Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm: Rút gọn biểu thức đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (695.65 KB, 53 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN
…
…
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
Tên đề tài:
“RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ”
Người hướng dẫn : ThS. Phạm Hoàng Hà
Cán bộ giảng viên khoa Toán –Tin, ĐHSP Hà Nội.
Người thực hiện : Trần Văn Trung
Số báo danh, ngày sinh : 29031980
Trường: PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Phú Thọ, 62012
MUC LUC
̣
̣
TT
Nội dung
Trang
1.
PHÂN I: M
̀
Ở ĐÂU
̀
4
2.
4
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý do khách quan
1.2. Lý do chủ quan
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
9.
PHẦN II: NỘI DUNG
7
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận
2. Cơ sở thực tiễn
3. Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ năng
4. Thực trạng
Chương 2: Các giải pháp chính
I. Lý thuyết áp dụng
II. Các biện pháp chính để thực hiện
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm
2. Nội dung thực nghiệm
3. Kết quả thực nghiệm
7
7
8
9
10
11
11
12
41
41
41
49
22.
PHẦN III: KẾT LUẬN
50
23.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
52
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
5
5
6
6
6
6
2
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
CÁC TỪ VÀ CỤM TỪ ĐƯỢC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
1. GDTHCS: Giáo dục trung học cơ sở
2. THCS: Trung học cơ sở
3. THPT: Trung học phổ thông
4. GV: Giáo viên
5. HS: Học sinh
6. BGDĐT: Bộ Giáo dục và Đào tạo
7. SGK: Sách giáo khoa
8. SGV: Sách giáo viên
9. SBT: Sách bài tập
10. KHTN: Khoa học tự nhiên
11. ĐKXĐ: Điều kiện xác định
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
3
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý do khách quan:
Như chúng ta đã biết giáo dục nói chung và giáo dục bậc THCS nói
riêng nhằm giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển
đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ
bản để học sinh tiếp tục học lên. Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay
là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính
nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì Bộ giáo dục đã xác định
''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh
năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" và tiếp tục khẳng định
"Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nền nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh''.
Môn toán là một trong những môn học chiếm một vị trí rất quan trọng
và then chốt trong nội dung chương trình các môn học bậc THCS. Các kiến
thức kĩ năng của môn toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong đời sống, chúng
rất cần cho người lao động, rất cần thiết để học các môn học khác ở THCS
và các lớp trên. Môn toán giúp học sinh nhận biết các mối quan hệ về số
lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có
phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách
hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Môn toán góp phần rất quan trọng
trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương
pháp giải quyết vấn đề. góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc
lập, linh hoạt, sáng tạo, và đang giúp vào việc hình thành các phẩm chất cần
thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt
khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học. Quá trình
học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Đất
nước ta đã và đang bước vào kỉ nguyên của khoa học thông tin, đòi hỏi mỗi
chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những biện pháp tốt nhất làm
cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực có kĩ năng
thực hành toán, giúp cho học sinh phát triển năng lực tư duy lôgic, khả năng
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
4
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, khả năng tưởng tượng và bước đầu
hình thành nhân cách qua học môn toán. Hình thành ở học sinh các phẩm chất
đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể
loại, đa dạng và phong phú, nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như
đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó
giúp cho chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. Do đã trang bị cho
học sinh những kiến thức toán học không chỉ gồm các khái niệm, định nghĩa,
quy tắc, tổng quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương
pháp giải bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm
lớp 7, học sinh được làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại toán này
tiếp tục được dạy kĩ hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học
kì, thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT.
1.2. Lý do chủ quan:
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu
về môn đại số hẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba
chiều” lí thú của nó mà không bao giờ vơi cạn. Rút gọn biểu thức đại số là
một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán của trường
THCS. Việc rút gọn được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến
đổi thông thường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lô gic và cách giải toán có
yếu tố sáng tạo; nó có ý nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị
toán học những mối liên quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân
môn đại số chương trình toán các lớp 7,8,9 THCS số tiết về dạy học các bài
toán rút gọn biểu thức đại số đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng
để phát triển khả năng toán.
Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học
kiểu bài này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta
đang tìm kiếm một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm
sao đạt hiệu quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo
viên cũng chưa có sách nào đề cập đến phương pháp dạy kiểu bài này. Có
chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược. Đặc biệt rất nhiều học sinh thường xem
nhẹ việc rút gọn biểu thức đại số và vô tình đã quên đi các ứng dụng quan
trọng và là chìa khóa, nền tảng để giải quyết các vấn đề toán học trong
trường THCS.
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
5
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp.
Đi theo kết quả của bài toán rút gọn biểu thức có các dạng toán: Giải phương
trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, tìm giá trị
của biến x để biểu thức nhận giá trị nguyên …Vì vậy, phần trên mà không rút
gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được các bước tiếp theo
cần có kết quả rút gọn biểu thức.
Vậy cách trình bày một bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phương
pháp giải bài toán đã cho ra sao. Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy
được khả năng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng
giáo dục. Vì vậy mỗi giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp
tích cực để nâng cao chất lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức đại số.
Trước tình hình trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS,
cũng đã từng trăn trở nhiều về vấn đề trên. Với đề tài này Tôi không có tham
vọng lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ
xin đề xuất một vài ý kiến về phương pháp dạy kiểu bài “Rút gọn biểu
thức đại số" đối với học sinh lớp 8,9 THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành
công.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của
phân môn đại số, nhằm giúp cho học sinh hiểu rõ phương pháp tiếp cận cách
giải bài toán rút gọn biểu thức. Trên cơ sở đã phát hiện những khó khăn đồng
thời đề ra những giải pháp thực hiện đạt hiệu quả cao trong việc giảng dạy
và học tập tại trường PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu,
tỉnh Yên Bái)
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Điều tra sơ bộ về việc dạy và học của các đồng nghiệp, các em học sinh
trường PT DTBTTH và THCS Trạm Tấu (huyện Trạm Tấu, tỉnh Yên Bái về
việc dạy và học "Rút gọn biểu thức đại số".)
Phát hiện những khó khăn, vướng mắc trong quá trình dạy và học.
Từ đã đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học về rút gọn biểu thức đại số
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
6
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Thực nghiệm những giải pháp đã ở trường và đánh giá kết quả đạt
được.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Đối tượng: Học sinh các khối 8,9 và đặc biệt là học sinh giỏi các
khối.
Giới hạn kiến thức: Chương trình đại số lớp 7, 8, 9 ở trường THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phương pháp dạy có hiệu quả về
rút gọn biểu thức đại số. Tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp điều tra, phỏng vấn: Nghiên cứu nắm tình hình của lớp,
từng học sinh để có phương pháp dạy học thích hợp.
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu mục tiêu dạy học môn
Toán, mục tiêu dạy học các bài về rút gọn biểu thức đại số.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học,
chuẩn bị kĩ cho từng tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy,thực hiện kiểm tra đánh
giá từ đã nắm tình hình học tập của học sinh để từ đã điều chỉnh quá trình
dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém. Tham khảo tài liệu
của các đồng nghiệp, dự giờ một số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp;
thu thập các tư liệu cho bài dạy như tranh ảnh, bài toán, bài đố vui, trò chơi,
sách báo có liên quan…
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận:
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
7
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Căn cứ Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu của giáo dục phổ thông:
Đi ề u 27. Mục tiêu của giáo dục phổ thông, cụ thể như sau:
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Xuất phát từ mục tiêu chung của giáo dục trung học cơ sở:
Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết
quả của Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết
ban đầu về kĩ thuật và hướng nghiệp học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao
động.
Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau:
+ Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào
chủ nghĩa xã hội.
+ Có kiến thức phổ thông cơ bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm
nền tảng từ đã có thể chiếm lĩnh những nội dung khác của KHTN.
+ Có kỹ năng bước đầu vận dụng vào những kiến thức và kinh nghiệm
thu được của bản thân.
+ Hình thành và phát triển các năng lực chủ yếu.
Xuất phát từ mục tiêu môn toán trung học cơ sở: Đào tạo con người
mà xã hội cần:
+ Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông cơ bản thiết
thực.
+ Có kĩ năng thực hành toán.
+ Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và các kĩ năng cần
thiết như mục tiêu giáo dục THCS đã đề ra. Ngoài việc cung cấp cho học sinh
1 số kiến thức Toán và dạy cho học sinh biết tính toán, mục tiêu của môn
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
8
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Toán còn đề cập đến phương pháp, kĩ năng phát triển các năng lực trí tuệ của
học sinh ở phẩm chất đạo đức.
