Phương trình sóng tuyến tính liên kết với một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Thanh Sơn và các tác giả

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH
LIÊN KẾT VỚI MỘT BÀI TOÁN CAUCHY
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
Phạm Thanh Sơn*, Lê Khánh Luận†, Trần Minh Thuyết‡

1. Giới thiệu.
Bài báo đề cập đến bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng
tuyến tính sau đây
ìï u - m(t )u + K u + l u = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï tt
xx
t
a- 2
ïï
í m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1 u t (1, t ) u t (1, t ),
ïï
ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1( x ),
ïî

(1.1)

trong đó K , l , l 1, a là các hằng số cho trước; m, f , u%0, u%1 là các hàm cho trước
thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau; ẩn hàm u (x , t ) và giá trị biên chưa biết Y (t )
thoả mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường sau
ïìï Y ¢¢(t ) + pY ¢(t ) + qY (t ) = b u tt (0, t ), 0 < t < T ,
í
ïï Y (0) = Y 0 , Y ¢(0) = Y 1,

î

(1.2)

trong đó p, q, b , Y 0 , Y 1 là các hằng số cho trước, với p 2 - 4q < 0.
Bài toán (1.1), (1.2) và các dạng tương tự với các điều kiện biên khác nhau
đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [1] – [8]) và các tài liệu
tham khảo trong đó
Trong trường hợp m(t ) º 1, các tác giả Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình
Triều [1] đã xét bài toán (1.1)1,3, (1.2), với
f (x , t ) = 0, p = 0, q > 0, u%0 = u%1 = 0, Y 0 = 0,

(1.3)

trong đó điều kiện biên (1.1)2 được thay thế bởi
u x (0, t ) = Y (t ), u (1, t ) = 0.

(1.4)

*

Học viên Cao học Giải Tích K18, ĐHSP Tp. HCM,
ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM,
‡‡
TS, Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM,
†

39

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

Trong trường hợp này, bài toán (1.1)1,3, (1.2), (1.3), (1.4) mô tả dao động
của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tựa trên nền cứng.
Trong [2], Bergounioux, Long, Dinh, đã nghiên cứu bài toán (1.1)1,3, (1.2),
với
(1.5)

m(t ) º 1, p = 0, q > 0,

trong đó điều kiện biên (1.1)2 được thay thế bởi
u x (0, t ) = Y (t ), - u x (1, t ) = l 1u t (1, t ) + K 1u (1, t ),

(1.6)

với các hằng số cho trước l 1 > 0, K 1 ³ 0. Như vậy bài toán chúng tôi xét với
điều kiện biên phi tuyến tổng quát hơn (1.6) tương ứng với K 1 = 0.
Từ (1.2), ta biểu diễn Y (t ) theo dạng
t

Y (t ) = g(t ) + b u (0, t ) -

ò k (t -

s )u (0, s )ds,

(1.7)

0

trong đó
g(t ) = e - a t éê(Y 0 - u 0 (0))cos wt + w- 1 (aY 0 + Y 1 + a u 0 (0) - u 1(0))sin wt ùú,
ë
û
k (t ) = bw- 1e - a t éê2a w cos wt + (w2 - a 2 ) sin wt ùú,
ë
û

với a =

p
, w=
2

4q - p 2 .

Do đó bài toán (1.1), (1.2) được đưa về (1.1), (1.7).
Bài báo gồm 4 phần chính. Ở phần 1, dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi chứng minh bài toán
(1.1), (1.7) tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục. Các phần sau được xét trong
trường hợp a = 2. Phần 2 khảo sát tính trơn và tính ổn định của nghiệm phụ
thuộc vào dữ kiện bài toán. Phần 3 nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm
yếu khi l 1 ® 0+ . Cuối cùng, phần 4 trình bày một khai triển tiệm cận của nghiệm
yếu của bài toán (1.1) – (1.3) đến cấp N +

