✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
◆●❯❨➍◆ ❙❖◆● ❍⑨
❳❻P ❳➓ ◆●❍■➏▼ ❈❍❖ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❇■➌◆ P❍❹◆
❱❰■ ❍➴ ❱➷ ❍❸◆ ❈⑩❈ ⑩◆❍ ❳❸ ❑❍➷◆● ●■❶◆
◆❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✾✹✻✵✶✵✷
❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✽
❈æ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐✿
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✶✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✸✿ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
▲✉➟♥ →♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✈➺ tr÷î❝ ❍ë✐ ✤ç♥❣ ❝❤➜♠ ❧✉➟♥ →♥ ❝➜♣ ❚r÷í♥❣ ❤å♣ t↕✐✿
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳
❱➔♦ ❤ç✐ ✳✳✳✳✳✳ ❣✐í ✳✳✳✳✳✳ ♥❣➔② ✳✳✳✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧✉➟♥ →♥ t↕✐ t❤÷ ✈✐➺♥✿
✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❱✐➺t ◆❛♠
✲ ❚r✉♥❣ t➙♠ ❤å❝ ❧✐➺✉ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥
✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥
1
t t tự ữủ t ỳ ừ t
t ợ ỳ ự ừ s t ở sỹ s
t rt t ứ õ t
tự ổ ởt ừ ự t tớ sỹ t út ữủ sỹ q
t ừ ồ tr ữợ t ữ t ỹ tr
t t ở t t ũ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ
t õ ừ ữỡ tr r . . . õ t q ổ
t t tự ữợ tt t ủ t t
ởt ổ ử tố t tr ự ổ t tt
ự ử tỹ t
é t t ữớ t ồ õ ỳ
õ õ q trồ t õ t ữ õ ự ừ
P ý P t P ố
P t ử ử t
ụ ữ ữ t P ỳ
P t t
ổ t
ữớ ữớ t P P ồ P
t P t
P ừ ừ t . . . õ t
tự ởt số t q ụ t ự
ừ t t s ự s tr ữợ
ổ t t tự ờ õ
x C s F (x), x x 0, x C,
tr õ C t ỗ õ rộ ừ ổ rt H F : H H
tr H
r trữớ ủ t C ừ t ữủ ữợ t t
ở ừ ởt ồ ỳ ổ ổ t t õ
ợ t tỹ t ữ t ổ ử t t ố
tổ st ữủ tố tổ tt ỷ
t t
õ t ự ử t t tự tỹ t ỏ ọ
õ ỳ ữỡ số q t õ ởt tr ỳ
ữợ ự q trồ ữủ sỹ q t ừ t ồ
tr ữợ õ t ữỡ ợ t ừ t
t q ừ ữỡ õ ữớ t
tt ữủ tt t tự ỹ tr ữỡ
ừ st P ữỡ ừ rtt
r ỵ t ử ừ ữỡ
rr rr ữỡ
ừ ts ữỡ
q t r tt t ỹ tr ởt số tt t
t ở ữ ữỡ rsss rsss
ữỡ r ữỡ
Pữỡ t ữỡ rt
st r ữủ ổ t ữ s
x C,
0
xk+1 = PC (I F )(xk ),
k = 0, 1, 2, . . .
tr õ PC tr tứ H C I ỡ tr H ởt
số ữỡ ố Pữỡ õ trú ỡ ử tr
ỳ t ố ử t t t Pữỡ sỹ t ủ ỳ sỷ
ử trỹ t õ ừ PC ữỡ ữớ ố t
ớ õ ỳ t ở tr tt t ở ừ ổ
t ữỡ ữớ ố t ữủ ở sỹ
t t ữ ởt t ừ ữỡ ữớ ố t t
ỹ t ừ ởt ỗ tr t t ở ừ ổ
ừ ữỡ ũ õ ừ ổ t
t t ở ừ õ t r ở ừ t t tr
t tỹ t t ỷ t st ữủ
tố tổ ố tổ
. . . õ t ữ t t ừ t tự
tr t t ở ừ ởt ởt ồ ổ ỡ ỳ ú t
t r ồ t ỗ õ õ t ữợ ữủ ừ
ỷ ổ õ ữủ ừ t t ở ổ
t tỷ ỳ ỷ ổ t t t ừ t
tự tr ởt t ỗ õ õ t q t t
tự tr t t ở ừ ởt ồ ổ
õ ởt t r ữỡ t t
tự ữ t ú t õ ừ ổ
Ti i I ợ I t số õ t t tứ ỵ tữ
ỹ ữỡ ữớ ố t ữỡ ở tử
ởt t tr t t ở ừ ồ ỳ ổ
ỗ tớ tọ ừ t t tự
ử t C := (T ) t t ở ừ ởt ổ
tt ữủ ở tử s
F : H H tử Lst ỡ
T : H H ổ tr H ợ (T ) =
k (0, 1] tọ
k
lim k = 0,
k = ,
k=1
tr H
sỷ (0, 2/L2)
lim (k k+1 )2
k+1 = 0
k
õ ợ tũ ỵ x0 H
xk+1 = T (xk ) k+1 F (T (xk )),
k = 0, 1, 2, . . .
ở tử tợ t x ừ t
r trữớ ủ C t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ
Ti : H H (i = 1, 2, 3, ..., N ) ỏ t
ữủ ỹ õ
xk+1 = T[k+1] (xk ) k+1 F (T[k+1] (xk )), k = 0, 1, 2, . . .
