bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC


NGUYỄN ĐỨC LỢI



BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




NGUYỄN ĐỨC LỢI


BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 3
1.1 Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . 11

2 Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến
phân trong không gian Hilbert 15
2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Cô
trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong
Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức
phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác giả xin
bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo,
Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Nguyễn Đức Lợi
ii
BẢNG KÝ HIỆU
R trường số thực

∅ tập rỗng
R
n
không gian Euclide n-chiều
|x| giá trị tuyệt đối của x
||x|| chuẩn của véctơ x
x, y tích vô hướng của hai phần tử x và y
B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ > 0
B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ > 0
int C phần trong của tập hợp C
∂C biên của tập hợp C
D(F ) miền xác định của ánh xạ F
iii
Mở đầu
Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia [7] đưa ra nghiên cứu
vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biên
của phương trình đạo hàm riêng. Kể từ đó bất đẳng thức biến phân
và phương pháp giải bài toán này luôn là một đề tài thời sự, được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H được
phát biểu như sau:
Tìm phần tử u
∗
∈ C sao cho : F (u
∗
), v − u
∗
 ≥ 0, ∀v ∈ C, (1)
ở đây C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : C → H là
một ánh xạ phi tuyến. Bất đẳng thức biến phân (1) tương đương với

bài toán điểm bất động:
u
∗
= P
C
(u
∗
− µF(u
∗
)), (2)
trong đó P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số
tùy ý. Nếu ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và
hằng số µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (2)
là ánh xạ co. Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy
lặp Picard
x
n+1
= P
C
(x
n
− µF(x
n
))
1
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1). Phương pháp này
được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu không dễ dàng
thực thi vì nó phụ thuộc vào độ phức tạp của tập lồi C bất kỳ. Để

khắc phục nhược điểm này, Yamada [9] (xem thêm [5]) đã đề xuất
phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert H. Từ đó đến nay đã có nhiều công trình mở rộng hướng
nghiên cứu của Yamada để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn theo hướng làm giảm nhẹ
điều kiện đặt lên thuật toán này hoặc mở rộng cho bài toán tổng quát
hơn đối với họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay họ vô hạn không
đếm được các ánh xạ không giãn.
Mục đích của luận văn là trình bày một cải biên của phương pháp
lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất
động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert trên cơ sở bài báo [6] công bố năm 2012.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực và bài
toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert cùng phương
pháp lai đường dốc nhất giải bài toán này.
Trong chương 2 trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn
đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
2
Chương 1
Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert
Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức và kết quả cơ bản
về không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn và bất đẳng thức biến
phân trong không gian Hilbert. Các kiến thức của chương này được
viết dựa trên các tài liệu [1], [2] và [7].
1.1 Không gian Hilbert thực
Định nghĩa 1.1. Không gian tuyến tính H xác định trên trường số

thực R được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định một
hàm hai biến ·, · : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau:
(i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
(iii) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H;
(iv) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R.
Hàm ·, · thỏa mãn bốn tính chất trên được gọi là tích vô hướng
3
trên H và x, y là tích vô hướng của hai phần tử x và y.
Nhận xét 1.1. Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến
tính định chuẩn với chuẩn của x ∈ H xác định bởi ||x|| =

x, x.
Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. R
n
là một không gian Hilbert với tích vô hướng
x, y =
n

k=1
ξ
k
η
k
,
trong đó x = (ξ
1
, ξ

2
, . . . , ξ
n
) ∈ R
n
và y = (η
1
, η
2
, . . . , η
n
) ∈ R
n
.
Ví dụ 1.2. l
2
=

x = (x
1
, x
2
, . . . ) |
∞

i=1
|x
i
|
2

< ∞

là một không gian
Hilbert với tích vô hướng
x, y =
∞

i=1
x
i
y
i
trong đó x = (x
1
, x
2
, . . . ), y = (y
1
, y
2
, . . . ) là các dãy số thực trong l
2
.
Bổ đề 1.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó các biểu thức
sau đúng:
(i) ||tx + (1 − t)y||
2
= t||x||
2
+ (1 − t)||y||