40

1
theo ba tham số bé K , l , l 1. Kết

2


Tp chớ KHOA HC HSP TP. HCM

Phm Thanh Sn v cỏc tỏc gi

qu thu c õy l mt s tng quỏt húa mt cỏch tng i cỏc kt qu trong
[1 5].
2. Cỏc kớ hiu
t W= (0,1). Trong bi ny, cỏc kớ hiu Lp = Lp (W), H m = H m (W) c
s dng v cho phộp chỳng tụi b qua nh ngha ca cỏc khụng gian hm thụng
dng ú. Tớch vụ hng trong L2 v chun sinh bi tớch vụ hng ny ln lt
c kớ hiu bi ỏìì
, ủ v || ì|| . Kớ hiu ỏìì
, ủ cng c dựng ch tớch i ngu
ca mt phim hm tuyn tớnh liờn tc vi mt phn t ca mt khụng gian hm.
Kớ hiu || ì||X l chun ca khụng gian Banach X . Kớ hiu
Lp (0,T ; X ), 1 Ê p Ê Ơ , ch khụng gian Banach cỏc hm thc u : (0,T ) đ X o

c, sao cho || u ||L ( 0,T ;X ) < + Ơ vi
p

1
ỡù
ùù ổ T
ửữp
p
,
ùù ỗỗũ || u (t ) ||X dt ữ

ứữ
|| u ||Lp ( 0,T ;X ) = ớ ốỗ 0
ùù
ùù ess sup || u (t ) || ,
X
ùùợ 0< t < T

khi 1 Ê p < + Ơ ,
khi p = Ơ .

Ta cng kớ hiu W (T ) = {v ẻ LƠ (0,T ; H 1 ) : vt ẻ LƠ (0,T ; L2 )} l khụng gian
Banach thc vi chun nh bi
|| v ||W (T ) = || vt ||LƠ (0,T ;L2 ) + || v ||LƠ (0,T ;H 1 ) .

B 2.1. Phộp nhỳng H 1 C 0 (W) l compact v
v

C 0 ( W)

Ê

2 v

H1

, " v ẻ H 1.

3. Tn ti v duy nht nghim
Ta thnh lp cỏc gi thit
(A1)

(u%0, u%1 ) ẻ H 1 L2 ,

(A2)

f ẻ L1(0,T ; L2 ),

(A3)

m ẻ C 0 ([0,T ]), m(t ) m0 > 0, mÂẻ L1(0,T ),

41


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

1,1

Số 18 năm 2009

(A4)

g, k Î W

(A5)

a ³ 2, b > 0, l 1 Î ¡ + , K , l Î ¡ .

(0,T ),

Khi đó, ta có định lí sau
Định lí 3.1. Cho T > 0. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó, bài toán (1.1),
(1.7) tồn tại duy nhất nghiệm yếu (u,Y ) Î W (T ) ´ L¥ (0,T ) sao cho
u (0, ×) Î L¥ (0,T ), u(1, ×) Î W

1, a

(0,T ).

(3.1)

Chứng minh định lí 3.1. Chứng minh định lí gồm 4 bước.
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Chọn cơ sở đặc biệt {w j } của H 1, nghiệm xấp xỉ
của (1.1), (1.7) được tìm dưới dạng
m

å

u m (t ) =

(3.2)

cmj (t )w j ,

j= 1

trong đó, cm j (t ) là nghiệm của hệ phương trình phi tuyến sau
ìï u ¢¢(t ), w + m(t ) u (t ), w + Y (t )w (0) + H (u ¢(1, t ))w (1)
ïï m
j

mx
jx
m
j
a
m
j
ïï
¢
+ Ku m (t ) + l u m (t ), w j = f (t ), w j ,
j = 1, m ,
ïï
ïï
ïï
ïí u (0) = u , u ¢(0) = u ,
0m
m
1m
ïï m
t
ïï
ïï Y m (t ) = g(t ) + b u m (0, t ) - ò k (t - s )u m (0, s )ds,
ïï
0
a- 2
ïï
z,
ïïî H a (z ) = z

(3.3)

trong đó,
m

u 0m =

å

a m jw j ® u%0

mạnh trong H 1,

(3.4)

b m jw j ® u%1

mạnh trong L2 .

