Các dạng toán tổng hợp

Dạng I:
rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1)
2 5 125 80 605 +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+
;
3)
15 216 33 12 6 +
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
+

+
;
5)
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
;

6)
16 1 4
2 3 6
3 27 75

;
7)
4 3
2 27 6 75
3 5
+
;
8)
( )
3 5. 3 5
10 2
+
+
9)
8 3 2 25 12 4 192 +
;
10)
( )
2 3 5 2 +
;
11)
3 5 3 5 + +
;
12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + +

;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ +
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+
+
+ +
;
16)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+

;
17)
14 8 3 24 12 3
;
18)

4 1 6
3 1 3 2 3 3
+ +
+
;
19)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+
20)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
+ + +
.
Bài 2: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 3: Cho biểu thức

x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2



+ + +
ữ
ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :
a)
2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4

D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
;
b)
x x x x
P = 1 1
x 1 x 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

;
c)
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
+ +
;
d)
x 1 2 x 2
H =
x 2 1

Bài 6: Cho biểu thức
1 1 a 1
M = :
a a a 1 a 2 a 1
+

+
ữ
+

a) Rút gọn biểu thức M;
b) So sánh M với 1.
Bài 7: Cho các biểu thức
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 8: Cho biểu thức

2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một giá trị
nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P

là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.
Bài 10: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2

.
Dạng II
CC BI TON V HM S V TH
I.im thuc ng ng i qua im.
im A(x
A
; y
A
) thuc th hm s y = f(x) y
A

= f(x
A
).
Vớ d 1: Tỡm h s a ca hm s: y = ax
2
bit th hm s ca nú i qua im A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.2
2
a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y =
-2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
.
(d

2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) cắt (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)
d) (d
1
) (d

2
) a
1
a
2
= -1
IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx
2
(c 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx
2
= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx
2
để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .
VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x
0
;y

0
)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x
0
;y
0
vo cụng thc y = ax + b tỡm b.
2.Bit th hm s i qua im A(x
1
;y
1
) v B(x
2
;y
2
).
Do th hm s i qua im A(x
1
;y
1
) v B(x
2
;y
2
) nờn ta cú h phng trỡnh:
Gii h phng trỡnh tỡm a,b.
3.Bit th hm s i qua im A(x
0
;y

0
) v tip xỳc vi (P): y = cx
2
(c 0).
+) Do ng thng i qua im A(x
0
;y
0
) nờn cú phng trỡnh :
y
0
= ax
0
+ b (3.1)
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = cx
2
(c 0) nờn:
Pt: cx
2
= ax + b cú nghim kộp
(3.2)
+) Gii h gm hai phng trỡnh trờn tỡm a,b.
VII.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x
0
;y
0
) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x
0
;y

0
vo phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x
0
;y
0
nghim ỳng vi
mi m.
+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x
0
;y
0
.
VIII.Mt s ng dng ca th hm s.
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số.
Bài tập 1.
cho parabol y= 2x
2
. (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1. ( bằng hai phơng pháp đồ thị
và đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.

+(p) cắt (d).
Bài tập 2.
cho hàm số (p): y=x
2
và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d
1
vuông góc với AB và tiếp xúc với (P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm phân
biệt C,D sao cho CD=2.
Bài tập 3.
Cho (P): y=x
2
và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao
điểm của (a) và (d).
Bài tập 4.
cho hàm số
xy
2
1

=
(P)
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt
A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
Bài tập5.
cho hàm số y=2x
2
(P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m.
Bài tập 6.
cho hàm số y=-x
2
(P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k.
a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai
điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung.
b. gọi (x
1
;y
1
); (x
2
;y
2
) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x
1
+y

1
+x
2
+y
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập7.
cho hàm số y=
x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1-
2
)
2
+ x=m
2
-m+1
+ x=(m-n)
2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc
đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm
số y= x-6
Bài tập 8.
cho hàm số y=x
2
(P) và y=2mx-m
2

+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1-
2
)
2
.
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm
của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 9.
cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố
định ấy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y=x
2
tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB=
3
.
Bài tập 10.
trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b.
a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy.
Bài tập 11.
cho hàm số y=x
2
(P) và y=3x+m
2
(d).
a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b. gọi y
1

, y
2
kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức
y
1
+y
2
= 11y
1
.y
2
bài tập 12.
cho hàm số y=x
2
(P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng thẳng
AB.
c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
Bài tập 13..
a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x
2
tại điểm A(-1;2).
b. cho hàm số y=x
2
(P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và
đi qua B.
c. cho (P) y=x
2

. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x
2
. lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với (P).
e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x
2
tại điểm
có hoành độ bằng (-1).
f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x
2
tại điểm có tung
độ bằng 9.
Dạng III:
Hệ phơng trình
Baứi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
a.
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y

x y
+ =


+ =


Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =



+ = = = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:

2
1
x
y
=


=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=


- Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = = = =

+ = + = + = =

Vaọy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


=

- Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:

1.2.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+

+ =

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+


2

2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =



+ = =



+ = =

= =
+ =
+ +



+


Vaọy HPT có nghiệm là
3
2
1
x
y

=



=

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y
.
Đặt
1
1
a
x

=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =



+ = = = =


1
2
3
1
2
1
1
1
x
x

y
y

=


=
+




=
=



(TMĐK)
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x
y

= −



=


Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

1.2.
2 2 5

)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)
2 1 1
x y
b
x y

− − =


+ + =


Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
2.1.