2
− t(1 − t)||x − y||
2
với
mọi x, y ∈ H và t ∈ [0, 1].
(ii) ||x + y||
2
≤ ||x||
2
+ 2y, x + y với mọi x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.3. Dãy {x
n
}
∞
n=1
trong không gian Hilbert H được gọi
là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim
n→∞
x
n
, y = x, y với mọi
y ∈ H. Dãy {x
n
}
∞
n=1
được gọi là hội tụ mạnh nếu lim
n→∞
||x
n

− x|| = 0.
Ký hiệu x
n
 x chỉ sự hội tụ yếu, x
n
→ x chỉ sự hội tụ mạnh của
dãy {x
n
} đến phần tử x ∈ H.
4
Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ H được gọi là tập lồi nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx
1
+ (1 − λ)x
2
∈ C.
Ví dụ 1.3. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng,
đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập C ⊆ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội
tụ {x
n
} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là

∀{x
n
} ⊂ C : x

n
→ x

⇒ x ∈ C.
Ví dụ 1.4. Hình cầu đóng B(¯x, r) = {x ∈ H : ||x − ¯x|| ≤ r} tâm ¯x,
bán kính r > 0 là tập đóng.
Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, F : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ F được gọi
là:
(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
||F (x) − F(y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C.
Nếu 0 < L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co, nếu L = 1 thì F được gọi
là ánh xạ không giãn;
(ii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C,
F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên B;
(iii) đơn điệu trên C, nếu
F (x) − F(y), x − y ≥ 0 , ∀x, y ∈ C;
(iv) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao
5
cho
F (x) − F(y), x − y ≥ η||x − y||
2
, ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.7. Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H là tập
lồi đóng, khác rỗng. Ánh xạ T : C → C được gọi là κ-giả co chặt nếu
tồn tại một hằng số κ ∈ [0, 1) sao cho
||T (x) − T (y)||
2
≤ ||x − y||
2

+ κ||(I − T)(x) − (I − T )(y)||
2
, ∀x, y ∈ C,
ở đây I là toán tử đồng nhất trong không gian Hilbert H.
Trong định nghĩa này, nếu κ = 0 thì T là một ánh xạ không giãn.
Vì thế lớp các ánh xạ không giãn chứa trong lớp các ánh xạ κ-giả co
chặt.
Bổ đề 1.2. Cho H là không gian Hilbert thực, F : H → H là một ánh
xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, hằng số µ cố định thỏa
mãn 0 < µ < 2η/L
2
. Khi đó I − µF là ánh xạ co với hằng số co 1 − τ,
trong đó τ =
1
2
µ(2η − µL
2
).
Bổ đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và T : C → C là ánh xạ không giãn. Nếu có một dãy
{x
n
} trong C sao cho x
n
 z và (I − T )x
n
→ y, thì (I − T )z = y.
Bổ đề 1.4. Cho H là không gian Hilbert thực, dãy {x
k
} ⊂ H bị chặn.

Khi đó



∞

k=1
ω
k
x
k



2
=
∞

k=1
ω
k
||x
k
||
2
−

1≤k<l<∞
ω
k

ω
l
||x
k
− x
l
||
2
, (1.1)
ở đây {ω
k
} (k = 1, 2, . . . ) là dãy các số thực thuộc (0, 1) và
∞

k=1
ω
k
= 1.
6
Chứng minh. Với bất kỳ số nguyên dương m, đặt S
m
=
m

k=1
ω
k
. Từ Bổ
đề 1.1 (i), ta nhận được




∞

k=1
ω
k
x
k



2
=



m

k=1
ω
k
x
k
+
∞

k=m+1
ω
k

x
k



2
=



m

k=1
ω
k
x
k



2
+ 2

m

k=1
ω
k
x
k

,
∞

k=m+1
ω
k
x
k

+ ||
∞

k=m+1
ω
k
x
k
||
2
= ||S
m
m

k=1
ω
k
x
k
/S
m

||
2
+ R
m
= S
2
m

m

k=1
ω
k
||x
k
||
2
/S
m
− 1/S
2
m

1≤k<l≤m
ω
k
ω
l
||x
k

− x
l
||
2

+ R
m
= S
m
m

k=1
ω
k
||x
k
||
2
−

1≤k<l≤m
ω
k
ω
l
||x
k
− x
l
||

2
+ R
m
,
trong đó
R
m
= 2

m

k=1
ω
k
x
k
,
∞

k=m+1
ω
k
x
k

+



∞


k=m+1
ω
k
x
k



2
.
Vì
∞

k=1
ω
k
x
k
hội tụ, nên lim
m→∞
R
m
= 0. Vậy ta có điều phải chứng
minh.
Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H là tập con lồi đóng của
H, T : C → C là một ánh xạ, {T
k
} : H → H (k = 1, 2, . . . ) là một họ
vô hạn đếm được các ánh xạ trên H. Ký hiệu Fix(T ) là tập các điểm

