …, +1) là một
nghiệm của (1) với , +1  0, , …,  1 thì ta cho tương ứng với cách chọn
người thứ 1+ , 2+ + , …, k+ +…+ thì rõ ràng do (i + + …+ ) – (i-1 +
+ …+ -1) = 1 +  2 nên không có 2 người liên tiếp được chọn. Để hoàn tất
lời giải bài toán, ta đặt = , +1 = +1 và = – 1 với i=2, …, k thì được
+ + … + +1 = n – 2k + 1 (2) với là các số nguyên không âm. Theo kết

quả của định lý chia kẹo của Euler, ta có số nghiệm của (2) bằng
Đó cũng
chính là kết quả của bài toán ban đầu của chúng ta
Ví dụ 12.2. Có n người xếp thành một vòng tròn. Có bao nhiêu cách chọn ra k
người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn?
Bài toán này có thể giải bằng kết quả của bài toán trên và phương pháp « cắt đường
tròn ». Giả sử n người đó được đánh số 1, 2, …, n. Ta xét các trường hợp sau :
1) Người số 1 được chọn. Khi đó người số 2 và số n không được chọn. Như vậy ta
phải chọn thêm k-1 người từ 3 đến n-1 sao cho không có hai người kề nhau được
chọn. Vì n-1 không kề 3 nên có thể coi đây là n-3 người xếp theo một hàng dọc.
Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng
=
2) Người số 1 không được chọn. Khi đó ta cần chọn k người từ số 2 đến n sao cho
không có 2 người kề nhau được chọn. Vì 2 và n không kề nhau nên có thể coi đây
là n-1 người xếp theo một hàng dọc. Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn
bằng
. Vậy đáp số của bài toán là:
=
Ví dụ 13:(Vô địch Trung Quốc - 1997)
Trong các xâu nhị phân có độ dài n, gọi an là số các xâu không chứa 3 số liên tiếp
0, 1, 0 và bn là số các xâu không chứa 4 số liên tiếp 0,0,1,1 hoặc 1,1,0,0. Chứng
minh rằng bn+1 = 2an.
Lời giải
Ta gọi một xâu thuộc loại A nếu nó không chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và gọi một
xâu thuộc loại B nếu nó không chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0,0.
Với mỗi xâu X = (x1, x2, ..., xn), ta xây dựng f(X) = (y1, y2, ..., yn+1) như sau:
y1  0, yk  x1  x 2  ...  x k 1 (mod 2) k {2, ..., n+1}. Rõ ràng X chứa 3 số liên tiếp
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 14

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
0, 1, 0 khi và chỉ khi f(X) chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0, 0 tức là X
thuộc loại A khi và chỉ khi f(X) thuộc B.
Vậy f là một song ánh đi từ tập các xâu loại A độ dài n đến tập các xâu loại B độ
dài n+1 mà bắt đầu bằng 0. Nhưng từ mỗi xâu X thuộc B ta nhận được một xâu X
cũng thuộc B bằng cách đổi các phần tử của X theo quy tắc 1  0, 0  1 nên số
các xâu loại B độ dài n+1 gấp đôi số các xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu bằng số
0. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 14:(Vô địch Ucraina - 1996)
Gọi M là số các số nguyên dương viết trong hệ thập phân có 2n chữ số, trong đó
có n chữ số 1 và n chữ số 2. Gọi N là số tất cả các số viết trong hệ thập phân có n
chữ số, trong đó chỉ có các chữ số 1, 2, 3, 4 và số chữ số 1 bằng số chữ số 2.
Chứng minh rằng M = N = C 2nn .
Lời giải
n
Hiển nhiên M = C 2 n . Ta chỉ cần chứng minh M = N.
Với mỗi số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4 và số chữ số 1 bằng số chữ số 2,
ta “nhân đôi” thành số có 2n chữ số theo quy tắc sau: đầu tiên, hai phiên bản của số
này được viết kề nhau thành số có hai chữ số, sau đó các chữ số 3 ở n chữ số đầu
và các chữ số 4 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 1, các chữ số 3 ở n chữ số
sau và các chữ số 4 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số 2. Ví dụ:
12341421234142123414212121221221112.
Như thế, ta thu được một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2. Rõ ràng đây là một
đơn ánh từ tập các số n chữ số sang tập các số 2n chữ số. Để chứng minh đây là
một song ánh, ta xây dựng ánh xạ ngược như sau: với mỗi số có n chữ số 1 và n
chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối rồi cộng chúng theo cột với quy tắc:
1+1=1, 2+2=2, 1+2=3, 2+1=4, và ta thu được một số có n chữ số gồm các chữ số
1, 2, 3, 4 với số chữ số 1 bằng số các số 2.

