Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH

VÕ SƠN PHÒNG

PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ SỰ HỘI TỤ
YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2010


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan :
1. Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực
tiếp của thầy Đậu Thế Cấp.
2. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên
công trình, thời gian, địa điểm công bố.
3. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.
Học viên
Võ Sơn Phòng


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................................................. 2
1T

T
1

MỤC LỤC ......................................................................................................................................................... 3
1T

T
1

MỞ ĐẦU........................................................................................................................................................... 4
1T

T
1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................................................... 5
1T

1T

1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO ............................................................................................ 5
1T

T
1

1.1.1 Không gian tôpô ................................................................................................................................ 5

1T

1T

1.1.2 Không gian mê tric ............................................................................................................................ 5
1T

1T

1.1.3 Định lí. .............................................................................................................................................. 6
1T

T
1

1.1.4 Định lí. .............................................................................................................................................. 7
1T

T
1

1.1.5 Không gian Banach thực ................................................................................................................... 7
1T

1T

CHƯƠNG 2 : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ............. 16
1T

T

1

2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN..................................................................................................................... 16
1T

1T

2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ............................................................................................................................. 26
1T

1T

2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN ........................................................................... 33
1T

T
1

2.3.1 Kì vọng của phần tử ngẫu nhiên ..................................................................................................... 33
1T

1T

CHƯƠNG 3 : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT ........................................................................... 41
1T

T
1

3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON .......................................................................................... 41

1T

T
1

3.1.1 Độ đo chính quy .............................................................................................................................. 41
1T

1T

3.1.6 Độ đo Radon ................................................................................................................................... 44
1T

1T

3.2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO ............................................................................................................ 46
1T

1T

3.2.1 Hội tụ yếu ....................................................................................................................................... 46
1T

3.3
1T

1T

T
1

π -HỆ THỐNG...................................................................................................................................... 51
T
1

1T

KẾT LUẬN ..................................................................................................................................................... 53
1T

T
1

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................................ 54
1T

1T


MỞ ĐẦU

Lý thuyết về độ đo trong không gian mêtric giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề về
giải tích và xác suất. Đã có rất nhiều kết quả đặc sắc về lĩnh vực này như định lý Prohorov,
định lý Varadarajans, định lý Fernigue ….
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ
đo xác suất trong không gian mêtric và các vấn đề có liên quan.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dưới
sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Đậu Thế Cấp. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy về
sự hướng dẫn tận tâm và nhiệt tình của Thầy đối với tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và thực hiện luận văn.

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO
1.1.1 Không gian tôpô
Cho X là một tập. Một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu có các tính chất
sau:
(i)

∅ ∈ τ , X ∈τ ;

(ii) U i ∈τ , i ∈ I thì ∪i∈I U i ∈τ ;
(iii) U ,V ∈τ thì U ∩ V ∈τ .
Nếu τ là một tôpô trên X thì cặp X = ( X ,τ ) được gọi là không gian tôpô.
Cho ( X ,τ ) là không gian tôpô. Khi đó các tập U ∈τ gọi là tập mở. Phần bù của tập mở gọi là
tập đóng.
Cho A là một tập con của không gian tôpô X . Tập con đóng bé nhất của X chứa A gọi là
bao đóng của A , được kí hiệu là A . Tập A ⊂ X gọi là tập trù mật trong X nếu A = X . Không gian
tôpô ( X ,τ ) gọi là không gian khả li (hay tách được), nếu nó có tập con đếm được trù mật.
Tập con mở lớn nhất được chứa trong A gọi là phần trong của A , kí hiệu
Một họ

{Gα }α∈I

là int A .

các tập mở của X gọi là một phủ mở của X nếu ∪α∈I Gα =
X . Không gian

tô pô X gọi là không gian compăc nếu từ mọi phủ mở {Gα }α∈I của X đều có thể trích ra được một
phủ con hữu hạn. Tập con A ⊂ X gọi là compăc nếu nó compăc đối với tôpô cảm sinh, tức là tôpô

τA =
{U ∩ A : U ∈τ } trên A .

