góc nội tiếp

Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 3. Góc nội tiếp
I. Lí thyết trọng tâm
1. Định nghĩa

K

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây
cung của đường tròn đó.

α
Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn

 được tạo bởi hai cạnh là hai dây KA và KB . AKB
 chắn cung AB .
AKB

O
A

B

2. Định lý
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Có
  1 sđ AB
.
AKB

2
3. Hệ quả
Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

K

M
D
O
C

A

B

  sđ CD
  AKB
  CMD

sđ AB

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 1


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

P
B
O

N

K
A
M

  ANB
  APB
 (cùng chắn AB
 ).
AMB
  AKB

Chú ý: phân biệt, tránh nhầm lẫn các góc chắn cung lớn và cung nhỏ AB khi đó AMB
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn
một cung.

K
O
B

A
  1 AOB

.
AKB
2

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 2


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Còn gọi là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

K
O

A

B

M
  AMB
  90o (góc nội tiếp chắn đường kính AB ).
AKB

II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng dạng

Bài toán 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng
dạng
Phương pháp giải Dùng hệ quả để chứng minh hai góc bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho O  và điểm I nằm ngoài đường tròn. Từ điểm I kẻ hai dây cung AB và CD
( A nằm giữa I và B,C nằm giữa I và D ). Chứng minh rằng: IA.IB  IC.ID
Hướng dẫn giải

B

A

O

I
C

D

 là góc ngoài ACD  ACI
  ADC
  DAC
.
Ta có: ACI
  CDB
. (tính chất tổng ba góc trong tam giác)
 CAI

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 3

Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

IAC và IDB lại có I chung.
 IAC” IDB (g.g) 

IA IC

 IA.IB  IC.ID .
ID IB

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AK và nội tiếp đường tròn tâm O ,
đường kính AM.

.
a) Tính ACM
b) Gọi N là giao điểm AK với đường tròn O  . Tứ giác BCMN là hình gì?
c) Chứng minh tứ giác OKNC là hình thang cân.
Hướng dẫn giải

A

O
B

K

N

C
M

 mà AM là đường kính của đường tròn tâm (O) .
 chắn cung AM
a) Ta có: ACM
  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
 ACM

  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
b) ANM

 BC / /MN  MNBC là hình thang.
  sđ CM
.
 sđ BN
  sđ CN
.
 sđ BM
 BM  CN  MNBC là hình thang cân.
c) Ta có các tam giác vuông:

ABK và AMC đồng dạng ( g-g).


  OAC

BAK


 
  BAK  OCA .


OCA  OAC 

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 4


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

 tứ giác OKNC là hình thang cân.

Bài toán 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải Dùng hệ quả để chứng minh hai góc bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho đường tròn O  và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính
giữa của các cung nhỏ MA và MB. Chứng minh rằng: P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB .
Hướng dẫn giải

M
I

K

P

A

B

O

  900 .
Ta có: M, A, B  (O) và AMB
 AB là đường kính O  .

 A,O, B thẳng hàng.
  900 ( góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta lại có: AMB

.
Theo giả thiết: K là điểm chính giữa cung MN
  KB
  MK  KB .
 MK

.
 AK là tia phân giác của góc MAB

.
Tương tự ta cũng chứng minh được BI là tia phân giác của góc AMB
Mà AK cắt BI tại P .
 P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O  , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Vẽ đường kính AF .

a) Tứ giác BFCH là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: OM 

1
AH .
2

Hướng dẫn giải

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 5


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp
A

O
E

D

H

B

C

M
F

Ta có:

  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AB  BF (1).
ABF

AB  EH  E (2).
Từ (1) và (2)  BF / / EH .
Chứng minh tương tự ta được: BH / /CF .

 BFCH là hình bình hành.
 M là trung điểm HF.

 H, M, F thẳng hàng.
 OM là đường trung bình của AHF  OM 

1
AH.
2

II. Bài tập tự luyện
Bài 1:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Kẻ đường kính AE.
a) Tính 
ACE .

  OAC
.
b) Chúng minh rằng BAH

c) Gọi K là giao điểm của AH với đường tròn  O  . Tứ giác BCEK là hình gì?
Bài 2:Cho tam giác ABC. Đường tròn  I  nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, Abtheo thứ tự ở

  60 .
D,E, F. Cho biết . Chứng minh rằng BAC
Bài 3:Cho nửa dường tròn  O  đường kính AB, K là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ bán kính

  60 . Gọi M là giao điểm của AC và OK.
OC sao cho BOC

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 6


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

a) Chứng minh MO  MC .
b) Cho OB  R , tính OM theo R.
Bài 4:Cho đường tròn  O  , các dây AB và BD vuông góc với nhau tại điểm I. Qua A kẻ đường
thẳng vuông góc với CD cắt BD ở M. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AC ở K.
Chứng minh rằng:

  AMB
.
a) 
ABM  KBM
b) ABKM là hình thoi.