[k] := k N tr tr t {1, 2, 3, . . . , N }
tử Lst ỡ tr H
N
Ti : H H ồ ỳ ổ tr H ợ C :=
(Ti) =
F : H H
i=1
C = (T1 T2 . . . TN ) = (T2 T3 . . . TN T1 ) = ã ã ã = (TN T1 . . . TN 1 ).
sỷ (0, 2/L2)
k (0, 1] tọ
k
lim k = 0,
k = ,
|k k+N | < .
k=1
k=1
õ ợ tũ ỵ x0 H ở tử tợ t
x ừ t
ứ õ õ ổ tr ự rở t ữỡ
ừ t ữợ t ữợ
t t số t t ọ
tt t tr t t ở ừ ổ Ti
ữớ t t t tr trữớ ủ tờ qt ỡ ợ C
t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ
ữợ ởt số ữỡ ữủ tt t tổ
q ũ Wk t t t
Wk õ trú ự t r t q õ tr ữủ tt tr
ổ rt H ộ ữợ ữủ tỹ ỏ
õ ữỡ t tỹ ởt ữợ ự rở tứ ổ
rt H tợ ợ ổ E t t
ữớ t ờ t tr õ ữỡ
ởt ợ t t tự tr ổ
ừ ữớ ở sỹ ữỡ sỷ ử Sk õ
trú ỡ õ t t t s s ữủ
õ t r ỹ ữỡ t tự
tr ổ ởt ữủ s ởt tỹ tt
ú t t ỵ tt t q trồ ỳ
t tr ú tổ ỹ ồ t ự
t tự ợ ồ ổ ổ
ử ừ ự t ữỡ
ởt ợ t t tự ử t ợ t õ
t t tự tr t t ở ừ ởt ồ ổ
ữủ ổ tr ổ tỹ ỗ t õ
t qt s
ỹ ữỡ ợ t
ự tổ q t sỷ ử ợ Sk , Sk S k ỗ tớ tt
ử ồ ử t tữỡ q ợ ởt số ữỡ õ
ử ữỡ ợ ởt ợ t t t ở ừ ởt
ồ ổ ữủ ổ
ử ữỡ ợ ởt ợ t ổ ừ
ởt ồ ổ ữủ j ỡ ỹ
ỗ ữỡ t t t ữỡ
ợ t sỡ ữủ ởt số q trú ồ ừ ổ
ợ t ự ởt số ờ sỷ ử ự
t q ự t ữủ ữỡ s ừ ữỡ tr
t q ự ợ ừ ú tổ tr ữỡ
ởt t tỹ t q ũ ử ử t ồ
5
ữỡ
ởt số tự
ởt ợ t t tự
ổ t
E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1
sỷ {Ti} ồ ổ ữủ ổ tr E ợ C := (Ti) =
i=1
ợ t t tự P (F, C) ữủ t ữ s
x C s F (x), j(x x) 0, x C,
tr õ j ố t ừ E x C tọ ữủ ồ
ừ t P(F, C)
Pữỡ ữớ ố t
r ú tổ s tr tt ởt số ự rở
ữỡ ữớ ố t t t tự
õ
C t t ở ừ ởt ồ ỳ ổ tr
ổ rt tỹ ự ữủ t q tữỡ tỹ
t t tữỡ ự
k
lim k /k+1 = 1 lim k /k+N = 1.
k
õ t t r ỡ tỹ sỹ ỡ ỳ t
õ t ỹ ồ ợ t số t {1/k} tr õ ổ tọ t
ổ õ r r s r ợ
lim k /k+N tỗ t ở sỹ t ữỡ ỏ
k
ợ t số k+1 ổ số ố ữ tr t
t số ụ ữủ sỹ ở tử
xk+1 = T[k+1] (xk ) k+1 k+1 F (T[k+1] (xk )),
k = 0, 1, 2, ...
tử Lst ỡ tr H
N
Ti : H H ồ ỳ ổ tr H ợ C :=
(Ti) =
F : H H
i=1
C = (T1 T2 . . . TN ) = (T2 T3 . . . TN T1 ) = ã ã ã = (TN T1 . . . TN 1 ).
sỷ k (0, 2/L2) ợ ồ k N s
k (0, 1) tọ
|k /L2| 2 aL2/L2 ợ t t ởt a (0, 2/L2),
k
lim (k+N (k /k+N )k ) = 0.
õ ợ tũ ỵ x0 H
lim sup T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk+N , T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk 0
k
t ở tử tợ t x ừ t
ó r k = ợ ồ k 1 (0, 2/L2) t t õ t tt
tọ t tr tr ữủ ỡ ỳ ở
sỹ ụ r r ừ {xk }
ỗ tớ ữợ ữủ tọ
lim sup T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk+N , T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) xk 0.
k
t sỹ ủ t t t số
s ợ t q ữủ
t ự r C = t
N
C :=
(Ti) = (T1T2 . . . TN )
i=1
ừ tọ t t tr t t ở ừ
ổ Ti ọ tt
ữớ ũ ữỡ ỹ
xk+1 = (1 k0 )xk + k0 (I k F )Vk (xk ), k = 0, 1, 2, ...
tr õ Vk = TNk TNk 1 ã ã ã T1k Tik = (1 ki )I + ki Ti ợ i = 1, 2, . . . , N t
ự ữủ t q s
tử Lst ỡ tr H
N
Ti : H H ồ ỳ ổ tr H ợ C :=
(Ti) = sỷ
i=1
(0, 2/L2 ) số ữỡ ố k (0, 1) tọ
ỗ tớ tt r ki (, ) ợ i = 0, 1, 2, . . . , N tr õ , (0, 1)
i
lim |k+1
ki | = 0 ợ i = 1, 2, 3, . . . , N. õ ợ tũ ỵ x0 H
k
ở tử tợ t x ừ t
F : H H
õ t t ởt tr ỳ tữỡ tỹ sỹ ở tử ừ ữỡ
tt t số ử tở số ỡ
số st L r tỹ t t t r L ổ
ởt ổ ỗ tớ t t r ữủ tỹ
ỏ ữỡ t tỹ
ự rở trữớ ủ C t t ở ừ ởt ồ ổ
ữủ ổ Ti : H H sỷ ử Wk
t s ỹ õ
xk+1 = (I k F )Wk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .
x1 tũ ỵ tở H k (0, 1] > 0 t số
F : H H tử Lst ỡ tr H {Ti}
ồ ổ ổ tr H ợ C := Fix(Ti) = sỷ {k }
i=1
số tỹ tọ 0 < a k b < 1 k = 1, 2, 3, . . . ợ a, b (0, 1) õ
s
(0, 2/L2)
k tọ
t ở tử tợ t x ừ t
Pữỡ sỷ ử Wk t ủ ợ ữỡ ữớ ố t
rở t q ừ ồ ổ ữủ ổ tr
ổ rt tỹ t ọ
õ Wk õ trú ự t ữỡ
ụ t tỹ
t ủ ữỡ ữớ ố t ữỡ sỷ
ử Wk ợ x1 tũ ỵ tở H ở sỹ tt ởt ữủ ỗ
ữ s
y = (I F )(x ),
k
k
k
xk+1 = (1 k )yk + k Wk (yk ),
k = 1, 2, 3, . . .
tr õ k [0, 1] k 0 t số
F : H H tử Lst ỡ tr H {Ti}
ồ ổ ổ tr H ợ C := Fix(Ti) = sỷ {k }
i=1
số tỹ tọ 0 < k b < 1 k = 1, 2, 3, . . . õ s
k [, 1/2] ợ > 0
k tọ
t ở tử tợ t x ừ t
ố ữ ữỡ t t r ữỡ ụ õ trú ự
t õ ữỡ t tỹ
ởt s ụ ữủ t q tữỡ tỹ ữ ừ ở
sỹ ữợ tt ợ t t số t q ừ t t
0 < k /L2 k k0 ợ t t ởt số k0 > 1 ỡ
tỹ sỹ r t k ỏ ọ t ợ ở ừ
t số tr k ử tở số
ỡ số st L t ờ s k F (xk ) 0
k sỹ ở tử ử tở tr F (xk ) t ộ ữợ t
ồ t {k } tọ s õ
ở sỹ ự trữớ ủ C t t ở ừ
ởt ổ tr ổ tỹ ởt q trồ
sỹ ở tử ố ợ ữỡ ợ ừ t tt t tử
t ừ ố t õ ợ ự
ử ừ ữỡ ố ợ t ữủ tt tr ổ
q trồ ổ õ t t ổ Lp[a, b] (1 < p < )
ở sỹ rở t q ừ tợ ợ ổ
qtrỡ ợ số dq , q > 1 Pữỡ õ t ử tr
ổ Lp[a, b], (1 < p < ) tt t k tữỡ tỹ ừ
ỗ tớ t số ỏ ọ ử tở số L số dq
õ t sỷ ử tt t tr t t ở ừ
ổ Ti
C t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ
tr ổ tỹ E t sỷ ử ự t Wk t õ
t sỷ ử Vk ỡ ỡ ữủ
Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 . . . T k , T i = (1 i )I + i Ti , i = 1, . . . , k
tr õ i (0, 1) i < . ữớ ở sỹ t
i=1
ự ữỡ ợ ở tử tợ t x ừ
t
xk = Vk (I k F )(xk ),
{k } {k } t số ữỡ ỹ tt
t ởt õ õ t ừ ữỡ õ tr
tỹ t t t ộ ữợ t tỹ ữợ ởt ữỡ
tr t s ởt số ỳ ữợ t s t ữủ
ợ ừ t
r ỳ ử ữủ ổ t t s s ữủ
tr t õ s tứ ử ữỡ
ữớ ở sỹ ỹ Sk tr E ữ s
xk = k (I k F )(xk ) + (1 k )Vk (xk ),
k
Sk =
i=1
si
Ti ,
sk
k
sk =
si ,
k = 1, 2, 3, . . .
i=1
tr õ si > 0 si = s < Ti : E E ổ tr E.
i=1
sỷ ử Sk t tt ữỡ
xk+1 = (1 k )xk + k Sk Fk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .
xk+1 = (1 k )Sk (xk ) + k Fk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .
Fk = I k F {k } {k } t số ữỡ ỹ ở tử ừ
ữỡ tr ữủ t tr ữợ
E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1
{Ti } ồ ổ ữủ ổ tr E ợ C :=
(Ti) = .
s
k (0, 1) tọ
k (0, 1) tọ 0 < lim
inf k lim supk < 1
k
i=1
k
t ở tử tợ t x ừ t
10
ữỡ
ữỡ ởt ợ
t t tự
Pữỡ ữớ ố t ũ Sk
ở ữỡ
Pữỡ tự t ữủ tt ỹ tr sỷ ử Sk t t tứ
x1 tũ ỵ tở E ú tổ ỹ {xk } t ữủ ỗ ữ s
xk+1 = (I k F )Sk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .
tr õ Sk ữủ
k
Sk =
(si /
sk )T i
i=1
ợ
i (0, 1) Ti ổ I ỡ tr E t
số k (0, 1) {si} tữỡ ự tọ
T i = (1 i )I + i Ti ,
k
si > 0,
sk =
si
i=1
i = 1, 2, 3, . . .
si = s < .
i=1
ỹ ở tử ừ ữỡ
E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1
{Ti} ồ ổ ổ tr E ợ C := (Ti) = sỷ
i=1
si tữỡ ự tọ {xk }
ở tử tợ t x ừ t k
t Pữỡ ũ Sk õ trú ỡ ỡ
Vk , Wk Vk õ t t t s s ữủ ỡ ỳ tứ t ừ
ró r ữỡ õ t ử ởt ợ t t t ở
ừ ởt ồ ổ ữủ ổ tr E
k (0, 1)
t trt t r ss rt qts
r rts
ởt số q
ở sỹ ữỡ ữớ ố t ừ
tt
xk+1 = (I k F )(k xk + (1 k )JrA (xk )), k 0,
ổ x ừ A ỗ tớ x ừ t ợ
x0 E tũ ỵ t t số k , k (0, 1) rk > 0
k
lim k = 0,
k =
| k+1 k |< ,
k
k=1
rk ợ ồ k N
k=0
| rk+1 rk |< ,
k=0
0 < a k b < 1 ợ ồ k N
| k+1 k |< .
