Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh theo hướng kiến tạo khi dạy học các khái niệm giải tích trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông với các mô hình quy nạp

An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH
THEO HƯỚNG KIẾN TẠO KHI DẠY HỌC CÁC KHÁI NIỆM GIẢI TÍCH
TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỚI CÁC MÔ HÌNH QUY
NẠP
Lê Thị Bạch Liên1, Phạm Thị Sen Giang1
Trường Đại học Quảng Bình

1

Thông tin chung:
Ngày nhận bài: 16/03/2018
Ngày nhận kết quả bình duyệt:
18/05/2018
Ngày chấp nhận đăng:
06/2018
Title:
Motivating active learning of
students through teaching
Analytics concepts of the 11th
grade within inductive models
Keywords:
Concepts teaching, Analytics,
inductive, positive, learning
activities, constructive
Từ khóa:
Dạy học khái niệm, giải tích,
quy nạp, tích cực, hoạt động
học tập, kiến tạo

ABSTRACT
Nowadays, motivating active learning among students is one of the teaching
trends not only in Viet nam but also on over the world. There are many ways
to enhance the positivity of students when teaching mathemitical concepts, in
which, the inductive method plays an important role, especially through
teaching constructive theories. This paper presents three inductive models,
then represents examples in order to apply those models into teaching
Analytics concepts in the 11th-grade program at high school to motivate the
positivity and initiation of students, especially to help students understand
the meaning of the concepts deeply.

TÓM TẮT
Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh là một trong những xu hướng
dạy học hiện nay không những ở Việt Nam mà cả trên thế giới. Có nhiều con
đường để phát huy tính tích cực của học sinh khi hình thành khái niệm toán
học, trong đó con đường quy nạp đóng một vai trò quan trọng, đặc biệt trong
xu hướng dạy học theo lý thuyết kiến tạo hiện nay. Bài viết giới thiệu 3 mô
hình quy nạp, từ đó thiết kế ví dụ minh họa vận dụng các mô hình trên vào
dạy học một số khái niệm giải tích trong chương trình lớp 11 trung học phổ
thông theo hướng tăng cường tính tích cực, chủ động của học sinh và đặc
biệt giúp học sinh hiểu được sâu sắc nghĩa của khái niệm.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ

dung là dạy cho học sinh biết cái gì thì dạy học
phát triển năng lực là dạy học sinh làm được
những gì trên cơ sở các em đã biết. Trong dạy học
nên tránh các cách dạy mà qua đó học sinh tiếp
thu kiến thức toán học như “đã làm sẵn” hay “đã
hình thành”. Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn, quy

nạp có vai trò lớn trong việc rèn luyện trí thông
minh cho học sinh, ông chỉ ra rằng, việc dạy toán
chỉ với mục đích “truyền thụ kiến thức” sẽ dẫn tới

Nằm trong lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp
dạy học và kiểm tra đánh giá ở các trường phổ
thông theo định hướng phát triển năng lực học
sinh trên tinh thần Nghị quyết 29-NQ/TW về đổi
mới căn bản toàn diện giáo dục đào tạo, việc thay
đổi từ dạy học theo cách tiếp cận nội dung
sang dạy học phát triển năng lực cho học sinh là
một hệ quả tất yếu. Nếu như dạy học tiếp cận nội

79


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

việc coi trọng suy diễn và coi nhẹ quy nạp. Nhưng
nếu đặt vấn đề “rèn luyện óc thông minh sáng
tạo” cho học sinh thì vai trò của “quy nạp” sẽ lên
ngang với “suy diễn” (Nguyễn Cảnh Toàn, 1997).

các em chỉ quen thuộc với khái niệm đại số. Việc
hiểu và vận dụng được các khái niệm này lại càng
khó khăn. Mặt khác, các khái niệm về giới hạn và
đạo hàm là những khái niệm cơ bản của giải tích,
việc nắm vững các khái niệm này vừa giúp các em
tiếp cận thành công một khía cạnh mới của Toán
học vừa là tiền đề giúp các em tìm hiểu các nội

dung khác của giải tích.