(3.5)

j=1
m

u 1m =

å
j=1

42

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Thanh Sơn và các tác giả

Với T > 0 cho trước, chúng tôi sử dụng định lí điểm bất động Schauder để
chứng minh hệ (3.3) có nghiệm c(t ) = (c1(t ), ..., cm (t )) trên khoảng [0,T m ] Ì [0,T ].
Bổ đề 3.2. Cho T > 0 . Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó, tồn tại T m > 0 sao
cho hệ (3.3) có nghiệm c(t ) = (c1(t ),..., cm (t )) trên khoảng [0,T m ] Ì [0,T ].
Đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy T m = T , " m .
¢ (t ) và lấy tổng theo j ,
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm. Nhân (3.3)1 với cmj

sau đó tích phân theo biến thời gian với cận từ 0 đến t , và cuối cùng áp dụng bổ
đề Gronwall, chúng ta thu được kết quả như trong bổ đề sau:
Bổ đề 3.3. Tồn tại một hằng số C T(1) chỉ phụ thuộc vào T sao cho
t

|| u m¢(t ) ||2 + || u mx (t ) ||2 + u m2 (0, t ) + l 1 ò | u m¢(1, s ) |a ds £ C T(1), " t Î [0,T ], " m .
0

Bước 3. Qua giới hạn. Từ kết quả của Bổ đề 3.3 và các định lí nhúng
compact, ta thu được một dãy con của dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm yếu
của bài toán. Trong quá trình chuyển qua giới hạn của số hạng phi tuyến chúng
tôi đã sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 3.4. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau
ìï u ¢¢- m(t )u = F , 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï
xx
1

ïï m(t )u (0, t ) = b u (0, t ) + Y (t ), - m(t )u (1, t ) = Z (t ),
x
x
ïí
ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u ¢(x , 0) = u%1(x ),
ïï
¥
1
ïïî u Î W (T ), u (0, ×) Î L (0,T ), u (1, ×) Î H (0,T ), Y Î W

(3.6)
1,1

(0,T ).

Khi đó, ta có
t

1
1
1
1
1
|| u ¢(t ) ||2 + m(t ) || u x (t ) ||2 ³
|| u 1 ||2 + m(0) || u 0x ||2 + ò m¢(s ) || u x (s ) ||2 ds
2
2
2
2
2 0

t

-

ò Z (s )u ¢(1, s ) ds 0

b 2
b
u (0, t ) + u 02 (0) - Y (t )u (0, t ) + Y (0)u 0 (0)
2
2

43


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

t

Số 18 năm 2009

t

+ ò Y ¢(s )u (0, s ) ds +
0

ò áF (s ), u ¢(s )ñds, a.e. t Î
1

[0,T ].

(3.7)

0

Hơn nữa, nếu u 0 = u 1 = 0 thì (3.7) xảy ra đẳng thức.
Bổ đề 3.4 được chứng minh bằng kĩ thuật tương tự như trong [8].
Bước 4. Sự duy nhất nghiệm. Để chứng minh sự duy nhất nghiệm yếu
chúng tôi sử dụng bổ đề 3.4 một lần nữa và kết hợp với bất đẳng thức Gronwall.
Từ đó định lí 3.1 được chứng minh.
Chú thích 1. Kết quả thu được tổng quát hóa các kết quả trước đây xem [12].
4. Tính trơn của nghiệm
Trong phần này, chúng tôi tăng cường thêm các giả thiết sau:
(B1)

(u%0 , u%1 ) Î H 2 ´ H 1,

(B2)

f , ft Î L1(0,T ; L2 ),

(B3)

m Î C 1([0,T ]), m(t ) ³ m0 > 0, m¢¢Î L1(0,T ),

(B4)

g, k Î W

(B5)

a = 2, b > 0, l 1 Î ¡ + , K , l Î ¡ .

2,1

(0,T ),

Khi đó, chúng tôi thu được nghiệm yếu (u,Y ) có tính trơn tốt hơn như sau:
Định lí 4.1. Cho T > 0. Giả sử (B1) – (B5) đúng. Khi đó, bài toán (1.1),
(1.7) tồn tại duy nhất nghiệm yếu (u,Y ) sao cho
ìï u Î L¥ (0,T ; H 2 ), u Î L¥ (0,T ; H 1 ), u Î L¥ (0,T ; L2 ),
ï
t
tt
í
ïï u (0, ×) Î W 1,¥ (0,T ), u (1, ×) Î H 2 (0,T ), Y Î W 1,¥ (0,T ).
ïî

(4.1)

Chứng minh định lí 4.1. Trong (3.3)1, thay a = 2, và sau đó lấy đạo hàm
¢¢(t ) và lấy tổng theo j , sau đó tích
theo biến thời gian t rồi nhân hai vế với cmj