k=0
t t ổ Ti t tỷ J A := (I + Ai)1
tr t ú tổ ữủ t q t ợ t tờ qt ỡ s
E F i k si ữủ tt tữỡ tỹ {Ai}
ồ ổ ỡ ỹ tr E ợ C := Zer(Ai) = ợ
i=1
tũ ỵ x1 E {xk }
i
k
xk+1 = (I k F )
i=1
si
(1 i )I + i J Ai (xk ),
sk
k 1,
ở tử tợ ổ x C x t ừ t
k
t Pữỡ ữỡ sỷ ử t số
ó r t t số {k } {k } sỹ ở tử ừ ữỡ
ỡ s ợ tt t số rk si tữỡ
ự tr t õ trỏ ổ s s ữủ
t t q t t ổ
t t f := aI ợ a (0, 1) số tỹ ố õ F := I f
j ỡ ợ số t tr E tọ + > 1 t
ợ x1 tũ ỵ tở E t F I f tr ổ tự t t õ ữủ ỗ
k
xk+1 = 1 k
k
(1
i=1
i )ik I
i ik Ti (xk ),
+
k 1,
i=1
t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ ổ tr E
tr õ k := (1 a)k ik := si/sk s q trỹ t ừ
E {Ti} i k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ a
số tỹ ố tở (0, 1) ợ tũ ỵ x1 E {xk }
ở tử tợ t ở p C k tọ
p , j(p p) 0 p C.
ứ ú ỵ t ữủ t q ữợ
E {Ai} i k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ
a số tỹ ố tở (0, 1) ợ tũ ỵ x1 E {xk }
k
k
(1
xk+1 = 1 k
i )ik I
i ik J Ai (xk ),
+
i=1
k 1,
i=1
ở tử tợ ổ p C k p tọ
ỹ ữỡ r t ổ ừ
ởt j ỡ ỹ A tr ổ trỡ E õ
xk+1 = k u + (1 k )(k xk + (1 k )JrA (xk )), k 1,
tr õ x1 E tũ ỵ u E tỷ ố k , k rk t số
sỹ ở tử ừ ữỡ tữỡ tỹ ữỡ
t t ổ ừ ởt j ỡ ỹ ổ
ữủ t t tự õ t r t
t tt t t số k k ỳ t ỡ s ợ t q
ừ ú tổ tr ụ ữ ỵ r trú ừ
ữỡ s ợ tỹ sỹ t
t t f := aI + (1 a)u ợ a (0, 1) số tỹ ố u
tỷ ố tở E õ t r F := I f ụ j ỡ
ợ số t tọ + > 1 õ ợ x1 tũ ỵ tở E t F
I f tr t õ ữỡ r
k
k
k
xk+1 = k u + 1 k
(1
i )ik I
+
i=1
i ik Ti (xk ),
k 1,
i ik J Ai (xk ),
k 1.
i=1
t Ti J A t ữủ
i
k
xk+1 = k u + 1 k
k
(1
i=1
i )ik I
+
i=1
tr õ k := (1 a)k ik := si/sk r trữớ ủ t ụ ữủ
q trỹ t ữợ ừ
E {Ti} i a k si ữủ tt tữỡ tỹ
ợ ồ u E ố {xk } ở tử tợ t ở
p C k tọ
p u, j(p p) 0 p C.
E {Ai} i a k si ữủ tt tữỡ tỹ
ợ ồ u E ố {xk } ở tử tợ ổ
p C k p tọ
Pữỡ ữớ ố t ũ Sk
ở ữỡ
Pữỡ tự ữủ tt ỹ tr sỷ ử Sk t t tứ
x1 tũ ỵ tở E ú tổ ỹ {xk } ữ s
xk+1 = (I k F )Sk (xk ), k = 1, 2, 3, . . .
Sk
1
Sk =
s0 sk
k
(si1 si )T i
i=1
tr õ T i ữủ k (0, 1) tọ
{si } số tỹ t ở tử 0 i
ỹ ở tử ừ ữỡ
E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1
{Ti} ồ ổ ổ tr E ợ C := (Ti) = sỷ
k (0, 1) tọ
ở tử 0 {xk }
ừ t k
i=1
{si} số tỹ ữỡ t
ở tử tợ t x
t Pữỡ ợ ữỡ ỡ t
số {si} sỷ ử õ tt Sk Sk ồ si = 1/(i + 1) (i =
0, 1, 2, . . . ) t õ tọ tt ừ ữỡ ữ tt ừ ữỡ
t ổ ữủ ộ si ồ si = 1/(i+1)3
i=0
r ststst t t t t s s
ss
r t
✶✹
♥➳✉ i ❝❤➤♥ ✈➔ si = 1/(i + 1)2 ♥➳✉ i ❧➫ (i = 0, 1, 2, . . . ) t❤➻ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮
✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✤↔♠ ♥❤÷♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✈➻ ♥â ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❞➣②
sè ❣✐↔♠ ♥❣➦t✳ ❱➻ t❤➳✱ ♥❣♦➔✐ ✈✐➺❝ ✤↕t ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ♠ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ❦➳t ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✤➣ ♥➯✉ tr♦♥❣ ▼ö❝ ✷✳✶✳✷ ✈➔ ▼ö❝ ✷✳✶✳✸ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❣â♣ ♣❤➛♥ ✤❛
❞↕♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ t❤➯♠ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
✷✳✷✳✸ ▼ët sè ❤➺ q✉↔
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✻✳ ❈❤♦ E ✱ F ✱ αi✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ ∞tü ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ❈❤♦ {Ai} ❧➔
❤å ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❥✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ E ✈î✐ C
si−1 − si
(1 − αi )I + αi J Ai (xk ),
s0 − sk
xk+1 = (I − λk F )
i=1
❑❤✐ ➜②✱ ✈î✐
i=1
✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k
Zer(Ai ) = ∅✳
:=
k ≥ 1,
❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ x∗ ∈ C ✈➔ x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✷✮
❦❤✐ k → ∞✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ✤➦t βik := (si−1 − si)/(s0 − sk )✱ sû ❞ö♥❣ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✈➔ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü
◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✺ ✈➔ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✻✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❞÷î✐ ✤➙② ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳ ❈❤♦ E ✱ {Ti}✱ αi✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹✳ ●✐↔ sû a ❧➔
sè t❤ü❝ ❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ (0, 1)✳ ❑❤✐ ➜②✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k
k
xk+1 = 1 − λk
(1 −
αi )βik I
αi βik Ti (xk ),
+
i=1
k ≥ 1,
i=1
❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ p∗ ∈ C ❦❤✐ k → ∞ ✈➔ p∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✶✾✮✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✽✳ ❈❤♦ E ✱ {Ai}✱ αi✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✻✳ ●✐↔ sû
a ❧➔ sè t❤ü❝ ❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ (0, 1)✳ ❑❤✐ ➜②✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝
✤à♥❤ ❜ð✐
k
xk+1 = 1 − λk
k
(1 −
αi )βik I
αi βik J Ai (xk ),
+
k ≥ 1,
i=1
i=1
❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ p∗ ∈ C ❦❤✐ k → ∞ ✈➔ p∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✶✾✮✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✾✳ ❈❤♦ E ✱ {Ti}✱ αi✱ a✱ λk ✈➔ si ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳ ❑❤✐ ➜②✱
✈î✐ ♠å✐ u ∈ E ❝è ✤à♥❤ ✈➔ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ E ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k
xk+1 = λk u + 1 − λk
k
(1 −
i=1
αi )βik I
αi βik Ti (xk ),
+
k ≥ 1,
i=1
❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ p∗ ∈ C ❦❤✐ k → ∞ ✈➔ p∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✷✹✮✳
E {Ai} i a k si ữủ tt tữỡ tỹ
ợ ồ u E ố ợ tũ ỵ x1 E {xk }
k
k
(1
xk+1 = k u + 1 k
i )ik I
i ik J Ai (xk ),
+
i=1
k 1,
i=1
ở tử tợ ổ p C k p tọ
Pữỡ ữớ ố t ũ S k
ở ữỡ
t t tứ x1 tũ ỵ tở E {xk } ữủ tt ữ s
xk+1 = (I k F )S k (xk ),
tr õ S
k
= I + (1 )T
k
ợ T
k = 1, 2, 3, . . .