bất động của ánh xạ T , tức là Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x} và đặt
F :=
∞

k=1
Fix(T
k
).
Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert H được trình bày trong định lý sau đây:
7
Định lý 1.1. Cho C ⊂ H là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng
trong không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn.
Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử ¯x ∈ C sao cho T (¯x) = ¯x.
Mối liên hệ giữa tập điểm bất động của ánh xạ không giãn và tập
điểm bất động của ánh xạ giả co chặt được trình bày trong bổ đề sau.
Bổ đề 1.5. Giả sử T : H → H là một ánh xạ κ-giả co chặt, và α là
một hằng số thỏa mãn điều kiện κ ≤ α < 1. Đặt
T
α
= αI + (1 − α)T, (1.2)
khi đó T
α
là ánh xạ không giãn và Fix(T
α
) = Fix(T ).
Bổ đề 1.6. Cho H là không gian Hilbert thực và T
k
: H → H (k =
1, 2, . . . ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn với F = ∅.

Đặt T =
∞

k=1
ω
k
T
k
trong đó dãy {ω
k
} ⊂ (0, 1) sao cho
∞

k=1
ω
k
= 1. Khi
đó T là ánh xạ không giãn và Fix(
∞

k=1
ω
k
T
k
) = F.
Chứng minh. Trước hết, ta có
||T (x) − T(y)||
2
=




∞

k=1
ω
k
T
k
(x) −
∞

k=1
ω
k
T
k
(y)



2
=



∞

k=1

ω
k
(T
k
(x) − T
k
(y))



2
≤
∞

k=1
ω
k
||T
k
(x) − T
k
(y)||
2
≤ ||x − y||
2
∀x, y ∈ H.
Suy ra, T là ánh xạ không giãn.
8
Tiếp theo ta dễ thấy rằng F ⊂ Fix(
∞


k=1
ω
k
T
k
). Bây giờ ta sẽ chứng
minh bao hàm thức ngược lại Fix(
∞

k=1
ω
k
T
k
) ⊂ F. Thật vậy, lấy một
điểm cố định u ∈ F, với bất kỳ x ∈ Fix(
∞

k=1
ω
k
T
k
), từ Bổ đề 1.4 ta có
||x − u||
2
=




∞

k=1
ω
k
T
k
(x) − u
2
=



∞

k=1
ω
k
(T
k
(x) − T
k
(u))



2
=
∞


k=1
ω
k
||T
k
(x) − T
k
(u)||
2
−

1≤k<l<∞
ω
k
ω
l
||T
k
(x) − T
l
(x)||
2
≤
∞

k=1
ω
k
||x − u||

2
−

1≤k<l<∞
ω
k
ω
l
||T
k
(x) − T
l
(x)||
2
= ||x − u||
2
−

1≤k<l<∞
ω
k
ω
l
||T
k
(x) − T
l
(x)||
2
.

Suy ra

1≤k<l<∞
ω
k
ω
l
||T
k
(x) − T
l
(x)||
2
= 0.
Từ đây suy ra
T
k
(x) = T
l
(x), ∀ k, l = 1, 2, . . .
và
T
l
(x) =
∞

k=1
ω
k
T

k
(x) = x, ∀ l = 1, 2, . . . .
Do đó, Fix(
∞

k=1
ω
k
T
k
) ⊂ F.
Bổ đề 1.7. Cho H là không gian Hilbert thực và T
k
: H → H (k =
1, 2, . . . ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn với F = ∅.
9
Đặt T =
∞

k=1
ω
k
T
k
, trong đó {ω
k
} ⊂ (0, 1) sao cho
∞

k=1

ω
k
= 1. Giả sử
L
n
=
n

k=1
ω
k
T
k
/S
n
, S
n
=
n

k=1
ω
k
. (1.3)
Khi đó, L
n
hội tụ đều tới T trên mỗi tập con bị chặn S của H.
Chứng minh. Để ý rằng vì S là tập bị chặn và T
k
là các ánh xạ không

giãn nên M = sup
x∈S, k≥1
||T
k
x|| < ∞. Với mọi x ∈ S, ta có
||L
n
(x) − T (x)|| =



n

k=1
ω
k
T
k
(x)/S
n
−
∞

k=1
ω
k
T
k
(x)