1.1.2 Không gian mê tric


Cho X ≠ ∅ . Một ánh xạ d : X × X →  được gọi là mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu
với mọi x, y, z ∈ X đều có
(i) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y ;
(ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) ;
(iii) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) .
Nếu d là một mêtric thì cặp X = ( X , d ) gọi là không gian mêtric.
Giả sử X là không gian mêtric. Với mọi x ∈ X , ε > 0 đặt

B ( x, ε ) =
{ y ∈ X : d ( x, y ) < ε }
và gọi là hình cầu tâm x bán kính ε . Tập con G của X gọi là mở nếu mọi x ∈ G tồn tại ε > 0 sao
cho B ( x, ε ) ⊂ G . Họ các tập mở của X là một tôpô trên X , gọi là tôpô sinh bởi mê tric. Không gian
mêtric là không gian tôpô với tô pô sinh bởi mêtric.
Ta nói dãy ( xn ) ⊂ X hội tụ về x ∈ X nếu d ( xn , x ) → 0 khi n → ∞ . Kí hiệu là xn → x
(khi n → ∞ ) hay lim xn = x .
n→∞

1.1.3 Định lí.
Tập F ⊂ X là tập đóng khi và chỉ khi với mọi dãy

( xn ) ⊂ F , xn → x ∈ X

thì x ∈ F .

Giả sử X là không gian mêtric. Dãy ( xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

∀ε > 0, ∃ N , ∀ m, n ≥ N : d ( xm , xn ) < ε .
Không gian mêtric X gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ.
Trong không gian mê tric X , một tập A ⊂ X là tập compăc nếu với mọi dãy ( xn ) ⊂ A , đều

( )

tồn tại dãy con xnk ⊂ ( xn ) sao cho xnk → x ∈ A .
Nếu X là không gian mêtric compăc thì mọi tập con đóng của nó đều là tập compăc.


Tập F của một không gian tôpô gọi là tập có tính chất Gδ nếu F là giao của đếm được các
tập mở.
1.1.4 Định lí.
Trong không gian mê tric, mọi tập con đóng đều có tính chất Gδ
Chứng minh. Giả sử F đóng trong không gian mêtric ( X , d ) . Đặt

1

Gn =
 x ∈ X : d ( x, F ) <  .
n

Khi đó mọi x ∈ Gn , ta có d ( x, F )= a <

d ( y, F ) ≤ d ( x, y ) + d ( x, F ) < r + a=

1
1
. Đặt r=
− a thì r > 0 và
n
n

1
, ∀y ∈ B ( x, r )
n
∞

nên B ( x, r ) ⊂ Gn . Vậy Gn mở. Ta sẽ chứng minh F =  Gn . Thật vậy, với x ∈ F ta có
n =1

d ( x, F )= 0 <
Do đó

∞
1
với mọi n , nên x ∈ Gn với mọi n hay x ∈  Gn .
n
n =1
∞

F ⊂  Gn
n =1

∞

Ngược lại, với x ∈  Gn ta có x ∈ Gn , ∀n , nên d ( x, F ) <
n =1

yn ∈ F sao cho d ( x, yn ) <
đó

∞

G

n

n =1

1
, ∀n . Từ đó, với mỗi n đều có
n

1
nên lim d ( x, yn ) = 0 , chứng tỏ yn → x . Mà F đóng nên x ∈ F , do
n→∞
n

∞

⊂ F . Vậy F =  Gn . Từ đó suy ra F có tính chất Gδ . 
n =1

1.1.5 Không gian Banach thực

Không gian vectơ thực E gọi là không gian định chuẩn (thực) nếu tồn tại ánh xạ ⋅ : E → 
thỏa mãn
(i)

x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0 ;


(ii) λ x = λ x ;
(iii) x + y ≤ x + y
với mọi x, y ∈ E , λ ∈  .
Nếu đặt d ( x, y=
)

x − y , với x, y ∈ E thì d mêtric trên E , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn.

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn.
Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
∗
Cho E là không gian định chuẩn. Kí hiệu E là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên E ,

E ′ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Với mọi f ∈ E ′ ta gọi chuẩn của f là

{

}

=
f sup f (=
x ) inf k > 0 : f ( x ) ≤ k x , ∀x ∈ E .

x ≤1

Không gian E ′ gọi là không gian liên hợp (tôpô) của E .
1.1.6 Định lí (Định lí Hahn- Banach). Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con
của E . Khi đó với mỗi

f

F

= f và

f ∈ F ′ , tồn tại f ∈ E ′ sao cho

f = f .

1.1.7 Hệ quả. Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó với mỗi x ∈ E , x ≠ 0 , tồn tại f ∈ E
sao cho f ( x ) = x và

f = 1.