k
k
(si /
sk )Ti
:= Sk =
(0, 1) ởt số tỹ ố
i=1
si ữủ sk =
k
si
k tọ
ỹ ở tử ừ ữỡ
i=1
E ổ tỹ ỗ t õ t
F : E E j ỡ ợ số t ợ + > 1
{Ti } ồ ổ ổ tr E ợ C :=
Fix(Ti ) = ởt tr
i=1
ố (0, 1) sỷ k si tữỡ ự tọ
{xk } ở tử tợ t x ừ t
k
ởt số q
E k si ữủ tt tữỡ tỹ {Ai} ồ
ổ ỡ ỹ tr E ợ C :=
Zer(Ai ) =
ợ
i=1
tũ ỵ x1 E {xk }
k
(si /
sk )J Ai (xk ),
xk+1 = (I k F ) (1 )I +
k 1,
i=1
ở tử tợ ổ x C x t ừ t
k
s r trt t r ss rt qts
t
t t
t t ở ởt ồ ổ ổ {Ti}
tr ởt t ỗ õ Q ừ E ỹ ữủ ỗ ữ s
xk+1 = k u + (1 k ) (1 )I +
tr
õ
k 1,
i=1
tũ ỵ {si} số tỹ ữỡ tọ
si = s < 1 k [0, 1] tọ
i=1
t ổ ừ ởt ồ j ỡ ỹ
Ai : E E t tt t
u Q
ố
(si /
s)Ti (xk ),
x1 Q
i,k (1 )I + J Ai (xk ),
xk+1 = k u +
k 1,
i=1
i,k = 1 k 0 < 1 2 < 1 t số k i,k tữỡ
i=1
ự tọ
|i,k+1 i,k | = 0,
lim
k
i=1
i,k (1 )xk + J Ai xk xk /k = 0.
lim
k
i=1
t ó r ữợ q t t t t ộ ỏ ộ
t tỷ tr tt t t ú t ổ õ tổ
t t tờ ộ t tt ừ ữỡ õ ổ t
ử t t q tr õ t õ õ t tr t t tr
t ữ ởt tỹ t r ú t õ t t t tờ
ổ tr ữỡ tờ r tữỡ ự ổ
ỳ ở tr t t ử ỳ õ
t tr ớ ọ tr
t sỷ ử tữỡ tỹ ữ t
t ợ x1 tũ ỵ tở E t ụ ữủ ữợ
xk+1 = 1 k I + (1 )T k (xk ), k 1,
k
ik J Ai (xk ), k 1.
xk+1 = 1 k I + (1 )
i=1
tr õ k = (1 a)k s q trỹ t ừ
E {Ti} k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ a
số tỹ ố tở (0, 1) {xk } ở tử tợ
t ở p C k p tọ
E {Ai} k si ữủ tt tữỡ tỹ sỷ
số tỹ ố tở (0, 1) {xk } ở tử tợ
ổ p C k p tọ
t Pữỡ q trỹ t ừ õ t ữủ ởt
số ữủt trở
trú ữỡ ỡ ỡ õ ữỡ
số t t ộ ữợ t õ t tớ
t t ỡ tr t t ử tr ử ừ ữỡ
tt t sỷ ử tờ r ừ ộ ỡ
ỡ t ỡ õ t t t tr t r õ ố ợ t
q ừ ổ tỹ ữủ
t r trữớ ủ Ti ổ tr ởt t ỗ
õ Q ừ E t Ti : Q Q tử 1st Q ự tỷ ố
ừ E t xk+1 Q õ ú tr trữớ ủ t
Q ổ ự tỷ ố ừ E t t t f := aI + (1 a)u ợ u Q tỷ ố
õ t
t ữủ ữỡ r
a
x E,
1
xk+1 = u + 1 I + (1 )T k (xk ),
k
k
k 1.