1212122
Ví dụ 12121221221112 1221112  1234142.
1234142

Ví dụ 15: (IMO - 2005)
Cho các số nguyên dương n, k với n  k.
Xét phép toán f đối với bộ sắp thứ tự X = [x1, ..., xn] như sau: mỗi lần chọn k số
liên tiếp tuỳ ý trong X và đổi dấu của chúng.
Tìm số các bộ thứ tự X =[x1, ..., xn] thoả mãn các điều kiện:
(i) Mọi phần tử của X đều thuộc tập {-1,1}.
(ii) Có thể thực hiện hữu hạn lần phép toán f để từ X nhận được bộ [1,1,...,1].
Lời giải
Xét bộ thứ tự X = [x1, ..., xn] tuỳ ý. Ta có hai nhận xét sau:
1) Có đúng n  k + 1 nhóm k số liên tiếp.
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du
Trang 15


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
2) Sau một số chẵn lần thực hiện phép toán f cho một nhóm k số liên tiếp
trong X thì giá trị k số đó không đổi.
Như vậy, mỗi phương án thực hiện hữu hạn lần phép toán f đối với X tương ứng
với một bộ nhị phân A = [a1, a2, ..., an-k+1], trong đó ai tính theo modun 2 của số lần
thực hiện f cho nhóm k số liên tiếp [xi, xi+1, ..., xi+k-1], và X trở thành

(1)

a1

x1 , (1) a1 a2 x2 ,...,(1) a1 a2 ...ak xk , (1) a2 ...ak ak 1 xk 1 ,...,(1) ank ank 1 xn1 , (1) ank 1 xn



Từ đó, dễ thấy mỗi bộ A xác định duy nhất một bộ X thoả điều kiện bài toán nên
đáp số bài toán chính là số các bộ A, tức là 2nk1 .
Ví dụ 16:
Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ cho 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh
cho các đỉnh còn lại. Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh xanh kề
nhau.
a. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp (A,B)
b. xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để B =14 . Biết rằng, hai cách tô
màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau thông qua 1 phép
quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Hướng dẫn:
a. Số đỉnh màu xanh là 24 đỉnh (103-79). N ếu tất cả các đỉnh đỏ chia thành một
cụm thì A=78. N ếu bị cắt thành 2 cụm thì A=77. Và cứ thế tiếp tục, tức là nếu có k
cụm (mỗi cụm là các đỉnh cùng màu đỏ đứng sát nhau) thì A=74-k . N ếu có k cụm
đỏ thì cũng có k cụm xanh nên có B= k-24. Các giá trị có thể của k là từ 1 đến 24,
nên có 24 khả năng tất cả
b. Để có B=14 thì k = 10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10
cụm). Đếm số cách chia như thế nào ?
Gọi X là số cụm các điểm đỏ liền nhau, thì B=24-X. Do vậy B=24 thì X = 10 . Áp
dụng công thức chia kẹo của pt chia kẹo, ta suy ra được số cách chia 24 điểm xanh
vào 10 cụm là
. Tiếp theo, ta sẽ xem xét việc xếp các điểm xanh- đỏ như là vệc
có sẵn 79 điểm đỏ ở trên đường tròn, và ta bỏ đi 10 cụm điểm xanh và các khoảng
trống giữa 2 điểm đỏ liên tiếp, mỗi khoảng có tối đa 1 cụm. Như vậy thì số cách
chọn ra 10 khoảng trống trong 79 khoảng là
. Sự trùng lặp theo phép quay là ở
chỗ ta chọn 10 vị trí trong 79 vị trí theo đường tròn. Nhờ có (79,10)=1 mà ta không

phải lo về “các cấu hình lộn xộn”, mỗi cách tô bị lặp đúng 79 lần, do vậy đáp số là
Định lý :
Cho A và B là 2 tập hợp hữu hạn, và f là 1 ánh xạ đơn ánh từ A vào B. Khi đó số
phần tử của B ít nhất là bằng số phần tử của A. Và nếu f là song ánh thì A và B có
cùng số phần tử
Ví dụ 17:
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 16


