Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô thức và không gian làm việc hình học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học Hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ THỊ HẢI LÊ

SỬ DỤNG MÔ THỨC VÀ KHÔNG GIAN LÀM VIỆC
HÌNH HỌC ĐỂ PHÂN TÍCH KHÓ KHĂN CỦA HỌC
SINH VÀ QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VỀ DẠY
HỌC HÌNH HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2015

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Ngô Thị Hải Lê

ii


llLỜIl

LỜI CÁM ƠN CÁM LƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Lê Thị
Hoài Châu, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cám ơn thầy Trần Kiêm Minh, người đã có những lời
khuyên, những bài giảng và tài liệu hết sức quan trọng liên quan đến đề tài.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy
cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình
giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai
năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn lớp 91 trường THCS Lộc Sơn đã tạo điều
kiện cho tôi thực nghiệm thực trên thực tế.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ,
quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng
dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn!
Huế, tháng 4 năm 2015.

iii
iii

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA .................................................................................................. i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. ii
LỜI CÁM ƠN ....................................................................................................... iii
MỤC LỤC.............................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................ 3
LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. 4
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 7
1.1. Vị trí của bộ môn Hình học trong chương trình phổ thông ............................. 7
1.2. Sơ lược về dạy học hình học ở bậc trung học................................................. 8
1.3. Kiến thức toán của giáo viên trong việc dạy hình học .................................... 8
1.4. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học .................................. 9
1.4.1. Nguồn gốc những khó khăn của học sinh trong việc học hình học ........... 9
1.4.2. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học .......................... 10
1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề ................................................................................ 10
Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................ 11
2.1. Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học................................ 11
2.2. Hình học từ một tiếp cận nhận thức ............................................................. 14
2.3. Mô thức và mô thức hình học ...................................................................... 16
2.3.1. Khái niệm mô thức ................................................................................ 16
2.3.2. Mô thức hình học .................................................................................. 16
2.3.3. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học ................................................ 18
2.4. Không gian làm việc hình học ..................................................................... 18
2.4.1. Khái niệm về không gian làm việc hình học .......................................... 18
2.4.2. Các loại không gian làm việc hình học .................................................. 21
2.5. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele ....................... 22
2.6. Câu hỏi nghiên cứu...................................................................................... 22
2.7. Kết luận chương 2 ....................................................................................... 23
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU............................................................... 24

3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu .................................................................................. 24
1


3.1.1. Ngữ cảnh ............................................................................................... 24
3.1.2. Mục tiêu ................................................................................................ 24
3.2. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 24
3.3. Nội dung phiếu học tập................................................................................ 25
3.3.1. Phiếu học tập 1 ...................................................................................... 25
3.3.2. Phiếu học tập 2 ...................................................................................... 27
3.3.3. Phiếu học tập 3 ...................................................................................... 29
3.3.4. Phiếu học tập 4 ...................................................................................... 30
3.4. Bảng hỏi ...................................................................................................... 31
3.4.1. Nội dung bảng hỏi ................................................................................. 31
3.4.2. Phân tích tiên ngiệm .............................................................................. 33
3.5. Kết luận chương 3 ....................................................................................... 34
Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU................................................................ 35
4.1. Phân tích phiếu học tập của học sinh ........................................................... 35
4.1.1. Lời giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học II .................................. 35
4.1.2. Lời giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học I .................................... 40
4.1.3. Lời giải bài toán dựa trên kết nối hai mô thức Hình học I và II .............. 43
4.2. Phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc hình học.... 45
4.3. Phân tích bảng hỏi ....................................................................................... 47
4.3.1. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết một công việc hình học .... 47
4.3.2. Các kiến nghị của giáo viên trong việc xử lý các khó khăn của học sinh ....... 48
4.3.3. Mô thức hình học được giáo viên dự định giảng dạy trong lớp học ....... 50
4.3.4. GWS được tổ chức bởi giáo viên ........................................................... 52
4.4. Kết luận chương 4 ....................................................................................... 52
Chương 5. KẾT LUẬN........................................................................................ 53
5.1. Kết luận ....................................................................................................... 53

5.2. Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 57
PHỤ LỤC............................................................................................................. P1

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Hình học I

Natural geometry (hình học tự nhiên)

Hình học II

Natural axiomatic geometry (hình học tiên đề
tự nhiên)

Hình học III

Formal axiomatic geometry (hình học tiên đề
hình thức)

GWS

Geometric work space (không gian làm việc
hình học)

3

LỜI GIỚI THIỆU
Thuật ngữ mô thức hình học (geometrical paradigms) và không gian làm việc
hình học (geometric work space, GWS) xuất hiện với tần suất khá nhiều trong các
tài liệu gần đây về chương trình dạy học hình học và đào tạo giáo viên toán cũng
như trong các hội nghị về giáo dục toán ở Châu Âu (các hội nghị CERME 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8). Điều này chứng tỏ đây là một vấn đề được các nhà nghiên cứu và giáo dục
toán rất quan tâm.
Khung lý thuyết về mô thức hình học và không gian làm việc hình học
(Houdement & Kuzniak, 1999; Kuzniak, 2006; Kuzniak, 2012; Kuzniak &
Rauscher, 2011, [8], [12], [14], [15]) mô tả các vấn đề liên quan đến công việc mà
một chủ thể (học sinh, giáo viên, các nhà toán học…) thực hiện khi họ giải quyết
các bài toán hình học. Để nghiên cứu hình học được giảng dạy ở trường học, ba mô
thức hình học đã được đưa ra là Hình học I, Hình học II và Hình học III. Trong đó
Hình học I, II đóng một vai trò quan trọng trong việc dạy học hình học ở bậc phổ
thông. Hình học III chủ yếu là hình học đã được tiên đề hóa một cách tuyệt đối ở
bậc Đại học.
Nhiều nghiên cứu khác nhau tại Pháp (Kuzniak, 2008; Rauscher & Kuzniak,
2005; Kuzniak & Rauscher, 2011, [13], [15], [18]) cho thấy học sinh (từ lớp 7 đến
lớp 10) có thể giải quyết các bài toán hình học trong một mô thức khác với phỏng
đoán của giáo viên. Giáo viên mong muốn học sinh đưa ra lời giải trong mô thức
Hình học II trong khi đó học sinh lại đưa ra lời giải trong mô thức Hình học I. Điều
này tạo ra các chênh lệch trong việc dạy và học hình học giữa giáo viên và học sinh.
Nhận ra và giúp học sinh vượt qua các chênh lệch này trong việc học hình
học là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của giáo viên toán. Nắm được các khái
niệm về mô thức hình học và không gian làm việc hình học sẽ cho phép giáo viên
tiếp cận và hiểu hơn các lời giải trong các mô thức khác nhau của học sinh khi giải
quyết một bài toán hình học. Điều này giúp cho giáo viên hiểu rõ bản chất các khó
khăn mà học sinh mắc phải khi thực hiện một công việc hình học và từ đó có kế