Căn cứ Chỉ thị 3398/CTBGDĐT, ngày 12/8/2011 của Bộ GD&ĐT về
nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục mầm non, giáo dục phổ thông, giáo dục
thường xuyên và giáo dục chuyên nghiệp năm học 2011 2012;
Căn cứ Công văn số 5358/BGDĐTGDTrH, ngày 12/8/2011 của Bộ
GD&ĐT về hướng dẫn nhiệm vụ giáo dục trung học.
2. Cơ sở thực tiễn:
2.1. Nội dung về rút gọn biểu thức đại số
a) Khái niệm về biểu thức đại số:
Ở lớp 5, lớp 6 học sinh đã được biết đến khái niệm biểu thức: Các số
được nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy
thừa) làm thành một biểu thức.
Ví dụ: 5+32 ; 12:6.2 ; 15 3.47 ; 4.32 5.6 ; 13.(3+4) ;… là những biểu
thức. Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.
Khái niệm biểu thức đại số ở lớp 7: Trong toán học, vật lý…ta
thường gặp những biểu thức mà trong đã ngồi các số, các ký hiệu phép toán
cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các
số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.
Ví dụ: Các biểu thức: 4x ; 2.(5+a) ; 3.(x+y) ; x 2 ; xy ;
1
150
;
; …
x − 0,5
t
là những biểu thức đại số.
b) Các mạch kiến thức có liên quan đến việc rút gọn biểu thức đại số
trong chương trình toán THCS:
* Ở lớp 7: Đơn thức > Đơn thức đồng dạng (cộng, trừ các đơn thức
đồng dạng) > Đa thức (cộng, trừ đa thức; đa thức 1 biến và cộng, trừ đa thức
1 biến).
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
9
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
* Ở lớp 8: Cóhẳn 1 chương về phân thức đại số, bao gồm: Phân thức
đại số> tính chất cơ bản của phân thức> Rút gọn phân thức> Quy đồng
mẫu thức nhiều phân thức> Phép cộng, trừ các phân thức đại số> Phép
nhân, chia các phân thức đại số> Biến đổi các biểu thức hữu tỉ (tìm giá trị
của phân thức). Giáo viên cần chú ý đến những vấn đề sau:
3. Yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ năng
Trên vành số nguyên có hai phép toán: cộng và nhân. Đối với phép
cộng, là một nhóm aben. Do đã với phép trừ khi biết hai số nguyên a và b ta
tìm được một số nguyên x sao cho b+x = a; x được gọi là hiệu của a đối với b
và kí hiệu x=ab. Phép tìm hiệu được gọi là phép trừ. Trong khi đó, nếu biết
hai số nguyên a và b, b ≠ 0, không phải bao giờ ta cũng tìm được một số
nguyên x sao cho bx= a. Nói cách khác, trên vành số nguyên chưa có phép chia
cho một số khác 0. Để tìm một tập hợp số trong đó có thể chia cho một số
khác 0 bất kì ta đã mở rộng vành số nguyên thành trường số hữu tỉ. Ở đã mỗi
a
1
số nguyên a được đồng nhất với số hữu tỉ dạng và nếu a ≠0 thì có số hữu tỉ
1
a 1
, ký hiệu là a1, gọi là nghịch đảo của a, mà a.a1= . =1. Nhờ khái niệm
a
1 a
này, với hai số nguyên tùy ý a và b, b ≠ 0, ta có:
a b
1 1
a
1
b
1
a 1
1 b
a
b
a:b = : = .( )1 = . = .
Bây giờ với hai số nguyên a và b tùy ý, b ≠ 0, ta tìm được một số hữu tỷ
x sao cho bx = a. Đó là
a
1
b
1
a 1
1 b
a
b
x = a.b1 = .( )1 = . = .
Đối với tập các đa thức trên trường số, tình hình cũng tương tự. Đối
với phép cộng nó là một nhóm aben. Do đó cũng có phép trừ đa thức. Phép
nhân các đa thức có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép
cộng. Vì vậy trên tập các đa thức trên trường số cũng có một cấu trúc vành.