õ t q tờ qt ỡ ừ ữợ
E a k si ữủ tt tữỡ tỹ {Ti} ồ
ổ ổ tr ởt t ỗ õ Q ừ E ợ C := Fix(Ti) =
i=1
tr õ Fix(Ti) := {x Q : x = Ti(x)} {xk } ở tử
tợ t ở p C k p tọ
ợ tữỡ tỹ ữ tr t tr ú tổ ụ ữủ ữỡ
ợ ởt ừ ữỡ r t ổ ừ ởt
ồ j ỡ ỹ
E a k si ữủ tt tữỡ tỹ
Ai : Q E ồ ổ j ỡ ỹ tr ởt t ỗ õ Q ừ
E ợ C :=
Zer(Ai ) = ợ ồ u Q ố x1 tũ ỵ tở E {xk }
i=1
k
xk+1 = k u + 1 k
I + (1 )
i=1
si A i
J
(xk ), k 1,
sk
ở tử tợ ổ p C k p tọ
ữỡ
ởt t tỹ t t q t t số
18
t ố tổ
t ởt ỗ S = {1, 2, ..., S} t ỗ
= {1, 2, ..., L} t t tr ợ ộ t l L
õ ữủ
L
cl > 0 tt r ộ ởt ỗ õ t ũ ữớ Ps t
ữớ ữủ sỷ ử ỗ s L (p)
s L t t tổ q õ
ữớ p Ps q ns số tỷ ừ Ps N = ns sỷ x(p)
s tố
sS
ở tr t ừ ỗ s ữớ p Ps q õ tố ở tr t ừ
ỗ s ữủ xs = x(p)
s
pPs
r ở ữủ C õ r ở ữủ ố ợ ộ
t s tờ tố ở tr t ừ ỗ ũ ởt t õ ọ
ỡ ữủ ừ t C ữủ C := Cl = ợ
lL
Cl :=
(x(p)
s )pPs
sS
(p)
RN
+ :
x(p)
s Is,l cl ,
sS,pP
s
l L (p)
s ,
tr trữớ ủ .
sỷ ỗ s õ ởt tố ở tr t s tố ở tố t
rs > 0 t r ở D := Ds tr õ Ds t ỗ
(p)
Is,l
1
=
0
sS
tố ở ữ ố ợ ỗ s
Ds :=
(x(p)
s )pPs
sS
RN
+ :
x(p)
s rs .
pPs
t ố tổ õ t q t ỹ tr t t ở
ừ ởt ổ s
x (T ) s : U (x) =
max U (x),
(T )
tr õ U : RN R t ữủ tt tử T : RN RN
T (x) := (1/2)(x + T(x)) ợ
T(x) := PRN+ Cl0
vl P Cl +
lL,l=l
0
us PDs (x).
sS
✶✾
❚❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❜❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮✱ ✭✷✳✷✺✮ ✈➔ ✭✷✳✸✶✮ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ✭✸✳✸✮✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤♦ E := RN ✱ F := −∇U ✈➔ ❝❤å♥ Ti := T ✈î✐ ♠å✐ i ∈ N. ❇❛ ♠➺♥❤ ✤➲
s❛✉ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❝→❝ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✱ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✺✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ❈❤♦ U : RN → R ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝ ❝â −∇U : RN → RN ❧➔ →♥❤ ①↕
η ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ γ ✲❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t ✈î✐ η + γ > 1✳ ❈❤♦ T : RN → RN ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥
✈î✐ ❋✐①(T ) = ∅✳ ❈❤♦ αi ∈ (0, 1)✳ ●✐↔ sû λk ∈ (0, 1) ✈➔ si t÷ì♥❣ ù♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✭▲✶✮✱ ✭▲✷✮ ✈➔ ✭✷✳✹✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ RN ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k
xk+1 = (I + λk ∇U )
k
(1 −
αi )ξik I
αi ξik T (xk ),
+
i=1
k ≥ 1,
✭✸✳✻✮
i=1
❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮✱ tr♦♥❣ ✤â ξik := si/˜sk .
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳ ❈❤♦ U ✱ T ✈➔ αi ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ●✐↔ sû λk ∈ (0, 1)
t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭▲✶✮✱ ✭▲✷✮ ✈➔ {si} ❧➔ ❞➣② sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ ❣✐↔♠ ♥❣➦t✱ ❤ë✐ tö ✈➲ 0✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ RN ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
k
xk+1 = (I + λk ∇U )
k
(1 −
i=1
αi )βik I
αi βik T (xk ),
+
k ≥ 1,
✭✸✳✼✮
i=1
❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮✱ tr♦♥❣ ✤â βik := (si−1 − si)/(s0 − sk ).
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳ ❈❤♦ U ✈➔ T ✤÷ñ❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳ ●✐↔ sû α ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝
❝è ✤à♥❤ t❤✉ë❝ (0, 1) ✈➔ λk ∈ (0, 1) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭▲✶✮ ✈➔ ✭▲✷✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ✤✐➸♠
❜❛♥ ✤➛✉ tò② þ x1 ∈ RN ✱ ❞➣② {xk } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
xk+1 = (I + λk ∇U )((1 − α)I + αT )(xk ), k ≥ 1,
✭✸✳✽✮
❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮✳
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✶✳
◆➳✉ αi := α ∈ (0, 1) ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ✭✸✳✻✮ ✈➔ ✭✸✳✼✮ s➩ ❝â ❞↕♥❣ ✭✸✳✽✮✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❧↕✐ ❝â
❋✐①(T ) = ❋✐①(Tˆ) ♥➯♥ ✈î✐ α = 1/2 t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ Ti := Tˆ ✈î✐ ♠å✐ i ∈ N. ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ♥➔②✱ ❞➣② {xk } trð t❤➔♥❤
xk+1 = (I + λk ∇U )T (xk ), k ≥ 1,
✭✸✳✾✮
✈➔ ❞➣② ❧➦♣ ✭✸✳✾✮ ❤ë✐ tö tî✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✸✮ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü
▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳
✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❞↕♥❣ ❤✐➺♥ ♠î✐ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà✿
❚➻♠ x∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ :
∞
ϕ(x∗ ) = min ϕ(x),
x∈C
C :=
Ci ,
i=1
✭✸✳✶✵✮
tr õ ỗ õ (x) tử st ỡ tr
ổ Rn Ci t ỗ õ ừ Rn ữủ
Ci = {x Rn : ai1 u1 + ai2 u2 + ã ã ã + ain un bi },
n
n
(uj aij )2 ri2 },
Ci = {x R :
ri > 0,
j=1
aij , bi, ri R (1 j n).