Lý thuyết kiến tạo như là một triết học không phải
là mới, nhưng việc thực hành lý thuyết đó vào nền
giáo dục hiện đại vẫn còn đang ở giai đoạn định
hình. Đến nay đã có nhiều nghiên cứu về các
phương pháp dạy học đổi mới theo hướng kiến
tạo. Trong bài viết này, chúng tôi chủ yếu tập
trung bàn về việc sử dụng các mô hình quy nạp để
làm rõ hơn con đường kiến tạo khái niệm cho học
sinh khi dạy học các khái niệm giải tích trong
chương trình lớp 11 trung học phổ thông (THPT)
hiện nay ở Việt Nam. Các tài liệu hiện hành về
phương pháp dạy học Toán hiện nay đưa ra chưa
nhiều mô hình cụ thể cho việc hình thành khái
niệm toán theo con đường quy nạp nên sinh viên
ngành Sư phạm Toán và giáo viên Toán đã gặp
nhiều khó khăn trong quá trình hình thành khái
niệm cho học sinh theo con đường quy nạp. Vì
vậy, việc đưa ra nhiều mô hình hình thành khái
niệm trong Toán học nói chung và trong giải tích
nói riêng theo con đường quy nạp là một yêu cầu
cần thiết hiện nay. Các khái niệm giải tích khá
mới mẻ với học sinh lớp 11 khi từ trước đến nay

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trước hết, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các quan
điểm về lý thuyết kiến tạo, quy nạp khoa học và
các mô hình hình thành khái niệm theo con đường
quy nạp (Nguyễn Phú Lộc, 2010). Từ đó, chúng

tôi sẽ làm rõ quy trình vận dụng các mô hình quy
nạp theo quan điểm kiến tạo vào dạy học một số
khái niệm giải tích trong chương trình toán lớp 11
THPT.
2.1 Lý thuyết kiến tạo
Lý thuyết kiến tạo (constructivism) được đề xuất
vào khoảng những năm 60 của thế kỷ 20 bởi Jean
Piaget (1896 – 1980), nhà tâm lý học và triết học
người Thụy Sĩ. Từ đó cho tới nay, nó đã ảnh
hưởng sâu rộng trong giáo dục và trở thành một
xu hướng hiện đại được nhiều nước phát triển trên
thế giới quan tâm.

80


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89
Hình 1. Chu trình kiến tạo tri thức mới

Lý thuyết kiến tạo cơ bản được trình bày dựa trên
hai nguyên tắc sau (Von Glasersfeld, 1989):

đầu từ kiến thức đang có của học sinh để hình
thành kiến thức mới. Kiến thức “mới” nhanh
chóng trở thành kiến thức “cũ” và chu trình kiến
tạo mới lại bắt đầu và phát triển không ngừng theo
nhiều vòng rộng dần ra để làm giàu tri thức cho
người học. Trong quá trình kiến tạo tri thức, học
sinh có thể phải trải qua nhiều lần thất bại để có
được một tri thức mới. Người giáo viên cần động

viên, hỗ trợ học sinh để các em có đủ niềm tin và
động lực trong quá trình kiến tạo tri thức.

• Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi
chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp
thu một cách thụ động từ môi trường bên
ngoài.
• Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại
thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức
không phải là khám phá một thế giới độc lập
đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể.

2.2 Quy nạp khoa học

Như vậy, theo quan điểm kiến tạo, kiến thức được
học sinh hình thành chứ không phải áp đặt lên học
sinh qua môi trường bên ngoài. Giáo viên không
thể truyền đạt sự hình thành khái niệm của mình
đến đầu óc của học sinh mà chỉ có thể truyền tải
các thông tin cần thiết để các em sử dụng các
thông tin đó như một nguồn có ích cho sự hình
thành khái niệm (Trần Vui, 2017). Học sinh xây
dựng nên kiến thức cho chính mình bằng cách thử
nghiệm các ý tưởng từ những kinh nghiệm và hiểu
biết đã có, từ đó áp dụng những hiểu biết này vào
tình huống mới và liên kết với những kiến thức
mới. Con đường kiến tạo tri thức của học sinh
được mô tả như trong Hình 1. Chu trình này bắt