44


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Thanh Sơn và các tác giả

phân với cận từ 0 đến t , và cuối cùng áp dụng bổ đề Gronwall, chúng tôi thu
được kết quả như bổ đề sau.
Bổ đề 4.2. Tồn tại một hằng số C T( 2) chỉ phụ thuộc vào T sao cho
t
2

2

2

¢ (t ) || + | u m¢(0, t ) | + l 1 ò | u m¢¢(1, s ) |2 ds £ C T( 2), " t Î [0,T ], " m .
|| u m¢¢(t ) || + || u mx
0

Từ các bổ đề 3.3 và 4.2, định lí 4.1 được chứng minh.
Chú thích 2. Ta suy ra từ (4.1) rằng
ìï u Î C 0 ([0,T ]; H 1 ) Ç C 1([0,T ]; L2 ) Ç L¥ (0,T ; H 2 ),
ï
í
ïï u t Î C 0 ([0,T ]; L2 ) Ç L¥ (0,T ; H 1 ), u tt Î L¥ (0,T ; L2 ).
ïî

(4.2)

Do đó, u , u x , u t , u xx , u xt , u tt Î L¥ (0,T ; L2 ) Ì L2 (QT ). Điều này dẫn đến
u Î H 2 (QT ) Ç L¥ (0,T ; H 2 ).

(4.3)

Từ (4.3) nếu (u%0, u%1 ) Î H 2 ´ H 1 thì thành phần u của nghiệm yếu (u,Y ) sẽ
thuộc vào không gian hàm H 2(QT ) Ç L¥ (0,T ; H 2 ). Nghiệm này khá giống với
nghiệm cổ điển thuộc C 2(QT ), mà (u%0 , u%1 ) không nhất thiết thuộc về
C 2( W) ´ C 1( W).

5. Sự ổn định của nghiệm vào dữ kiện của bài toán
Trong phần này, chúng tôi khảo sát tính sự ổn nghiệm của bài toán (1.1),
(1.7) tương ứng với a = 2. Giả sử các hàm (u%0 , u%1 ) thỏa giả thiết (B1). Theo định
lý 4.1, thì bài toán (1.1), (1.7) có duy nhất nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào
K , l , b , l 1, m, f , g, k .

u = u (K , l , b , l 1, m, f , g, k ), Y = Y (K , l , b , l 1, m, f , g, k ).

(5.1)

trong đó (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) thỏa các giả thiết (B2) – (B5).
Đặt
Á( m0 ) = {(K , l , b , l 1, m, f , g, k ) : (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) thỏa (B2) – (B5) }

45


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

với m0 > 0 là các hằng số cho trước.
Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 5.1. Giả sử (B1) – (B5) thỏa. Khi đó, với mỗi T > 0, nghiệm của
bài toán (1.1), (1.7) là ổn định với dữ kiện (K , l , b , l 1, m, f , g, k ) trong Á( m0 ),

nghĩa là:
Nếu (K , l , b , l 1, m, f , g, k ), (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ) Î Á( m0 ) sao cho
ìï
ïï | K j - K | + | l j - l | + | l 1j - l 1 |® 0,
ïï
j
j
j
í || m - m ||C 1 ([0,T ]) ® 0, || f - f ||L2 (Q ) + || ft - ft ||L2 (Q ) ® 0, khi j ® + ¥ , (5.2)
ïï
T
T
ïï || g j - g || 2,1 ® 0, || k j - k || 2,1 ® 0,
W (0,T )
W ( 0,T )
ïî

thì

(u , u (1, ×),Y ) ® (u, u(1, ×),Y ),
j

j

j

trong W (T ) ´ H 1(0,T ) ´ L2 (0,T ) khi j ® + ¥ , (5.3)

trong đó u j = u (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ), Y j = Y (K j , l j , b j , l 1j , mj , f j , g j , k j ) .
6. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l 1 ® 0+

Trong phần này, ta giả sử rằng a = 2 và (u%0, u%1, g, k , m, f , K , l , b ) thỏa các
giả thiết (A1) – (A5). Với mỗi l 1 > 0, do định lí 3.1 bài toán (1.1), (1.7) có duy
nhất nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào l 1 :
u = ul ,
1

Y = Yl .