4

hoạch điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp để giúp học sinh vượt qua các
khó khăn khi học hình học.
Vì vậy nghiên cứu về vấn đề sử dụng mô thức và không gian làm việc hình
học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học hình
học là một đề tài có tính cấp thiết, khoa học và ý nghĩa. Trong nghiên cứu này,
chúng tôi hướng đến các mục tiêu sau:
 Phân tích các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một bài toán
hình học. Nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn và cách giáo viên xử lý
các khó khăn này.
 Phân tích quan niệm của giáo viên về dạy học hình học ở phổ thông.
 Tìm hiểu các mô thức hình học được giáo viên sử dụng dạy trong lớp học,
các không gian làm việc hình học cá nhân của giáo viên.
Cấu trúc luận văn bao gồm 5 chương:
 Chương 1: Đặt vấn đề. Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về
việc dạy học hình học ở bậc phổ thông, các kiến thức toán trong việc dạy
hình học và các khó khăn của học sinh trong việc học hình học. Từ đó chúng
tôi đặt ra một số vấn đề cho nghiên cứu này.
 Chương 2: Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi đã điểm bình qua
một vài nghiên cứu liên quan đến dạy học hình học, làm rõ các khái niệm
mô thức hình học và không gian làm việc hình học, cũng như mối quan hệ
giữa chúng.
 Chương 3: Thiết kế nghiên cứu. Chương này trình bày về ngữ cảnh và
phương pháp nghiên cứu. Chúng tôi giới thiệu nội dung bảng hỏi, phiếu học
tập, phân tích tiên nghiệm các nội dung trong bảng hỏi, phiếu học tập.
 Chương 4: Kết quả nghiên cứu. Trong chương này, chúng tôi phân tích các
kết quả của phiếu học tập và bảng hỏi. Đối với phiếu học tập chúng tôi phân
loại theo ba hướng: lời giải bài toán dựa trên mô thức Hình học II, lời giải
bài toán dựa trên mô thức Hình học I và lời giải bài toán dựa trên việc kết nối

hai mô thức trên. Từ đó chúng tôi phân tích những khó khăn của học sinh khi

5


thực hiện một công việc hình học. Bảng hỏi chúng tôi phân tích quan niệm
của giáo viên về dạy học hình học dựa trên các câu trả lời của giáo viên.
 Chương 5: Kết luận. Trong chương này, trước hết chúng tôi phân tích các
yếu tố cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu đối với các câu hỏi nghiên
cứu. Sau đó, chúng tôi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như
định vị nghiên cứu của chúng tôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên
quan đến chủ đề này.

6


Chương 1
ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Vị trí của bộ môn Hình học trong chương trình phổ thông
Trong chương trình giảng dạy hiện nay, toán học đóng vai trò là một môn
học cơ sở cho giáo dục phổ thông, là công cụ đắc lực giúp cho việc dạy và học các
môn khác. Các kiến thức toán học đóng một vai trò rất quan trọng trong việc tìm
hiểu nội dung của các môn học khác như khoa học, xã hội học, thậm chí cả âm nhạc
và nghệ thuật. Việc học môn toán sẽ giúp học sinh phát triển năng lực, trí tuệ, sự
tưởng tượng, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tác phong làm việc khoa học… góp
phần hình thành, phát triển nhân cách cho học sinh.
Hình học là một nội dung rất quan trọng trong việc học môn toán vì nó cho
phép các học sinh phân tích và giải thích thế giới chúng ta đang sống cũng như
trang bị các công cụ mà học sinh có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác của toán

học. Ngoài ra, các kiến thức về hình học còn hỗ trợ học sinh học tập các môn học
khác như khoa học, địa lý, nghệ thuật, thiết kế và công nghệ…Việc học hình học
góp phần giúp học sinh phát triển các kỹ năng như trực quan, tư duy phê phán, trực
giác, suy đoán, giải quyết vấn đề, lập luận suy diễn, lập luận và chứng minh logic…
Do đó việc dạy, học hình học là rất quan trọng trong chương trình phổ thông, học
sinh cần nắm được các kiến thức hình học và đạt được các kỹ năng cơ bản trong khi
học hình học.
Bộ môn hình học đóng một vai trò hết sức quan trọng trong chương trình
giảng dạy phổ thông. Tuy nhiên, từ thực tiễn cho thấy rằng học sinh gặp rất nhiều
khó khăn để có thể hiểu và học tốt bộ môn hình học. Điều này đặt ra thách thức rất
lớn cho các giáo viên trong việc giảng dạy, các giáo viên cần phải hiểu rõ bản chất
của các khó khăn mà học sinh mắc phải khi học hình học, đồng thời xây dựng cho
mình một phương pháp giảng dạy hình học phù hợp để có thể giúp đỡ học sinh vượt
qua các căng thẳng trong việc học hình học.