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Với mỗi đỉnh của đa giác đều 9 đỉnh (cửu giác) được tô bởi màu đỏ hoặc xanh da
trời. Chứng minh rằng tồn tại 2 tam giác đơn sắc đồng dạng , trong đó tam giác
đơn sắc là tam giác có tất cả các đỉnh là cùng 1 màu
Lời giải
Ta gọi đơn giác đỏ (xanh) nếu tất các đỉnh của tam giác là đỏ hoặc xanh. Vì đa
giác có 9 đỉnh, mỗi đỉnh chỉ tô 2 màu xanh hoặc đỏ nên có ít nhất 5 đỉnh có dùng 1
màu. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là màu đỏ. Suy ra có it nhất = 10 đơn
giác đỏ. Giờ ta chứng minh có 2
tam giác đỏ đồng dạng.
Đặt
là các đỉnh của
đa giác (Hình 1) và ω là đường
tròn ngoại tiếp đa giác. 9 đỉnh đa
giác chia đường tròn này thành 9
cung bằng nhau. Gọi mỗi cung
trong 9 cung này là 1 mảnh. Gọi
là tam giác thỏa mãn
. Định

nghĩa
là số mảnh của cung
không chứa điểm . Ta
định nghĩa tương tự với
và
. Khi đó Δ
được xác
định bởi bộ ba (
,
.
Do 1 tam giác có 3 đỉnh, nên ta
dễ
thấy
(trường hợp góc lớn nhất là 3
đỉnh nằm kề nhau trên đường tròn).
, do đó
. Ví dụ với tam giác Δ
ta xác định được bộ ba tương
ứng là (2,3,4).
Dễ thấy các tam giác đồng dạng cho cùng 1 bộ ba, trong khi 2 tam giác không
đồng dạng có các bộ ba khác nhau. Từ đó ta xây dựng song ánh A →B như sau: A:
tập các tam giác đồng dạng B: tập các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn
và a+b+c=9. Ta có thể liệt kê ra các phần tử của B là (1,1,7),
(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3) có tất cả 7 phần tử. Suy ra A cũng
có 7 phần tử hay có tất cả 7 dạng tam giác khác nhau. Trong khi đó ta có 10 tam
giác đơn sắc, nên tồn tại ít nhất 2 tam giác đơn sắc đồng dạng.
Ví dụ 18:
Cho n nguyên dương. Hỏi có bao nhiêu các biểu diễn n thành tổng của ít nhất 2 số
nguyên dương.
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 17


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
(Ví dụ có 3 cách biểu diễn số 3 thành tổng của các số nguyên dương:
3=1+1+1=1+2=2+1)
Lời giải
Ta viết n dưới dạng sau: (1_1_..._1) gồm n số 1. Xét n-1 khoảng trống trong đó là
, khi đó các khoảng trống sẽ có 2 trạng thái là 0 hoặc 1. N ếu trạng thái
là 0, thì ta sẽ thay khoảng trống bởi dấu “+”, nếu trạng thái là 1 thì thay bởi “)+(“.
Ví dụ như 4=(1_1_1_1)= (
. Khi đó nếu (
= (0,0,1) thì
4=(1+1+1)+(1)=3+1 là một cách biểu diễn.
Ta có tất cả
cách biểu diễn cho dãy nhị phân (n-1) bit
và mỗi
dãy nhị phân cho một cách biểu diễn duy nhất của n. Trong dãy nhị phân này, chỉ
có trường hợp duy nhất là dãy 00…0 là không biểu diễn dưới dạng tổng của ít nhất
2 số. Do đó có
cách biểu diễn n dưới dạng tổng của ít nhất 2 số nguyên
dương
Ví dụ 19: [AHSME 1992]:
Cho 10 điểm đặt trên phần dương trục x( ), 5 điểm đặt trên phần dương trục y
( ). Khi đó ta có tất cả 50 đoạn thẳng nối giữa 10 điểm trên
với 5 điểm trên
trục . Khi đó có tối đa bao nhiêu giao điểm của 50 đoạn thẳng nằm trong góc
phần tư thứ nhất? (Hình 2)
Lời giải
Ta có, cứ 2 điểm trên