1.1.8 Hệ quả. Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi x, y ∈ E , nếu

f ( x ) = f ( y ) với mọi f ∈ E ′ thì x = y ..
1.1.9 Hệ quả. Giả sử E là không gian khả li. Khi đó tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′ sao cho

=
x sup f n ( x ) , ∀x ∈ E .
n

Chứng minh. Vì E khả li nên tồn tại dãy ( xn ) ⊂ E sao cho
tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′ sao cho

{ xn : n ∈ } trù mật trong

E . Vậy


f n = 1 và f n ( xn ) = xn .
Giả sử x ∈ E . Vì f n ( x ) ≤ 1 ⋅ x , ∀n , nên x ≥ sup f n ( x ) . Mặt khác, với mọi ε > 0 , vì
n

{ xn : n ∈ }

trù mật trong E nên tồn tại n : xn − x <

x − xn < x − xn <

ε
2

ε
2

hay xn > x −

. Khi đó

ε
2

.

Từ đó ta có

f n ( x ) = xn − ( xn − f n ( x ) ) ≥ f n ( xn ) − xn − f n ( x )
=
xn − f n ( xn ) − f n ( x )
=xn − f n ( xn − x )

≥ xn − f n ⋅ xn − x =

xn − xn − x

ε ε

> x − − = x −ε .
2 2

Do đó với mọi ε > 0 , tồn tại n sao cho f n ( x ) ≥ x − ε .
Vậy

x = sup f n ( x ) . 
n

1.1.10 Độ đo
Cho Ω ≠ ∅ . Họ các tập con F ⊂ 2Ω được gọi là một đại số nếu thỏa mãn các điều kiện
(i) ∅, Ω ∈ F ;
(ii) Nếu A, B ∈ F

thì A \ B ∈ F ;

(iii) Nếu A, B ∈ F

thì A ∪ B ∈ F .

Nếu thay điều kiện (iii) bởi điều kiện
(iii’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  thì

∞

A ∈F
n

thì F

n =1

1.1.11 Định lí.
1. F

là đại số khi và chỉ khi thỏa mãn (i) và
(iv) Nếu A∈ F

thì=
Ac X \ A ∈ F ;

(v) Nếu A, B ∈ F

thì A ∩ B ∈ F .

gọi là σ - đại số.


2. F

là σ - đại số khi và chỉ khi (i), (ii) và
(v’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  thì

∞

 A ∈F
n

.

n =1

Cặp ( Ω, F

),

trong đó F

hai không gian đo ( Ω, F

là σ - đại số các tập con của Ω , gọi là một không gian đo. Cho

) và ( ϒ, G) . Ánh xạ ϕ : Ω → ϒ gọi là

F/G

-đo được nếu

ϕ −1 ( B ) ∈ F với mọi B ∈ G .
là σ - đại số các tập con của Ω . Ánh xạ µ : F →  được gọi là độ đo

Cho Ω ≠ ∅ và F
trên F

nếu thỏa mãn:
(i) µ ( A ) ≥ 0, ∀A ∈ F ;
(ii) µ ( ∅ ) =0 ;



 ∞
A

n  = ∑ µ ( An ) .
 n=1  n=1

∅, i ≠ j thì µ 
(iii) Nếu An ∈ F, ∀n và Ai ∩ Aj =

∞

Nếu µ ( Ω ) < ∞ thì µ được gọi là độ đo hữu hạn. Đặc biệt, nếu µ ( Ω ) =
1 thì µ được gọi
là độ đo xác suất.

Bộ ba

( Ω, F , µ ) ,

trong đó F

là σ - đại số các tập con của Ω , µ là độ đo trên F , được

gọi là một không gian độ đo.
Không gian độ đo gọi là đầy đủ nếu A∈ F , µ ( A ) = 0 thì mọi tập con B ⊂ A đều thuộc F .
Khi đó ta cũng có µ ( B ) = 0 .
Nếu p là độ đo xác suất thì (Ω, F , p) gọi là một không gian xác suất.
1.2 TẬP BOREL TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ
1.2.1 Tập Borel
Cho X là không gian tô pô. Khi đó σ - đại số bé nhất chứa các tập mở của X được gọi là σ đại số Borel của X , kí hiệu là B ( X ) . Tập A ∈ B ( X ) được gọi là tập Borel.


=
K
Kí hiệu

{[ a, b ) , ( −∞, b ) ,[ a, +∞ ) : a, b ∈ } .