7


1.2.Sơ lược về dạy học hình học ở bậc trung học
Theo Kuzniak (2011, [17]) một trong những mục tiêu chính của việc dạy
hình học là bảo đảm rằng các học sinh hoàn thành việc xây dựng không gian làm
việc hình học phù hợp và hiệu quả của riêng mình. Sau đó, học sinh có thể hiểu và
giải các bài toán hình học bằng cách sử dụng không gian làm việc này. Tuy nhiên,
lời giải của bài toán phụ thuộc vào các mô thức hình học khác nhau liên quan đến
các thể chế khác nhau - các quốc gia - nơi hình học được giảng dạy. Từ sự đa dạng
của các mô thức hình học dẫn đến một sự đa dạng rất lớn của không gian làm việc
hình học: điều này giải thích một số lượng lớn các khó khăn và sai lầm của học sinh
trong việc học hình học.
Hiện nay, việc dạy học hình học ở bậc trung học chủ yếu tuân theo mô thức
Hình học II – hình học Euclid cổ điển. Một chứng minh hình học trong mô thức này

chỉ được xem là hợp lệ khi lập luận suy diễn được xây dựng dựa trên các kiến thức
hình học (định lý, định nghĩa, tính chất hình học…). Việc đưa ra chứng minh dựa
trên hình vẽ hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như
thước kẻ, compa, thước đo góc… hoàn toàn không được chấp nhận. Tuy nhiên,
trong thực tế, học sinh có thể giải quyết bài toán trong các mô thức hình học khác
với mong đợi của giáo viên và yêu cầu của thể chế (chương trình, sách giáo khoa...)
- điều này gây ra một số khó khăn trong dạy học hình học.
Đôi lúc các giáo viên cũng chưa có sự quan tâm đúng mức đến thực tế xảy ra
trong lớp học hình học. Giáo viên thường mong muốn học sinh giải quyết một bài
toán hình học trong mô thức Hình học II mà không xem xét đến thực tế rằng học sinh
có thể có các cách tiếp cận trong các mô thức hình học khác nhau. Điều này dẫn đến
các chênh lệch trong quan điểm về dạy và học hình học giữa giáo viên và học sinh.
1.3. Kiến thức toán của giáo viên trong việc dạy hình học
Các nghiên cứu về đào tạo giáo viên toán được tiến hành trong những năm
1980 đã tập trung vào những gì mà giáo viên thực sự cần phải dạy trong lớp học.
Shulman (1986, [19]) đã giới thiệu khái niệm về Kiến thức nội dung sư phạm (PCK)
để bổ sung cho Kiến thức về nội dung môn học. Dựa trên ý tưởng này, những nghiên
cứu khác đã được thực hiện để mô tả kiến thức thực sự cần thiết để dạy học toán. Gần
8


đây, Hill, Ball & Schilling (2008, [7]) đã giới thiệu khái niệm Kiến thức về nội dung
và học sinh (KCS) và Kiến thức về nội dung và việc giảng dạy (KCT) nhằm sắp xếp,
bổ sung cho khía cạnh kiến thức toán cho việc dạy học (MKT).
Trong một cách tiếp cận khác, Steinbring (1998, [20]) đã nhấn mạnh về sự
cần thiết của việc tìm hiểu khía cạnh tri thức luận để cải thiện việc giảng dạy và đề
nghị để chuyển đổi thực hành dạy học hiện tại bằng cách thay đổi cách nhìn và sự
hiểu biết về toán học của giáo viên. Đây cũng là một khía cạnh mà chúng tôi vận
dụng trong nghiên cứu này, tức là sử dụng khái niệm về các mô thức hình học để
giải thích một số khó khăn mà học sinh và giáo viên gặp phải trong quá trình dạy và

học hình học.
1.4. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học
1.4.1. Nguồn gốc những khó khăn của học sinh trong việc học hình học
Theo các giáo viên trung học ở Pháp thì nguồn gốc của những khó khăn hay
hiểu lầm của học sinh trong hình học có bản chất ở khía cạnh tri thức luận và dạy
học. Dựa trên khái niệm chướng ngại tri thức luận của Bachelard (1938, [1]),
Brousseau (1997, [3]) đề xuất rằng việc học toán học có thể bị cản trở bởi ba loại
chướng ngại được phân biệt bởi nguồn gốc của chúng: cá thể, tri thức luận và dạy
học. Hai thuật ngữ đầu đề cập đến các khả năng hoặc sự hiểu biết của học sinh, và
thuật ngữ cuối liên quan nhiều hơn đến những sự lựa chọn về phương pháp dạy học
mà giáo viên thực hiện trong một hệ thống giáo dục. Trong khi các chướng ngại tri
thức luận là không thể tránh khỏi do vai trò định hình của nó trong tri thức mới sắp
được học, các chướng ngại về dạy học có thể được hình thành như là kết quả của
việc lựa chọn phương pháp tổ chức dạy học đặc thù của từng giáo viên hoặc từ việc
thiếu hiểu biết của giáo viên về khả năng nhận thức của học sinh.
Các vấn đề thuộc về khía cạnh dạy học cũng có thể xuất hiện khi học sinh
không thực hiện công việc hình học chính xác như giáo viên mong đợi, cho dù học
sinh nghĩ rằng công việc này hợp lệ. Cụ thể, sự hiểu lầm xảy ra khi quan điểm của
học sinh về những gì học sinh cần phải làm đi chệch khỏi các mong đợi của giáo
viên. Ví dụ, trong thực hành, khi học hình học, học sinh thường mất nhiều thời gian
để vẽ các hình hình học chính xác, trong khi đối với giáo viên, chúng đơn thuần chỉ
là các công cụ hỗ trợ về mặt trực quan.
9


