Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————————————

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
DẠNG BLUM - OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích
Code: 9460102

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Phản biện 1:....................................................................
Phản biện 2:....................................................................
Phản biện 3:....................................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường
họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
Vào hồi ..... giờ ..... ngày ..... tháng ..... năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên
- Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên


1

Mở đầu
Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, cũng như trong các ngành khoa
học, chúng ta thường gặp những câu hỏi: Tồn tại hay không tồn tại? Tồn tại như thế nào? Theo
thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ nhất làm ta liên hệ với sự tồn tại hay không tồn tại nghiệm
của phương trình, bài toán được phát biểu như sau: Tìm x ∈ D sao cho
F (x) = 0,

(1)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào không gian
tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử.
Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D,

(2)

với D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian các số thực R. Bài
toán này còn được gọi là bài toán tối ưu.
Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào giải quyết
những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây dựng những lý thuyết
để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được gọi là lý thuyết phương
trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý thuyết tối ưu. Hai bài toán trên
đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối

ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa
về bài toán (2) và ngược lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm
f , bài toán (2) tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
x = PD (x − f (x)),
với PD (x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F (x) = 0, với F (x) = PD (x −
f (x)) − x. Tức là, bài toán (1) tương đương với bài toán (2).
Để giải bài toán (2), người ta phân loại thành những lớp bài toán dựa theo đặc tính hàm số
f và tập D. Khi f là hàm tuyến tính và D là đa diện lồi trong không gian Euclid n chiều Rn ,
bài toán (2) được gọi là qui hoạch tuyến tính. Năm 1947, G. B. Danzig, nhà toán học Mỹ đã
tìm ra thuật toán đơn hình để giải bài toán này. Khi D là tập lồi đóng trong không gian Rn và


2

f là hàm lồi thì (2) được gọi là bài toán quy hoạch lồi. Những năm 1960 - 1970, nhà toán học
Mỹ, T. Rockaffelar đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi để xây dựng môn giải tích
lồi nhằm giải quyết bài toán quy hoạch lồi. Tiếp theo, khi f là hàm Lipschitz địa phương và D
là tập đóng, (2) được gọi là bài toán quy hoạch Lipschitz. Sau những năm 1970, nhà toán học
Mỹ, F. H. Clarke đã xây dựng dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương để giải bài toán quy
hoạch Lipschitz. Khi hàm f là hàm liên tục, D là tập đóng, bài toán (2) được gọi là bài toán
quy hoạch liên tục. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, D. T.
Lục và V. Jeyakumar đã đưa ra lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch liên tục.
Tới những năm 1960 của thế kỷ trước, Stampachia đã đưa ra bài toán bất đẳng thức biến
phân: Cho D là tập con khác rỗng của không gian Rn , T : D → Rn . Tìm x ∈ D sao cho
T (x), x − x ≥ 0, với mọi x ∈ D.

(3)

Sau đó, bài toán này được mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát: Tìm
x ∈ D sao cho

T (x), x − x + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với mọi x ∈ D,

(4)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X ∗ là không gian đối ngẫu của
X, G : D → X ∗ là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực.
Năm 1994, Blum và Oettli đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh xạ f : D × D →
R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho
f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D.

(5)

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng Định lý về sự tương
giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất động Browder.
Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán
điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những trường hợp đặc biệt.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm tìm nghiệm cho những bài toán
này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước cũng như quốc tế mở rộng và phát triển
mạnh mẽ.
Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng được mở
rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được gọi là: Bài toán tối
ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân bằng véctơ. Những năm cuối của
Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các tác giả N. X. Tan, D. T. Luc, P. N. Tinh,
P. H. Sach, P. Q. Khanh, L. J. Lin, T. T. T. Duong, B. T. Hung, N. T. Q. Anh, ... đã phát
biểu các bài toán trên và chứng minh sự tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh xạ liên quan là
những ánh xạ đa trị.
Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ, ánh xạ đa trị


3

đều có thể quy về bài toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho
0 ∈ F (x),

(6)

trong đó, X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là một tập con
của X. Bài toán (6) được gọi là bài toán cân bằng tổng quát hay còn được gọi là phương trình
đa trị.
Trong thực tế, nhiều khi miền ràng buộc D thay đổi, phụ thuộc bởi một ánh xạ, P : D → 2D .
Khi đó, ta cần xét bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
1) x ∈ P (x);