Hiện tượng a

xuất hiện trong
các điều kiện A,

Quy nạp khoa học là phép quy nạp không hoàn
toàn được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu một bộ
phận cần khái quát. Song quy nạp khoa học có đặc
trưng là kết luận của nó phản ánh chính xác các
dấu hiệu bản chất của cả lớp rút ra từ một bộ phận
đối tượng thông qua mối liên hệ tất yếu của các
đối tượng trong lớp. Quy nạp khoa học dựa trên
cơ sở thiết lập các mối liên hệ nhân quả giữa các
hiện tượng. Để xây dựng các mô hình hình thành
khái niệm theo con đường quy nạp, chúng tôi dựa
vào ba phương pháp để xác định mối liên hệ nhân
quả của các hiện tượng của John Stuart Mill
(1843) sau đây: phương pháp tương đồng, phương
pháp cộng biến và phương pháp loại trừ.

Hiện tượng a
xuất hiện trong
các điều kiện A,

Hiện tượng a
xuất hiện trong
các điều kiện A,

Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a.
Hình 2. Sơ đồ mô tả phương pháp tương đồng

Phương pháp tương đồng được Mill xem là

phương pháp quan sát bởi dựa vào việc quan sát
các trường hợp để rút ra những yếu tố nào đó có
mặt trong mọi trường hợp đang xét. Sơ đồ của

phương pháp này được mô tả tóm tắt như trong
Hình 2.
Phương pháp cộng biến và phương pháp loại trừ
được mô tả theo các sơ đồ như sau:
81


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Hiện tượng a1
xuất hiện trong
các điều kiện
A1, B, C.

Hiện tượng a
xuất hiện trong
các điều kiện A,
B, C.

Hiện tượng a2
xuất hiện trong
các điều kiện
A2, B, C.

Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a.
Hình 3. Sơ đồ mô tả phương pháp cộng biến

Hiện tượng a, b, c
xuất hiện trong các
điều kiện A, B, C.
Hiện tượng b xuất hiện
trong điều kiện B.

Hiện tượng c xuất hiện
trong điều kiện C.

Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a.
Hình 4a. Sơ đồ mô tả phương pháp loại trừ

82


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Hiện tượng a xuất
hiện trong các điều
kiện A, B, C.
Hiện tượng a xuất
hiện trong các
điều kiện A, C.

Hiện tượng a xuất
hiện trong các điều
kiện A, B.

Có thể điều kiện A là nguyên nhân của hiện tượng a.

Hình 4b. Sơ đồ mô tả phương pháp loại trừ

2.3 Các mô hình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp
2.3.1 Mô hình quan sát – tìm kiếm
Mô hình gồm ba bước được mô tả như trong Hình 5. Bước chính yếu nhất trong mô hình này là học sinh
tìm kiếm các tính chất chung trong các ví dụ được giáo viên đưa ra trước.
Bước 1. Quan sát
Học sinh quan sát
các ví dụ liên quan
đến khái niệm

Bước 3. Kết luận
Khái quát hóa từ đặc
điểm chung để được định
nghĩa khái niệm.

Bước 2. Tìm kiếm
Học sinh tìm ra thuộc tính
chung, đặc trưng của các
đối tượng đang xem xét.
Hình 5. Mô hình quan sát – tìm kiếm

Mô hình quan sát – tìm kiếm có thể được tiến hành theo sơ đồ kiến tạo tri thức như sau:
Giáo viên đặt vấn đề, đưa
ra các ví dụ phù hợp để
hình thành khái niệm mới

Tri thức mới

Học sinh dựa trên những kiến

thức đã biết, thảo luận theo
nhóm tìm các tính chất chung

Học sinh phát biểu định
nghĩa khái niệm dưới sự
hướng dẫn của giáo viên

Giáo viên khuyến khích học
sinh trình bày, bảo vệ ý kiến
trước lớp

Giáo viên nhận xét, đánh giá các ý
kiến của học sinh, kết luận tên khái
niệm và các đặc trưng của khái niệm