1.4.2. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học
Việc học toán ở nhà trường cung cấp cho học sinh một “thế giới toán học”,
trong lĩnh vực hình học, “thế giới hình học” có đặc trưng cơ bản là khiến cho một
sự trừu tượng gần với thực tế. Vì vậy, hình hình học, hoàn toàn được xác định bởi
định nghĩa của nó, phải đối mặt với một hình vẽ, là cơ sở để định nghĩa. Điều này

phần nào giải thích tại sao học sinh gặp rất nhiều khó khăn để hiểu hình học.
Kuzniak & Rauscher (2011, [15]) đã sử dụng khái niệm mô thức hình học để
xem xét các khó khăn của học sinh trong việc học hình học, cụ thể, giáo viên và học
sinh có thể áp dụng các mô thức hoàn toàn khác biệt. Sự khác biệt trong cách tiếp
cận có thể dẫn đến những hiểu lầm. Do đó, các kiến thức hình học được tổ chức và
giảng dạy bởi giáo viên có thể được hiểu khác với những gì mà giáo viên dự định và
điều này dẫn đến những khác biệt về quan điểm giữa giáo viên và học sinh.
1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề
Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày sơ lược về việc dạy học hình học ở bậc
phổ thông, các kiến thức toán trong việc dạy hình học và các khó khăn của học sinh
trong việc học hình học. Nhiều nghiên cứu cho thấy rằng giáo viên chưa thực sự quan
tâm đúng mức đến thực tế xảy ra trong lớp học hình học. Các giáo viên thường yêu
cầu học sinh làm việc trong mô thức Hình học II. Tuy nhiên, các học sinh có thể sử
dụng mô thức hình học trái ngược với mong đợi của giáo viên. Điều này sẽ tạo ra các
chênh lệch trong việc dạy và học hình học giữa giáo viên và học sinh.
Các khái niệm mô thức hình học và không gian làm việc hình học cung cấp
một công cụ để các giáo viên có thể nhìn nhận và phân tích các cách thực hiện một
công việc hình học khác nhau của học sinh, từ đó giúp giáo viên có thể hiểu được
bản chất các khó khăn của học sinh khi học hình học và có phương án chuyển đổi
phương pháp dạy học cho phù hợp để có thể hỗ trợ học sinh vượt qua các khó khăn
khi học hình học.
Để làm sáng tỏ vấn đề này, trong chương 2, chúng tôi phân tích rõ hơn cơ sở
lý thuyết của các khái niệm mô thức hình học và không gian làm việc hình học. Sau
đó, chúng tôi trình bày mục tiêu nghiên cứu và cụ thể hoá nó bằng các câu hỏi
nghiên cứu của đề tài.
10


Chương 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học
Lý thuyết Van Hiele có nguồn gốc từ luận án tiến sĩ của Dina Van HieleGeldof và chồng bà là Pierre Van Hiele tại đại học Utrecht, Hà Lan vào năm 1957.
Đặc trưng nổi bật nhất của lý thuyết này là sự phân biệt 5 cấp độ nhận thức đối với
sự phát triển nhận thức hình học của học sinh.
Theo lý thuyết Van Hiele (1986, [21]), lý do chính của việc dạy học hình học
truyền thống thất bại ở các trường trung học là vì chương trình giảng dạy được trình
bày theo một cấp độ cao hơn so với khả năng của học sinh. Nói cách khác, học sinh
không thể hiểu được giáo viên cũng như giáo viên không hiểu tại sao học sinh lại
không hiểu! Mặc dù lý thuyết Van Hiele phân biệt sự khác nhau giữa 5 cấp độ nhận
thức nhưng chúng ta chỉ tập trung vào 4 cấp độ đầu tiên vì chúng thích hợp cho hình
học ở cấp độ tiểu họcvà trung học. Các đặc trưng của mỗi cấp độ được trình bày
như sau:
 Cấp độ 1: Nhận biết - trực quan
Học sinh có khả năng nhận ra, gọi tên, so sánh các hình hình học cơ bản
theo hình dạng bên ngoài bằng cách so sánh chúng với các hình vẽ mẫu, đo đạc
các yếu tố liên quan đến một hình (góc, cạnh…). Ở cấp độ này, học sinh chưa xác
định được tính chất của các hình và đưa ra quyết định chỉ dựa vào trực giác, không
phải dựa vào suy luận. Chẳng hạn, ở cấp độ này, khi giáo viên mô tả các hình thoi,
chữ nhật, hình vuông, học sinh có thể vẽ lại chúng trên bảng, học sinh nhận ra
hình vuông và hình chữ nhật là khác nhau nhưng chưa thể nhận ra hình thoi cũng
là một hình bình hành…
 Cấp độ 2: Phân tích
Ở cấp độ này, học sinh xem một hình như là tập hợp các tính chất (lớp các
hình). Học sinh có khả năng nhận ra và mô tả tính chất các hình cơ bản, nhưng
không thấy được mối quan hệ giữa các tính chất này. Học sinh có thể phân tích các
hình theo các thành phần của chúng và khám phá tính chất của các hình bằng thực
11