Mỗi tập dạng D = D1 ×  × Dn , D j ∈ K , j = 1,, n gọi là một khoảng trong  . Kí hiệu M n là
n

n
tập hợp các hợp của hữu hạn các khoảng rời nhau trong  .

1.2.2 Định lí.

(i) M n là đại số;

( )

(ii) σ ( M n ) = B  n .
Chứng minh.

∅ [a, a ) × ... × [a, a) nên ∅ ∈ M n . Ta chứng minh  n ∈ M n bằng qui nạp.
(i) Vì=
Với n = 1,  =

( −∞, a ) ∪ [a, +∞) ∈ M 1 . Giả sử với k ≤ n − 1,  k ∈ M k . Khi đó

)]  n−1 × ( −∞, a ) ∪  n−1 × [a, +∞) ∈ M n
=
 n  n−1 × [( −∞, a ) ∪ [a, +∞
=
n−1
n−1
vì  là hợp của hữu hạn khoảng rời nhau trong  .

Ta sẽ chứng minh rằng, nếu A, B ∈ M n thì A ∩ B ∈ M n . Nếu A, B ∈ K thì A ∩ B ∈ K . Giả
n
sử A, B là khoảng trong  . Khi đó

A = D1 × .... × Dn , với D j ∈ K ; B = ∆1 × .... × ∆ n ,
Ta có A ∩=
B

( D1 ∩ ∆1 ) × ... × ( Dn ∩ ∆ n )

với ∆ j ∈ K .

n
nên A ∩ B là khoảng trong  .
n

n
Bây giờ giả sử A, B ∈ M n . Khi đó A =  Ai với Ai là khoảng trong  ,
i =1

n

B =  B j , với B j là khoảng trong  n . Ta có
j =1

p
 p 
A ∩=
B   Ai  ∩=
B  ( Ai ∩ B )
=
i 1
 i 1=



 q
 p q
=

B j  =
( Ai ∩ B j )
  Ai ∩ =

=i 1 
=
=
j
1
i
1
j
1




p

nên A ∩ B ∈ M n .


Cuối cùng ta chứng minh rằng nếu A, B ∈ M n thì A \ B ∈ M n . Trước hết giả sử A, B là
n
khoảng trong  , ta sẽ chứng minh A \ B ∈ M n bằng phương pháp qui nạp.

Với n = 1 , dễ thấy A \ B ∈ M 1 . Giả sử khẳng định đúng đến mọi k ≤ n − 1 . Ta có

A =×
A1 A2 , B =×

B1 B2 với A1 , B1 là khoảng trong  n−1 và A2 , B2 là khoảng trong  . Khi đó

A \ B = ( A1 × A2 ) \ ( B1 × B2 ) = ( A1 × ( A2 \ B2 ) ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 )

=

((( A ∩ B ) ∪ ( A \ B )) × ( A

=

( ( A1 ∩ B1 ) × ( A2 \ B2 ) ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 ) .

1

1

1

1

Vì A1 ∩ B1 là khoảng trong 
khoảng rời nhau trong 

n−1

2

n−1

)

\ B2 ) ∪ ( ( A1 \ B1 ) × A2 )

, A2 \ B2 là khoảng trong  , A1 \ B1 là hợp hữu hạn các

và A2 là khoảng trong  nên A \ B là hợp hữu hạn các khoảng rời

nhau trong  . Vậy A \ B ∈ M n .
n

Xét trường hợp A, B ∈ M n . Khi đó A =

p

A ,
i

với Ai là khoảng rời nhau trong  ; B =
n

i =1

q

B ,
j

với

j =1

B j là khoảng rời nhau trong  n .
Ta có
p
p
q


 p 
=
=
A \ B =
Ai  \ B 
( Ai \ B )   Ai \  B j 

=
=i 1 =
j 1
 i 1 =i 1


p

q

=  ( Ai \ B j )
=i 1 =j 1

do đó A \ B ∈ M n .
Vậy M n là σ - đại số.

( )

( )

(ii) Vì M n ⊂ B  n , σ ( M n ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa M n , mà B  n là σ -đại số

( )

nên σ ( M n ) ⊂ B  n .
n
n
Giả sử U là tập mở trong  . Vì các khoảng mở lập thành hệ cơ sở của tôpô trong  , nên
∞

U = U k , trong đó
k =1


(α1, β1 ) × ... × (α n × β n ) .