(6.1)

1

Ta xét bài toán nhiễu sau, với l 1 > 0 là tham số nhỏ
ìï u - m(t )u + K u + l u = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
xx
t
ïï tt
ïï
ïï m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1u t (1, t ),
ïï
í u (x , 0) = u%0( x ), u t ( x , 0) = u%1(x ),
ïï
ïï
t
ïï
Y
(
t
)
=

g
(
t
)
+
b
u
(0,
t
)
ïï
ò k (t - s )u(0, s )ds.
ïî
0

46

(Pl )
1


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Thanh Sơn và các tác giả

Ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu (u,Y ) của bài toán

(Pl ) phụ thuộc vào tham số l 1.
1

Khi đó, ta có định lí sau
Định lí 6.1. Cho T > 0. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó
(i) Bài toán (P0 )

tương ứng với l 1 = 0

có nghiệm duy nhất

(u 0,Y 0 ) Î W (T ) ´ L¥ (0,T ) thỏa

u 0 (0, ×) Î L¥ (0,T ), u 0 (1, ×) Î H 1(0,T ).

(6.2)

(ii) Nghiệm (ul ,Y l ) hội tụ mạnh trong W (T ) ´ L¥ (0,T ) về (u 0 ,Y 0 ) khi
1

1

l 1 ® 0+ .

Hơn nữa, chúng ta có đánh giá tiệm cận
|| u l - u 0 ||W (T ) + l 1 || u l¢(1, ×) - u 0¢(1, ×) ||L2 ( 0,T ) + | Y l - Y 0 ||L¥ ( 0,T ) £ C T l 1 , (6.3)
1

1

1

trong đó, C T là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào T .

Chứng minh định lí 6.1.
i) Tương tự như chứng minh Định lí 3.1.
ii) Xét dãy {l 1m } sao cho l 1m ® 0+ , khi m ® ¥ , ta chứng minh được rằng
{(u l

1m

,Y l )} là dãy Cauchy trong W (T ) ´ L¥ (0, T ) . Từ đó ta suy ra rằng nghiệm
1m

(u l ,Y l ) hội tụ về (u 0,Y 0 ) mạnh trong W (T ) ´ L¥ (0,T ) khi l 1 ® 0+ .
1

1

7. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo ba tham số bé K , l , l 1
Trong phần này, ta giả sử a = 2, b ³ 0 và (u%0, u%1, m, f , g, k ) thỏa các giả thiết
(A1) – (A4). Với (K , l ) Î ¡ , l 1 Î ¡

+

thì từ định lí 3.1, bài toán (1.1), (1.7) có duy

nhất nghiệm yếu (u,Y ) phụ thuộc vào (K , l , l 1 ) : u = u (K , l , l 1 ), P = P (K , l , l 1 ).

47


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

Ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo ba tham số bé K , l , l 1 thỏa | K | £ K *,
| l | £ l *, 0 £ l 1 £ l 1* ( K *, l *, l 1* là các hằng số cố định).
ìï A u º u - m(t )u = - K u - l u + f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï
tt
xx
t
ïï
ïï m(t )u x (0, t ) = Y (t ), - m(t )u x (1, t ) = l 1u t (1, t ),
ï
í
ïï u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ),
ïï
t
ïï
ïï Y (t ) = g(t ) + b u (0, t ) - ò k (t - s )u (0, s )ds .
0
î

(PK ,l ,l )
1

Chúng tôi khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (PK ,l ,l ) º (Per ) theo
1

ba tham số bé K , l , l 1 tức là ta có thể xấp xỉ nghiệm yếu u bởi một đa thức theo
ba biến K , l , l 1 và đánh giá được sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp
xỉ.

Ở đây, ta sẽ dùng các kí hiệu sau, với đa chỉ số g = ( g1, g2 , g 3 ) Î ¢ 3+ và
r
e = (K , l , l 1 ) Î ¡ 3, ta đặt
ìï | g | = g + g + g , g ! = g ! g ! g !,
ïï
1
2
3
1
2
3
ïï r
r
ïí e g = K g1l g2 l g3 , || e ||= K 2 + l 2 + l 2 ,
1
1
ïï
ïï
3
ïïî a , b Î ¢ + , b £ a Û b i £ a i , " i = 1, 2, 3.