ử t t tr trữớ ủ n = 2 ử t : R2 R
õ
(x) := x 2 = u21 + u22 ợ x = (u1 , u2 ).
t Ci ữủ Ci = {x R2 : ai1u1 + ai2u2 bi} ợ ai1 = 1/i, ai2 = 1
bi = 0 ợ ồ i 1 r trữớ ủ t x = (0; 0) t ừ
t
ử ữỡ ử ợ F (x) = (x) Ti = PC ồ
x1 = (2.0; 3.0) t số tọ ở tử ừ
k = 1/(k + 2) si = i = 1/i(i + 1). ữợ t ữủ t q t
t x100 = (0.000100272; 0.000040995)
t ú tổ ử ữỡ ừ t t ũ t
tr ồ t số tọ ở tử ừ k = 1/(k+2), k =
1/100+1/k(k+1) = 1/20. t q t t ố ợ ữỡ ợ ũ
số ữợ x100 = (0.335041279; 0.149090066) t ồ = 1/3
t t q ữủ ữ s x100 = (0.037590156; 0.016727249)
ớ sỷ ử ữỡ ừ t t số ữủ ồ tọ
k = 1/(k + 2), k = 1/100 + 1/k(k + 1) k = 1/100. t q
t t ữỡ ợ ũ số ữợ ữủ
x100 = (0.000210945; 0.000385873) t ồ k = 1/1000 t t q ữủ
tr trữớ ủ x100 = (0.000373078; 0.000568259)
ữợ tữỡ q s số t t s ợ ừ
ữỡ
Pữỡ
k
xk x
ớ
ợ = 1/3
4.1143 ì 102
ợ = 1/20
3.6671 ì 101
ợ k = 1/100 4.3976 ì 104
ợ k = 1/1000 6.7978 ì 104
1.0833 ì 104
i
✷✶
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✷✳ ❈â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣✱ tr♦♥❣ ♠é✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✷✳✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➲✉ ❝â ✸ ❞➣② ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣✳ ❚❤❛♠ sè t❤ù ♥❤➜t✱ λk ð ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭▲✶✮ ✈➔ ✭▲✷✮ ♥❤÷ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ❧➔ λk = 1/(k +2)✳
❚❤❛♠ sè t❤ù ❤❛✐ αi t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤↔♠ ❜↔♦ sü ❤ë✐ tö✱ ð ✤â ♥â ✤÷ñ❝
❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♥❤÷ ♥❤❛✉✳ ❚❤❛♠ sè ρ
tr♦♥❣ ✭✶✳✼✮✱ γk tr♦♥❣ ✭✶✳✽✮ ✈➔ si tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❦❤→❝
♥❤❛✉✱ ♥â ❝❤♦ ♣❤➨♣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ q✉② t➢❝ r✐➯♥❣ ❜✐➺t tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❝õ❛ ♠é✐ t❤✉➟t t♦→♥✳ ❘ã
r➔♥❣✱ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö tr➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➲ ①✉➜t ❝â tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö ♥❤❛♥❤
❤ì♥ ✈➔ ❝➛♥ ➼t t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮✳
❱➼ ❞ö ✸✳✷✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✷✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 2✳ ❍➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ϕ : R2 → R ✤÷ñ❝
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ϕ(x) = (u1 − 1)2 + (u2 − 2)2 ✈î✐ x = (u1 , u2 ).
❈→❝ t➟♣ Ci ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐
Ci = {x ∈ R2 : (u1 − ai1 )2 + (u2 − ai2 )2 ≤ ri2 }
√
✈î✐ ri = 1✱ ai1 = 1 + 1/i ✈➔ ai2 = 0 ✈î✐ ♠å✐ i ≥ 1✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② x∗ = (1.5; 0.75)
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✈î✐ F (x) = ∇ϕ(x) ✈➔ Ti = PC ✳ ❈❤å♥ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔
x1 = (3.0; 3.0) ✈➔ ❞➣② ❝→❝ t❤❛♠ sè t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤
t♦→♥ ð ❜÷î❝ ❧➦♣ ✹✻✵✵✵ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ (1.54118986; 0.88877202)✳
❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ❝ò♥❣ ❜÷î❝ ❧➦♣ ♥❤÷ tr➯♥✱ ♥➳✉ →♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ρ = 1/3
t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ (1.552771131; 0.894458825)✱ ♥➳✉ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐
γk = 1/100 t❤➻ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❧➔ (1.548117716; 0.903764265)✳
❇↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➲ s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮ ✈➔ ✭✷✳✶✮ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔② ❧➔✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✼✮ ✭✈î✐ ρ = 1/3✮
✹✻✵✵✵ 5994. × 10−2 ✸✼✺✻✳✼✷✵✵
✭✶✳✽✮ ✭✈î✐ γk = 1/100✮ ✹✻✵✵✵ 6.1152 × 10−2 ✹✵✶✼✳✽✷✵✵
✭✷✳✶✮
✹✻✵✵✵ 4.7053 × 10−2 ✽✽✷✳✼✼✹✵
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✸✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ô♥❣ t❤➜② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❝â tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö
♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ✈➔ ❝➛♥ ➼t t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮✳
i
❱➼ ❞ö ✸✳✸✳
❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✶✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ n = 2 ✈➔ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ϕ : R2 → R
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
ϕ(x) = xT Ax + bT x + c ✈î✐ x = (u1 , u2 ),
✷✷
tr♦♥❣ ✤â
A=
1 0
,b =
0 1
−4
−6
✈➔ c = 13.