=
Uk
Vì

∞

(α =
i , βi )

[α

i

+

m =1

=
U
k

∞

[α

1

+

m =1

1
, βi ) nên
m

1
1
, β1 ) × ... × [α n + , β n ) ∈ σ ( M n ) .
m

m

( )

Từ đó U ∈ σ ( M n ) , mà B  n

( )

n
là σ - đại số sinh bởi các tập mở của  nên B  n ⊂

σ ( M n ) . Vậy σ ( M n ) = B (  n ) . 
Cho E là không gian là không gian Banach. Tập A ⊂ E được gọi là tập trụ nếu tồn tại n ∈  ;

( )

ˆ B  n sao cho
f1 , f 2 ,..., f n ∈ E ′ ; A∈

{

}

A=
x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ .
Kí hiệu tập các tập trụ là F

(E).

1.2.3 Định lí.

(i) F

( E ) là đại số

(ii) Nếu E là không gian Banach khả li thì σ ( FB( E ) ) =

( E ) với

B ( E ) là σ -đại số

Borel của E .
Chứng minh.

{

}

(i) Lấy f ∈ E ′ tùy ý, ta có E = x ∈ E : f ( x ) ∈ Bˆ = 
do đó E ∈ F

( E ) . Nếu

A∈ F

( E ) thì tồn tại

ˆ B (  n ) , f , f ,..., f ∈ E ′ sao
n ∈  , A∈
1
2

n

cho

{

}

A=
x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ .

{

}

Ta có Ac = E \ A = x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ c =  n \ A ∈ F
Nếu A1 , A2 ∈ F

(E)

g1 , g 2 ,..., g n ∈ E ′ sao cho

( )

(E).

( )

thì tồn tại m, n ∈  , Aˆ1 ∈ B  m , Aˆ 2 ∈ B  n , f1 , f 2 ,..., f m ∈ E ′ ,

{
}
A =
{x ∈ E : ( g ( x ) ,..., g ( x )) ∈ Aˆ } .

A1 =
x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f m ( x ) ) ∈ Aˆ1 ;
2

1

(

Từ đó, vì Aˆ1 × Aˆ 2 ∈ B  m+ n

2

n

)

nên

{

}

A1 ∩ A2 = x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f m ( x ) , g1 ( x),..., g n ( x) ) ∈ Aˆ1 × Aˆ 2 ∈ F

(E)

( E ) là đại số.

Vậy F

(ii) Giả sử A ∈ F

( E ) . Khi đó

{

}

A=
x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ trong đó f1 , f 2 ,..., f n ∈ E ′

( )

ˆ B n .
và A∈




n
=
Đặt f ( f1 ,..., f n ) : E →  , x  f ( x ) = ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) . Vì fi liên tục nên f liên

 −1

n
tục. Do dó f là BB( E ) / (  ) - đo được, tức là f ( G ) ∈ B ( E ) với mọi G ∈ B (  n ) . Mặt

{

(



) }

( )

( )

ˆ B n
khác A = x ∈ E : f ( x ) ∈ Aˆ = f −1 Aˆ , với A∈

FB( E ) ⊂

nên A ∈ B ( E ) . Từ đó suy ra

( E ) và σ ( FB( E ) ) = ( E ) .

Ngược lại, giả sử U mở trong E . Do E là không gian mêtric khả li nên E thỏa mãn tiên đề
∞

đếm được thứ hai. Do đó U =  B ( xn , rn ) . Mặt khác cũng vì E khả li nên theo Hệ quả 1.1.9 của
n =1

Định lí Hahn- Banach, tồn tại dãy ( f n ) ⊂ E ′, f n =
1 sao cho mọi x ∈ E ta có
Khi đó

B ( x, r ) = { y ∈ E : y − x ≤ r }

{

=
y ∈ E : sup f n ( y − x )
=

n

}

∞

 { y ∈ E : f ( y − x ) ≤ r}
n

n =1

=

∞

{ y ∈ E : f ( y ) ∈[r − f ( x ) , r + f ( x )} ∈σ ( F
n

n =1

n

n

( B) ) .

x = sup f n ( x ) .


{

Hơn nữa ta có B ( x, r ) = y ∈ E : y − x < r

=

∞



  y ∈ E :

n = n0

=

∞



}

1
y−x n
1

 B  x, r − n 

n = n0

nên B ( x, r ) ∈ σ ( F ( E ) ) . Từ đó U ∈ σ ( F ( E ) ) và suy ra BF( E ) ⊂ σ (
Vậy σ ( FB( E ) ) =

(E) .

