Phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp thép - bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh

Phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp thép - bê tông
chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh
The spread of plasticity analysis of steel-concrete composite beam under static load using super
element
Hoàng Hiếu Nghĩa, Nghiêm Mạnh Hiến, Vũ Quốc Anh

Tóm tắt
Bài báo trình bày phương pháp phân tích dẻo lan truyền của
dầm liên hợp thép-bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần
tử thanh thông qua lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan
truyền. Xây dựng siêu phần tử thanh 2D với n điểm biến dạng
dẻo dọc theo chiều dài phần tử. Tại điểm có biến dạng dẻo, đặc
trưng vật liệu của dầm liên hợp có biến đổi thông qua sự chảy
dẻo của mặt cắt tiết diện, điều đó được xác định qua đường quan
hệ mô men - độ cong đơn vị (M-θ), xây dựng được phương trình
độ cứng của tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài dầm. Ma trận
dẻo được thiết lập trong suốt quá trình phân tích để thể hiện sự
lan truyền biến dạng dẻo dọc theo chiều dài phần tử. Thực hiện
phân tích bài toán dầm liên hợp, xác định chuyển vị của dầm liên
hợp thép - bê tông ứng với từng cấp tải trọng tác dụng, thể hiện
rõ ứng xử đàn dẻo của dầm liên hợp, kết quả nghiên cứu được so
sánh với kết quả thí nghiệm và các kết quả nghiên cứu đã được
công bố và cho kết quả đáng tin cậy.
Từ khóa: Chảy dẻo, biến dạng dẻo, dầm liên hợp, lý thuyết giải tích, phương
pháp dẻo lan truyền

Abstract
The paper presents the spread of plasticity analysis method of composite
beam under static load using super element by the analytical theory
and the spread of plasticity analysis method. To build 2D super element
with n plastic deformation points along the element length. At the

plastic deformation points, the material properties of composite beams
vary remarkably by its section yeild, that clearly showned by moment
- curvature curve (M-θ). To build the stiffness equation of section vary
remarkably along the element length. Plastic matrix is established
while analysis structure to shown the spread of plasticity deformation
along the member length. Carry out analysis of the composite beam,
determine the displacement of simply supported composite beam
by each load steps, demonstrate the elastic-plastic behavior of the
composite beams, the numerical results obtained by the analysis are
reliable, compared well with experimental results and other researching.
Keywords: Yeild, spread of plasticity deformation, composite beam,
analytical theory, spread of plasticity method

Ths. Hoàng Hiếu Nghĩa
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Hải Phòng
Email:
PGS.TS. Nghiêm Mạnh Hiến
Khoa Xây dựng
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Email:
PGS.TS. Vũ Quốc Anh
Khoa Xây dựng
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Email:

1. Giới thiệu
Các nghiên cứu về ứng xử không đàn hồi và cường độ tải
trọng phá hoại của kết cấu đã tăng nhanh từ khi lý thuyết phân
tích trạng thái tới hạn được chấp nhận trong phân tích kết cấu,
đặc biệt là kết cấu thép. Hiện nay có hai phương pháp cơ bản