=



n

k=1
(ω
k
− ω
k
S
n
)T
k
(x)/S
n
−
∞

k=n+1
ω
k
T
k
(x)




≤



n

k=1
(1 − S
n
)ω
k
T
k
(x)/S
n



+



∞

k=n+1
ω
k
T
k

(x)



≤ (1 − S
n
)/S
n
n

k=1
ω
k
||T
k
(x)|| +
∞

k=n+1
ω
k
||T
k
(x)||
≤ M(1 − S
n
)/S
n
+ M
∞


k=n+1
ω
k
.
Để ý rằng (1 − S
n
)/S
n
→ 0 và
∞

k=n+1
ω
k
→ 0 khi n → ∞, suy ra
||L
n
(x) − T (x)|| → 0 khi n → ∞.
Định nghĩa 1.8. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của
không gian Hilbert thực H, phép chiếu mêtric P
C
từ H lên C cho
tương ứng mỗi x ∈ H với phần tử P
C
(x) ∈ C thỏa mãn
x − P
C
(x) ≤ x − y với mọi y ∈ C.
10

Một tính chất quan trọng của phép chiếu mêtric được trình bày
trong bổ đề sau:
Bổ đề 1.8. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Cho x ∈ H và z ∈ C, khi đó z = P
C
(x) nếu và chỉ
nếu
x − z, y − z ≤ 0, ∀y ∈ C. (1.4)
1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng
khác rỗng của H. Ánh xạ phi tuyến F : C → H là đơn trị.
Định nghĩa 1.9. Bài toán tìm phần tử x
∗
∈ C thỏa mãn
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.5)
được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân ( variational inequality
problem), ký hiệu là VI(F, C).
Tập nghiệm của bài toán (1.5) được ký hiệu là Sol(VI(F, C)).
Ví dụ 1.5. Cho f(x) là một hàm thực khả vi trên K = [a, b]. Bài
toán tìm x
0
∈ K sao cho
f(x
0
) = min
x∈K

f(x).
tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x
0
∈ [a, b] sao
cho
f

(x
0
)(x − x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ K.
11
Bổ đề 1.9. Giả sử C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, F : C → H là ánh xạ liên tục L-Lipschitz và
η-đơn điệu mạnh. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.5) có duy nhất
nghiệm.
Nhận xét 1.2. Phần tử x
∗
∈ int C là nghiệm của bài toán (1.5) khi
và chỉ khi F(x
∗
) = 0.
Chứng minh. (⇒) Giả sử x
∗
∈ Sol(VI(F, C))∩ intC. Chọn ε > 0 sao
cho B(x
∗
, ε) ⊂ C, ở đây B(x
∗

, ε) = {x ∈ C : ||x − x
∗
|| < ε}. Ta có
B(x
∗
, ε) = x
∗
+ εB(0, 1). Thay x = x
∗
+ εv, v ∈ B(0, 1) vào bất đẳng
thức (1.5) ta được
εF (x
∗
), v ≥ 0 ⇔ F (x
∗
), v ≥ 0 ∀v ∈ B(0, 1).
Thay v = −v ta được





F (x
∗
), v ≥ 0;
F (x
∗
), v ≤ 0.
Suy ra F (x
∗

), v = 0 với mọi v ∈ B(0, 1). Do đó F (x
∗
) = 0.
Ngược lại, nếu F(x
∗
) = 0 thì bất đẳng thức (1.5) được thỏa mãn.
Do đó x
∗
∈ Sol(VI(F, C)).
Định nghĩa 1.10. Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của không
gian Hilbert H. Giả sử ¯x ∈ C. Khi đó tập hợp
N
C
(¯x) = {x
∗
∈ H | x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ C}
được gọi là nón pháp tuyến của C tại ¯x.
12
Nhận xét 1.3. Việc tìm x
∗
∈ ∂C thỏa mãn (1.5) tương đương với
việc giải bao hàm thức 0 ∈ F (x) + N
C
(x
∗
), trong đó ∂C = C \ int C.
Ví dụ 1.6. Lấy H = R, F (x) = x
2