(E)) .


CHƯƠNG 2 : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU
NHIÊN

2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN

Trong đoạn này ta luôn kí hiệu (Ω, F , p) là một không gian xác suất đầy đủ, e là không gian
Banach khả li, G là σ - đại số con của F , B (e) là σ - đại số Borel của e.
Ánh xạ X : Ω → e gọi là phần tử ngẫu nhiên

G - đo được, nhận giá trị trong e nếu X là

G / B (e)-đo được (tức là B ∈ B (e) thì X −1 ( B ) ∈ G ). Phần tử ngẫu nhiên F

-đo được sẽ được

gọi đơn giản là phần tử ngẫu nhiên.
Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong  còn gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
Phần tử ngẫu nhiên X : Ω → e gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạc nếu X ( Ω ) không quá đếm
được. Đặc biệt, nếu X ( Ω ) hữu hạn thì X gọi là phần tử ngẫu nghiên đơn giản, ở đây X ( Ω ) là kí
hiệu lực lượng của tập hợp X ( Ω ) .

Dãy phần tử ngẫu nhiên

( X n ) gọi là hội tụ đến ánh xạ

X : Ω → e nếu X n (ω ) → X (ω ) (theo

chuẩn) với mọi ω ∈ Ω , kí hiệu là X n → X .
Dãy phần tử ngẫu nhiên

( X n ) gọi là hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) đến ánh xạ

X : Ω → e nếu

p ( N ) 0, X n (ω ) → X (ω ) (theo chuẩn), với mọi ω ∈ Ω \ N . Kí hiệu
tồn tại tập N ∈ F , sao cho
=
h .c .c
X n 
→X .

2.1.1 Định lí. Nếu

( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên và

h .c .c
X n 
→ X thì X là phần tử ngẫu

h .c .c
nhiên. Đặc biệt, nếu ( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên G - đo được và X n 
→ X thì X là

phần tử ngẫu nhiên G -đo được.

Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp

( X n ) là dãy phần tử ngẫu nhiên

G - đo được và

X n → X . Đặt

L=
{ A ∈BG( E ) : X −1 ( A) ∈

}.

Khi đó, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được rằng L là σ - đại số, hơn nữa L = B ( E ) . Để kiểm

tra điều đó ta giả sử F là tập đóng trong E . Ta sẽ chứng minh
∞ ∞ ∞
  1 
X −1 ( F ) =  X m−1  B  F ,   .
  k 
=
= n
k 1=
n 1m

Thật vậy ω ∈ X −1 ( F ) thì X (ω ) ∈ F . Mặt khác

X n (ω ) → X (ω ) ⇒ X n (ω ) → X (ω ) → 0
1
⇒ ∀k , ∃n : X m (ω ) − X (ω ) < , ∀m ≥ n
k
1
⇒ ∀k , ∃n : d ( X m (ω ) , F ) < , ∀m ≥ n
k
 1
⇒ ∀k , ∃n : X m (ω ) ∈ B  F ,  , ∀m ≥ n
 k

  1 
⇒ ∀k , ∃n : ω ∈ X m−1  B  F ,   , ∀m ≥ n
  k 
  1 
⇒ ω ∈  X m−1  B  F ,  
  k 
=

= n
k 1=
n 1m
∞

Do đó X

−1

∞

∞

∞

∞



∞

( F ) ⊆  X m−1  B  F ,
 

=
= n
k 1=
n 1m

Ngược lại, nếu ω ∈

∞

∞

∞

 X

=
= n
k 1=
n 1m

−1
m

1 
 .
k  

  1 
 B  F , k   thì

 


  1 
∀k , ∃n1 sao cho ∀m ≥ n1 : ω ∈ X m−1  B  F ,  
  k 

 1
⇒ ∀k , ∃n1 sao cho ∀m ≥ n1 : X m (ω ) ∈ B  F , 
 k
⇒ ∀k , ∃n1 sao cho ∀m ≥ n1 : d ( X m (ω ) , F ) <

1
.
k

X n (ω ) → X (ω ) → 0 . Do đó

Mặt khác, vì X n (ω ) → X (ω ) nên

∀k , ∃n2 sao cho ∀m ≥ n2 : d ( X m (ω ) , X (ω ) ) <

1
.
k
Mặt khác, vì X n (ω ) → X (ω ) nên X n (ω ) → X (ω ) → 0 . Do đó
∀k , ∃n2 sao cho ∀m ≥ n2 : d ( X m (ω ) , X (ω ) ) <