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
10
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Song với hai đa thức tùy ý A và B, B ≠ 0, không phải bao giờ cũng tìm được
một đa thức C để A= BC. Nên ta lại phải mở rộng vành này thành trường các
phân thức hữu tỉ bằng một phương pháp tương tự như khi mở rộng vành số
nguyên thành trường số hữu tỉ. Vì vậy việc cốt lõi là yêu cầu giáo viên
phải cho học sinh nắm được: Định nghĩa khái niệm phân thức đại số và khái
niệm phân thức đại số bằng nhau; định nghĩa phép cộng và phép nhân phân
thức, định nghĩa phân thức đối, phân thức nghịch đảo và từ đó định nghĩa phép
trừ và phép chia các phân thức.
4. Thực trạng:
Việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở địa
phương là học sinh miền núi, trình độ nhận thức châm, ch
̣
ưa nỗ lực trong học
tập. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án hoặc hướng dẫn
giải để tham khảo, nên khi gặp bài tập có dạng khác các em thường lúng túng
chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết sử dụng phương pháp nào
trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng nào tốt
nhất.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới
chưa triệt để.
Phụ huynh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con
mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập ở nhà.
Phương pháp chung để giải bài toán cần có những gợi ý để thầy hỗ
trợ cho học sinh, để học sinh tự suy nghĩ tìm ra lời giải. Trước khi giải một
bài toán phải tìm hiểu kĩ nội dung yêu cầu của đề bài: Đâu là cái cần tìm? Cái
đã cho? Cái phải tìm thỏa mãn điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ?
Hay thừa? … Tìm ra cách giải hợp lí nhất.
Việc rút gọn biểu thức là một trong những vấn đề cơ bản của phân
môn đại số. Học sinh phải tìm hiểu kỹ các dạng biểu thức khi đưa ra nó ở
dạng nào, tính giá trị của biểu thức hay chứng minh biểu thức, rút gọn biểu
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
11
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
thức . . . Học sinh lúng túng khi rút gọn phải sử dụng phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán,
học sinh hay nhầm lẫn. Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ
năng trình bày lời giải cho các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết
được các dạng bài tập rút gọn biểu thức đại số và khắc phục những vướng
mắc trên. Tôi đưa ra một đề tài về các bài tập rút gọn biểu thức đại số mà
Tôi đã tìm hiểu, tập hợp được thông qua thực tế giảng dạy.
Chương 2: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần
nâng cao chất lượng dạy học các bài rút gọn biểu thức đại số
Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại
số. Tôi đề cập ba vấn đề qua ba dạng toán như sau:
+ Dạng 1: Rèn luyện nhuần nhuyễn những bài toán cơ bản ở SGK,
SBT để tìm hướng giải quyết
+ Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh những dạng toán tổng hợp để phát
huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
+ Dạng 3: Trên cơ sở đã cần tận dụng thời gian để rèn luyện kỹ năng
giải các bài tập nâng cao ở THCS đối với học sinh khá giỏi.
I. Lý thuyết áp dụng
1. Khái niệm biểu thức đại số:
Tính giá trị của một biểu thức đại số, đơn thức, đa thức.
2. Tính chất các biểu thức đại số
Nhớ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Cộng trừ nhân chia đa thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc đổi dấu.
Rút gọn phân thức.
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Cộng trừ các phân thức đại số.
Nhân chia các phân thức đại số.
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
12
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Biến đổi các phân thức hữu tỉ.
3. Hiểu được thế nào là căn bậc hai.
Các phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai.
Căn bậc ba.
II. Các biện pháp chính để thực hiện
Phương pháp giải:
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện như sau:
Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (mà ta gọi tắt là tìm
điều kiện xác định cho những biểu thức chứa chữ);
Quy đồng mẫu số chung (nếu có);
Đưa bớt thừa số chung ra khỏi căn thức (nếu có);
Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn;
Cộng trừ các số hạng đồng dạng;
Với điều kiện xác định đã tìm được trả lời kết qua rút g
̉
ọn biểu thức.
Dạng 1: Các bài tập minh hoạ
Rèn tính nhuần nhuyễn: Yêu cầu với dạng này phải khai thác triệt
để kết hợp với những kiến thức đã học để tìm lời giải. Đầu tiên giúp các
em làm quen với biểu thức đại số rồi đến rút gọn biểu thức đại số. Tôi
chọn những bài toán đơn giản có ở SGK và SBT phù hợp với mọi đối
tượng học sinh.