Hình 6. Sơ đồ kiến tạo khái niệm với mô hình quan sát – tìm kiếm

2.3.2 Mô hình quan sát – tìm đoán

duy hơn để phán đoán ra các đặc trưng (theo định
hướng của giáo viên) ẩn chứa bên dưới các ví dụ.
Do vậy, điểm cần chú ý trong mô hình này là ở
bước thứ nhất, giáo viên nên đưa số lượng ví dụ ít
hơn nhưng có nhiều đặc điểm chung hơn so với
mô hình quan sát – tìm kiếm và nên có nhiều yếu
tố gây “nhiễu” nhằm kích thích học sinh tư duy,
tìm tòi, phán đoán.

Mô hình này được đề xuất dựa trên phương pháp
tương đồng (Hình 2) và phương pháp loại trừ theo

sơ đồ thứ hai của Mill (Hình 4b), cũng gồm ba
bước tương tự như trong mô hình quan sát – tìm
kiếm (Hình 7). Tuy nhiên, nếu trong mô hình
quan sát – tìm kiếm học sinh có thể quan sát các
ví dụ để nhận ra các đặc điểm chung cần thiết thì
trong mô hình này, học sinh cần phải tích cực tư
83


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Bước 1. Quan sát
Học sinh quan sát
các ví dụ liên quan
đến khái niệm.

Bước 2. Tìm đoán
Học sinh phân tích để
phán đoán ra thuộc tính
đặc trưng theo định
hướng của giáo viên.

Bước 3. Kết luận
Khái quát hóa từ đặc
điểm chung để được
định nghĩa khái niệm.

Hình 7. Mô hình quan sát – tìm đoán cho dạy học khái niệm

Bước quan trọng nhất trong mô hình này là bước

2, giáo viên nên khuyến khích, động viên học sinh
đưa ra ý kiến cá nhân nhận xét về các đặc điểm
chung của các đối tượng đang xem xét và hướng
về đặc điểm mà người giáo viên mong muốn bằng
câu hỏi: “Trong các ví dụ trên có chung tính chất
a (hay một số tính chất) mà thầy (cô) đặc biệt chú
ý, các em hãy đoán xem đó là tính chất gì?”. Mỗi
khi học sinh chỉ ra một tính chất không là a, giáo

viên cho thêm ví dụ có tính chất a mà không có
tính chất học sinh vừa đưa ra nhằm bác bỏ ý kiến
của học sinh. Cứ như thế, đến khi học sinh rút ra
đúng tính chất a cần dùng để định nghĩa (Hình 8).
Nếu sau một thời gian nhất định (theo kế hoạch
của giáo viên) học sinh không tìm ra tính chất a để
định nghĩa thì giáo viên có thể tự cho thêm một ví
dụ và phản ví dụ, hoặc giáo viên gợi ý (nếu cần)
sao cho học sinh dễ nhận ra tính chất a.

Giáo viên đặt vấn đề, đưa ra các ví dụ phù
hợp để hình thành khái niệm mới

Học sinh dựa trên những kiến thức đã biết,
thảo luận theo nhóm, dự đoán một tính chất
chung a theo định hướng của giáo viên

Cho ví dụ không chứa thuộc tính a

Thuộc tính a không phù hợp

Thuộc tính a phù hợp
Giáo viên kết luận, giới thiệu tên và các thuộc
tính đặc trưng của khái niệm

Học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm

Tri thức mới

Hình 8. Sơ đồ kiến tạo khái niệm với mô hình quan sát – tìm đoán

84


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

2.3.3 Mô hình cộng biến
Bước 1. Quan sát
Học sinh quan sát một số ví
dụ trong đó có một nguyên
nhân gây ra sự thay đổi của
một hiện tượng.

Bước 2. Phát hiện
Dẫn dắt học sinh phân
tích để rút ra nguyên
nhân của hiện tượng.

Bước 3. Kết luận
Khái quát hóa từ đặc
điểm chung để được

định nghĩa khái
niệm.