1
.
k

Chọn n0 = max {n1 , m2 } , ta được

d ( X (ω ) , F ) ≤ d ( X m (ω ) , X (ω ) ) + d ( X m (ω ) , F ) <

(

2
, ∀k , ∀m ≥ n0
k

)

Suy ra d X (ω ) , F = 0 . Vì F đóng nên X (ω ) ∈ F hay ω ∈ X −1 ( F ) .
Do đó
∞

∞

∞

 X

=
= n
k 1=
n 1m

−1
m

  1 
−1
 B F, k  ⊂ X (F )

 

Từ đó suy ra X −1 ( F ) ∈ F
chứng tỏ BL( E ) ⊂

. Vậy LB=

nên F ∈ L

tức là L

( E ) . Vì vậy với mọi

X −1 ( B ) ∈ G . Do đó X là phần tử ngẫu nhiên

chứa tất cả các tập đóng. Điều đó

B ∈ B ( E ) thì B ∈ L

G - đo được.

Bây giờ giả sử ( X n ) là phần tử ngẫu nhiên và X n 
→ X . Khi đó tồn tại
h .c .c

( N ) = 0 và với mọi ω ∈ Ω \ N

ta có

X n (ω ) − X (ω ) → 0 .
Đặt

nên

n ∈ F sao cho p


 X (ω ) , khi ω ∈ Ω \ N
Yn (ω ) =  n
;
0
,
khi
ω
∈
N

 X (ω ) , khi ω ∈ Ω \ N
Yn (ω ) = 
.
0
,
khi
ω
N
∈

Ta có Yn (ω ) → Y (ω ) , ∀ω ∈ Ω . Vì {Yn ≠ X n } ⊂ N , mà N ∈ F , p ( N ) = 0 và p là độ đo đủ nên
suy ra {Yn ≠ X n } ∈ F . Vì vậy với mọi B ∈ B ( E ) ta có

Yn−1 ( B )= Yn−1 ( B ) ∩ {Yn = X n } ∪ Yn−1 ( B ) ∩ {Yn ≠ X n }

=  X n−1 ( B ) ∩ {Yn= X n } ∪ N 0 ∈ F ,
trong đó =
N 0 Yn−1 ( B ) ∩{Yn ≠ X n }  ⊂ {Yn ≠ X n } ⊂ N , N 0 ∈ F . Vậy Yn là phần tử ngẫu nhiên. Do
đó theo trường hợp đã chứng minh thì Y là phần tử ngẫu nhiên.
Cuối cùng, vì

{X ≠ Y} ⊂ N

nên { X ≠ Y } ∈ F . Từ đó suy ra

{ X=

Y } ∈ F . Do đó với mọi

B ∈ B ( E ) ta có
X −1 ( B ) =  X −1 ( B ) ∩ { X = Y } ∪  X −1 ( B ) ∩ { X ≠ Y } ∈ F .
Vậy X là phần tử ngẫu nhiên. 
2.1.2 Định lí. Ánh xạ X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi X là
giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G - đo được, tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu
nhiên rời rạc ( X n )

G - đo được sao cho

lim sup X n (ω ) − X (ω ) =
0.
n→∞ ω∈Ω

Chứng minh. Điều kiện đủ là Định lí 2.1.1.
Điều kiện cần: Giả sử X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được và ( xn ) là dãy trù mật

trong e. Với mỗi n = 1,2,3,... Đặt


 1
L1 = B  x1 ,  ;
 n
 1
L2 = B  x2 ,  \ L1 ;
 n
………………….

1  m−1

Lm = B  xm ,  \  Lk .
n  k =1

Khi đó với mọi

i ≠ j , Li ∩ L j =
∅ , Lm ∈ B (e) và do ( xn ) trù mật trong e nên

∞

e =  Lm .
m =1

Kí hiệu
=
J

{m : Lm ≠ ∅} . Với mỗi

m ∈ J chọn cố định ym ∈ Lm . Ánh xạ Tn : e → e xác định

bởi

Tn = ∑ ym χ Lm .
m∈J

Khi đó Tn là B (e)/ B (e’) đo được. Thật vậy, với mọi B ∈ B (e) ta có
−1
T=
n ( B)



{i: yi ∈B}

Li ∈ B (e).