(7.1)

Giả sử u 0r º u 0,0,0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P%0r ) º (P%0,0,0 ) (như
trong định lí 3.1) ứng với (K , l , l 1 ) = (0, 0, 0), tức là
ïìï
ïï A u 0r = F0r º f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï
ïï m(t )u r (0, t ) = Y r (t ), - m(t )u r (1, t ) = 0,
0x

0
0x
ïï
(P%0r ) ïí u 0r (x , 0) = u%0(x ), u 0r¢(x , 0) = u%1(x ),
ïï
ïï
t
ïï Y 0r (t ) = g(t ) + b u 0r (0, t ) - ò k (t - s )u 0r (0, s )ds ,
0
ïï
ïï (u r ,Y r ) Î W (T ) ´ L¥ (0, T ), u r (0, ×) Î L¥ (0,T ), u r (1, ×) Î H 1(0, T ).
ïïî 0 0
0
0

48


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Thanh Sơn và các tác giả

Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu (u g ,Y g ), g Î ¢ 3+ , 1 £ g £ N được xác
định bởi các bài toán sau
ìï
ïï A u = F , 0 < x < 1, 0 < t < T ,
g
g
ïï
ïï

ïï m(t )u gx (0, t ) = Y g (t ), - m(t )u gx (1, t ) = Z g ,
ï
(P%g ) ïí u g (x , 0) = 0, u gt (x , 0) = 0,
ïï
ïï
t
ïï Y g (t ) = g(t ) + b u g (0, t ) - ò k (t - s )u g (0, s )ds,
0
ïï
ïï
¥
¥
1
ïïî (u g ,Y g ) Î W (T ) ´ L (0,T ), u g (0, ×) Î L (0,T ), u g (1, ×) Î H (0,T ).

trong đó Fg , Z g (t ), g £ N , được xác định bởi công thức truy hồi sau
ìï f (x , t ),
ïï
ïï
ïï 0,
ïï
ï
Fg = ïí - u g - 1, g ,g ,
1
2 3
ïï
ïï
ïï - u g¢1, g2 - 1,g3 ,
ïï
ïï - u

- u g¢, g - 1, g ,
1 2
3
ïî g1- 1, g2 ,g3

g = 0,
g1 = g 2 = 0, 1 £ g £ N
g1 ³ 1, g 2 = 0, 1 £ g £ N ,

(7.2)

g1 = 0, g 2 ³ 1, 1 £ g £ N ,
g1 ³ 1, g 2 ³ 1,

2 £ g £ N,

và
ìï g(t ),
ïï
ïï
ïï 0,
Z g = ïí
ïï u r¢(1, t ),
ïï 0
ïï
ïï u g¢1 ,g2 , g3 - 1(1, t ),
î

g = 0,
g 3 = 0, 1 £ g £ N

(7.3)

g 1 = g 2 = 0, 1 £ g £ N ,
2 £ g £ N.

Giả sử (u ,Y ) = (u er ,Y er ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (Per ). Khi đó
v= u-

å
g£N

r
uge g,

R =Y -

å

r
Y ge g,

(7.4)

g£N

thỏa bài toán sau

49

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

ìï A v + K v + l v = E (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T ,
ïï
t
N
ïï
ïï m(t )vx (0, t ) = R (t ), - m(t )vx (1, t ) = l 1vt (1, t ) + E%N (t ),
ï
í
ïï v(x , 0) = vt (x , 0) = 0,
ïï
t
ïï
ïï R (t ) = b v(0, t ) - ò k (t - s )v(0, s )ds,
0
î

(7.5)

trong đó
E N (x , t ) = -

å (Ku

g

r
r
+ l u g¢)e g , E%N (t ) = l 1 å u g¢(1, t )e g .

g=N

(7.6)

g=N

Bổ đề 7.1. Giả sử (A1) – (A4) thỏa. Khi đó ta có
i)

r
|| E N ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ C%1N || e ||N + 1,

(7.7)

r
ii) || E%N ||L ( 0,T ) £ C%2N || e ||N + 1,

(7.8)

2

trong đó C%1N và C%2N là các hằng số dương chỉ phụ thuộc vào các hằng số
r
|| e* ||, || u g ||L ( 0,T ;H ) , || u gt ||L ( 0,T ;L ) , || u g (0, ×) ||L ( 0,T ) , || u gt (1, ×) ||L ( 0,T ) , | g | = N .
¥