(7)

2) 0 ∈ F (x).
Bài toán (7) được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát. Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm
của bài toán này đã được nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên tục với giá trị khác
rỗng, lồi, compact và F là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact.
Trong những năm gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài
toán tựa cân bằng tổng quát qua việc giảm nhẹ tính liên tục của các ánh xạ P, F . Tức là,
cho X, Y, Z là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z, các
ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y . Ta xét bài toán: Tìm
(x, y) ∈ D × K sao cho
1) x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y);

(8)

2) 0 ∈ F (x, y).
Các ánh xạ P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là hàm mục tiêu.

Ta thấy, nếu đặt D = D × K, P = P × Q thì bài toán (8) trở về dạng bài toán (7).
Bài toán tựa cân bằng tổng quát (8) bao hàm rất nhiều lớp bài toán tối ưu mà ta đã biết
như bài toán tựa bao hàm thức biến phân, bài toán tựa quan hệ biến phân,... Điều kiện đủ cho
sự tồn tại nghiệm của bài toán (8) đã được rất nhiều các tác giả nghiên cứu như L. J. Lin và
S. Park, M. P. Chen, L. J. Lin và S. Park, S. Park, Jian Wen Peng và Dao Li Zhu, ... Đặc biệt,
các tác giả N. X. Tan và D. T. Luc, N. X. Tan và L. J. Lin, N. X. Tan và T. T. T. Duong, N.
X. Tan và B. T. Hung, N. X. Tan và N. T. Q. Anh xét trong trường hợp P là ánh xạ liên tục,
Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c hoặc l.s.c và tất cả các ánh xạ P, Q, F đều cần có giá trị
lồi, đóng, khác rỗng.
Mở rộng hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét bài toán (8) với hàm mục tiêu dạng là dạng tổng
của hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y). Tức là, chúng tôi xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K
sao cho
1) x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y);
2) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y),


4

với các điều kiện đặt trên hai hàm G và H khác nhau và ta gọi là "Bài toán tựa cân bằng dạng
Blum - Oettli tổng quát". Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về những bài toán dạng Blum Oettli, tức là các bài toán đa trị có hàm mục tiêu là tổng của hai ánh xạ như N. X. Tan và P.
N. Tinh, T. Y. Fu, G. Kassay và M. Miholca, G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh, ...
Mục tiêu của luận án là:
(1) Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiêm của Bài toán tựa cân bằng dạng Blum Oettli tổng quát với hàm mục tiêu và các ánh xạ ràng buộc đều là hàm và ánh xạ đa trị trong
các trường hợp:
- hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục
trên yếu vô hướng;
- hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên
tục trên yếu vô hướng.
(2) Ứng dụng những kết quả ở (1), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một số bài
toán liên quan: Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II

và Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp.
Xuất phát từ mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án, nghiên cứu sinh đã lựa chọn tên
luận án là “Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng”.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày thành ba
chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff, của nón và các ánh xạ đa trị. Đồng thời, trong chương này, ta nhắc lại một số định
lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên,...
Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Định lý 2.1.1,
Định lý 2.1.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới
tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Định lý
2.2.1, Định lý 2.2.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên
quan tới tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô
hướng. Trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mở rộng nối định lý Ky Fan
và định lý Fan - Browder với nhau (Hệ quả 2.1.7, Hệ quả 2.1.8, ...).
Chương 3 trình bày một số ứng dụng, xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng suy
rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ quả 3.1.1), bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II (Định lý 3.2.1,
Hệ quả 3.2.2, Hệ quả 3.2.3) và bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý
3.3.2) dựa trên các kết quả có được từ Chương 2.
Nội dung cơ bản của luận án được viết dựa trên cơ sở là các bài báo trong Danh mục công
trình nghiên cứu.