nghiệm (gấp, đo đạc, sử dụng tọa độ ô vuông…). Khi mô tả một hình, học sinh có

thể liệt kê tất cả các tính chất mà các em biết nhưng không phân biệt được tính chất
nào là cần hay đủ để mô tả nó. Chẳng hạn, học sinh nhận biết hai cạnh bên của một
tam giác cân thì bằng nhau, hai góc ở đáy tương ứng bằng nhau; hiểu được rằng một
hình là hình chữ nhật nếu nó có bốn góc vuông, thậm chí khi hình đó không được
vẽ cẩn thận…
 Cấp độ 3: Suy diễn không chính thống (sắp xếp)
Ở cấp độ này, học sinh nhận thức được mối quan hệ giữa các tính chất và các
hình, hiểu được mối quan hệ bao hàm giữa các hình. Học sinh có thể thực hiện các
suy luận đơn giản không chính thống (chưa thể chứng minh bằng suy diễn hình
thức). Ví dụ, học sinh nhận ra quan hệ bao hàm của các hình hình học sau: hình
vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, tứ giác. Học sinh bắt đầu hiểu thế nào là một
« chứng minh » trong hình học. Tuy nhiên, học sinh chưa thể hiểu bản chất của suy
luận diễn dịch (chứng minh).
 Cấp độ 4: Suy luận diễn dịch
Ở cấp độ này, học sinh có thể nhận ra mối quan hệ giữa các tính chất và thực
hiện các lập luận logic về các tính chất hình học, chứng minh các tính chất hình học
bằng lập luận diễn dịch. Học sinh hiểu vai trò của các tiên đề, định nghĩa và định lý;
hiểu được ý nghĩa của điều kiện cần, điều kiện đủ trong một phép chứng minh.
Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt được mệnh đề thuận/đảo; hoặc từ tính chất
song song của hai đường thẳng suy ra được sự bằng nhau của các góc tương ứng và
ngược lại…
 Cấp độ 5: Chính xác
Học sinh ở cấp độ này có thể hiểu được các khía cạnh hình thức của suy diễn
như thiết lập và so sánh các hệ tiên đề khác nhau. Học sinh thực hiện các suy diễn
trừu tượng (hình học đã được tiên đề hóa hoàn toàn), lập luận trong các hệ tiên đề
hình học khác nhau. Chẳng hạn, học sinh hiểu việc sử dụng gián tiếp các chứng
minh và chứng minh bằng phản chứng, có thể hiểu hệ thống hình học phi Euclide…
Clements & Battista (1992, [4]) đã đề nghị bổ sung thêm một cấp độ, gọi là
cấp độ 0, hay cấp độ tiền nhận thức. Học sinh ở cấp độ này chỉ ghi nhớ được một
12

tập con các tính chất trực quan của các hình, dẫn đến việc khó khăn trong phân biệt
các hình. Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt tam giác và tứ giác, nhưng khó khăn
trong phân biệt hình thoi với hình bình hành.
Theo lý thuyết Van Hiele, lập luận suy diễn xuất hiện lần đầu ở cấp độ 3 khi
mạng lưới các mối quan hệ logic giữa các tính chất được thiết lập. Ở cấp độ 1 và 2,
học sinh chỉ có thể trải nghiệm một chứng minh như một nỗ lực nhằm xác minh kết
quả. Tuy nhiên, vì học sinh không nghi ngờ tính hợp lệ của các quan sát thực
nghiệm nên trải nghiệm mà học sinh hướng tới là vô nghĩa. Ngoài ra, cần lưu ý rằng
quá trình chuyển đổi từ cấp độ 1 lên cấp độ 2 đặt ra vấn đề đặc biệt cho người học
sử dụng ngôn ngữ thứ 2 vì nó đòi hỏi sự tiếp nhận các thuật ngữ chuyên môn để mô
tả và khám phá các tính chất của các hình.
Bên cạnh việc cung cấp một cái nhìn sâu sắc trong tư duy, cụ thể cho từng
cấp độ tư duy hình học, Van Hiele đã xác định một số đặc trưng chung của lý thuyết
này. Các tính chất này đặc biệt quan trọng đối với nhà giáo dục bởi vì chúng cung
cấp hướng dẫn để đưa ra quyết định giảng dạy:
 Tính chất 1: Học sinh không thể ở cấp độ nhận thức n mà chưa đi qua cấp độ
n – 1.
 Tính chất 2: Mỗi cấp độ liền sau đều cao hơn cấp độ liền trước về bản chất
lập luận.
 Tính chất 3: Mỗi một cấp độ tương ứng với một ngôn ngữ, ký hiệu và hệ
thống các quan hệ riêng.
 Tính chất 4: Hai học sinh lập luận ở trong hai cấp độ khác nhau thì không thể
« hiểu nhau ».
 Tính chất 5: Quá trình chuyển từ một cấp độ sang cấp độ cao hơn ở học sinh
đòi hỏi nhiều thời gian, chủ yếu phụ thuộc vào các trải nghiệm dạy học mà
học sinh được tiếp nhận, hơn là vào tuổi tác của học sinh.
Theo lý thuyết Van Hiele, học sinh tiến bộ qua mỗi cấp độ tư duy thông qua
việc học được tổ chức thành 5 bước kiểu kiến tạo:

 Thông tin: qua trao đổi, giáo viên xác định những gì học sinh đã biết về một
chủ đề và định hướng học sinh vào chủ đề mới.
13


 Hướng dẫn: học sinh khám phá nội dung bài học qua các nhiệm vụ toán thiết
kế cẩn thận như gấp hình, đo đạc, dựng hình.
 Phát biểu: học sinh mô tả những gì vừa được học theo ngôn ngữ của mình.
Giáo viên giới thiệu các thuật ngữ toán học thích hợp.
 Áp dụng: học sinh áp dụng kiến thức đang học vào giải quyết các vấn đề và
khảo sát các nhiệm vụ kết thúc mở.
 Tích hợp: học sinh tóm lược và tích hợp những gì đã được học, phát triển hệ
thống các đối tượng và quan hệ hình học mới.
Theo lý thuyết này để việc học có ý nghĩa, học sinh nên được làm quen và
khám phá nội dung hình học theo các bước từ thấp đến cao tương ứng với các cấp
độ Van Hiele.
2.2. Hình học từ một tiếp cận nhận thức
Theo Duval (1998, [5]), suy luận trong hình học liên quan chủ yếu đến ba
quá trình nhận thức sau đây:
 Trực quan hóa (visualization)
◦

Khả năng diễn giải và hiểu các thông tin liên quan đến hình.

◦

Tạo ra hình ảnh (tư duy hoặc thực) từ các ý tưởng trừu tượng.

 Dựng hình (construction)
◦

Quá trình sử dụng các công cụ để dựng các mô hình.