Hình 9. Mô hình cộng biến cho dạy học khái niệm

Mô hình này được đề xuất trên cơ sở tư tưởng
phương pháp cộng biến (Hình 3) và phương pháp
loại trừ theo sơ đồ thứ nhất của Mill (Hình 4a).

thì hiện tượng cũng thay đổi theo. Và ở bước thứ
hai, giáo viên nên dẫn dắt học sinh phát hiện ra
các đặc điểm của từng ví dụ, từ đó phân tích, so
sánh để thấy đâu là nguyên nhân gây ra sự thay
đổi của hiện tượng và đó cũng chính là thuộc tính
bản chất của khái niệm cần định nghĩa. Có thể
kiến tạo khái niệm theo mô hình này như sơ đồ ở
Hình 10.

Trong mô hình cộng biến, việc dạy học một khái
niệm có thể tiến hành theo ba bước: quan sát, phát
hiện và kết luận (Hình 9). Điểm cần lưu ý khi vận
dụng mô hình này là ở bước thứ nhất, giáo viên
cần khéo léo thiết kế các ví dụ sao cho học sinh
thấy được khi thay đổi các điều kiện quan trọng
Giáo viên đặt vấn đề, đưa ra lần lượt
các ví dụ, ví dụ sau mở rộng từ ví dụ
trước bằng cách thêm (bớt) một vài
giả thiết phù hợp để học sinh quan sát
sự thay đổi

Học sinh dựa trên những kiến
thức đã biết, phân tích, dự đoán
nguyên nhân làm thay đổi các
đặc điểm của đối tượng đang
xem xét

Giáo viên kết
luận, giới thiệu
tên và các thuộc
tính đặc trưng của
khái niệm

Học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm

Tri thức mới

Hình 10. Sơ đồ kiến tạo khái niệm theo mô hình cộng biến

Cho ba dãy số (1), (2), (3) như sau:

2.4 Vận dụng các mô hình hình thành khái
niệm theo con đường quy nạp vào dạy học
một số khái niệm giải tích trong chương
trình môn Toán lớp 11 THPT
Trong phần này, chúng tôi sẽ vận dụng các mô
hình vừa trình bày ở phần trên để thiết kế một số
tình huống dạy học các khái niệm giải tích trong
chương trình môn Toán lớp 11 THPT: cấp số
cộng, hàm số liên tục và đạo hàm của hàm số tại
một điểm.

(1)

1, 2, 3, 4, 5, 6,…

(2)

3, 1, -1, -3, -5,…

(3)

-5, -2, 1, 4, 7, 10,…

Bước 2. Tìm kiếm
Giáo viên: Ba dãy số này cùng có chung một tính chất.
Dựa vào các tính chất về dãy số đã được học, các em
hãy tìm xem tính chất chung đó là gì?
Học sinh thảo luận theo nhóm để đưa ra các đặc
điểm chung như: số nguyên, dãy tăng, bị chặn
dưới, số hạng đứng sau bằng số hạng đứng kề
trước cộng cùng một số…

2.4.1 Dạy học khái niệm cấp số cộng
2.4.1.1 Sử dụng mô hình quan sát - tìm kiếm
Bước 1. Quan sát
85


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Giáo viên khuyến khích học sinh đưa ra các ý
kiến, đưa ra các lập luận để bảo vệ ý kiến của
mình, không nên vội vàng kết luận tính đúng sai
các ý kiến của học sinh.

Khả năng 2: Nếu học sinh đưa ra đặc điểm: dãy số
dương, giáo viên cho biết đó là một đặc điểm
chung của hai dãy số đó nhưng chưa phải là đặc
điểm mà thầy cô muốn nhắc tới và đưa ra thêm
dãy thứ ba cũng có tính chất này mà không phải
dãy số dương để phủ nhận ý kiến học sinh:

Bước 3. Kết luận, phát biểu định nghĩa
Giáo viên kết luận tính chất chung chính xác của ba
dãy số đã cho là: dãy số nguyên có tính chất kể từ
số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số
hạng đứng kề trước cộng với một số không đổi.
Giáo viên nêu tên khái niệm “cấp số cộng” và tổ
chức cho học sinh phát biểu định nghĩa.