1

¥

2

¥

2

Kế tiếp, ta có định lí sau
Định lí 7.2. Giả sử (A1) – (A4) thỏa. Thì mọi (K , l ) Î ¡ , l 1 Î ¡

+

thỏa

| K | £ K *, | l | £ l *, 0 £ l 1 £ l 1* bài toán ( PK ,l ,l ) có duy nhất nghiệm yếu
1

(u ,Y ) = (u er ,Y er ) Î W (T ) ´ L¥ (0,T ) thỏa đánh giá tiệm cận tới cấp N +

1
như
2

sau
|| u -

å

r
u g e g ||W (T ) + l 1 || u ¢(1, ×) -

g£N

å

r
u g¢(1, ×)e g ||L2 ( 0,T )

g£N

+ || Y -

å

r
r N+1
Y g e g ||L¥ ( 0,T ) £ C%N* || e || 2 ,

(7.9)

g£N

với mọi (K , l ) Î ¡ , l 1 Î ¡

+

thỏa | K | £ K *, | l | £ l *, 0 £ l 1 £ l 1*, (u g ,Y g ) là

nghiệm yếu của bài toán (P%g ), g Î ¢ 3+ , | g | £ N , và C%N* là hằng số độc lập với
r
e = (K , l , l 1 ).

50


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Phạm Thanh Sơn và các tác giả

Chú thích 3. Trong [4], với trường hợp đặc biệt của bài toán (1.1), (1.7), thì
Long, Út, Trúc, đã đạt được khai triển tiệm cận của nghiệm tới cấp N + 1 theo
hai tham số bé (K , l ). Theo sự hiểu biết của chúng tôi, chưa có nhiều công trình
nghiên cứu về khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số bé, một số kết quả
về vấn đề này có thể tìm thấy trong [6, 7] và các tài liệu tham khảo trong đó.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Shock between absolutely

solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at
the side, J. Mech. NCSR. Vietnam, 13 (2), 1 – 7.
[2]. Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long (2001), Alain Phạm Ngọc

Định, Mathematical model for a shock problem involving a linear
viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43 (5), 547 – 561.
[3]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005),

On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound. Value

Probl, (3) 337 – 358.
[4]. Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On a

shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 63 (2),
198 – 224.
[5]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave

equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio
Math. 36 (4), 915 – 938.
[6]. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic

expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous
condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series
A: Theory and Methods, 67 (3), 842 – 864.
[7]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành

Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed
nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic
expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &
Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819.
51


Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM

Số 18 năm 2009

[8]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2009),

On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions

involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods &
Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11), 3943 – 3965.
Tóm tắt
Bài báo này nghiên cứu một bài toán biên cho phương trình sóng tuyến tính
u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , trong đó điều kiện biên
tại x = 0 liên kết với một phương trình vi phân thường cấp hai có vế phải là
b u tt (0, t )
và
điều
kiện
biên
tại
điểm
x= 1
có
dạng
- m(t )u x (1, t ) = l 1 u t (1, t )

a- 2

u t (1, t ), với K 1, l 1, a , b là các hằng số dương cho

trước. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu được chứng minh bằng phương pháp
Faedo – Galerkin. Trong trường hợp a = 2, tính ổn định và tính trơn của nghiệm
cũng được khảo sát. Cuối cùng, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận
nghiệm của bài toán tới cấp N +

1
theo ba tham số bé K , l , l 1.
2

Abstract.
A linear wave equation associated with
a cauchy problem for an ordinary differential equation
We consider the initial boundary value problem for the linear wave
equation u tt - m(t )u xx + K u + l u t = f (x , t ), 0 < x < 1, 0 < t < T , where the
boundary condition at x = 0 associated with a second order differential equation
and
the
boundary
condition
at
x= 1
in
the
form
- m(t )u x (1, t ) = l 1 u t (1, t )

a- 2

u t (1, t ), where K 1, l 1 and a

are given positive

constants. Existence and uniqueness of a weak solution are proved by using the
Faedo – Galerkin method. In the case of a = 2, the stability and regularity of
solutions are also discussed. Finally, we obtain an asymptotic expansion of the
solution of the problem up to order N +
parameters K , l , l 1.
52

1
in accordance with three small
2