, C = (−∞; 1]. Khi đó,
Sol(VI(F, C)) = {0}.
Định lý 1.2. Giả sử ánh xạ F : C → H bị chặn Lipschitz trên C và
η-đơn điệu mạnh trên C. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.5) có duy
nhất nghiệm x
∗
∈ C thỏa mãn
||x
∗
− u|| ≤
1
η
||F (u)||, (1.6)
trong đó u ∈ C là một điểm tùy ý.
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trong
nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,
điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính,
. . . . Như phần Mở đầu đã đề cập đến, một trong những phương pháp
giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm
bất động. Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến
phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích
hợp. Bài toán (1.5) tương đương với
x
∗
= P
C
(x
∗
− µF(x
∗

)), (1.7)
trong đó P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số. Nếu
F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh, L-liên tục Lipschitz trên C và µ > 0
đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.7) là ánh xạ co.
Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard
x
n+1
= P
C
(x
n
− µF(x
n
))
13
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.5). Phương pháp
này được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu có ưu điểm
là tốc độ hội tụ nhanh. Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính
toán phép chiếu mêtric P
C
không dễ tính toán vì phụ thuộc vào độ sự
phức tạp của tập con lồi, đóng bất kỳ C. Để khắc phục khó khăn này,
Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid steepest
descent) vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau:
Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H là một ánh xạ không
giãn sao cho C = Fix(T) = ∅. Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn
điệu mạnh và L-liên tục Lipchitz trên D(F ). Cho µ ∈


0,
2η
L
2

và
{λ
n
}
n≥1
⊂ (0, 1] là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện:
(C
1
) : lim
n→∞
λ
n
= 0;
(C
2
) :
∞

n=1
λ
n
= ∞;
(C
3

) : lim
n→∞
λ
n
− λ
n+1
λ
2
n+1
= 0.
Lấy tùy ý phần tử x
0
∈ H, dãy lặp {x
n
}
∞
n=1
được xác định bởi:
x
n+1
= T (x
n
) − λ
n+1
µF (T (x
n
)) , n = 0, 1, 2, . . .
(1.8)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x
∗

của bài toán bất đẳng thức biến
phân (1.5).
14
Chương 2
Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm
bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert
Chương này trình bày kết quả trong [6] về phương pháp lai đường
dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert.
Cho H là một không gian Hilbert thực, {T
n
}
∞
n=1
: H → H là một
họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn. Đặt F =
∞

n=1
Fix(T
n
).
Trong chương này ta xét bài toán V I(F, F):
Tìm phần tử x
∗
∈ F sao cho F (x
∗
), x − x

∗
 ≥ 0 ∀x ∈ F, (2.1)
ở đây F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục
Lipschitz. Theo Bổ đề 1.9, bất đẳng thức biến phân (2.1) có duy nhất
nghiệm.
Một số phương pháp lặp giải bài toán (2.1) thường dùng đến W
n
-
ánh xạ xác định bởi các ánh xạ không giãn T
n
, T
n−1
, . . . , T
1
và các số
15
thực α
n
, α
n−1
, . . . , α
1
được giới thiệu bởi Takahashi và Shimoji:
U
n,n+1
= I,
U
n,n
= α
n

T
n
U
n,n+1
+ (1 − α
n
)I,
U
n,n−1
= α
n−1
T
n−1
U
n,n
+ (1 − α
n−1
)I,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U
n,k
= α
k
T
k
U
n,k+1
+ (1 − α
k
)I,

U
n,k−1
= α
k−1
T
k−1
U
n,k
+ (1 − α
k−1
)I,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U
n,2
= α
2
T
2
U
n,3
+ (1 − α
2
)I,
W
n
= U
n,1
= α
1
T