phân tích kết cấu khung đàn dẻo: Phương pháp vùng dẻo (Plastic
zone – biến dạng dẻo phân bố) [1] và phương pháp khớp dẻo
(Plastic hinge – biến dạng dẻo tập trung). Phương pháp khớp
dẻo đơn giản không phản ánh sát được với sự làm việc thực tế
của kết cấu [2,3]. Phương pháp vùng dẻo phản ánh sát với sự
làm việc thực tế nhưng phức tạp và chỉ áp dụng cho các cấu kiện
đơn lẻ. Tác giả đã xây dựng siêu phần tử thanh dầm, sử dụng
phương pháp PTHH để phân tích dẻo lan truyền dầm liên hợp
thép-bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử thanh thông
qua lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan truyền.
Mô hình siêu phần tử thanh là phần tử chỉ với hai điểm nút hai
đầu phần tử, mặc định có n điểm biến dạng dẻo liên tục bên trong
phần tử, mỗi đoạn xi - xi+1 gồm hai điểm biến dạng dẻo liên tiếp và
đoạn này có độ cứng EIi thay đổi. Với siêu phần tử này ta không
phải chia phần tử thành nhiều phần tử con như một số tác giả đã
thực hiện. Sử dụng siêu phần tử có ưu điểm là làm giảm đáng kể
kích thước của bài toán phân tích kết cấu, tăng nhanh tốc độ tính
toán và cho kết quả sát với thực tế. Do vậy bài viết này giới thiệu
phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử thanh dầm liên hợp
đề xuất, xây dựng ma trận dẻo thay đổi trong suốt quá trình phân
tích để thể hiện sự lan truyền biến dạng dẻo dọc theo chiều dài
phần tử. Xác định chuyển vị của dầm đơn giản liên hợp thép - bê
tông ứng với từng cấp tải trọng tác dụng.
2. Bài toán phân tích dẻo lan truyền kết cấu dầm và các giả
thiết
2.1. Đặt bài toán phân tích
Xây dựng siêu phần tử mẫu thanh dầm 2D, sử dụng phương
pháp PTHH để thiết lập chương trình tính toán nội lực và chuyển
vị của dầm liên hợp thép – bê tông ở mọi cấp tải trọng tác dụng.
2.2. Giả thiết bài toán

Tất cả các phần tử thanh của hệ khi chưa chịu tải đều thẳng
và có diện tích tiết diện ngang không đổi (đối với từng phần tử).
Khi phần tử thanh biến dạng, tiết diện ngang vẫn phẳng và trực
giao với trục x (hệ tọa độ cục bộ của phần tử). Biến dạng dẻo
xuất hiện và phát triển trong các phần tử của kết cấu là các biến
dạng dẻo lan truyền, do đó biến dạng dẻo sẽ tồn tại ở tất cả các
tiết diện trong suốt quá trình chịu tải. Các tham số hình học của
kết cấu là các đại lượng cho trước. Biến dạng và chuyển vị của
hệ kết cấu là nhỏ nên bỏ qua phi tuyến hình học. Liên kết giữa
sàn bê tông và dầm thép là liên kết hoàn toàn (Hình 2). Bỏ qua
chuyển vị do biến dạng cắt. Mô hình vật liệu là đàn dẻo phi tuyến.
Khớp dẻo chỉ xoay dẻo mà thôi, bỏ qua củng cố biến dạng.
3. Siêu phần tử thanh dầm liên hợp thép - bê tông
Siêu phần tử thanh dầm liên hợp 1-2 (Hình 3) chỉ có 2 nút 1
và 2 ở hai đầu mặc định có n điểm biến dạng dẻo liên tục bên
trong phần tử, mỗi đoạn xi - xi+1 gồm hai điểm biến dạng dẻo liên
S¬ 28 - 2017

21


KHOA H“C & C«NG NGHª

Hình 1. Mô hình xuất phát của bài toán dầm và mô hình tính của kết cấu theo phương pháp PTHH:
(a) – mô hình thực của hệ kết cấu dầm và tải trọng; (b) – mô hình tính của kết cấu dầm theo
phương pháp PTHH
tiếp và đoạn này có độ cứng EIi thay đổi. Biến dạng dẻo tại đầu từng đoạn i (i-1):
3.1. Xây dựng ma trận dẻo của siêu phần tử thanh khi kể đến sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài phần tử.
Xét phần tử bất kỳ có 2 đầu 1 và 2 có các thành phần nội lực và chuyển vị như Hình 4, mối liên hệ lực nút của thanh dầm
như sau:

M
= V1 x − M 1 , V1 = −V2 ; M 1 =
−V2 L − M 2



(1)

n −1 1 xi +1 (V x − M )
1 xi+1 ( M x )
1
=
U
dx ∑ ∫ 1
dx
∑=
∫
i 1 2 xi
=i 1 =
2 xi EI
EI


(2)