5

Chương 1

Kiến thức cơ bản
Trong toán học cũng như trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, muốn giải quyết một vấn đề
nào đó, người ta thường mô hình hóa dưới dạng một bài toán. Bài toán đưa ra phải được đặt

trong không gian nhất định, nghiệm của bài toán đó cũng phải được xác định trong một không
gian nào đó. Không gian phải có những cấu trúc để đảm bảo cho bài toán có nghiệm và có thể
tính được nghiệm theo thuật toán. Do đó, trước khi nghiên cứu các bài toán được nêu trong
luận án, ta cần nhắc lại những kiến thức cơ bản về các không gian thường dùng và các khái
niệm liên quan đến các bài toán ta cần nghiên cứu.
Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản vận dụng trong việc chứng minh
các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 của luận án. Chương này gồm hai mục:
Mục 1.1 trình bày một số kiến thức liên quan đến không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff.
Mục 1.2 trình bày kiến thức cơ bản về nón, các ánh xạ đa trị và nhắc lại một số định lý về
điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục.


6

Chương 2

Bài toán tựa cân bằng tổng quát
Như trong mục Mở đầu ta đã chỉ ra rằng hầu hết các bài toán trong lý thuyết tối ưu đều
đưa được về bài toán điểm cân bằng tổng quát: Tìm x¯ ∈ D sao cho
0 ∈ F (¯
x),
với D là tập con của không gian X và F là ánh xạ đa trị từ D vào không gian Y . Bài toán hai
cấp có thể đưa về dạng: Tìm x¯ ∈ D sao cho
1) x¯ ∈ P (¯
x);
2) 0 ∈ F (¯
x),
với P : D → 2D . Sự tồn tại nghiệm của bài toán này đã được nghiên cứu trong trường hợp P
là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact, F là ánh xạ u.s.c.

Trong chương này, ta luôn giả sử X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị P : D × K →
2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y . Xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) 0 ∈ F (x, y).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa
cân bằng tổng quát đã được nhiều tác giả nghiên cứu, đặc biệt, các tác giả T. T. T. Duong và
N. X. Tan đã nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh
xạ u.s.c và tất cả các ánh xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng và trường hợp P
là ánh xạ có lát cắt mở, Q là ánh xạ nửa liên tục dưới và F là ánh xạ nửa liên tục trên. Trong
chương này, ta xét trường hợp đặc biệt của bài toán tựa cân bằng tổng quát trên khi:
i) hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục
trên yếu vô hướng.
ii) hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên
tục trên yếu vô hướng;


7

2.1

Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát

Trong mục này, ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng dạng Blum - Oettli tổng quát. Đây chính là toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục
tiêu là tổng của hai ánh xạ. Cụ thể, ta xét bài toán này với hàm mục tiêu F = G + H trong
các trường hợp:
1) G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X là ánh xạ nửa
liên tục trên yếu vô hướng và Y = X (xem [4] trong Danh mục công trình nghiên cứu).
2) G : D × K → 2X×Z là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X×Z là ánh

xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z.
Đầu tiên, ta xét trường hợp F = G + H với G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu
vô hướng, H : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) φ : K × D × D → R là hàm liên tục; với mọi (y, x) ∈ K × D, φ(y, x, .) : D → R là hàm
tựa lồi và φ(y, x, x) = 0.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) φ(y, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P (x, y).
Ta có định lý.
Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D×K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng; và Q : D×K → 2K
là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
iv) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);


8

2) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y).
Hệ quả 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), ∅ = (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩ TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) x ∈ G(x, y) + H(x, y).
Hệ quả 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, đóng;
vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈
/ G(x, y) + H(x, y) và ∅ = (G(x, y) − x) + (H(x, y) ∩
TP (x,y) (x)) ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) G(x, y) + H(x, y) = ∅.
Hệ quả 2.1.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập con khác rỗng, lồi, compact;
ii) G0 : D → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
iii) H0 : D → 2X là các ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) (G0 (x) − x) + (H0 (x) ∩ TD (x)) ⊂ TD (x), với mọi x ∈ D.
Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ G0 (x) + H0 (x).