◦

Thước kẻ, compa, gấp hình, phần mềm… là các công cụ dựng hình
chủ yếu.

Ở đây cần phân biệt hai khái niệm quan trọng là hình vẽ và hình hình học:
Hình vẽ
Đối tượng vật chất cụ thể được vẽ

Hình hình học
Một hình phản ánh một đối tượng lý
thuyết được biểu diễn

Hình vẽ biểu diễn một hình hình học Hình được lập nên từ các đối tượng
hoặc một đối tượng vật lý

hình học (điểm, đường thẳng…) và các
tính chất giữa chúng

Hình vẽ không thuộc không gian hình Thuộc về không gian hình học
học
14


 Suy luận (reasoning)
◦

Suy luận hình học dựa trên tiên đề.

Theo Jones & Bills (1998, [10]), Duval đã chỉ ra rằng những quá trình nhận
thức khác nhau có thể được thực hiện một cách riêng biệt. Ví dụ, trực quan hóa
không nhất thiết phụ thuộc vào dựng hình. Tương tự như vậy, ngay cả khi việc dựng
hình dẫn đến trực quan hóa, quá trình dựng hình thực sự chỉ phụ thuộc vào các kết
nối giữa các tính chất toán học có liên quan và những hạn chế của công cụ đang
được sử dụng. Tương tự, trực quan hóa có thể trợ giúp để suy luận nhưng trong một
số trường hợp cũng có thể gây ra hiểu lầm.
Tuy nhiên, Duval (1998, tr. 38, [5]) lập luận rằng: "ba loại quá trình nhận
thức này được kết nối chặt chẽ và sức mạnh tổng hợp của chúng về mặt nhận thức
là cần thiết để thành thạo về khía cạnh hình học". Duval đã minh họa các kết nối
giữa ba kiểu quá trình nhận thức theo sơ đồ sau:
Trực quan hóa

Dựng hình

Suy luận

Hình 2.1. Kết nối giữa ba kiểu quá trình nhận thức (Duval, 1998, tr. 38, [5])
Trong sơ đồ trên mỗi mũi tên đại diện cho cách một loại quá trình nhận thức
có thể hỗ trợ một loại khác trong bất kỳ hoạt động hình học. Mũi tên từ trực quan
hóa đến suy luận được vẽ chấm chấm bởi vì, như đã lập luận ở trên, trực quan hóa
không luôn luôn hỗ trợ suy luận. Mũi tên "vòng tròn" minh họa rằng suy luận có thể
phát triển theo một cách độc lập với các quá trình dựng hình hoặc trực quan hóa.
Cho rằng sức mạnh tổng hợp của ba quá trình này là cần thiết về mặt nhận thức
để thành thạo hình học, theo Duval, vấn đề là làm thế nào để cho các học sinh nhận ra
mối liên hệ giữa ba loại quá trình. Duval (1998, [5]) lập luận rằng, trong cố gắng để
hiểu sự phát triển của lập luận hình học, nghiên cứu của ông đã chỉ ra như sau:
15

1. Ba loại quá trình nhận thức phải được phát triển riêng biệt.
2. Công việc phân biệt sự khác nhau giữa quá trình trực quan hóa và quá
trình suy luận là cần thiết trong chương trình giảng dạy.
3. Việc phối hợp ba loại quá trình chỉ thực sự có thể xảy ra sau khi thực hiện
việc phân biệt.
2.3. Mô thức và mô thức hình học
2.3.1. Khái niệm mô thức
Khái niệm mô thức (paradigm) được Thomas Samuel Kuhn giới thiệu trong
tác phẩm The structure of scientific revolutions (1962, 1966), một trong những tác
phẩm khoa học được trích dẫn nhiều nhất thế kỷ XX. Theo Kuhn (1966, [11]), thuật
ngữ mô thức đại diện cho toàn bộ tập hợp các niềm tin, giá trị, kỹ thuật, thực
hành… được chia sẻ bởi các thành viên trong một cộng đồng khoa học.
Khái niệm mô thức mở rộng khái niệm lý thuyết và liên kết nó với sự tồn
tại của một cộng đồng các cá nhân cùng chia sẻ một lý thuyết chung. Một mô
thức là những gì các thành viên của một cộng đồng khoa học chia sẻ và một cộng
đồng khoa học bao gồm những người chia sẻ cùng một mô thức (Kuhn, 1966, tr.
180, [11]).
Khi mọi người chia sẻ cùng một mô thức chung, họ có thể giao tiếp với nhau
rất dễ dàng và theo một cách rõ ràng. Ngược lại, khi họ ở trong những mô thức khác
nhau, những sự hiểu lầm có thể thường xuyên xảy ra. Chẳng hạn, các hình vẽ được
sử dụng như thế nào trong hình học phụ thuộc vào mô thức hình học nào được chấp
nhận: sử dụng các hình vẽ để chứng minh một tính chất hình học bằng cách đo đạc
nhiều lúc không được chấp nhận.
2.3.2. Mô thức hình học
Theo quan điểm nhận thức luận của Gonseth (1945-1955, [6]), ba mô thức
hình học sau đây được đưa ra bởi Houdement & Kuzniak (1999; 2003, [8], [9]) để
tổ chức sự tương tác giữa trực giác, suy diễn và lập luận. Ba mô thức hình học lần
lượt được gọi là Hình học I (Hình học tự nhiên), Hình học II (Hình học tiên đề tự

nhiên), Hình học III (Hình học tiên đề hình thức).