1
U
n,2
+ (1 − α
1
)I,
trong đó I là ánh xạ đồng nhất của H và α
n
∈ (a, b) ⊂ (0, 1). Yao và
các cộng sự (xem [10]) đã chứng minh dãy lặp {x
n
} xác định bởi:
u
n+1
= (1 − γ
n
)F
n
x
n
+ γ
n
W
n
F
n
x
n
, (2.2)
với F

n
= I − λ
n
F , λ
n
∈ (0, 1) thỏa mãn lim
k→∞
λ
n
= 0,
∞

n=1
λ
n
= ∞ và
γ
n
∈ [a, 1/2], a > 0 hội tụ mạnh tới nghiệm của bài toán (1.5).
Năm 2013, Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Hồng Phương (xem [3])
đã đề xuất hai phương pháp lặp ẩn trong không gian Banach:
x
n
= V
n
(I − λ
n
F )x
n
, n ≥ 1,

và
x
n
= γ
n
(I − λ
n
F )x
n
+ (1 − γ
n
)V
n
x
n
, n ≥ 1,
với việc sử dụng ánh xạ V
n
xác định bởi
V
n
= V
1
n
, V
i
n
= T
i
T

i+1
. . . T
n
, T
i
= (1 − α
i
)I + α
i
T
i
, i = 1, 2, . . . , n,
16
với α
i
∈ (0, 1) thỏa mãn
∞

i=0
α
i
< ∞ đơn giản hơn ánh xạ W
n
và chứng
minh được sự hội tụ mạnh của phương pháp. Chú ý rằng, ánh xạ W
n
,
cũng như ánh xạ V
n
chứa nhiều tính toán phức tạp trên các ánh xạ T

i
và đòi hỏi quá trình tính toán lớn.
Trong [6], tác giả đã đưa ra một nghiên cứu mới, bằng việc sử dụng
ánh xạ L
n
xác định bởi (1.3) trong Bổ đề 1.7 để tìm nghiệm của bất
đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipchitz trên tập điểm bất
động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert. Ánh xạ L
n
đơn giản hơn ánh xạ W
n
và V
n
, không
chứa nhiều tính toán trên các ánh xạ T
i
, có cấu trúc đơn giản hơn,
dễ thực thi hơn, đồng thời ta có thể sử dụng tính toán song song khi
dùng ánh xạ này.
Mở rộng kết quả trên của Songnian và Wenwen, năm 2014 trong [4]
các tác giả đã đề xuất hai phương pháp lặp hiện mới
x
n+1
= (1 − γ
n
)x
n
+ γ
n

L
n
F
n
x
n
, n = 1, 2, · · ·
và
x
n+1
= (1 − γ
n
)L
n
x
n
+ γ
n
F
n
x
n
, n = 1, 2, · · ·
trong đó F
n
= A − λ
n
F bằng việc sử dụng ánh xạ L
n
để giải bất đẳng

thức biến phân (1.5) trong không gian Banach.
17
2.1 Mô tả phương pháp
Cho {T
n
} (n = 1, 2, . . . ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ
không giãn từ không gian Hilbert H vào chính nó sao cho
F :=
∞

n=1
Fix(T
n
) = ∅.
Đặt
T (x) =
∞

n=1
ω
n
T
n
(x)
với {ω
k
} ⊂ (0, 1) sao cho
∞

k=1

ω
k
= 1 và
L
n
=
n

k=1
ω
k
T
k
/S
n
n = 1, 2, . . .
trong đó S
n
=
n

k=1
ω
k
. Theo Bổ đề 1.7, L
n
hội tụ đều tới T trên mọi
tập con bị chặn S trong H. Theo Bổ đề 1.6, ta suy ra rằng
Fix(
∞


k=1
ω
k
T
k
) =
∞

k=1
Fix(T
k
) =: F.
Do đó bài toán VI(F, F) tương đương với VI(F,Fix(T )). Dãy lặp {x
n
}
bởi công thức
x
n+1
= λ
n
(I − µF )(x
n
) + (1 − λ
n
)L
n
(x
n
), (2.3)