và 2 điểm trên
thì tạo
thành 1 tứ giác và khi đó chỉ xác định được duy nhất 1
giao điểm. Khi đó số giao điểm lớn nhất có thể tạo
được là
. Dấu bằng xảy ra ⇔
không có 3 đường nào cùng cắt nhau tại một điểm
trong góc phần tư thứ nhất

Ví dụ 20: [China 1991, by Weichao Wu]:
Cho n là số tự nhiên với n≥ 2 , và đặt dãy S =(1,2,3,…,n) . Một dãy con của S được
gọi là dãy con số học nếu nó có ít nhất 2 phần tử và nó là 1 cấp số cộng. Dãy con
số học được gọi là cực đại nếu dãy này không thể kéo dài bằng cách thêm vào một
phần tử khác của S. Xác định số dãy con số học cực đại
Lời giải
Ta có công sai
phải lớn hơn
để không thể điền thêm phần tử nào vào
bên trái dãy con ( phía trước
), nên
≥ 2 . Lại có
≤ 2m nên ≤ m. Khi
đó để một dãy con là cực đại thì
và 2
(1). Ta cũng có, với
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 18

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
mỗi bộ (
thỏa mãn điều kiện trên thì cũng cho ra duy nhất 1 dãy con cực đại
có phần tử ban đầu và công sai
. Suy ra dãy số con cực đại và bộ
(
thỏa mãn đk (1) là song ánh. Ta có, với mỗi cách chọn
thì có
cách chọn . Do có m cách chọn
nên số bộ (
thỏa mãn đk
(1)
m

là:  (n  2a1  1)  mn 
a1
m

 (n  2a  1)  mn 
1

a1

2m(m  1)
 m  2m2  m2  m2
2

2m(m  1)
 m  m(2m  1)  m2  m2  m
2

Vậy có 2 m dãy con cực đại với n=2m
Xét với n=2m+1, với m là số nguyên dương. Tương tự ta có:
m . Lý luận tương tự, ta có số dãy con cực đại là:
m

 (n  2a  1)  mn 
1

a1
m

 (n  2a  1)  mn 
1

a1

≥ 2 , suy ra

≤

2m(m  1)
 m  m(2m  1)  m2  m2  m
2
2m(m  1)
 m  m(2m  1)  m2  m2  m
2

Vậy, với mỗi số tự nhiên n, ta có

dãy con số học cực đại .

Song ánh có thể được sử dụng giữa các tập hợp mà các tập hợp này không cần
hữu hạn. Dưới đây là 1 ví dụ.
Ví dụ 21: [PEA Math Materials]
Giả sử rằng có 2 quản trị PEA, là những người duy nhất có quyền quay số truy cập
vào tệp tài liệu Internet của học viện, biết rằng tại một thời điểm tệp này chỉ xử lý
cho một yêu cầu truy cập. Với 15 phút sử dụng tệp cho 1 lần truy cập và tệp chỉ
được sử dụng từ 4h chiều đến 6 giờ chiều trong ngày. Biết rằng không có yêu cầu
truy cập nào được thực hiện sau 5h45 chiều, và 1 người không được yêu cầu truy
cập quá 1 lần. Ít nhất 1 người trong số họ thực hiện thành công cuộc gọi. Hỏi xác
suất là bao nhiêu để cả 2 người đều có thể thực hiện thành công cuộc gọi của
mình?
Lời giải
Gọi An và Giang là 2 quản trị của PEA. Ta biết rằng yêu cầu truy cập vào tệp
internet của học viện chỉ được thực hiện trong 105 phút. Giả sử An gọi sau 4h x
phút, Giang gọi sau 4h y phút, khi đó ta có thể ánh xạ bộ thời gian gọi của 2 người
tới điểm (x,y) trên mp tọa độ (Hình 3). Rõ ràng đây là một song ánh.