❈→❝ t➟♣ Ci ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ Ci = {x ∈ R2 : ai1u1 + ai2u2 ≥ bi} ✈î✐ ai1 = 1✱ ai2 = i ✈➔ bi = 2 ✈î✐
♠å✐ i ≥ 1✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② x∗ = (2.0; 3.0) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❝❤♦ ✈➼ ❞ö ♥➔② ✈î✐ F (x) = ∇ϕ(x) ✈➔ Ti = PC ✳ ❈❤å♥ ✤✐➸♠
❜❛♥ ✤➛✉ x1 = (−3.0; −3.0) ✈➔ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✹ ❧➔
λk = 1/k + 2, si = 1/(i + 1)(i + 2) ✈î✐ i ≥ 0✱ αi = 1/i(i + 1) ✈î✐ i ≥ 1. ❙❛✉ ✶✵✵✵ ✈á♥❣ ❧➦♣✱
t❛ ❝â x1000 = (1.999975551; 2.999969617)
◆➳✉ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✈➔ ❝❤å♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣
t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✺ ❧➔ λk = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1)
✈➔ ρ = 1/20 t❤➻ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ð ❜÷î❝ ❧➦♣ t❤ù 1000 ❧➔
x1000 = (−0.003777417; 0.004757678)✳ ◆❣❤✐➺♠ ♥➔② ❝á♥ s❛✐ sè r➜t ❧î♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤
①→❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
◆➳✉ sû ❞ö♥❣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✈➔ ❝❤å♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻ ❧➔ λk = 1/(k + 2), αk = 1/100 + 1/k(k + 1) ✈➔ γk = 1/2 t❤➻
❦➳t q✉↔ ð ❝ò♥❣ sè ❜÷î❝ ❧➦♣ ❧➔ x1000 = (1.999988011; 2.999986013)✳
◆➳✉ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ①✉➜t ♣❤→t ✈➔ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥
t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ t❤➻ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ x1000 = (1.999993006; 2.999991008)✳
❇↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➲ s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✶✳✼✮✱ ✭✶✳✽✮✱ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✷✺✮ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔② ❧➔✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✼✮
✶✵✵✵ 3.603692620 ✶✳✾✹✶✵
✭✶✳✽✮
✶✵✵✵ 1.8420 × 10−5 ✶✳✼✺✶✵
✭✷✳✶✮
✶✵✵✵ 1.1390 × 10−5 ✵✳✼✾✹
✭✷✳✷✺✮
✶✵✵✵ 3.8998 × 10−5 ✵✳✽✸✸
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✹✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ t❛ t❤➜② tè❝ ✤ë ❤ë✐ tö ✈➔ t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ❧➔ ♥❤❛♥❤ ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❚è❝ ✤ë ❤ë✐ tö ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
✭✷✳✷✺✮ ❧➔ ♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❝❤➟♠ ❤ì♥ s♦ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ❧↕✐ ❝â t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ♥❤❛♥❤ ❣➜♣ ❤❛✐ ❧➛♥ s♦ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✳
i
❱➼ ❞ö ✸✳✹✳
❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✶✮ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔
t❤✐➳t t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳ ❱î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ x1 = (2.0; −3.0)✱ ❝❤å♥
α = 0.5 ✈➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ ❦❤→❝ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ð
❱➼ ❞ö ✸✳✶ ❧➔ λk = 1/(k + 2) ✈➔ si = 1/i(i + 1) t❤➻ s❛✉ ✶✵✵ ❜÷î❝ ❧➦♣ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
x100 = (−0.000078416; −0.000004588)✳
✷✸
❇➙② ❣✐í✱ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮✱ ✭✶✳✶✽✮ ❝õ❛ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ✈➔ ✤t❣✳ ❈❤å♥ ❝→❝
t❤❛♠ sè λk , si ♥❤÷ tr➯♥ ✈➔ γk = 0.5✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉✱ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾
ð ❝ò♥❣ sè ❜÷î❝ ❧➦♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➔ x100 = (−0.00539367; −0.00032443)
✈➔ x100 = (−0.01002674; −0.00057259)✳ ❇↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➲ s❛✐ sè t➼♥❤ t♦→♥ s♦ ✈î✐ ♥❣❤✐➺♠
❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮✱ ✭✶✳✶✽✮✱ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✶✮ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔② ❧➔✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✶✼✮
✶✵✵ 5.4034 × 10−3 ✵✳✵✹✼✵
✭✶✳✶✽✮
✶✵✵ 1.0004 × 10−2 ✵✳✵✸✷✵
✭✷✳✶✮
✶✵✵ 1.0833 × 10−5 ✵✳✵✸✶✵
✭✷✳✸✶✮
✶✵✵ 1.5868 × 10−6 ✵✳✵✶✻✵
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ sû ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✳✶✵✮✲✭✸✳✶✷✮ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t
t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✸✳✷✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜❛♥ ✤➛✉ x1 = (3.0; 3.0)✱ ❝❤å♥ α = 0.5
✈➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❧➦♣ ❦❤→❝ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ð tr➯♥ t❤➻ t↕✐ ❜÷î❝ ❧➦♣ 45000
♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ (1.5034141156; 0.8682249753)✳ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮
✈➔ ✭✶✳✶✽✮ ✈î✐ γk = 1/50 ♥➳✉ k ❝❤➤♥ ❝á♥ γk = 1/100 ♥➳✉ k ❧➫ t❤➻ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ①➜♣ ①➾ t÷ì♥❣
ù♥❣ ❧➔ x46000 = (1.709749782; 0.707411290) ✈➔ x46000 = (1.578254678; 0.816731616)✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② t❛ ❝â ❜↔♥❣ t÷ì♥❣ q✉❛♥✿
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ k
xk − x∗
❚❤í✐ ❣✐❛♥ ✭❣✐➙②✮
✭✶✳✶✼✮
✹✻✵✵✵ 0.262970355 ✾✵✹✳✾✻✽✵
✭✶✳✶✽✮
✹✻✵✵✵ 9.2486 × 10−2 ✾✵✸✳✶✺✼✵
✭✷✳✶✮
✹✻✵✵✵ 4.7053 × 10−2 ✽✽✷✳✼✼✹✵
✭✷✳✸✶✮
✹✺✵✵✵ 4.0613 × 10−3 ✽✻✹✳✾✾✶✵
◆❤➟♥ ①➨t ✸✳✺✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t❤➜② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ❝â tè❝ ✤ë ❤ë✐
tö ♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ✈➔ tè♥ ➼t t❤í✐ ❣✐❛♥ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✶✼✮✱ ✭✶✳✶✽✮ ✈➔ ✭✷✳✶✮✳
❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱ ♥â t❤➸ ❤✐➺♥ t➼♥❤ ✈÷ñt trë✐ ❤ì♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ tr♦♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ✤➣ tr➻♥❤
❜➔② ð tr➯♥✳