9

Cho đến nay, đã có rất nhiều nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng

tổng quát. Nhưng trong các kết quả đã công bố, có rất ít kết quả liên quan đến tính nửa liên
tục dưới của hàm mục tiêu của bài toán này. Dựa trên Định lý 2.1.1, ta thu được một kết quả
quan trọng về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục tiêu là ánh
xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng. Đó chính là trường hợp riêng của bài toán tựa cân bằng
Blum - Oettli tổng quát khi H = 0. Ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) F : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F (x, y) ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) 0 ∈ F (x, y).
Hệ quả 2.1.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng;
v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), G(x, y) = ∅, G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) x ∈ G(x, y).
Hệ quả 2.1.6. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng;

10

v) Với mỗi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈
/ G(x, y) và G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) G(x, y) = ∅.
Hệ quả 2.1.7. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) F : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng và với (x, y) ∈ D × K, y ∈ Q(x, y) nào đó,
F (x, y) = ∅;
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) y ∈ Q(x, y);
2) x ∈ F (x, y).
Hệ quả 2.1.8. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X. Giả
sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) F : D → 2D là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng.
Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ F (x).
Chú ý 2.1.1. Ta thấy, Hệ quả 2.1.8 chính là sự mở rộng định lý điểm bất động của X. Wu.
Trong kết quả này, ánh xạ F đã bỏ được điều kiện lồi, đóng và chỉ cần thỏa mãn là ánh xạ l.s.c
yếu vô hướng. Hệ quả này cũng mở rộng định lý điểm bất động của Fan - Browder.
Tiếp theo, ta xét trường hợp bài toán tựa cân bằng tổng quát có hàm mục tiêu dạng
F = G+H với G : D×K → 2X×Z là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D×K → 2X×Z
là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z.
Bổ đề 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D và Q : D × K → 2K là các ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng;
iii) Tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} là đóng;

iv) φ : K × K × D × D → R là hàm u.s.c thỏa mãn với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
φ(y, ., x, .) : K × D → R là hàm lồi;
v) φ(y, y, x, x) = 0, với mọi (y, x) ∈ K × D .


11

Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1. (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2. φ(y, z, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P (x, y), z ∈ Q(x, y).
Ta có định lý.
Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K là các ánh xạ đa trị l.s.c với giá trị khác rỗng và tập
B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} là đóng;
iii) G : D × K → 2X×Z là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
iv) H : D × K → 2X×Z là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
v) Với mọi (x, y) ∈ B,
∅ = G(x, y) + (H(x, y) ∩ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y)) ⊂ TP (x,y)×Q(x,y) (x, y).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y).
Tương tự các hệ quả của Định lý 2.1.1, ta có các hệ quả của Định lý 2.1.2.

2.2

Bài toán với hàm mục tiêu là tích Đề các của hai ánh xạ

Trong mục này, ta xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục
tiêu có dạng tích Đề các của hai ánh xạ: F = G × H trong các trường hợp:

1. G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2X là ánh xạ
nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × X.
2. G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2Z là ánh xạ
nửa liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z (xem [3] trong Danh mục các công trình
nghiên cứu).
Đầu tiên, ta xét trường hợp F = G × H với G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu
vô hướng và H : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng Y = X × X.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;


12

ii) P : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) φ : K × K × D × D → R là hàm u.s.c thỏa mãn với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
φ(y, ., x, .) : K × D → R là hàm lồi;
v) φ(y, y, x, x) = 0, với mọi (y, x) ∈ K × D .
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) φ(y, z, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P (x, y), z ∈ Q(x, y).
Ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), G(x, y) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) ∩ TP (x,y) (y)) = ∅.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho

1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) 0 ∈ G(x, y) × H(x, y).
Hệ quả 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
v) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
vi) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y),
(G(x, y) − x) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) − x) ∩ TP (x,y) (y)) = ∅.


13

Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
(x, y) ∈ (P (x, y) × Q(x, y)) ∩ (G(x, y) × H(x, y)).
Hệ quả 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng;
v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈
/ G(x, y) và G(x, y) − x ⊂ TP (x,y) (x).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) G(x, y) = ∅.
Hệ quả 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;

iv) H : D × K → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị lồi, compact;
v) Với mọi (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), x ∈
/ H(x, y) và (H(x, y) − x) ∩ TP (x,y) (x) = ∅.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) H(x, y) = ∅.
Hệ quả 2.2.4. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn.
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) Q : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng giá trị khác rỗng và H(x, y) − x ⊆ TD (x),
với mọi x ∈ D, y ∈ Q(x, y).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho (x, y) ∈ H(x, y) × Q(x, y).
Hệ quả 2.2.5. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;