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 19


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Tập hợp các điểm (x,y) là hình vuông
O
. Rõ ràng một người không thể gửi
yêu cầu truy cập thành công nếu người còn
lại đang làm việc với tệp, do đó để cả 2

người có thể đều truy cập được tệp tài liệu
thì ta phải có
. Xét miền của
tập hợp các điểm (x,y) được xác định bởi
. Đây là giao của 2 phương
trình đường thẳng với hình vuông, cắt tại
các điểm
Ta xác định được
=(0,15), =(90,105), =(15,0),
=(105,90). Từ đó, xác suất để cả 2 người
cùng truy cập được vào tệp là:
Hệ quả :
Cho 2 số nguyên dương m và n
a. Có
bộ nguyên dương (
b. Có
trình

bộ nguyên không âm (

) thỏa mãn phương trình
) thỏa mãn phương

Ví dụ 22: [Aime 2000]:
Cho 8 chiếc nhẫn khác nhau, tìm số cách xếp 5 chiếc nhẫn xếp trên 4 ngón tay
(không tính ngón cái) trên một bàn tay. Biết rằng thứ tự từng chiếc nhẫn trên một
ngón tay là quan trọng và không bắt buộc ngón nào cũng phải có nhẫn.
Lời giải
Ta có
cách chọn ra 5 chiếc nhẫn bất kỳ để đeo trong 8 chiếc nhẫn đã cho. Đăt a,

b, c, d là số chiếc nhẫn trên từng ngón tay. Ta có a+b+c+d=5. Theo Hệ quả 1 ta có
cách sắp xếp các chiếc nhẫn vào 4 ngón tay (giả thiết là các chiếc nhẫn ko phân
biệt). Lại có với mỗi cách sắp xếp 5 chiếc nhẫn ko phân biệt thì tương ứng có 5!
cách sắp xếp đối với 5 chiếc nhẫn phân biệt.
Vậy ta có số cách sắp xếp là:
.
Ví dụ 23:
Ngân hàng Bảo Hiểm của nước cộng hòa Fatand có 15 nhân viên điều hành cấp
cao. Mỗi nhân viên này có 1 thẻ truy cập vào kho của ngân hàng và trên mỗi thẻ
bất kỳ đều có 1 bảng gồm m mã hóa khác nhau. Để mở được kho, mỗi người sẽ
đặt thẻ của mình vào khóa điện tử của kho. Máy tính sẽ thu thập tất cả các mã
khác nhau trên thẻ và hầm sẽ được mở khi và chỉ khi tập các mã hóa có n mã hóa
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 20


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
(khác nhau) đặt trước. Vì lý do bảo mật, hầm có thể được mở nếu và chỉ nếu có ít
nhất thẻ của 6 nhân viên cao cấp. Tìm n và m thỏa mãn n nhỏ nhất để có thể thực
hiện được chính sách bảo mật nêu như trên.
Lời giải
Dễ thấy với mỗi một nhóm gồm 5 nhân viên cao cấp thì sẽ thiếu ít nhất 1 mã hóa
so với n mã hóa đặt trước để mở được hầm. Đặt A là tập hợp các nhóm có 5 nhân
viên và B là tập hợp gồm n mã hóa cần để mở hầm. Xét ánh xạ từ A vào 1 trong
các mã hóa có thể thiếu trong nhóm 5 người (số mã hóa thiếu có thể nhiều hơn 1,
nhưng chỉ xét ánh xạ 1-1 để dễ thực hiện). Gọi ánh xạ này là f, ta sẽ chứng minh nó
là đơn ánh. Thật vậy, gọi
∈ A là 2 nhóm khác nhau thỏa
mãn