Tại nút đầu: Năng lượng bù của biến dạng [7]:
2

n −1

*

2

Áp dụng định lý Engesser [7] có:
x i+1 2
x i+1
n −1 x i+1 ( V x − M ) x
n −1
n −1
dU*
x
x
1
1
= v=
dx
= ∑ V1 ∫
dx − ∑ M1 ∫
dx
∑ ∫
1
dV
EI
EI
EI
=
i 1 xi
=i 1 =

i 1
1
xi
xi

n −1 x i+1

*

dU
=θ1 =∑
dM1
=
i 1

∫

− ( V1x − M1 )

n −1

x

x i+1

n −1



(3)

1

∫ dx + ∑ M1 ∫ EI dx
EI
=
i 1=
i 1
x i EI
xi

xi

dx =∑ −V1

x i+1



(4)



(5)



(6)

Tại nút cuối: Năng lượng bù của biến dạng [7]:

n −1 1 xi +1 (V2 ( L − x ) + M 2 )
1 xi+1 ( M x )
=
U
dx
dx
∑=
∑ ∫
∫
i 1 2 xi
=i 1 =
2 xi EI
EI
*

2

2

n −1

n −1 x i+1

*

dU
= v=
2
dV2

∑ ∫

i =1 x i

( V2 ( L − x ) + M 2 ) ( L − x ) dx
EI



x i+1
x i+1
n −1 x i+1 ( V ( L − x ) + M )
n −1
n −1
dU*
L−x
1
2
2
dx =∑ V2 ∫
dx + ∑ M 2 ∫
dx
=θ2 =∑ ∫
dM
EI
EI
EI
i 1 xi
i 1
=

=i 1 =
2
xi
xi





(7)



(8)

Từ các phương trình (2,3) (5,6):
Sắp xếp các thành phần độ dẻo vào ma trận độ dẻo của siêu phần tử thanh dầm

 k11

 k p  = 






k12
k22

k11 =

Trong đó:


k13
k23
k33

n −1 xi +1

k14 
k24 
k34 

k44 


x2

n −1 xi +1

n −1 xi +1

1

1

n −1 xi +1

dx
∑ ∫
i =1 xi EI

x

n −1 xi +1

k=
k=
12
21

n −1 xi +1

x2

n −1 xi +1

n −1 xi +1

x

1

n −1 xi +1

dx
∑ ∫
i =1 xi EI

x

n −1 xi +1



(9)

x

dx. ∑ ∫
dx − ∑ ∫
dx. ∑ ∫
dx
∑ ∫
EI
=i 1 =
i 1 xi=
i 1=
i 1 xi EI
xi EI
xi EI

22

x

dx. ∑ ∫
dx − ∑ ∫

dx. ∑ ∫
dx
∑ ∫
EI
i 1 xi=
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 =
xi EI
xi EI

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG





(10)


n −1 xi +1

k13 = k31 = −

n −1 xi +1

∑ ∫

=i 1 xi

n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
L2 − 2 Lx + x 2 n −1 xi+1 1
dx. ∑ ∫
dx − ∑ ∫
dx. ∑ ∫
dx
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 =
xi EI
xi EI
n −1 xi +1

−∑ ∫
k14 = k41 = −

1

dx
∑ ∫
i =1 xi EI

i =1 xi

n −1 xi +1

n −1 xi +1

x2

x2

dx
∑ ∫
i =1 xi EI

n −1 xi +1

1

n −1 xi +1

x

n −1 xi +1

x



i =1 xi

n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
1
L − 2 Lx + x

−
.
.
dx
dx
dx
dx
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 xi
=i 1 =
xi EI
xi EI
2

∑ ∫

n −1 xi +1

∑ ∫

=i 1 xi

i =1 xi

(15)

1

n −1 xi +1

−∑ ∫

n −1 xi +1

∑ ∫

=i 1 xi

i =1 xi
n −1 xi +1 1

L−x
dx
EI



∑ ∫

2





(17)



(18)



(19)