14

ii) P : D → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) G : D → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng sao cho G(x) ⊂ TP (x) (x),
với mọi x ∈ P (x).
Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ G(x) ∩ P (x).
Hệ quả 2.2.6. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) H : D → 2X là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng và H(x) ⊂
TP (x) (x), với mọi x ∈ P (x).
Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ H(x) ∩ P (x).
Tương tự, ta xét bài toán tựa cân bằng tổng quát khi hàm mục tiêu có dạng F = G × H
với G : D × K → 2X là ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng, H : D × K → 2Z là ánh xạ nửa

liên tục trên yếu vô hướng và Y = X × Z. Trong trường hợp này, P chỉ cần là ánh xạ l.s.c, còn
Q là ánh xạ l.s.c.
Định lý 2.2.2. Ta giả sử:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng;
iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng và tập B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈
P (x, y), y ∈ Q(x, y)} là đóng;
iv) G : D × K → 2X là ánh xạ l.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng;
v) H : D × K → 2Z là ánh xạ u.s.c yếu vô hướng với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
vi) Với mọi (x, y) ∈ B, G(x, y) ⊂ TP (x,y) (x), (H(x, y) ∩ TQ(x,y) (y)) = ∅.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho:
1) (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y);
2) 0 ∈ G(x, y) × H(x, y).
Các hệ quả của Định lý 2.2.2 hoàn toàn tương tự với các hệ quả của Định lý 2.2.1.


15

Chương 3

Các bài toán liên quan
Trong chương này, ta trình bày một số bài toán liên quan tới bài toán tựa cân bằng tổng
quát. Đồng thời, ta sẽ thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán liên quan
qua việc áp dụng các kết quả có được ở Chương 2.

3.1
3.1.1

Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I
Đặt bài toán

Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là
các tập khác rỗng. Các ánh xạ đa trị S : D×D → 2D , T : D×K → 2K và F1 : K ×D×D×D →
2Y . Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y);
2) 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y).
Đây là bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, viết tắt là (GEP)I . Các ánh xạ S, T được gọi là
ánh xạ ràng buộc, F1 được gọi là hàm mục tiêu. Ánh xạ S, T có thể là các đẳng thức, bất đẳng
thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị.
Bài toán (GEP)I là dạng tương đương của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Thật vậy, ta
định nghĩa ánh xạ F : D × K → 2X :
F (x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), ∀t ∈ S(x, y)}
Nếu có (x, y) thỏa mãn 1), 2) và x ∈ F (x, y) thì 0 ∈ x − F (x, y).
Đặt F (x, y) = x − F (x, y).
Khi đó, dễ thấy nghiệm của bài toán (GEP)I là nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng
quát và ngược lại.


16

3.1.2

Định lý tồn tại nghiệm

Trong kết quả nghiên cứu của mình, các tác giả N. X. Tan và T. T. T. Duong đã sử dụng
Định lý điểm bất động S. Park hay Bổ đề KKM để đưa ra sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa
cân bằng suy rộng loại I.
Trong mục này, ta sẽ vận dụng các kết quả mới thu được ở chương 2 để xét một số điều kiện
đủ cho sự tồn tại nghiệm cho bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I.
Ta luôn giả thiết X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff,

D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập khác rỗng. Các ánh xạ S, T và F1 được định nghĩa như ở Mục 3.1.1.
Khi đó, áp dụng Hệ quả 2.1.1, ta có định lý sau:
Định lý 3.1.1. Bài toán (GEP)I có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) T : D × K → 2K là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng;
v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)}
là tập khác rỗng.
Trong phần tiếp theo, ta áp dụng Hệ quả 2.1.1 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài
toán (GEP)I . Trước hết, ta có bổ đề.
Bổ đề 3.1.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng;
iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, đóng;
iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng;
v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)}
là tập lồi, khác rỗng.
Khi đó, ánh xạ H : D × K → 2D :
H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)}
là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng trên D × K.


17

Định lý 3.1.2. Bài toán (GEP )I có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị khác rỗng, đóng;

iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, đóng;
iv) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng;
v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)}
là tập khác rỗng, lồi.

