CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên đề: bất đẳng thức
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
BT1: CMR với mọi a; b dơng, ta có:
2
+
a
b
b
a
. Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT2: CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có:
abcd
dcba







+++
4
4
. Khi nào xảy ra đẳng thức?
BT3 CMR với mọi a; b; c; d dơng , ta có:
16
1111
)(

++++++
dcba
dcba
BT4 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
9
111
)(







++++
cba
cba
BT5 CMR với mọi a; b; c dơng , ta có:
2
3

+
+
+
+
+

ba
c
ca
b
cb
a
BT6 CMR nếu a, b, c là đội dài 3 cạnh của một tam giác, ta có:
a) ab + bc + ca
cabcabcba 222
222
++<++
b) (a + b c)(b + c a)(c + a b)

abc
c)
333222
4)()()( cbaabcbacacbcba
++>+++
BT7 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 3x + y = 1
CMR:
10
1
22
+
yx
BT8 Cho hai số x ; y thoả mãn đẳng thức: 4x + 3y
1


CMR:

5
1
94
22
+
yx
BT9 Cho hai số a ; b thoả mãn đẳng thức: a + b = 1 . CMR:
a)
2
1
22
+
ba
b)
8
1
44
+
ba
c)
2
25111
222

++






++






+
c
c
b
b
a
a
BT10 Cho
0
>
dcba
. CMR:
dcba
a
d
b

c
c
b
d
a
++++++
2222
Dạng 2: Sử dụng BĐT để chứng minh BĐT
BT1 : CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:
ab
ba

+
2

(BĐT Cô-si)
BT2: CMR: với mọi a > 0, b > 0, ta có:
a)
2+
a
b
b
a
b)
4
11
)(

++
ba
ba

BT3 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:

9
111
)(






++++
cba
cba

BT4 CMR: với mọi a > 0, b > 0, c > 0 ta có:

2
3

+
+
+

+
+ ac
b
cb
a
ba
c

( BĐT Nes bit)
HD: áp dụng BĐT BT3, ta có:
[ ]
2
3
2
9
111
9
111
)(29
111
)()()(

+
+
+
+
+

+
++

+
++
+
+







+
+
+
+
+
++






+
+
+
+
+
+++++
ac

b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
accbba
cba
accbba
accbba
BT5 CMR: với mọi a, b, c, d ta có:

))((
2222
dcbabdac
+++

(BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski )
BT6 CMR: với a, b, c, d
R

và c > 0, d > 0 ta có:

dc
ba

d
b
c
a
+
+
+
222
)(

BT7 Chứng minh rằng
Với mọi số thực a + b
0

và m, n nguyên dơng, ta có:

22
.
2
nmnmnnmm
bababa
++
+

++

HD:
)(2))((
nmnmnnmm
bababa

++
+++

0
+
++
nmnmnmnm
bababa

0)()(
+
nnmnnm
abbbaa

0))(

nnmm
baba
Do a, b có vai trò nh nhau, không mất tính tổng quát, giả sử
ba

(1)
Theo bài: a + b
0



a

- b (2)

Từ (1) và (2):
0

ba
Ta suy ra:























0
0

nn
mm
nn
mm
n
n
m
m
ba
ba
ba
ba
ba
ba


0))((

nnmm
baba
, BĐT đợc chứng minh.
BT8 Cho a + b
0

. Chứng minh rằng:
(a + b)(a
3
+ b
3
)(a

5
+ b
5
)

4(a
9
+ b
9
)
HD:
Theo bài: a + b
0

, áp dụng BĐT BT7:
Ta có:







+

++
+

++
22

.
2
22
.
2
995544
4433
bababa
bababa

2
.
22
.
2
.
2
99445533
bababababa
++

+++

22
.
2
.
2
995533
babababa

+

+++


(a + b)(a
3
+ b
3
)(a
5
+ b
5
)

4(a
9
+ b
9
)
BT9: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:

)(
22222
edcbaedcba
+++++++
BT10: Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

)(
444

cbaabccba ++++
BT11: Chứng minh rằng: nếu ad bc = 1 thì
3
2222
+++++
bdacdcba
BT12: Cho a > 1, b > 1. Chứng minh rằng
8
11
22


