Điểm bất động của ánh xạ dạng ε - δ CO trong thang các không gian Banach

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ DẠNG    CO
TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH
Nguyễn Bích Huy1
Võ Duy Thượng2
1.

Mở đầu
Bài toán Cauchy tìm hàm x : 0, a   X (X là một không gian Banach)

thoả mãn
x '  t   f t , x t  ,

t   0, a  ,

x  0   xo ,

vốn ban đầu được nghiên cứu với ánh xạ f tác động từ  0,a   X vào X, sau
này nhờ khái niệm “thang các không gian Banach” đã được mở rộng cho một
lớp ánh xạ f tác động từ  0,a   X vào một X’ mở rộng hơn X [1,4-6].
Một cách tự nhiên, ta muốn xét bài toán tương tự về mở rộng một số
định lí điểm bất động của ánh xạ f tác động từ X vào X lên trường hợp f tác
động từ X vào một X '  X . Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một mở
rộng định lí điểm bất động của ánh xạ dạng    co của Leader [2,3] lên
trường hợp ánh xạ tác động trong một thang các không gian Banach.
2.

Các kết quả chính

Định nghĩa
Một họ các không gian Banach  X s , . s  , s   a , b  gọi là một thang các

không gian Banach nếu với mỗi cặp s , s'   a , b  mà s  s' thì
X s'  X s ,

Định lí 1
Giả sử
qs :



x s  x s'

là tập số tự nhiên và

ii) qs  m , n   qs  m , k   qs  k , k   qs  k , n 

1
2

PGS. TS. – Trường ĐHSP TP. HCM
ThS. – Trường CĐSP Long An

32

q

  0,   thoả mãn các điều kiện sau:

i) qs  m , n   qs'  m , n  nếu s  s'

x  X s'

s

: s   a , b  là họ các hàm


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 14 năm 2008

iii) Với mỗi   0 và s   a , b  tồn tại số   0 và số r 
s', s''   s , b  , s''  s' và m , n 

sao cho với

thì

qs'  m , n       qs''  m  r , n  r   

Thế thì lim qs  m , n   0

s   a , b 

m ,n 

Chứng minh
1

 qs  m , n   qs  n , m   nếu cần, ta có thể coi qs là
2
đối xứng, nghĩa là qs  m , n   qs  m , n  .

Bằng cách xét hàm





Đặt Mms  n   max qs  i , m  n  : i  n , n  m
Bước

Cố
định
inf  M  n  : n  , s'  s, b  0 (1)

m,

1:

ta

chứng

minh

rằng

s'

m

Giả sử trái lại, vế trái của (1) bằng   0 . Ta chọn số   0 , số r 
tương ứng với  theo điều kiện iii) của định lí sao cho
(2)
s  s''  s', qs'  m , n       qs''  m  r , n  r   
Vì vế trái của (1) bằng  nên ta tìm được s'   s, b  , n 

sao cho

Mms'  n      và do đó

qs'  j , m  n     

j  n , n  m

Lấy s''   s, s'  , ta có do (2)
qs''  j  r , m  n  r   

hay qs''  i , n  m  r   

j  n , n  m

i  n  r , n  m  r . Vậy Mms''  n  r    .

Điều này mâu thuẫn với giả sử của ta rằng vế trái của (1) bằng  .
Bước 2: Cho   0 , ta chọn các số  ,r theo điều kiện (ii) của định lí để
có (2).
Áp dụng (1) với m= r , ta tìm được s'  s và no 

sao cho Mrs'  no   min ,  (3)
 2

Lấy m  no , ta sẽ chứng minh qs  m , no  r    . Thật vậy, ta chọn k 
sao cho no  m  kr  no  r (4)
Từ

định

nghĩa

của

Mrs'  no 

và

(3),

(4)

ta

có

qs'  m  kr , no  r   Mrs'  no    . Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện ii) của định lí

và được
q s '  m  kr , n o   q s '  m  kr , n o  r   q s'  n o  r , n o  r   q s '  n o  r , n o 
 

 
   
2 2

33


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng

Từ đây và (2), ta có
qs''  m  kr  r , no  r   

với s''   s , s'  .