(3)

-5, -2, 1, 4, 7, 10,…

Khả năng 3: Nếu học sinh đưa ra đặc điểm: dãy số
tăng, giáo viên cũng nhận xét như trên và đưa ra
thêm dãy thứ tư cũng có tính chất này mà không
phải dãy số tăng để phủ nhận ý kiến học sinh:

Lưu ý rằng để học sinh có thể dễ dàng khái quát

hóa chính xác định nghĩa, giáo viên có thể đưa ra
một dãy số không nguyên có cùng tính chất đó ở
trong ví dụ ban đầu. Nếu học sinh không nêu ra
được đặc điểm cần dùng để định nghĩa cấp số
cộng thì giáo viên có thể gợi ý: tìm mối liên hệ
giữa số đứng sau với số đứng kề trước nó?

(4)

10, 5, 0, -5, -10,…

Nếu học sinh dự đoán chưa đúng, giáo viên lặp lại
quá trình tương tự như trên sao cho cuối cùng học
sinh dự đoán đúng (gợi ý nếu cần).
Bước 3. Kết luận, phát biểu định nghĩa
Giáo viên nêu tên khái niệm “cấp số cộng” và tổ
chức cho học sinh phát biểu định nghĩa.

Như vậy, vấn đề quan trọng nhất khi vận dụng mô
hình này là giáo viên cần thiết kế các ví dụ sao
cho các tính chất chung của các đối tượng trong ví
dụ vừa đủ để định nghĩa khái niệm, nếu thiếu hoặc
thừa tính chất thì dễ gây khó khăn cho học sinh.
Và người giáo viên cần khéo léo dẫn dắt để học
sinh phát biểu được định nghĩa chính xác.

Như vậy, điểm khác biệt khi vận dụng mô hình
quan sát – tìm kiếm và mô hình quan sát – tìm
đoán là cách người giáo viên thiết kế ví dụ và tạo
tình huống có vấn đề. Tùy vào nội dung khái

niệm, đối tượng học sinh, mục đích dạy học,… để
người giáo viên lựa chọn mô hình phù hợp.

2.4.1.2 Sử dụng mô hình quan sát – tìm đoán

2.4.2 Dạy học khái niệm hàm số liên tục

Bước 1. Quan sát

Khi dạy học khái niệm hàm số liên tục, chúng ta có
thể sử dụng mô hình cộng biến như sau.

Cho hai dãy số (1), (2) như sau:
(1)

1, 2, 3, 4, 5, 6,…

(2)

3, 6, 9, 12, 15,…

Bước 1. Quan sát
Giáo viên đưa ra bài toán sau: Tính lim f ( x),
x 1

Bước 2. Tìm đoán

trong đó f ( x) 

Giáo viên: Hai dãy số trên có một đặc điểm giống

nhau mà thầy cô đặc biệt chú ý, các em thử dự
đoán xem đặc điểm đó là đặc điểm gì?

x 1
x 1
2

(1).

Giáo viên gọi một học sinh lên bảng tính giới hạn
này. Trong khi học sinh tính giới hạn, giáo viên vẽ
đồ thị của hàm số (1) (Hình 11).

Khả năng 1: Nếu học sinh phát hiện ra ngay đặc
điểm: số hạng đứng sau bằng số hạng đứng kề
trước cộng cùng một số, lúc bấy giờ giáo viên sẽ
cho học sinh biết dãy số (1) và (2) là cấp số cộng
và yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa cấp số
cộng một cách tổng quát.

Giáo viên: Ta có lim f ( x)  2, tại sao đồ thị của
x 1

(1) bị “ngắt quảng” tại điểm có tọa độ (1,2)?
Học sinh: Vì hàm số không xác định tại x = 1.