3.2

Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II

3.2.1

Đặt bài toán

Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, các ánh xạ đa trị
P1 : D → 2D , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2K và F : K × D × D → 2Y . Bài toán: Tìm x ∈ D
sao cho
1) x ∈ P1 (x);
2) 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, t).
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II và được ký hiệu bởi (GEP)II .
Các ánh xạ P1 , P2 , Q được gọi là ánh xạ ràng buộc và F được gọi là hàm mục tiêu.
Mở rộng điều kiện ràng buộc của bài toán (GEP)II ở trên với các ánh xạ S, P0 : D × K →
2D , T : D × K → 2K , Q0 : K × D × D → 2K và F2 : K × K × D × D → 2Y . Khi đó, ta có bài
toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y);
2) 0 ∈ F2 (y, v, x, t), với mọi t ∈ P0 (x, y) và v ∈ Q0 (y, x, t).
Bài toán này được gọi là bài toán (GEP)II tổng quát.
Bài toán (GEP)II tổng quát và bài toán tựa cân bằng tổng quát là hai bài toán tương đương.
Thật vậy, ta định nghĩa ánh xạ H : D × K → 2X :
H(x, y) = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F2 (y, v, x, t), ∀t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (y, x, t)}.

Nếu có (x, y) thỏa mãn 1), 2) và x ∈ H(x, y) thì 0 ∈ x − H(x, y).
Đặt F (x, y) = x − H(x, y).
Khi đó, ta thấy nghiệm của bài toán (GEP)II tổng quát là nghiệm của bài toán tựa cân
bằng tổng quát và ngược lại.


18

3.2.2

Định lý tồn tại nghiệm

Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II đã được các tác giả T. T. T. Duong, N. X. Tan, N.
T. Q. Anh, ... nghiên cứu. Trong mục này ta sẽ đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của
bài toán, (GEP)II dựa trên các kết quả mới ở Chương 2. Trước hết, áp dụng định lý và các hệ
quả về điểm bất động của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới ánh xạ l.s.c yếu vô
hướng, ta có định lý:
Định lý 3.2.1. Bài toán (GEP)II có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) P1 : D → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với mỗi tập các điểm bất động
B = {x ∈ X|x ∈ P1 (x});
iii) Ánh xạ P2 : D → 2D có giá trị khác rỗng và có nghịch ảnh mở và P2 (x) ⊆ P1 (x) với mỗi
x ∈ D;
iv) Với mỗi t ∈ D cố định,
A = {x ∈ D|0 ∈
/ F (y, x, t), với y ∈ Q(x, t) nào đó}
là tập mở trong D;
v) 0 ∈ F (y, x, x), với mọi (x, y) ∈ D × K.
Hệ quả 3.2.1. Bài toán (GEP)II có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;

ii) P1 : D → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng mỗi tập các điểm bất động
B = {x ∈ X|x ∈ P1 (x});
iii) Ánh xạ P2 : D → 2D có giá trị khác rỗng và có nghịch ảnh mở, P2 (x)) ⊆ P1 (x) với mỗi
x ∈ D;
iv) Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ Q(., t) : D → 2D là l.s.c và F (., ., t) : D × K → 2X là ánh
xạ đóng;
v) 0 ∈ F (y, x, x), với mọi (x, y) ∈ D × K.
Tiếp theo, ta xét điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (GEP)II tổng quát, trước
hết ta có bổ đề:
Bổ đề 3.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập các điểm bất động
B = {(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)};


19

iii) P0 : D × K → 2D là ánh xạ có nghịch ảnh mở và co(P0 (x, y)) ⊂ S(x, y) với mỗi (x, y) ∈
D × K;
iv) Với mỗi t ∈ D cố định,
A = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) nào đó}
là tập mở trong D.
Khi đó, ánh xạ G : D × K → 2D được xác định bởi
G(x, y) = {t ∈ P0 (x, y)|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) nào đó},
(x, y) ∈ D × K, là l.s.c trên D × K.
Giả sử với mỗi (x, y) ∈ D × K cố định, ánh xạ đa trị Q0 (x, ., t) : D → 2K là l.s.c và ánh xạ
đa trị F2 (., ., ., t) : K × K × D → 2Y là ánh xạ đóng. Ta có:
Bổ đề 3.2.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với mỗi tập cố định B =
{(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)};
iii) P0 : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở và co(P0 (x, y)) ⊆ S(x, y) với mỗi
(x, y) ∈ D × K;
iv) Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q0 (., t, .) : D × K → 2K là l.s.c và ánh xạ đa trị
F2 (., ., ., t) : K × K × D → 2Y là ánh xạ đóng.
Khi đó, ánh xạ G : D × K → 2D :
G(x, y) = {t ∈ P0 (x, y)|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) nào đó},
(x, y) ∈ D × K,, là l.s.c trên D × K.
Định lý 3.2.2. Bài toán (GEP )II tổng quát có nghiệm nếu:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với tập cố định B = {(x, y) ∈
D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)};
iii) Ánh xạ P0 : D×K → 2D có nghịch ảnh mở và co(P0 (x, y)) ⊂ S(x, y) với mỗi (x, y) ∈ D×K;
iv) Với mỗi t ∈ D cố định,
A = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) nào đó}
là tập mở trong D;