Bài 5:Cho đường tròn  O  đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng
với A qua D.
a) Tam giác ABE là tam giác gì? .
b) Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn . Chứng minh rằng OD vuông góc với AK.
c) Cho AB  6 cm. Tìm vị trí của điểm D để tam giác ABE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích
lớn nhất đó. ABKM là hình thoi.
Bài 6:Cho đường tròn  O ; R  , dây AB. Qua điểm I thuộc dây AB IA  IB , vẽ dây CD vuông góc
với AB. Kẻ đường kính COE.
a) Tứ giác ABED là hình gì?
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC. Chứng minh rằng OH 

1
AD .
2

c) Chứng minh rằng tổng AD2  BC 2 có giá trị không đổi.
d) Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng MI song song với OH.

Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn  O  đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự ở D, E.
Gọi I là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) AI vuông góc với BC.

  IAE
.
b) IDE
  60 .
c) Tam giác DOE là tam giác đều nếu BAC
Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt
đường tròn ở M. Đường phân giác của góc ngoài đỉnh A của tam giác ABC cắt đường tròn ở N.
Chứng minh rằng:

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 7


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

  ABC

a) BMC
ACB .
b) OM vuông góc BC.
c) Ba điểm M, O, N thẳng hàng.
d) AD.AM  AB.AC .
e) MB.MC  MD.MA .
Bài 9. Cho hai đường tròn  O  và  O  cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng cắt hai đường tròn
trên tại bốn điểm C, D, E, K theo thứ tự trên đường thẳng ấy. Chứng minh rằng:

  DBE
  180 .
CAK
Bài 10. Cho hai đường tròn  O  và  O  cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ hai cát tuyến chung CAD
và EAG, C và E thuộc  O  , D và G thuộc  O  , A nằm giữa C và D, A nằm giữa E và G. Biết
rằng AB là tia phân giác của góc CAG. Chứng minh rằng:
a) CBD đồng dạng EBG .
b) CD  EG .
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.

a) Chứng minh rằng DB.DC  AD.HD .
b) Đường tròn  O  đường kính BC cắt đoạn thẳng AH ở I. Tính AI biết rằng AD  9 cm,

HD  4 cm.

  60 , BC  a . Tính độ dài EF theo a.
c) Cho BAC
Bài 12. Cho tam giác nhọn ABCđường cao của tam giác và H là trực tâm.
a) Kẻ đường kính COE. Tứ giác AHBE là hình gì ?
b) Gọi I là hình chiếu của O trên BC. So sánh các độ dài OI và AH.
c) Gọi giao điểm khác A của AD với đường tròn  O  là K. Chứng minh rằng BHK là tam giác
cân.
d) Qua K kẻ dây KM song song với BC. Xác định dạng của các tứ giác AEMC, BHCM.
Bài 13. Cho tam giác ABC cân tại A, AB=10cm,BC=12cm. Đường tròn (O) đường kính AC cắt AB
và BC theo thứ tự ở D và H
a) Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng HM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tính độ dài BD.

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 8


Ths. Lê Hải Trung

Góc nội tiếp

Bài 14. Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB=10cm, C là điểm chính giữa của cung AB, M là
trung điểm của BC, E là giao điểm của AM và cung AB. Gọi H là hình chiếu của E trên BC.
a) Chứng minh rằng EH=2MH.

b) Chứng minh rằng các tam giác BHE và ACM đồng dạng.
c) Tính độ dài EH.
Bài 15. Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB=10cm. Lấy các điểm C, D thuộc cung AB sao
cho AC  CD  2 5 cm.
a) Tính độ dài BD.
c) Tính diện tích tứ giác ACDB.
Bài 16. Cho hai đường tròn  O  và  O  cắt nhau ở A và B. Qua A vẽ cát tuyến d bất kì, cắt

O  và O theo thứ tự ở C và A (A nằm giữa C và D). Tìm vị trí của d để tam giác CBD có diện
tích lớn nhất.
Bài 17. Cho nửa đường tròn  O  đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Dựng điểm E
trên cung BC, sao cho nếu gọi D là giao điểm của AE và OC thì DO  DE .

TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN

Page 9