16


Hình học I: Hình học tự nhiên
Hình học tự nhiên có phạm vi là thế giới thực và có thể nhận thức được bằng
giác quan. Đó cũng là căn cứ để hợp thức (chứng minh) các mệnh đề trong mô thức
hình học này. Trong hình học này, các khẳng định hợp lý được tạo ra bằng cách sử
dụng lập luận dựa trên tri giác, thử nghiệm và suy luận. Các khẳng định được chứng
minh bằng cách phối hợp mô hình và thực tế. Chứng minh có thể dựa vào hình vẽ
hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ,
compa, thước đo góc… và cũng có thể gấp hoặc cắt hình để đi đến một khẳng định.
Về mặt lịch sử, sự phát triển của hình học này đã được thúc đẩy bởi các vấn đề thực
tế. Hình học I có bản chất là hình học kỹ thuật và có thể xem là “hình học ở cấp độ
tiểu học”.
Hình học II: Hình học tiên đề tự nhiên
Hình học II, với nguyên mẫu là hình học Euclid cổ điển, được xây dựng trên
một mô hình tiệm cận với thực tế. Một khi các tiên đề được thiết lập, chỉ có các
chứng minh được phát triển trong hệ thống các tiên đề mới có hiệu lực. Hệ thống
các tiên đề có thể chưa đầy đủ và hoàn chỉnh, chưa hoàn toàn tiên đề hóa một cách
hình thức (còn liên kết với thực tế về ngữ nghĩa). Hình học II là có thể xem như là
“hình học ở cấp độ trung học cơ sở và trung học phổ thông”.
Hình học III: Hình học tiên đề hình thức
Hình học I và II đều gắn liền với thế giới thực, nhưng theo những cách khác
nhau. Đặc biệt, chúng khác nhau ở kiểu hợp thức (chứng minh) một khẳng định và
bản chất của hình (trong Hình học I, hình có tính duy nhất và cụ thể, trong Hình học
II, hình mang tính tổng quát và dựa trên định nghĩa). Điều này khác với hình học
III, nơi mà hệ thống các tiên đề là trung tâm và tách khỏi thực tế. Hệ thống này là
đầy đủ và không còn liên quan đến các ứng dụng trong thế giới thực. Khía cạnh lập

luận logic hình thức là chủ đạo trong mô thức hình học này. Hình học Euclide trừu
tượng, hình học phi Euclide, hình học affine… là các ví dụ về Hình học III. Ta có
thể xem Hình học III như là « hình học ở cấp độ đại học ».

17


2.3.3. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học
Theo Houdement & Kuzniak (2003, [9]), mối quan hệ giữa các mô thức hình
học được trình bày trong bảng sau:
Hình học I
Trực giác

Trải nghiệm

Suy diễn

Kiểu không gian

Hình học II

Cảm giác, gắn với tri
giác, trải nghiệm

Gắn với các hình
Gắn với một sơ

Gắn với đo đạc

đồ của thực tế

Hình học III
Trong nội bộ
toán học
Theo kiểu logic
Chứng minh

Gần với thực tế và

Chứng minh dựa

gắn với trải nghiệm

trên các tiên đề

Không gian trực giác

Không gian

Không gian

và vật lý

vật lý-hình học

trừu tượng

hoàn toàn dựa
trên các tiên đề

Sơ đồ của một
Vai trò

Đối tượng nghiên cứu

của hình vẽ

(và chứng minh)

Hỗ trợ lập luận

khái niệm lý
thuyết, công cụ
thử nghiệm

Khía cạnh ưu tiên

Thực chứng và tạo

Tính chất và

dựng hình

chứng minh

Chứng minh và
mối liên hệ giữa
các đối tượng

Bảng 2.1. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học (Houdement & Kuzniak, 2003, [9])

2.4. Không gian làm việc hình học
2.4.1. Khái niệm về không gian làm việc hình học
Nhiều quan điểm nhân chủng hiện đại đều xem toán học nói chung và hình
học nói riêng, khi được dạy trong trường học, là một dạng hoạt động của con người
và được xem như một phần trong một hệ thống xã hội, chứ không đơn thuần chỉ là
lĩnh vực của các ký hiệu và biểu tượng trừu tượng. Xem xét toán học như là một
hoạt động có tính xã hội được thực hiện bởi bộ não con người có thể giúp chúng ta
hiểu cách cộng đồng và các cá nhân áp dụng một mô thức hình học trong thực hành
hàng ngày về toán học. Theo Kuzniak (2011, [17]), khi các chuyên gia (nhà hình
18


học) cố gắng để giải quyết một số bài toán hình học, họ có thể chuyển đổi qua lại
giữa các mô thức. Họ có thể sử dụng các hình vẽ cho các mục đích khác nhau, đôi
khi là đối tượng để nghiên cứu và đôi khi như một phương tiện để hợp thức một số
tính chất. Tuy nhiên, họ luôn biết chính xác mức độ tin cậy mà họ có thể cung cấp
cho mỗi kết luận của mình.
Một loạt các vấn đề liên quan đến người sử dụng hình học được gợi lên khi
chúng ta quan niệm hình học như một công việc của con người. Công việc này phụ
thuộc vào vai trò của trực quan và công cụ vẽ hình trong quá trình hợp thức. Nó
cũng phụ thuộc vào mô hình của các tính chất và định nghĩa của các đối tượng hình
học. Cuối cùng, nó phụ thuộc vào niềm tin và kiến thức của mỗi cá nhân học sinh.
Do đó, để mô tả sự phức tạp của một công việc hình học, khái niệm không gian
làm việc hình học (GWS) đã được đưa vào. GWS (Kuzniak, 2006, 2008, [12], [13]) là
nơi được tổ chức, sắp xếp để đảm bảo công việc của người giải quyết các bài toán hình
học (học sinh, giáo viên, nhà hình học…). Một GWS bao gồm hai mức độ (khía cạnh):
mức độ thành phần (hay mức độ tri thức luận) và mức độ nhận thức.

Trực quan

Chứng minh
Dựng hình

Không gian thực

Mô hình lý thuyết
Công cụ

Hình 2.2. Không gian làm việc hình học (Kuzniak, 2012, [14])
19


 Mức độ thành phần bao gồm ba yếu tố sau đây:
 Một không gian có tính địa phương và thực.
 Một tập hợp các công cụ, chẳng hạn như các công cụ vẽ hoặc phần mềm.
 Một mô hình lý thuyết tham chiếu dựa trên các định nghĩa và tính chất.
Trong đó:
 Không gian địa phương và thực phụ thuộc vào từng mô thức hình học
◦

Đối với Hình học I, đó là các hình vẽ, hình mẫu thực.