86


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các đặc điểm, tính
chất của hàm số (2), so sánh với hàm số (1).
Học sinh: hàm số (2) xác định tại x = 1; f(1) = 3,
và lim f ( x)  2, …
x 1

Giáo viên vẽ đồ thị hàm số (2) (Hình 12) và nhận
xét: hàm số (2) xác định tại x = 1 với f(1) = 3, và

lim f ( x)  2, nhưng đồ thị của (2) vẫn bị “đứt”
x 1

tại (1,2). Tại sao?

x2 1
y  f ( x) 
.
x 1

Hình 11. Đồ thị hàm số

Học sinh: Vì lim f ( x)  f (1).
x 1

Bây giờ mở rộng hàm số (1) thành hàm số (2) như

 x 1
khi x  1


sau: y  f ( x)   x  1
3
khi x  1


Giáo viên: Vậy, cần thay f(1) của hàm số trên
bằng bao nhiêu để đồ thị trên không bị “đứt”?

2

(2)

Học sinh: Đồ thị của hàm số là một đường thẳng
không bị “đứt” tại điểm (1,2) khi f(1) = 2.

Bước 2. Phát hiện

Hình 12. Đồ thị hàm số (2)

Hình 13. Đồ thị hàm số (3)

Bước 3. Kết luận

 x2 1
khi x  1

Giáo viên: Như vậy chúng ta xét hàm số y  f ( x)   x  1
2
khi x  1


(3) có đồ thị như ở Hình

13 là một đường liền nét và lim f ( x)  2  f (1). Trong trường hợp này, người ta nói rằng hàm số (3)
x 1

liên tục tại x = 1. Một cách tổng quát, các em thử phát biểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
2.4.3 Dạy học khái niệm đạo hàm
Khi dạy học khái niệm đạo hàm, ta có thể sử dụng mô hình quan sát – tìm kiếm như sau:
Bước 1. Quan sát
Xét hai ví dụ sau đây:

87


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Ví dụ 1

Ví dụ 2
Cho một ô tô chuyển động thẳng.
Quãng đường s của ô tô chuyển động
là một hàm số của thời gian t: s =
s(t). Hãy tìm một đại lượng đặc trưng
cho độ nhanh chậm của chuyển động
tại thời điểm t0.
Giáo viên: Trong khoảng thời gian từ

t0 đến t, ô tô đi được quãng đường
bao nhiêu?

Học sinh: Quãng đường đi được là

s  s0  s(t )  s(t0 ).
Cho hàm số f(x) = - x2 +4 có đồ thị (P) như hình vẽ, điểm A thuộc
(P) có hoành độ bằng 1. Xét điểm M thuộc (P) có hoành độ 1 + h,
h là một số khác 0, nhưng rất gần với số 0.

Giáo viên: Xét

a. Chứng minh hệ số góc của đường thẳng AM là:

s  s0 s  t   s  t0 

.
t  t0
t  t0

m

Có nhận xét gì về tỉ số này khi ô tô
chuyển động đều?

f 1  h   f 1
h

b. Tính giới hạn k của m khi h dần tới 0?

Học sinh: Tỉ số trên là một hằng số.

c. Vẽ đường thẳng d đi qua A, có hệ số góc k tìm được ở câu b.

Nhận xét về đường thẳng AM khi h dần tới 0.

Giáo viên nhận xét nếu chuyển động
không đều thì tỉ số trên là vận tốc
trung bình của chuyển động trong

Giáo viên dẫn dắt học sinh làm câu a và tính được giới hạn:

f 1  h   f 1
k  lim m  lim
 2.
h 0
h 0
h

gần t 0 , tức là t  t0 càng nhỏ thì
vận tốc trung bình càng thể hiện được
chính xác hơn mức độ nhanh chậm

Từ đó viết được phương trình của đường thẳng d:

y  2 x  5

của chuyển động tại thời điểm t 0 .