trong đó {λ
n
} ⊂ (0, 1) và µ > 0 là hằng số. Ta sẽ chứng minh dãy
{x
n
} được định nghĩa bởi (2.3) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x
∗
của bài toán VI(F, F) với một số điều kiện nhất định.
Ta dùng ω
ω
(x
n
) = {x : ∃x
n
j
 x} để ký hiệu tập giới hạn yếu
ω-limit của dãy {x
n
} trong không gian Hilbert H.
18
2.2 Sự hội tụ mạnh
Trước hết ta nhắc lại bổ đề sau đây:
Bổ đề 2.1. Giả sử {α
n
} là dãy các số thực không âm thỏa mãn
α
n+1
≤ (1 − γ
n
)α

n
+ γ
n
δ
n
+ σ
n
, n = 0, 1, 2, . . . (2.4)
trong đó {γ
n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1), {δ
n
}
∞
n=0
và {σ
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện:
(i)
∞

n=1
γ
n

= ∞;
(ii) lim sup
n→∞
δ
n
≤ 0;
(iii)
∞

n=1
|σ
n
| < ∞.
Khi đó lim
n→∞
α
n
= 0.
Định lý 2.1. Giả sử rằng F : H → H là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và
L-liên tục Lipschitz. Lấy một hằng số µ ∈ (0, 2η/L
2
) và dãy {λ
n
} ⊂
(0, 1) thỏa mãn các điều kiện:
(i) lim
n→∞
λ
n
= 0;

(ii)
∞

n=0
λ
n
= ∞;
(iii)
∞

n=0
|λ
n+1
− λ
n
| < ∞ hoặc lim
n→∞
λ
n
λ
n+1
= 1.
Với x
0
∈ H bất kỳ và xác định dãy {x
n
} bởi (2.3). Khi đó dãy {x
n
}
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, F).

Chứng minh. Định lý được chứng minh theo ba bước.
Bước 1: Trước hết ta chỉ ra dãy {x
n
} bị chặn. Thật vậy, theo Bổ đề 1.2,
I − µF là ánh xạ co với hằng số co 1 − τ, trong đó τ =
1
2
µ(2η − µL
2
).
19
Với x
∗
∈ Fix(T ) và T : H → H là ánh xạ không giãn thì:
||x
n+1
− x
∗
|| = ||λ
n
(I − µF )(x
n
) + (1 − λ
n
)L
n
(x
n
) − x
∗

||
= ||λ
n
[(I − µF )(x
n
) − x
∗
] + (1 − λ
n
)(L
n
(x
n
) − x
∗
)||
= ||λ
n
[(I − µF )(x
n
) − x
∗
] + (1 − λ
n
)(L
n
(x
n
) − L
n

(x
∗
))||
≤ λ
n
||(I − µF )(x
n
) − x
∗
|| + (1 − λ
n
)||L
n
(x
n
) − L
n
(x
∗
)||
≤ λ
n
||(I − µF )(x
n
) − x
∗
|| + (1 − λ
n
)||x
n

− x
∗
||
= λ
n
||(I − µF )(x
n
) − (I − µF )(x
∗
) − µF (x
∗
)||
+ (1 − λ
n
)||x
n
− x
∗
||
≤ λ
n
||(I − µF )(x
n
) − (I − µF )(x
∗
)|| + λ
n
||µF (x
∗
)||

+ (1 − λ
n
)||x
n
− x
∗
||
≤ λ
n
(1 − τ)||x
n
− x
∗
|| + λ
n
||µF (x
∗
)|| + (1 − λ
n
)||x
n
− x
∗
||
= (1 − λ
n
τ)||x
n
− x
∗

|| + λ
n
µ||F (x
∗
)||
= (1 − λ
n
τ)||x
n
− x
∗
|| + λ
n
µτ||F (x
∗
)||/τ
≤ max

||x
n
− x
∗
||,
µ
τ
||F (x
∗
)||

.

Bằng quy nạp ta được
||x
n+1
− x
∗
|| ≤ max

||x
0
− x
∗
||,
µ
τ
||F (x
∗
)||

.
Suy ra dãy {x
n
} bị chặn. Vì L
n
(n = 1, 2, . . . ) là ánh xạ không giãn
và F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz, nên
||L
n
(x
n
) − L

n
(x
∗
)|| ≤ max

||x
0
− x
∗
||,
µ
τ
||F (x
∗
)||

và
||F (x
n
) − F (x
∗
)|| ≤ L max

||x
0
− x
∗
||,
µ
τ

||F (x
∗
)||

.
20