20

v) Với mọi y ∈ K, v ∈ Q0 (x, x, y), 0 ∈ F2 (y, v, x, x).
Định lý 3.2.3. Bài toán (GEP )II tổng quát có nghiệm nếu:
i) D là tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, đóng với mỗi tập cố định B =
{(x, y) ∈ D × K|x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y)};
iii) P0 : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở và co(P0 (x, y)) ⊆ S(x, y) với mọi

(x, y) ∈ D × K;
iv) Với mỗi t ∈ D cố định, ánh xạ đa trị Q0 (., t, .) : D × K → 2K là l.s.c và ánh xạ đa trị
F2 (., ., ., t) : K × K × D → 2Y là ánh xạ đóng;
v) Với mọi y ∈ K, v ∈ Q0 (x, x, y), 0 ∈ F2 (y, v, x, x).

3.3
3.3.1

Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp
Đặt bài toán

Giả sử X, Y, Y1 , Y2 , Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊂
X, K ⊂ Z là các tập khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S : D × D → 2D , T : D × K → 2K , P :
D → 2D , Q : K × D → 2K và F1 : K × D × D × D → 2Y1 , F : K × D × D → 2Y2 . Bài toán:
Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y);
2) 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y);
3) 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P (x) và y ∈ Q(x, t).
Bài toán này chính là sự kết hợp của bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I và bài toán tựa cân
bằng suy rộng loại II và nó được gọi là bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp, ký hiệu bởi
(M GQEP ), với S, T, P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F1 , F là các hàm mục tiêu.
Ngoài ra, khi kết hợp bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I và bài toán tựa cân bằng suy
rộng loại II tổng quát ta được bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) x ∈ S(x, y);
2) y ∈ T (x, y);
3) 0 ∈ F1 (y, x, v, x), với mọi v ∈ T (x, y);
4) 0 ∈ F2 (y, v, x, t), với mọi t ∈ P0 (x, y) và v ∈ Q0 (y, x, t),
trong đó, các ánh xạ đa trị S : D × D → 2D , T : D × K → 2K , P0 : D × K → 2D , Q0 :
K × D × D → 2K và F1 : K × D × D × D → 2Y1 , F2 : K × K × D × D → 2Y2 .
Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp tổng quát, với S, T, P0 , Q0

được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F1 , F2 là các hàm mục tiêu.


21

3.3.2

Định lý tồn tại nghiệm

Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp đã được
các tác giả T. T. T. Duong và N. X. Tan chứng minh dựa trên một bổ đề của các tác giả P. H.
Sách và L. A. Tuấn. Trong mục này, ta sẽ vận dụng kết quả mới có được ở chương 2 để đưa ra
một số kết quả mới về điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng suy rộng
hỗn hợp tổng quát.
Định lý 3.3.1. Bài toán (M GQEP ) tổng quát có nghiệm nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ l.s.c với giá trị khác rỗng, lồi;
iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) P0 : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng và có nghịch ảnh là tập mở; đồng
thời, với mỗi (x, y) ∈ D × K, coP0 (x, y) ⊆ S(x, y);
v) A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là tập đóng;
vi) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)}
là tập khác rỗng, lồi;
vii) Với mỗi t ∈ D cố định,
A1 = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (y, x, t) nào đó}
là tập mở trong D.
viii) Với mỗi y, v ∈ K cố định, 0 ∈ F2 (y, v, x, x), với mọi x ∈ D.