2

L − 2 Lx + x
dx
EI

i =1 xi
n −1 xi +1

n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
1
L − 2 Lx + x

.
−
.
dx
dx
dx
dx
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 xi
=i 1 =
xi EI
xi EI
2

(16)



n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
L2 − 2 Lx + x 2
dx. ∑ ∫
dx − ∑ ∫
dx. ∑ ∫

dx
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 =
xi EI
xi EI
n −1 xi +1

n −1 xi +1

(14)

Lx − x 2
dx
EI

n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
L2 − 2 Lx + x 2 n −1 xi+1 1
.
.
−
dx
dx
dx
dx
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫

∑ ∫
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 xi
=i 1 =
xi EI
xi EI

k44 =



dx
∑ ∫
i =1 xi EI

n −1 xi +1

k=
k=
34
43



n −1 xi +1

2

n −1 xi +1

k33 =



n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
1
L − 2 Lx + x
dx. ∑ ∫
dx − ∑ ∫
dx. ∑ ∫
dx
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 =
xi EI
xi EI
2

(13)

n −1 xi +1

2

n −1 xi +1

k=
k=
24
42



x
dx
EI

−∑ ∫
n −1 xi +1

(12)



dx. ∑ ∫
dx − ∑ ∫
dx. ∑ ∫
dx
∑ ∫
EI
i 1 xi=
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 =
xi EI
xi EI

k=
k=
23
32



n −1 xi +1

n −1 xi +1

n −1 xi +1

(11)

L−x
dx
EI

n −1 xi +1 L − x
n −1 xi +1 L − x
1
L2 − 2 Lx + x 2
−
.
.
dx
dx
dx

dx
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
EI
i 1=
i 1 xi EI
=i 1 xi
=i 1 =
xi EI
xi EI

k22 =



2



EI: Độ cứng thay đổi trên đoạn có biến dạng dẻo (đoạn xi – xi+1).
Tác giả đề xuất độ cứng EI (đoạn xi – xi+1) có dạng phương trình bậc 3:

=
EI E ( ax + b )
Trong đó: Ii,

3

,

a=

3

I i +1 − 3 I i
b = 3 Ii
L
;



Ii+1 là mô men quán tính của tiết diện dầm tại đầu i và i+1

4. Mô hình phi tuyến của vật liệu bê tông, thép hình và thép thanh.
4.1. Mô hình phi tuyến của vật liệu bê tông

S¬ 28 - 2017

23


KHOA H“C & C«NG NGHª
Tác giả sử dụng phương trình đường cong quan hệ ứng
suất - biến dạng phi tuyến được đề xuất bởi Kent and Park
(1973) [4] cho mô hình vật liệu bê tông chịu nén. Mô hình
trên được nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu như: Kent
and Park, 1973; Park and Paulay, 1975; Wang and Duan,
1981; Mander et al.1988a; Hoshikuma et al., 1997; SeungEock KIM 2012.

Phương trình đường quan hệ ứng suất - biến dạng (σc-

εc) khi bê tông chịu nén được thể hiện dưới đây.

  ε   ε 2 
σ c K . fc . 2   −   
=
  ε 0   ε 0  
Khi ε ≤ ε 0
σ=
K . f c .[1 − Z .(ε − ε 0 ) ] ≥ 0, 2 K . f c
c
Khi

ε 0 ≤ ε ≤ ε u

σ c = 0, 2.K . f c

Khi

ε > εu



đã được nghiên cứu. Mặt cắt tiết diện dầm liên hợp gồm
dầm thép, bản bê tông như Bảng 1 và Hình 5. Cường độ
đặc trưng của các mẫu như Bảng 2. Lực tác dụng P =200kN,
ε0=0,002, εu=0,004.
Bảng 1. Kích thước mặt cắt ngang thép hình trong

dầm liên hợp liên tục
Cấu kiện

bf (mm)

tf (mm)

d (mm)

tw (mm

IPE200

100

8,5

200

5,6

IPE240

120

9,8

240

6,2

IPBL200

200

10

190

6,5

(20)
M

(21)

0

(22)