+

a
b
b
a
BT13: Cho
1,1
<<
ba
. Chứng minh rằng:
ab
ba



+

1
2
1
1
1
1
22
BT14: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:
2
)(
41
ba
ab
+

BT15: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
2
22
)(
.3
dcba
cbcada
ca
c
cb
a
+++
+++
>
+

+
+
BT16: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:








+++
+++
+
+++
+++

+
+
+
+
+
+
+
2
22
2
22
)()(
.4

dcba
dcdabb
dcba
cbcada
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
BT17: Với mọi a, b. Chứng minh rằng:
a)
)(4)(
333
baba
++
b)
)(3)()(3
2222
cbacbacabcab
++++++
BT18: Với mọi a, b, c, d. Chứng minh rằng:
a)
cabcabcba
++++
222
b)
abcddcba 4

4444
+++
BT19: CMR: a)Với a, b, c là các số dơng, ta có: a) (a + b)(b + c)(c + a)

8abc
b) Với mọi a, b, c ta có:
)(4)()(
22
cbaabccbba
++++

BT20: Cho a + b = 1. Chứng minh rằng:
a)
2
1
22
+
ba
b)
8
1
44
+
ba
c)
128
1
88
+
ba

BT21: a) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng:
1
2222
+++
dcba
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c

16abc
c) Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứmg minh rằng:
5,12
11
22







++






+
b
b
a

a
Dạng 3. Sử dụng BĐT để tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số.
* Phơng pháp:
- Ta đa các biểu thức đại số cần tìm GTLN, GTNN về một trong 2 trờng hợp:
+ TH1: A
2
+ k

k, (giá trị nhỏ nhất là k).
+ TH2: - A
2
+ k

k, (giá trị lớn nhất là k).
- Tìm giá trị của biến (nếu có) để đẳng thức xảy ra.
BT1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 1)
2
+ (x - 3)
2

HD: Ta có: P = (x
2
+ 2x + 1) + (x
2
6x + 9)
= 2x
2
4x + 10
= 2(x

2
2x + 1) + 8
= 2(x 1)
2
+ 8
Vì (x 1)
2


0 với mọi giá trị của x .

P = 2(x 1)
2
+ 8

8. Đẳng thức xảy ra

x 1 = 0

x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8

x = 1.
BT2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ 6y
2
+ 14z
2

8yz + 6zx 4xy
HD: P
222
3)(2)32( zzyzyx
++++=

P

0 với mọi giá trị của x, y, z
Đẳng thức xảy ra

x = y = z = 0. Vậy GTNN của P = 0

x = y = z = 0
BT3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
2xy + 2zx 2x 2y 8z + 2007
HD:
2001)1()2()1(
222
+++++=
zzyzyx
Ta có: (x y + z 1)
2

0, (y + z 2)
2


0, (z 1)
2


0 với mọi x, y, z.

Q

2001. Đẳng thức xảy ra

x = y = 1.Vậy GTNN của Q = 2001

x = y = 1.
BT4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
E = xy + yz + zx, biết x + y + z = 3
BT5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x + 2005)
2
+ (y + 2006)
2
+ (z + 2007)
2

BT6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q = (x + a)

2
+ (y + b)
2
+ (z + c)
2
, với a, b, c là các hằng số.
BT7: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + y = 1.
Tìm GTNN của biêu thức A = x
3
+ y
3
+ x
2
+ y
2
BT8: Cho x, y là hai số thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x + 2y = 3.
Tìm GTNN của biêu thức B = x
2
+ 2y
2
BT9: Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a + b = c + d .
Tìm GTNN của biểu thức C = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)
BT10: Tìm GTNN của biểu thức D =
2
20072007
2
22
2
11
)(...)()( axaxax

++++++
biết
200721
... xxx
+++
= 2007 và
200721
,...,, aaa
là các hằng số.
BT11: Tìm GTNN của biểu thức E = (x + a)
2007
+ (y + b)
2007
+ (z + c)
2007
biết x + y + z = 6021 và a, b, c là các hằng số.
BT12: Tìm GTLN của biểu thức G =
2
)2007(
+
x
x
, với x > 0.
BT13: Tìm GTLN của biểu thức H =
22
22
yxyx
yxyx
+
++

với x > 0, y > 0.
BT14: Cho x, y > 0 và x + y = 5. Tìm GTNN của biểu thức: A =
yx
11
+
Dạng 4. Sử dụng bất đẳng thức để tìm cực trị trong hình học
BT1: Cho

ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đờng thẳng song song với hai
cạnh kia, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy
có diện tích lớn nhất.
HD:
S'
x
y
S2
S1
H
B
C
a
M
FK
Gọi hbh tạo thành là BEMF, diện tích (BEMF) = S

, diện tích (ABC) = S. Ta cần tìm GTLN của S

.
Ta kẻ AK

BC, AK cắt EM ở H. Ta có:
S

= EM . HK, S =
2
1
BC . AK, nên:
AK
KH
BC
EM
S
S
..2
'
=
Đặt MA = x, MC = y. Mặt khác ta có:
yx
y
AK
HK
yx
x
BC
EM
+
=
+
=
;

(định lí Talet)
2'
)(
2
yx
xy
S
S
+
=
. áp dụng BĐT
ab
ba







+
2
2
hay (a + b)
2


4ab
2
1

)(
2
2'

+
=
yx
xy
S
S
. Vậy GTLN của S

=
2
1
S. Đẳng thức xảy ra

x = y hay khi đó M là trung điểm
của AC.
BT2 : Cho hbh BEMF. Dựng đờng thẳng đi qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có
diện tích nhỏ nhất.
HD: Xét
2
2
)(
'
2

+
=

xy
yx
S
S
BT3: Trong hình thang ABCD (BC // AD) có diện tích S không đổi, E là giao điểm của các đờng
chéo, ở hình thang có thêm điều kiện gì thì

ABE có diện tích lớn nhất.
HD:
S'
S'
S1
x
x
y
S2
E
A
D
B
C
K
Ta có: dt(ABE) = dt(CDE) = S

. Đặt dt(CEB) = S
1
, dt(AED) = S
2
. Trớc hết ta CM:
21

2
.' SSS
=
. Thật vậy:
21
2
2
1
2
1
.'
'
'
'
;
'
SSS
S
S
S
S
EA
EC
S
S
EA
EC
S
S
====

(1)
Đặt BC = x; AD = y, ta biểu thị các tỉ số
S
S
S
S
S
S
'
;;
21
theo x và y.
Qua C kẻ đờng thẳng song song với BD, cắt AD ở K. Ta có DK = BC = x, dt(ACK) = S.
Ta có:

ACK đồng dạng với

CEB và

AED nên:
2
2
2
1
)( yx
x
AK
BC
S
S

+
=






=
và
2
2
2
2
)( yx
y
AK
AD
S
S
+
=






=
(2)

Từ (1) và (2), ta có:
24
22
21
2
)(
'
)(
.
'
yx
xy
S
S
yx
yx
S
S
S
S
S
S
+
=
+
==

Tiếp tục áp dụng BĐT
ab
ba







+
2
2
, ta có:
4
1
)(
'
2

+
=
yx
xy
S
S
. Do đó: GTLN của S

4
1
=
S. Đẳng thức xảy ra

x = y
hay khi đó hình thang ABCD là hình bình hành.
BT4: Cho hình vuông và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao? Khi nào
thì hai hình có diện tích bằng nhau?
BT5: Cho hình vuông, hình thoi và hình chữ nhật có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn hơn? Tại sao?
BT6: Trong các tam giác có diện tích bằng nhau thì tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Tại sao?
BT7: Trong các tam giác vuông có đội dài cạnh huyền nh nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Tại sao?
BT8: Trong các tam giác có chu vi bằng nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất? Tại sao?
BT9: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

cbacbacbacba
111111
++
++
+
+
+
+
BT10: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

nnnnnn
cbacbacbacba
111

)(
1
)(
1
)(
1
++
++
+
+
+
+
với mọi n

N
BT11: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

3

++
+
+
+
+
cba
a
cba
b
cba
c

BT12: Cho a. b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
111
++
++
+
+
+
+
nnn
nnn
cba
cba
a
cba
b
cba
c
mọi n

N