Hệ quả 3.3.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D , T : D × K → 2K là các ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi;
iii) ψ : K × K × D × D → R là hàm số thực thỏa mãn:
a) Với mỗi t ∈ D cố định, hàm ψ(., ., ., t) : K × K × D → R là u.s.c;
b) ψ(y, v, x, x) ≥ 0, với mọi y, v ∈ K, x ∈ D.
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y) và
ψ(y, v, x, t) ≥ 0, với mọi (t, v) ∈ S(x, y) × T (x, y).


22

Áp dụng Hệ quả 2.1.8, ta đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng suy rộng hỗn hợp tổng quát.
Định lý 3.3.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;
ii) S : D × K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|0 ∈ F1 (y, x, z, t)} là đóng;
v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
B = {z ∈ S(x, y)|0 ∈ F1 (y, x, z, t), với mọi t ∈ S(x, y)}
là tập khác rỗng, lồi;
vi) P0 : D × K → 2D là ánh xạ có nghịch ảnh mở và với mỗi (x, y) ∈ P0 (x, y) × T (x, y) ta có
0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y);
vii) Q0 : D × D × K → 2K , F2 : K × K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị thỏa mãn với mỗi
t ∈ D cố định,
C = {(x, y) ∈ D × K|0 ∈
/ F2 (y, v, x, t), với v ∈ Q0 (x, t, y) nào đó}
là tập mở trong D;
viii) 0 ∈ F2 (y, v, x, x), với mọi (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y), v ∈ Q0 (x, x, y).

Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y);
2) 0 ∈ F1 (y, x, x, t), với mọi t ∈ S(x, y);
3) 0 ∈ F2 (y, v, x, t), với mọi t ∈ P0 (x, y), v ∈ Q0 (x, t, y).
Nhận xét 3.3.1. Từ Định lý 3.3.2, ta thấy nghiệm của bài toán (GEP )II tổng quát được xác
định trên tập nghiệm của bài toán (GEP )I .
Trong trường hợp vô hướng, xét các ánh xạ φ1 : K ×D×D×D → R, φ2 : K ×K ×D×D → R.
Ta có hệ quả:
Hệ quả 3.3.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) D, K là các tập khác rỗng, lồi, compact;


23

ii) S : D × K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iii) T : D × K → 2K là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, đóng;
iv) Tập A = {(y, x, z, t) ∈ K × D × D × D|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0} là đóng;
v) Với mỗi (y, x) ∈ K × D cố định,
B = {z ∈ S(x, y)|φ1 (y, x, z, t) ≤ 0, với mọi t ∈ T (x, t)}
là tập khác rỗng, đóng;
vi) P0 : D × K → 2D là ánh xạ đa trị có nghịch ảnh mở và với mỗi (x, y) ∈ P0 (x, y) × T (x, y),
φ1 (y, x, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ S(x, y);
vii) Q0 : D × D × K → 2K , φ2 : K × K × D × D → 2Y là các ánh xạ đa trị thỏa mãn với mỗi
t ∈ D cố định,
C = {(x, y) ∈ D × K|φ2 (y, v, x, t) < 0, với v ∈ Q0 (x, t, y) nào đó}
là tập mở trong D;
viii) φ2 (y, v, x, x) ≥ 0, với mọi (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y), v ∈ Q0 (x, x, y).
Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D × K sao cho
1) (x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y);
2) φ1 (y, x, x, t) ≤ 0, với mọi t ∈ S(x, y);

3) φ2 (y, v, x, t) ≥ 0, với mọi t ∈ P0 (x, y) và v ∈ Q0 (x, t, y).
Chú ý sau cho ta thấy rõ hơn sự mở rộng kết quả của Ky Fan và kết quả của Minty của Hệ
quả 3.3.3.
Chú ý 3.3.1. 1) Trong trường hợp φ1 là ánh xạ l.s.c và với mỗi điểm (y, x, t) ∈ K × D × D
cố định, φ1 (y, x, ., t) : D → R là hàm tựa lồi thì điều kiện v) và vi) được thỏa mãn.
2) Trong trường hợp Q0 : D × D × K → 2K là ánh xạ l.s.c, và φ2 : K × K × D × D → 2Y là
hàm thỏa mãn với mỗi t ∈ D cố định, hàm φ2 (., ., ., t) : K × D × D → R là u.s.c, thì điều
kiện vii) được thỏa mãn.