◦

Đối với Hình học II, đó là các hình hình học.

◦

Đối với Hình học III, đó là các đối tượng trừu tượng (điểm, đường
thẳng, mặt phẳng).

 Các công cụ :
◦

Trong Hình học I, đó là thước có chia vạch, thước đo độ, compa…

◦

Trong Hình học II, đó là thước không chia vạch, compa, phần mềm…
nhưng phải chứng minh cách dựng hình bằng lý thuyết.

◦

Trong Hình học III, đó là thước, compa, phần mềm… nhưng hình vẽ
chỉ mang tính hỗ trợ thực nghiệm.

 Mô hình lý thuyết: Đó là các mô thức Hình học I, II và III.
Người ta thấy rằng mức độ thành phần như trên chưa đủ để xác định nghĩa
tổng quát của một GWS, vì nghĩa đó còn phụ thuộc vào chức năng mà người sử
dụng nó (học sinh, giáo viên…) xác định cho nó. Vì vậy, mức độ nhận thức được
đưa vào để mô tả hoạt động nhận thức của một cá nhân sử dụng nó. Kuzniak (2006,
[12]) đã chọn tiếp cận nhận thức hình học của Duval để làm rõ các quá trình nhận
thức liên quan trong quá trình giải quyết các bài toán hình học.
 Khía cạnh nhận thức của một GWS bao gồm ba quá trình nhận thức sau đây:
 Một quá trình trực quan liên quan đến các biểu diễn không gian tương ứng.
 Một quá trình dựng hình được xác định bằng các công cụ (thước, compa…)
và các hình dạng hình học.
 Một quá trình suy luận hình học để chuyển tải lập luận và chứng minh.
Cả hai khía cạnh thành phần và nhận thức như trên cần phải được khớp nối để đảm
bảo một công việc hình học chặt chẽ và đầy đủ.

20


2.4.2. Các loại không gian làm việc hình học
Khi GWS được tạo ra trong khuôn khổ thể chế nhà trường, việc giới thiệu
các cấp độ khác nhau của GWS là cần thiết để mô tả sự đa dạng tồn tại trong giáo
dục nhà trường. Kuzniak (2011, [16], [17]) đã phân chia GWS thành ba loại sau:
 GWS qui chiếu
◦

Cộng đồng (nhà toán học, nhà thiết kế chương trình…) nhất trí về một
mô thức hình học để dạy.

◦

Là GWS tương ứng với cấp độ chương trình (nghiên cứu ý định của
chương trình).

 GWS tương thích
◦

GWS qui chiếu phải được sắp xếp, tổ chức lại để trở thành một GWS
thích hợp, hiệu quả cho việc tổ chức dạy học hình học.

◦

Là GWS tương ứng ở cấp độ sách giáo khoa (nghiên cứu nội dung
sách giáo khoa).

 GWS cá nhân

◦

GWS tương thích sẽ được chiếm lĩnh, khám phá bởi học sinh (và giáo
viên), phụ thuộc vào kiến thức, nhận thức của mỗi cá nhân.

◦

Là GWS tương ứng với cấp độ thực hành dạy học trong lớp học
(nghiên cứu thực hành của giáo viên, quan niệm của học sinh…).

Theo Kuzniak & Rauscher (2011, [15]), một GWS chỉ tồn tại thông qua
người sử dụng nó. Cấu trúc của nó phụ thuộc vào cách người sử dụng kết hợp hai
khía cạnh thành phần và nhận thức của chúng để giải quyết các bài toán hình học.
Nó cũng phụ thuộc vào khả năng nhận thức của một người sử dụng cụ thể, các
chuyên gia hoặc người mới bắt đầu học hình học.
Cấu trúc của một GWS sẽ thay đổi tùy theo hệ thống giáo dục, ngữ cảnh
trường học, cá nhân học sinh và giáo viên. Trong thực tế, cấu trúc của một GWS
không dựa trên một mô thức duy nhất, mà là trên sự tương tác giữa các mô thức
khác nhau.

21


2.5. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độ Van Hiele
Theo Braconne-Michoux (2011, [2]), mối quan hệ giữa mô thức hình học và
các cấp độ Van Hiele được thể hiện trong bảng sau:
Hình học tự nhiên
Kiểu hình học

Hình học tiên đề

Hình học I (cụ thể, hình họa)

Hình học II
(tựa tiên đề)

Hình học III
(tiên đề
chính thức)

Đối tượng

Vật lý

Lý thuyết

Kiểu hợp thức
(chứng minh)

Trực giác

Suy diễn

Cấp độ Van
Hiele

Level 1:

Level 2:

Level 3:

Level 4:

Level 5:

Trực quan

Phân tích

Suy diễn

Suy luận

Chính

– Nhận

không

diễn dịch

xác

dạng

chính
thống

Bảng 2.2. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele (BraconneMichoux, 2011, [2])

Từ bảng trên, có thể thấy rằng cấp độ suy luận diễn dịch trong hình học
thường gặp ở phổ thông nằm hoàn toàn trong mô thức Hình học II, trong khi đó
mức độ suy diễn không chính thống nằm ở phần tương giao giữa hai mô thức Hình
học I và II.
2.6. Câu hỏi nghiên cứu
Các phân tích trong chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho
nghiên cứu. Cơ sở lý thuyết trình bày ở trên định vị cách nhìn khoa học của chúng
tôi đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu
thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
 Câu hỏi 1: Học sinh THCS (lớp 9) gặp phải khó khăn như thế nào khi thực
hiện một công việc hình học? Nguyên nhân của các khó khăn đó là gì?

22