Học sinh nhận xét được khi h dần tới 0 thì đường thẳng AM
trùng vào đường thẳng d. (Giáo viên có thể sử dụng các phần
mềm hình học động để cho học sinh quan sát thấy).
Giáo viên giới thiệu đường thẳng đó được gọi là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 1 và yêu cầu học sinh nhận xét về

hệ số góc của tiếp tuyến.
Học sinh: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại
điểm x = 1 là:

k  lim
h 0

khoảng thời gian t  t0 . Khi t càng

f 1  h   f 1
.
h

88

Từ đó, ta có đại lượng đặc trưng cho
độ nhanh chậm của chuyển động tại
thời điểm t 0 , hay còn gọi là vận tốc
tức thời vtt của chuyển động tại thời
điểm t 0 được tính bằng công thức:

vtt  lim
t  t0

s  t   s  t0 
.
t  t0


An Giang University Journal of Science – 2018, Vol. 20 (2), 79 – 89

Bước 2. Tìm kiếm

năng lực phân tích, trừu tượng hóa, khái quát hóa
của người học. Để quá trình dạy học thực sự phát
huy hết hiệu quả của nó, giáo viên cần biết vận
dụng, kết hợp một cách linh hoạt các mô hình
khác nhau, các phương pháp khác nhau, tạo môi
trường phù hợp cho học sinh tự khám phá, tìm tòi,
từ đó phát triển được các phẩm chất và năng lực
cần thiết cho người học, góp phần thực hiện thành
công đổi mới giáo dục hiện nay.

Giáo viên: Ở trong hai ví dụ trên có hai giới hạn
mà chúng ta xét đến. Vậy hai giới hạn đó có đặc
điểm giống nhau gì?
Khả năng 1: Nếu học sinh phát hiện ra đặc điểm:
cả hai giới hạn đều có dạng lim

x  x0

f  x   f  x0 
.
x  x0

Giáo viên giới thiệu tiếp: giới hạn đó nếu tồn tại
hữu hạn thì được gọi là đạo hàm của hàm số y =
f(x) tại điểm x0.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa XI.
(2013). Nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị
Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo. Hà Nội.

Bước 3. Kết luận
Giáo viên: Một cách tổng quát, giới hạn

lim

x  x0

f  x   f  x0 
được gọi là đạo hàm của
x  x0

Đoàn Quỳnh. (2011). Sách giáo khoa Đại số và
giải tích lớp 11 cơ bản và nâng cao. Hà Nội:
Nhà xuất bản Giáo dục.

hàm số f(x) khi nào? Học sinh phát biểu, giáo viên
chỉnh sửa (nếu cần) để có một định nghĩa chính
xác khái niệm đạo hàm.

Lydia Misset. (2010). Délic mathématiques 1ESL.
Paris: Hachette éducation.

Khả năng 2: Nếu học sinh dự đoán chưa đúng,
giáo viên cần gợi ý cho học sinh ở ví dụ 1, đặt

Nguyễn Bá Kim. (2002). Phương pháp dạy học
môn Toán. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm Hà Nội.

x  h  1; x0  1  h  x  x0 . Khi h dần về 0
thì x dần về x0 . Từ đó hướng dẫn học sinh viết

Nguyễn Cảnh Toàn. (1997). Phương pháp luận
duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên
cứu toán học (Tập 1, 2). Hà Nội: Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội.

lại biểu thức tính giới hạn và so sánh.
Học sinh:

lim

x  x0

Cả hai giới hạn trên đều có dạng

f  x   f  x0 
.
x  x0

Nguyễn Phú Lộc. (2010). Dạy học hiệu quả môn
giải tích trong trường phổ thông. Hà Nội: Nhà
xuất bản Giáo dục.

Giáo viên: dẫn dắt học sinh đến với khái niệm đạo

hàm như ở khả năng 1.

Trần Vui. (2017). Từ các lý thuyết học đến thực
hành trong giáo dục toán. Huế: Nhà xuất bản
Đại học Huế.

3. KẾT LUẬN
Việc sử dụng các mô hình quy nạp nói trên vào
dạy học hình thành khái niệm cho học sinh không
những giúp học sinh hiểu sâu khái niệm mà còn
tạo cơ hội cho các em tự phát hiện khái niệm, tự
kiến tạo tri thức theo đúng quan điểm của lý
thuyết kiến tạo, từ đó phát huy tính tích cực và các

Von Glasersfeld, E. (1989). Constructivism in
Education. In T. Husen & N. Postlethwaite
(Eds.),
International
Encyclopedia
of
Education (Supplementary Vol., pp 162-163).
Oxford: Pergamon.

89