, c là mã còn thiếu. Do khác
nên tồn tại nhóm 6
người lấy từ 2 nhóm
và
mà vẫn thiếu ít nhất 1 mã (mã c), (vô lý so với giả
thiết). Vậy f là đơn ánh. Rõ ràng f là ánh xạ từ A vào B nên ta có:
Ta sẽ chứng minh n=3003 thỏa mãn. Khi đó cho mỗi nhóm 5 người 1 nhận được 1
mã c(a) khác nhau trong 3003 mã cho trước (điều này có thể thực hiện được vì ta
có tất cả 3003 nhóm). Tiếp theo ta viết mỗi mã c(a) này vào thẻ của các thành viên
không nằm trong nhóm . Khi đó, mỗi mã sẽ được viết cho 10 người không trong
nhóm, suy ra ta viết tất cả 10. các mã, đồng thời được chia đều cho 15 người nên
thẻ mỗi người sẽ có
mã khác nhau.
Xét một nhóm gồm 6 người bất kỳ. Theo như cách
sắp xếp mã như trên, với nhóm a gồm 5 người bất kỳ
sẽ chỉ thiếu duy nhất một mã c(a). Ta sẽ chứng minh
nhóm 6 người có đủ n mã khác nhau. Thật vậy, xét 2
nhóm 5 người bất kỳ và
từ 6 người được chọn.
Khi đó ta có
. Ta sẽ chứng minh rằng
nhóm
có mã c( ). Giả sử trong
không có mã
c( ), khi đó theo định nghĩa hàm c như ban đầu, ta
có
(vô lý). Vậy một nhóm 6 người sẽ
có đủ mã để mở kho, hay m=2002
Kết luận: n=3003, m=2002
Ví dụ 24: [AIME 2001, by Richard Parris]:

Cho các số 1,2,3,4,5,6,7,8 được điền bất kỳ lên mặt
của 1 bát phương sao cho mỗi một mặt là 1 số khác
nhau. Tính xác suất để không có 2 số liên tiếp nào
(8 và 1 cũng được cho 2 số liên tiếp) được viết trên
2 mặt có chung cạnh.
Lời giải
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 21


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Để giải bài toán, ta xét thêm hình lập phương có các đỉnh là A,B,C,D,E,F,G, H như
ở Hình 5, trong đó đỉnh hình lập phương là các trọng tâm các mặt của bát phương.
Khi đó ta sẽ kí hiệu như sau: các số 1,2,3,4,5,6,7,8 thứ tự tương ứng lần lượt là các
đỉnh A,B,C,D,E,F,G,H. Cạnh của lập phương nối 2 đỉnh lập phương( nối 2 số) thể
hiện mối liên hệ (chung cạnh) giữa 2 mặt bát phương. Ta thấy rõ ràng liên hệ này
là 1-1. Khi đó thay vì đếm số trường hợp không có 2 số liên tiếp trên cùng một
mặt, ta đếm số cách điền các đỉnh của hình lập phương để không có 2 đỉnh liền kề
nào là lập thành 1 cạnh lập phương. Ta chia các đỉnh thành 2 nhóm,
và
. Dễ thấy các đỉnh trong cùng 1 nhóm thì
không liền kề với nhau.
Ví dụ 25:
Cho 1 lưới tam giác có chiều dài mỗi cạnh bên là n, được phủ bởi
tam giác con
đều có cạnh bằng 1. Xác định có bao nhiêu hình bình hành bị giới hạn bởi các
đoạn thẳng của lưới.
Lời giải
Ta chia tất cả các hình bình hành thành 3 tập.

Có các cạnh của 1 hình bình hành bất kỳ phải
song song với đúng 2 cạnh của tam giác. Gọi
là tập các hình bình hành có cạnh song
song với 2 cạnh XY và ZX của tam giác. Các
tập
và
xác định tương tự. Do tính đối
xứng nên ta có
. Từ đó, đáp án của ta sẽ
là 3
. Mở rộng các cạnh XY và XZ về phí
Y và Z thêm 1 đơn vị, ta được các đoạn thẳng
mới là XY’ và XZ’. Xét một hình bình hành
bất kỳ thuộc
, ta kéo dài các cạnh của hbh
đó, cắt đoạn thẳng Y’Z’ tại 4 điểm phân biệt (hiển nhiên). Từ đây ta xác định được
rằng, cứ 4 điểm phân biệt trên đoạn thẳng Y’Z’ vẽ song song với XY và ZX, cắt
nhau tại 4 điểm sẽ tạo được 1 hình bình hành thuộc
. Vậy ta có ánh xạ từ
ra
bộ 4 điểm trên đoạn Y’Z’ là 1 song ánh, mà đoạn Y’Z’ có tất cả n+2 điểm, nên ta
có
. Vậy có tất cả 3
. Hình bình hành bị giới hạn bởi các cạnh của
tam giác.
Ví dụ 26:
Bart hiện là nhân viên của rạp chiếu phim. Rạp này có sức chứa 200 chỗ ngồi.
Trong ngày khởi chiếu phần I Star War: The Phantom Menace, có 200 người đứng
xếp hàng để mua vé xem phim. Giá mỗi vé là 5$. Trong 200 người mua vé, 100
trong số họ có hóa đơn loại 5$, nửa còn lại là hóa đơn loại 10$(mỗi người có 1