Lại áp dụng điều kiện ii) và i) ta được
q s ''  m  kr  r , n o   q s ''  m  kr  r , n o  r   q s ''  n o  r , n o  r   q s ''  n o  r , n o 
<   q s '  n o  r , n o  r   q s'  n o  r , n o 
 

 
   
2 2

và do vậy, lại có thể áp dụng (2) để có
qs'''  n  kr  2r , no  r   

với s'''   s, s'' 

Lặp lại một số lần cần thiết lý luận như trên, ta có
qs  m , no  r   
m  no

(5)

Bây giờ, với m  no , n  no , áp dụng (5), ta có
qs  m , n   qs  m , no  r   qs  no  r , no  r   qs  no  r , n   3

Định lí 1 được chứng minh.
Định lí 2
Cho thang các không gian Banach

 X , .  , s a,b
s

s

và ánh xạ

U : X s'  X s liên tục với mỗi cặp s , s'   a , b  mà s  s' và thoả mãn điều kiện

(A) sau đây
(A) Với mỗi   0 , mỗi s   a , b  tồn tại số      , s   0 , r  r   , s  

*

sao

cho khi s  s''  s ' ta có
x , y  Xs' , x  y s'      U r  x   U r  y 

s''



Khi đó U có trong mỗi X s , s   a , b  điểm bất động suy nhất x s . Dãy
lặp U n  x  với x  Xb hội tụ về x s .
Chứng minh
Với x , y  Xb

ta

định

nghĩa

hàm

qs :



  0,  

bởi

qs  m, n  U m  x   U n  x  . Do định nghĩa thang các không gian Banach, ta có
s

qs  m , n   qs'  m , n  nếu s  s' . Dễ thấy điều kiện ii) trong định lí 1 cũng được

thoả mãn. Ta kiểm tra qs thoả điều kiện iii). Với   0 và s   a , b  ta chọn
 ,r theo điều kiện (A). Với s"  s' và qs'  m , n   U m  x   U n  y  s'     , ta

có U r U m  x    U r U n  y     hay qs"  m  r , n  r    . Vậy hàm qs thoả tất
s"

cả các điều kiện của định lí 1 nên ta có lim qs  m , n   0 . Do đó U n  x   và
m ,n 

34


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 14 năm 2008

U  y  

n 

n

là các dãy Cauchy tương đương trong X s . Đặt x s  lim U n  x  trong

X s , ta sẽ chứng minh xs  U  xs  . Lấy s  s thì do U liên tục từ X s vào X s nên




Mặt khác lim U U  x    lim U  x   x
 X là liên tục ta cũng có lim U U  x    x

lim U U n  x   U  xs  trong X s

n 
n

n 

Xs

n1

n 

s

trong X s nên do phép nhúng

s

trong X s . Vậy U  xs   xs .

n

s

n



Để chứng minh sự duy nhất ta giả sử có x  X s thoả x  U x . Chọn

   là hai dãy Cauchy tương đương trong

s  s , ta có U n  x  , U n x



x  U n x , xs  U n  xs 

n 

X s . Mà

nên từ đây ta có x  xs .

Định lí 2 được chứng minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag.
[2]. Le Hoan Hoa, K.Schmitt (1994), Fixed point theorems of Krasnoselskii
type in locally convex space and applications to integral equation Results in
Mathematics, 25, 291-313.
[3]. S.Leader (1982), Two convergence principles with applications to fixed
points in metric space, Nonlinear Analysis, 6513-538.
[4]. L.Nirenberg (1986), Bài giảng về giải tích hàm phi tuyến, NXB Đại học
và trung học chuyên nghiệp.
[5]. T.Nishida (1977), A note on Nirenberg’s theorem as an abstract form of a

nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem in a scale of Banach spaces, J. Diff.
Geom,12, 629-633.
[6]. L.Ovcyanikov (1971), Bài toán Cauchy phi tuyến trong thang các không
gian Banach DAN SSSR, 200, 789-792.

Tóm tắt
Trong bài báo chúng tôi chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một
lớp ánh xạ dạng    co trong thang các không gian Banach.
Abstract
Fixed points a class of    contractive operators in a scale of Banach
spaces
In the present paper we prove the existence of fixed points for a class of
   constractive operators in a scale of Banach spaces.
35