3 3
)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y

c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)
6 2 2
x y
b
x y


+ =


− =


Bài 4:
Giải hệ phương trình
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =


+ + =

trong mỗi trường hợp sau
a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bài 5:
a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình
2 4
5
x by
bx ay
+ =



− = −

có nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình
2
2
1 1
3
1
1 1
m n
m n
m n
m n


+ =


+ +


+ = −

+ +

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

2 4
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =


;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
3 5 0
3 0
x y
x y
− − =


+ − =

;
0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =


;
3 2
2 4 2007
x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
− =


− + =

;
5
2
2 6
y
x
x y

− =




− =

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =


;
2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =



+ =




Bài 8: Cho hệ phơng trình



=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2
Bài 9: GiảI các hệ phơng trình sau
a)







=


+
=

+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx
c)





=+
=
1222

32423
yx
yx
(đk x;y

2 )

3 5
1
x y
x y

+ =


+ =


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= +


=

;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=


;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ =


=

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

=

+ =



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

=


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =


+ =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y

x y x y
+ = +


+ = +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y
x y x y
+ + =


+ =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + =


+ + =

;

1 1 4

5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




=


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

=

+



=

+

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

;
7 5
4,5
2 1
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y

=

+ +



+ =

+ +


Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức: HS giải đợc các bài toán thực tế bằng cách lập HPT.
* Kĩ năng:
- HS đợc củng cố kĩ năng phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải bài toán bằng
cách lập HPT.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, lô gíc chặt chẽ, rõ ràng.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1: + Lập HPT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập HPT.
* Bớc 2: Giải HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều
nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc
thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.
Bài 2. Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng14 km/h

thì đến B sớm hơn 2 giờ. nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính quãng đờng AB,
vận tốc và thời gian dự định.
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và gặp
nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng
lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là
3 km/h.
Bài 4. Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ. Một lần khác ca nô xuôi
dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ. Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật của
ca nô.
Bài 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút nên
để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng còn lại. Tính thời
gian xe chạy.
Bài 6. Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B. N đi từ B lúc 7
giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng. Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng đờng AB.
Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phút.
HPT:
2 1
1
1
3
x y
y x

=




=

Bài 7. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau. Tính quãng đờng AB
và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng
đờng AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1 giờ 24 phút.

HPT:
10
2
1 ( 2 ) 2( )
5
x y
x y x y
=



+ = +


Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số HS
ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 9. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính
riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi
vào lớp 10.
Bài 10. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy
riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy
riêng thì đầy bể.
Bài 11. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong 5
giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành
trong bao lâu.

Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì
diện tích giảm đi 75
2
m
. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng
nhau. Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế
mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế.
DạngIV
Phơng trình bậc hai+hệ thức vi-ét
Tóm tắt lí thuyết:
Cách giải phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)

= b
2
- 4ac
* Nếu

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
-b -
2a

; x

2
=
-b +
2a


* Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b
2a
* Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm
Chú ý 1: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức
nghiêm thu gọn.


' = b'
2
- ac
* Nếu

' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1

=
-b' - '
a

; x
2
=
-b' + '
a


* Nếu

' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b'
a
* Nếu

' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
Chú ý 2:
* Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 và x
2
=
c

a
Chú ý 3:
* Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 và x
2
=
c
a

Chú ý 4:
* Hệ thức viét trong trờng hợp phơng trình có nghiệm
1 2
1 2
-b
x x =
a

c
x .x
a

+




=

Bài tập 1:
Giải các phơng trình bậc hai sau
TT Các phơng trình cần giải theo

TT Các phơng trình cần giải theo

'
1.
6 x
2
- 25x - 25 = 0 1. x
2
- 4x + 2 = 0
2.
6x
2
- 5x + 1 = 0 2. 9x
2
- 6x + 1 = 0
3.
7x
2
- 13x + 2 = 0 3. -3x
2
+ 2x + 8 = 0
4.
3x
2
+ 5x + 60 = 0 4. x
2

- 6x + 5 = 0
5.
2x
2
+ 5x + 1 = 0 5. 3x
2
- 6x + 5 = 0
6.
5x
2
- x + 2 = 0 6. 3x
2
- 12x + 1 = 0
7.
x
2
- 3x -7 = 0 7. 5x
2
- 6x - 1 = 0
8.
x
2
- 3 x - 10 = 0 8. 3x
2
+ 14x + 8 = 0
9.
4x
2
- 5x - 9 = 0 9. -7x
2

+ 6x = - 6
10.
2x
2
- x - 21 = 0 10. x
2
- 12x + 32 = 0
11.
6x
2
+ 13x - 5 = 0 11. x
2
- 6x + 8 = 0
12.
56x
2
+ 9x - 2 = 0 12. 9x
2
- 38x - 35 = 0
13.
10x
2
+ 17x + 3 = 0 13. x
2
-
2 3
x + 2 = 0
14.
7x
2

+ 5x - 3 = 0 14. 4
2
x
2
- 6x -
2
= 0
15.
x
2
+ 17x + 3 = 0 15. 2x
2
-
2 2
x + 1 = 0
Bài tập 2:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x
2
+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x
2
- 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x
2
- x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x
2

e) -6x
2
+ x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x
2
+ x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x
2
- x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x
2
- 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x
2
- x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bài tập 3: Cho phơng trình: x
2
- 2(3m + 2)x + 2m
2
- 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m = - 4
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4: Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 2)x + m

2
- 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5:
Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 2)x + 2m
2
+ 3m = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m = - 8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng
x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 6: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= x
2

Bài tập 7:
Cho phơng trình : ( m + 1) x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 2x
2

Bài tập 8:
Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= - 2x
2
Bài tập 9:
Cho phơng trình : x
2
- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x
1
= 3x
2

Bài tập 10:
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một
nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 11:
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số ) có một
nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 12:
Biết rằng phơng trình : x
2
- (6m + 1 )x - 3m
2
+ 7 m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một
nghiệm
x = 1. Tìm nghiệm còn lại