Bài 1.1:
Tính giá trị biểu thức đại số sau tại x = 1; y = 1; z = 3
a) (x2y 2x 2z)xy
b) xyz +
Hướng suy nghĩ:
Đây là bài toán tính giá trị của biểu thức được làm quen ở lớp 7. Đầu
bài cho biểu thức và cho biết giá trị x, y, z. Do đã học sinh chỉ thay giá trị x, y,
z vào biểu thức rồi thực hiện phép tính, trong quá trình thực hiện luơn để ý
đến dấu và luỹ thừa
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
13
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Giải tóm tắt.
a) Thay x = 1; y = 1; z = 3 vào biểu thức (x2y 2x 2z)xy
ta được:
[12(1) 2.1 2.3].1.(1) = [ 1 2 6].(1) = (9).(1) = 9
b) Thay x = 1; y = 1; z = 3 vào biểu thức xyz + ta được:
1.(1).3 + = 3 + = 3 1 = 4
Học sinh hay mắc sai lầm là biến đổi luỹ thừa và dấu của nó
Bài 1.2
Rút gọn phân thức:
a)
b)
Hướng suy nghĩ:
Để giải bài toán này học sinh cần phải nắm được các bước rút gọn
phân thức;
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ cho phù hợp;
Vận dụng quy tắc đổi dấu.
Giải tóm tắt:
a) = = =
b) = =
Lưu ý học sinh hay nhầm lẫn biến đổi ý a hay viết
=
Bài 1.3
Cho hai biểu thức:
A = + +
B =
Chứng tỏ A = B
Hướng suy nghĩ:
Học sinh nhận thấy biểu thức A là phép cộng 3 phân thức, muốn chứng tỏ A
= B ta phải làm như thế nào ?
Rút gọn biểu thức A rồi so sánh với biểu thức B, kết luận
Giải tóm tắt:
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
14
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
A = + +
=
= = = B => đpcm
Bài 1.4:
Rút gọn biểu thức:
A =
Hướng suy nghĩ:
Muốn rút gọn biểu thức này thì nhớ dạng tổng quát
= + ( )
Phải nhớ được quy tắc trừ hai phân thức
Quy đồng mẫu hai phân thức
Cách giải:
A = = (1)
MTC: x(x + 1)(x 1)
Ta có:
A =
= +
=
= =
Bài 1.5:
Rút gọn biểu thức:
a) .
b) .
Hướng suy nghĩ:
Nhớ tổng quát: . =
Quy tắc đổi dấu.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, hằng đẳng thức;
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (cónhân tử chung để rút gọn).
Cách giải:
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
15
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
a) .
=
=
=
b) . =
=
=
Học sinh mắc phải: Không nắm được hằng đẳng thức, hoặc nắm được hằng
đẳng thức nhưng không biết vận dụng hay quên không nhớ nổi.
Bài 1.6:
Rút gọn biểu thức sau: :
Hướng suy nghĩ :
Nhớ tổng quát: : = .
Vận dụng hằng đẳng thức;
Phân tích tử mẫu thành nhân tử, rút gọn.
Cách giải:
: = .
=
=
Học sinh đa số biến đổi được dạng này.
Bài 1.7:
Biến đổi biểu thức thành phân thức
Đây là biểu thức không khó lắm đối với học sinh lớp 8 muốn biến đổi nó
thành một phân thức thì phải viết chúng về dưới dạng phép tính ngang sau đã
thực hiện phép tính, ta cóthể viết như sau:
A = = ( 2) : ( )
= . =
Bài 1.8:
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
16
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Rút gọn biểu thức cóchứa dấu căn bậc hai:
a) +
b) 5. + . +
Hướng suy nghĩ:
Ta cần thực hiện các phép biến đổi nào ?
Học sinh nhớ lại các phép biến đổi căn bậc hai
Phối hợp để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Cách giải:
a) + =
= = = 3
b) 5. + . + = 5. + . +
= + + = 3
Bài 1.9:
Cho biểu thức P = ( )2 . ( ) Với a > 0 và a ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a để P < 0.
Hướng suy nghĩ:
Muốn rút gọn biểu thức trên cần tìm tập xác định cho biểu thức;
Biến đổi biểu thức bằng cách thực hiện các phép toán trong P;
Tìm giá trị a, so sánh với điều kiện đề bài.