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 22


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
hóa đơn). Bart vốn bất cNn và vẫn không chịu thay đổi. 200 người đó xếp hàng 1
cách ngẫu nhiên và không ai muốn chờ để thay đổi vé của mình khi họ mua vé. Xác
suất là bao nhiêu để Bart có thể bán được hết tất cả các vé có lợi nhất (thành
công)
Lời giải
Để dễ dàng hơn ta thay 100 bằng n. Ta xem xét những người là không phâ biệt
được. Ta cân nhắc sự sắp xếp của n người sở hữu hóa đơn 5$ và n người sở hữu
hóa đơn 10$ (nói cách khác ta làm phép nhân lên
tới cả hai mẫu số và tử số,
việc này không ảnh hưởng tới giá trị của xác suất). Có
cách sắp xếp xác số mà
không hạn chế. Bart sẽ thành công khi và chi khi: ta sắp xếp 2n số vào một hàng
ngang và đánh số vị trí của chúng từ trái qua phải từ 1,2,3,...,2n. Với
,
đặt
là số người có hóa đơn 5$ (10$) đứng trước vị trí thứ i. Ta cần đếm số
sự sắp xếp thỏa mãn
với
. Gọi S là tập hợp tất cả các sắp xếp
như vậy. Gọi T là tập hợp các sự sắp xếp khác nhau như trên. Ta sẽ tìm
.
Ta có
Một phần tử t ∈ T ,
có số ,

thỏa
mãn
. Gọi
là ký hiệu của số chỉ đầu tiên. Bởi sự xác đinh cả ta,
và
. Vì vậy có nhiều hơn số hóa đơn 10$ so với 5$ tính
đến (tại) thời điểm thứ
. Ta thay đổi toàn bộ các đồng 5$ thành 10$ và các
đồng 10$ thành 5$ sau thời điểm thứ
, thì khi đó ta thu được một hoán vị
của n+1 đồng 10$ và n−1 đồng 5$ .
Ví dụ: với n=6 ta có: t = ( 5,10,10,5,10,10,10,5,10,5,5,5)
Ta có
(
(1,1,1,2,2,2,2,3,3,4,5,6)
(
(0,1,2,2,3,4,5,5,6,6,6,6)
f(t) = 3,
= (5,10,10,10,5,5,5,10,5,10,10,10)
Do đó ta xác định một ánh xạ từ T vào U là tập hợp hoán vị của n+1 đồng 10$ và
n−1 đồng 5$. Ta sẽ chứng minh g là một song ánh
Đầu tiên ta chứng minh g là một toàn ánh. Xét u là một phần tử bất kỳ thuộc U. Ta
đếm số lần xuất hiện của đồng 5$ và 10$ tính từ trái qua phải với i là các giá trị
nguyên nhỏ nhất sao cho tính đến thời điểm thứ i số đồng 10$ là nhiều hơn số đồng
5$. Ta thay đổi toàn bộ các đồng 5$ thành 10$ và toàn bộ các đồng 10$ thành 5$
sau thời điểm thứ i. Vì số đồng 10$ có số lượng lớn hơn 2 so với số đồng 5$ trong
U nên sẽ có số đồng 10$ nhiều hơn số đồng 5$ tại trước thời điểm i và số đồng 10$
nhiều hơn số đồng 5$ tại 2ni − thời điểm còn lại. Sau bước đổi 5 → 10 và 10 → 5
trên ta thu được số đồng 5$ và 10$ bằng nhau. Không khó để thấy dãy mới này
thuộc T, do đó g là một toàn ánh. Bây giờ ta chứng minh g là đơn ánh. Xét t và ' t

là 2 phần tử thuộc T. Giả sử rằng tại thời điểm thứ ,
là thời điểm đầu
tiên t và ' t có sự khác nhau. Không giảm tính tổng quát g/s
và , thì
Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 23


