Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 11 - Đỗ Tú Anh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.88 MB, 32 trang )
Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 11: Chuỗi Fourier và phép biến đổi
Fourier rời rạc
Đỗ Tú Anh
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
2
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Tổ chức
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Hàm sin phức-Tính tuần hoàn
Nếu hàm sin phức x[n] = ejω0n tuần hoàn với chu kỳ N thì ta có
x [ n + N ] = e jω0 ( n+ N ) = e jω0n e jω0 N = e jω0n = x [ n ]
- Điều này xảy ra khi ω0 N = 2π m
- Chu kỳ của x[n] = ejω0 là
N =m
hay
do đó
ω0 m
=
2π N
e jω0 N = 1
là số hữu tỷ
2π
ω0
Quan hệ giữa hàm sin thực và hàm sin phức
- Với C = C e
jθ
x [ n ] = Ce jω0n = C e j (ω0n+θ )
= C cos(ω0 n + θ ) + j C sin(ω0 n + θ )
- Với C = A
x [ n ] = A cos(ω0 n + θ ) = Re { Ae j (ω0n+θ ) }
=
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
A j (ω0n+θ ) − j (ω0n+θ )
(e
+e
)
2
4
/>
Các hàm sin phức điều hòa
Xét hàm sin phức ejω0n tuần hoàn với chu kỳ N,
2π
và tần số cơ bản ω0 =
N
Tập các hàm sin phức tuần hoàn với chu kỳ N là
Các hàm này là điều hòa nhưng chỉ có N hàm sin là phân biệt nhau
vì
Một cách tổng quát, với một số nguyên r bất kỳ
Khi định nghĩa các hàm sin gián đoạn, chỉ cần xét trong khoảng tần
số có độ rộng là 2π
5
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Các hàm sin phức điều hòa
Các hàm sin phức điều hòa là phân biệt trong khoảng N các giá
trị liên tiếp nhau của k:
- Ký hiệu tập này là
φk [ n ]
k= N
Các hàm sin phức điều hòa đó là vuông góc với nhau
vì
Chúng ta có thể kiểm chứng tính vuông góc sử dụng công thức
tổng hữu hạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
7
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
Biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn chu kỳ N thành tổ hợp tuyến tính
của các hàm sin phức
Tìm các hệ số
của các hàm sin phức
Tính vuông góc của
Nhân với
φk [ n ]
k= N
và cộng trên N
Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc của x[n] là
8
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier
Cặp biến đổi chuỗi Fourier
Cặp biến đổi chuỗi Fourier
là tuần hoàn với chu kỳ N
Không cần xét sự hội tụ: các tổng luôn là hữu hạn
9
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier: Ví dụ 1
Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu
-Tần số cơ bản
- Chu kỳ
- Tìm chuỗi Fourier rời rạc theo
- Chọn khoảng N số nguyên liên tiếp
- Chuỗi F rời rạc trên <N>
- Khai triển x[n]
thành các hàm sin
phức điều hòa
10
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier: Ví dụ 1
Các hệ số chuỗi F rời rạc cho
- Các thành phần
- Các hệ số chuỗi F
11
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier: Ví dụ 2
Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu
- Chu kỳ N = 4, khoảng của k: <N> = {0,1,2,3}
- Các hệ số chuỗi F rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
12
/>
Chuỗi Fourier: Ví dụ 2
Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu
Khôi phục
từ các hệ số chuỗi F rời rạc
13
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chuỗi Fourier: Ví dụ 3
Các hệ số chuỗi Fourier rời rạc cho sóng vuông tuần hoàn
14
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc
15
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
16
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
Xét dãy không tuần hoàn hữu hạn, x[n], sao cho x[n] = 0 ở ngoài
khoảng
Tạo một dãy tuần hoàn
một chu kỳ
với chu kỳ N trong đó x[n] là
… chúng ta sẽ xây dựng biến đổi Fourier dựa trên chuỗi Fourier
của một tín hiệu gián đoạn với chu kỳ tiến đến vô cùng
17
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
Bắt đầu với cặp biến đổi chuỗi Fourier
Thay thế
bởi x[n] bằng cách định nghĩa đoạn lấy tổng là
Định nghĩa hàm
Các hệ số
là các mẫu của
trong đó ω0 = 2π /N là khoảng cách giữa các mẫu trên trục tần số
18
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
Quan sát trạng thái giới hạn khi
cho
bằng cách thay
trong khai triển chuỗi Fourier của
Khi
- Tổng trên N khoảng với độ rộng
trở thành tích
phân với khoảng lấy tích phân có độ rộng là 2π
Phương trình trên trở thành
x [ n] =
1
2π
∫2π
X (e jω )e jω n d ω
19
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Dẫn xuất biến đổi Fourier rời rạc
Cặp biến đổi Fourier rời rạc
x [ n] =
jω
1
2π
X (e ) =
∫2π
X (e jω )e jωn d ω
∞
∑ x [ n]e− jωn
PT tổng hợp
PT phân tích
n =−∞
là tuần hoàn với chu kỳ 2π
20
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Chương 9: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier rời rạc
9.1 Chuỗi Fourier rời rạc cho tín hiệu tuần hoàn
9.1.1 Hàm sin phức và chuỗi Fourier rời rạc
9.1.2 Xác định các hệ số chuỗi Fourier rời rạc
9.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
9.2.4 Sự hội tụ của phép biến đổi Fourier rời rạc
9.2.5 Các tính chất của phép biến đổi Fourier rời rạc
21
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
Xét dãy hàm mũ
- Tính biến đổi Fourier rời rạc sử dụng chuỗi hình học
- Vì
nên có thể viết
- Biên độ và pha có thể nhận được sử dụng công thức Euler
22
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
Biên độ và pha của
với a > 0
Chú ý:
- Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π
- Khi a > 0 phổ là thông thấp – biên độ giảm dần khi tần số tăng từ ω = 0
đến ω = π
23
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 1
Biên độ và pha của
với a < 0
Chú ý:
- Biên độ và pha là tuần hoàn với chu kỳ 2π
- Khi a < 0 phổ là thông cao – biên độ tăng dần khi tần số tăng từ ω = 0
đến ω = π
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
24
Biến đổi Fourier rời rạc-Ví dụ 2
Xét dãy xung chữ nhật
⎧1,
x [ n] = ⎨
⎩0,
n ≤ N1
n > N1
Biến đổi Fourier
Thay biến
CT tổng hữu hạn
Đưa về hàm sinc
gián đoạn
25
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com
/>