Giải tóm tắt:
a) P = ( )2 . ( )
Với a > 0 và a ≠ 1
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
17
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
a
1 2 a −1
a +1
−
) .(
−
)
2 2 a
a +1
a −1
P= (
a a − 1 2 ( a − 1)2 − ( a + 1)2
P= (
).
2 a
( a + 1)( a − 1)
P= (
P=
a − 1 2 a − 2 a + 1− a − 2 a − 1
).
a−1
2 a
−(a − 1)4 a 1 − a
=
4a
a
Vây P =
̣
1− a
vì a > 0 và a ≠ 1
a
b) Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên > 0
P = < 0 1 a < 0 a > 1 ( TMĐK)
Bài 1.10:
Rút gọn: a) 5a
b)
Hướng suy nghĩ:
Vận dụng quy tắc khai căn bậc ba của một tích khai triển;
Thực hiện phép tính đưa ra khỏi căn bậc ba.
Cách giải:
a) 5a = . 5a = 2.a 5a = 3a
b) = =
Dạng 2: Rèn cho học sinh những dạng toán cơ bản về rút gọn biểu thức,
những dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh cókĩ năng giải toán rút gọn,
phát huy tính tích cực sáng tạo.
Bài 2.1:
Rút gọn biểu thức:
A = +
Hướng suy nghĩ:
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
18
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
số”
Học sinh nhớ được quy tắc cộng 2 phân thức không cùng mẫu.
Nắm được ba bước quy đồng.
Vận dụng hằng đẳng thức thứ 7 phân tích tử mẫu thành nhân tử.
Giải tóm tắt
A = +
= +
=
=
= =
Bài 2.2:
Rút gọn biểu thức:
B = .
Hướng suy nghĩ:
Muốn rút gọn được phải nhớ lại cách tách hạng tử để phân tích đa thức
thành nhân tử
Giải tóm tắt
B = .
= .
= .
= = 1
Học sinh hay mắc phải: không nhận ra cách tách hạng tử để phân tích thành
nhân tử.
Bài 2.3: Rút gọn biểu thức
C = ( ) : ( + x 2)
Hướng suy nghĩ:
Xem về thứ tự thực hiện các phép toán trong biểu thức;
Phải quy đồng mẫu và làm phép toán trong ngoặc trước, ngồi ngoặc sau.
Cách giải:
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
19
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
C = ( ) : ( + x 2)
số”
= [ ] :
= .
= =
Học sinh chiếm phần đa biết rút biểu thức dạng này.
Một số ít học sinh thường nhân đơn thức với đa thức còn sai dấu, không nhớ
hằng đẳng thức.
Bài 2.4:
Cho biểu thức Q = . (1 )
a) Tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức xác định.
b) Rút gọn Q.
c) Chứng minh rằng Q xác định thì Q luơn cógiá trị âm.
d) Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Hướng suy nghĩ:
Học sinh nhận biết được cách tìm điều kiện để Q xác định.
Cách rút gọn biểu thức Q.
Hiểu được cách chứng minh để Q cógiá trị âm, cónghĩa là Q < 0 với mọi x.
Hiểu được cách tìm giá trị lớn nhất của Q, Q < 0 với mọi x.
Đây là dạng toán tổng hợp đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng vận dụng kiến
thức đã học để trình bày lời giải.
Cách giải:
a) Điều kiện của biến là x ≠ 0 và x ≠ 2
b) Rút gọn Q
Q = . (1 )
=
=
= =
= (x2 + 2x + 2)
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
20
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
2
Q = (x + 2x + 2)
số”
Học sinh tách hạng tử tự do sau đã đưa về dạng hằng đẳng thức
Q = (x2 + 2x + 1 + 1)
= (x + 1)2 1
Có: (x + 1)2 < 0 với mọi x
1 < 0
=> Q = (x + 1)2 1 < 0 với mọi x
d) Ta có: (x + 1)2 ≤ 0 Với mọi x
Q = (x + 1)2 1 ≤ 1 với mọi x
GTLN của Q = 1 khi x = 1 (TMĐK)
Học sinh thường hạn chế về ý c,d
Bài 2.5: Cho biểu thức P =
Tìm x để P có giá trị nguyên
Hướng suy nghĩ:
Học sinh phải rút gọn
Tìm x để P có giá tri nguyên
Cách giải:
P = =
=
= =
Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x2 + 1 = Ư(3) = {±1; ±3}
Với x2 + 1 = 1 => x = 0
Với x2 + 1 = 1 => Không có giá trị nào của x thoả mãn
Với x2 + 1 = 3 => x2 = 2 => x = ± Z
Với x2 + 1 = 3 => Không có giá trị nào của x thoả mãn
Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên.