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
. Nếu
thì
=
bởi 1 i− vị trí đầu của t và ' t là hoàn toàn giống
nhau. Khi đó tại thời điểm thứ i, g(t) và g(t') có giá trị là 10 và 5 tương ứng, do đó
. Ta lại xét
. Thì tại thời điểm thứ i của g(t) là , có
. Bởi vì ( i-1) vị trí đầu của t và t’ như nhau,
. Dô đó tại thời điểm thứ i
của g(t') là t’ , nó bằng 10. Do đó
. Suy ra g là song ánh. Từ đó theo
ta có:

Trở lại bài toán, ta có n = 200 , vậy xác suất là
Ví dụ 27:
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn các tính chất: nếu n cái domino được đặt trên
1 bàn cờ 6x6 với mỗi domino chiếm 2 đơn vị diện tích vuông, thì luôn luôn có thể
đặt thêm 1 domino lên trên bàn mà không phải di chuyển bất kỳ domino nào khác.
Xác định giá trị lớn nhất của n.
Lời giải

Ta sẽ chứng minh giá trị lớn nhất của n là
11. Hình 7 là cách sắp xếp 12 domino trên
bàn cờ thì không thể để thêm 1 domino nào
nữa. Suy ra n≤ 11.
Ta sẽ chứng minh rằng với 11 domino trên
bàn cờ thì luôn đặt thêm được 1 domino nữa.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử
rằng tồn tại cách đặt 11 domino trên bàn cờ
mà không thể đặt thêm 1 domino nào nữa.
Khi đó số ô vuông trên bàn chưa bị phủ bởi
11 domino là: 36-22=14.

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 24


ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Đặt là phần trên của bàn cở ban đầu có kích thước 5x6 (Hình 8). Đặt A là tập
các ô vuông trong mà không bị phủ bởi các domino, và là hàng cuối của bàn
cờ (bàn cờ chia làm 2 phần và ). Vì ta không thể điền thêm 1 domino nào vào
bàn cờ, nên một trong 2 ô vuông bất kỳ cạnh nhau sẽ được bao phủ bởi 1 domino,
suy ra có nhiều nhất là 3 ô không bị phủ bởi domino (trống), suy ra có ít nhất

là 14-3=11 ô trống.
Đặt là phần dưới của bàn cờ và có kích thước 5x6 (Hình 8), B là tập tất cả các
domino nằm trong . Ta sẽ định nghĩa một ánh xạ f từ A vào B. Ta có, với mỗi ô
vuông trống s trong , sẽ tồn tại một ô vuông t nằm dưới s. Suy ra ô vuông t nằm
trong và được phủ bởi một domino d. Rõ ràng domino d phải nằm trong (vì
nếu ko thuộc thì nó sẽ gồm 2 ô t và s-vô lý). Khi đó ta xác định ánh xạ f là f(s) =

d . Ta sẽ chứng minh rằng f là đơn ánh. Thật vậy, giả sử
sao cho
. Suy ra d phủ 2 ô vuông ở dưới và . Suy ra và nằm
cạnh nhau (Hình 9), như vậy khi đó ta có thể đặt thêm 1 domino phủ lên và
(vô lý). Vậy f là đơn ánh, suy ra
hay
. Nhưng cả bàn cờ chỉ có
11 domino, suy ra
=11 . Khi đó thì hàng trên cùng sẽ không bị phủ bởi 1
domino nào, và sẽ đặt được thêm 1 quân domino nữa (vô lý).
Vậy giá trị lớn nhất của n là 11.
Ví dụ 28: [China 2000, by Jiangang Yao]:
Cho số nguyên dương n và xác định
bao nhiêu ánh xạ f xác định trên M thỏa mãn
i.
là số tự nhiên với mọi (x,y)∈ M

Hỏi có

n

ii.

  ( x, y)  n  1 với mọi x thỏa mãn

.

x 1

iii. N ếu

> thì (
Lời giải

Lê Ngọc Đức – 10CT – Trường THPT Chuyên Nguyễn Du

Trang 25