Trong đó: ε: Biến dạng của thớ bê tông chịu nén tương
ứng; σc:Ứng suất của thớ bê tông (MPa); ε0: Biến dạng
tương ứng với ứng suất lớn nhất; ε0: Biến dạng cực hạn của
bê tông; K: Hệ số xét đến sự tăng cường độ bê tông do hiệu
ứng kiềm chế nở hông; Z: Độ dốc
của đường biến dạng; fc: Cường độ
chịu nén của bê tông mẫu trụ (MPa)

Hình 2. Mặt cắt tiết diện dầm liên hợp và biểu đồ
biến dạng

4.2. Mô hình của vật liệu thép hình
và thép thanh
Phương trình đường quan hệ
ứng suất - biến dạng (σct-εct) của
thép được mô hình bằng 2 đoạn
thẳng.

σ s = Es .ε s
Khi 0 ≤ ε s ≤ ε y
σs = fy
Khi ε s > ε y


(23)
(24)

Hình 3. Siêu phần tử thanh dầm liên hợp thép - bê tông

Trong đó: σs, εs: Ứng suất và
biến dạng của thép; fv, εv: Ứng suất
và biến dạng chảy của thép
5. Ví dụ phân tích số
Phương pháp Newton-Raphson
cải tiến [5] được áp dụng để giải bài
toán phân tích dẻo lan truyền kết
cấu dầm liên hợp.
Khảo sát dầm liên tục liên hợp
được thí nghiệm bởi Ansourian
(1981) [6] với 06 mẫu dầm từ CTB1

đến CTB6 [6] (Hình 5), nhiều tác
giả đã dùng kết quả thí nghiệm
này để kiểm chứng với các kết quả
nghiên cứu của họ: Yong – Lin Pi,
Bradford MA, Uy B (2006), Cuong
Ngo-Huu, Seung-Eock Kim (2012)
đã dùng phương pháp khớp thớ để
phân tích kết cấu dầm và so sánh
với kết quả thí nghiệm. Tác giả sử
dụng phương pháp PTHH với siêu
phần tử thanh để phân tích kết cấu
dầm liên tục liên hợp và so sánh với
kết quả thí nghiệm và các kết quả

24

Hình 4. Lực nút của thanh dầm

Hình 5. Sơ đồ tính và mặt cắt dầm liên hợp liên tục CTB1÷CTB6 (Ansourian
1981)

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG


Hình 6. Biểu đồ quan hệ giữa tải trọng P và chuyển
vị giữa dầm liên hợp liên tục

Bảng 3. Bảng so sánh giá trị Mp của dầm liên hợp
liên tục CTB1-CTB6
Giá trị Mp

CTB1

CTB2

CTB3

CTB4

CTB6

TN Ansourian
(1981)

152

164

219

211

242

147,44 170,2

220,7

221,6

253,5

147,4

208,6

204

230,7

SPH V1.0
Eurocode 4

Bảng 2. Cường độ đặc trưng của 6 mẫu CTB1 đến
CTB6
Cấu kiện

fc’ (Mpa)

fv (Mpa)

fys (Mpa)

CTB1

30

300

430

CTB2

50

300

430

CTB3

43

223

430

CTB4

34

236

430

CTB5

29

270

430

CTB6

41

299

430

157,4

Xây dựng phần mềm SPH V1.0 bằng ngôn ngữ Delphi
XE8. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với siêu phần
tử thanh dầm liên hợp, ma trận dẻo đề xuất và thuật giải phi
tuyến Newton-Raphson cải tiến [5] để thực hiện phân tích
dẻo lan truyền kết cấu dầm liên hợp ở ví dụ trên. Kết quả thu
được như hình 6.
5. Kết luận
Tác giả đã xây dựng siêu phần tử thanh dầm, sử dụng
phương pháp PTHH để phân tích dẻo lan truyền dầm liên
hợp thép-bê tông chịu tải trọng tĩnh sử dụng siêu phần tử
thanh thông qua lý thuyết giải tích, phương pháp dẻo lan
truyền.
(xem tiếp trang 36)
S¬ 28 - 2017

25