Bài 2.6: Cho biểu thức:
M = ( + ) :
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
21
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
Rút gọn rồi so sánh giá trị M với 1
số”
Hướng suy nghĩ:
Đây là một biểu thức tổng hợp, rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc hai là
tương đối khó với học sinh.
Phải thực hiện phép tính trong ngoặc trước rồi đến phép chia.
So sánh M với 1 nghĩa là xét M – 1.
Cách giải:
*Rút gọn:
M = ( + ) :
= . =
Vậy M = ( với a > 0, a ≠ 1)
*So sánh M với 1
Ta có M = = = 1
Do a > 0 => > 0 => > 0
Nên 1 < 1
Vậy M < 1
* Học sinh phần đa còn hạn chế khi giải một bài toán dạng này, kĩ năng biến
đổi các phép tính cần lưu ý hơn cho học sinh ở phần này.
Bài 2.7: Cho biểu thức:
Q = ( 1 + ) :
a) Rút gọn Q.
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.
Hướng suy nghĩ:
Biểu thức này tương đối tổng hợp cócác phép tính cộng, trừ, nhân, chia và
cóchứa căn bậc hai;
Học sinh phải biết thực hiện các phép tính trong ngoặc trước sau đã tiếp
đến phép nhân và phép trừ;
Biết thay giá trị của a vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
22
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
Cách giải:
số”
a) Rút gọn:
Q = ( 1 + ) :
= .
= =
= =
b) Khi cóa = 3b ta có:
Q = = =
Nhược điểm đa số học sinh thực hiện biểu thức dạng này còn hạn chế khi
thực hiện phép tính.
Thay giá trị a vào biểu thức chứa căn.
Bài 2.8
Chứng minh đẳng thức
( + )()2 = 1
Hướng suy nghĩ:
Đây là dạng bài chứng minh biến đổi vế trái của đẳng thức sao cho kết quả
bằng vế phải
Xét xem vế trái của đẳng thức có dạng hằng đẳng thức nào?
Thực hiện các phép tính trong ngoặc, rút gọn.
Cách giải:
Ta có: VT = ( + )()2
= ( + )()2
= ( + )()2
= (1 + )2()2 = 1 = VP => đpcm
Bài 2.9:
Cho biểu thức:
Q = ( ): ( )
a) Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
23
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
b) Tìm a để Q = 1
số”
c) Tìm a để Q > 0
Hướng suy nghĩ:
Học sinh phải hiểu được yêu cầu của đề bài, biết cách tìm tập xác định
biểu thức cónghĩa;
Biết cách tìm a để Q = 1, tìm a để Q > 0.
Cách giải:
a) Rút gọn:
Q = ( ): ( )
= :
= :
= .
=
b) Q = 1
= 1 với a > 0 và a ≠1; a ≠ 4
2 = 3
4 = 2
= (TMĐK)
c) Q > 0
> 0
Vì a > 0 và a ≠1; a ≠ 4 3 > 0
Vậy > 0 2 > 0
a > 2
a > 4 (TMĐK)
Bài toán này tương đối khó với học sinh vì rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc
hai, đa số học sinh còn hạn chế cách biến đổi các phép toán trong căn để rút
gọn.
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
24
Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại
Bài 2.10:
số”
Cho biểu thức
P = ): ( )
a) Tìm điều kiện để p xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P =
Hướng dẫn cách giải:
Đây là biểu thức có chứa căn bậc hai, học sinh phải biết tìm điều kiện để
biểu thức có nghĩa.
Biết cách rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai.
Biết cách tìm x để P =
Cách giải:
a) Điều kiển của x để P xác định là: x > 0 , x ≠ 1; x ≠ 4
b) Rút gọn:
P = ( ): ( )
= :
= :
= .
=
a) P =
= ( với x > 0 ; x ≠1; x ≠4)
4 8 = 3
= 8
x = 64 (TMĐK)
Kết luận: P = x = 64
Bai 2.11
̀
2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
Cho biêu th
̉
ưc B =
́
3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9
Trần Văn Trung Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán Tin, ĐHSP Hà Nội)
25