Đặt
Tn
X
=
X n Tn  X : Ω 
→ e 
→ e.

Ta có

X n (=
Ω ) Tn ( X ( Ω ) ) ≤ Tn (e) = J .

Do J

không quá đếm được nên X n ( Ω ) cũng không quá đếm được.
Ta sẽ chứng minh X n là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Thật vậy, với mọi B ∈ B (e) ta có
−1
X=
n ( B)

(Tn  X=
) ( B)
−1

−1
X −1 (T=
X −1 ( B ') ∈ G
n ( B ))

Vì vậy X n là phần tử ngẫu nhiên rời rạc.
Mặt khác,

2
X m (ω )=
− X (ω ) Tn ( X (ω ) ) − X (ω ) < , ∀ω ∈ Ω . Do đó
n

sup X n (ω ) − X (ω ) <
ω

2
→ 0 khi n → ∞ .
n

Định lí được chứng minh. 


2.1.3 Định lí. Ánh xạ X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được khi và chỉ khi X là giới
hạn (theo chuẩn) của một dãy ( X n ) các phần tử ngẫu nhiên đơn giản G - đo được và

X n (ω ) ≤ X (ω ) , tức là lim X n (ω ) − X (ω ) =
0 và X n (ω ) ≤ X (ω ) với mọi n và mọi
n→∞

ω ∈Ω .
Chứng minh. Điều kiện đủ là Định lí 2.1.1.
Điều kiện cần: Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên. Do e khả li nên tồn tại dãy ( yn ) trù mật trong
e, y0 = 0 .
Với mỗi n = 1,2,... xác định ánh xạ

f n : E → { y0 ,..., yn } , ∀x ∈ E , f n ( x ) =yl , yl ∈ { y0 ,..., yn } thỏa mãn
x − y < x − ym ; 0 ≤ m < l ;
x − y ≤ x − ym ; l ≤ m ≤ n .
Khi đó, với mọi n , f n là ánh xạ B (e) / B (e’) đo được. Thật vậy

f n−1 ( yl ) = { x ∈ E : x − y < x − ym ;0 ≤ m < l , x − yl ≤ x − ym ; l ≤ m ≤ n}
n



=   x : x − yl < x − ym  { x : x − y ≤ x − yn } .
m 0=
m l


l −1

Vì các ánh xạ f1 : x → x − a và f 2 : x → x liên tục, nên ánh xạ f : x → x − a liên tục. Tương tự

g : x → x − b liên tục. Do đó f( a ;b ) ( x ) = x − a − x − b liên tục. Từ đó
=
f n−1 ( yl )

l −1



n

f( −yl1; ym ) ( −∞;0 )   f( −yl1; ym ) ( −∞;0 )  ∈ B (e)

=
m 0=
m l

với mọi l . Vậy với mọi B ∈ B (e) ta có

=
f n−1 ( B )
Vậy



{l: yl ∈B}

f n−1 ( yl ) ∈ B (e).

f n : e → e là B (e)/ B (e’) đo được. Mặt khác

x − f n ( x ) . min ym − x ≤ y0 − x =
x
0≤ m ≤ n


nên

fn ( x ) ≤ 2 x .
Đặt X n = f n  X . Khi đó

X n=
(Ω)

f n  X n ( Ω )  ≤ | f n (e)|< ∞

tức là, X n chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Với mọi B ∈ B (e) thì
−1
X=
n ( B)

( f n  X=
) ( B)
−1

−1
 X −1 ( B ') ∈ G, B ∈ B (e).
X −1  f =
n ( B )

Do X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nên X n là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Vậy X n
là phần tử ngẫu nhiên đơn giản G - đo được và

=
X n (ω )

f n  X (ω )  ≤ 2 x với mọi n và mọi ω ∈ Ω .

Cuối cùng ta có

f n ( X (ω ) ) − X (ω )

X n (ω ) − X (ω=
)

f n ( x ) −=
x min ym − x → 0 khi n → ∞ .

=

0≤ m ≤ n

Suy ra lim X n (ω ) = X (ω ) với mọi ω ∈ Ω .
n→∞

Vây X là giới hạn theo chuẩn của dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc

( Xn ).

Định lí được chứng minh. 
2.1.4 Định lí. Cho e 1 , e 2 là không gian Banach. T : e1 → e 2 là ánh xạ
R

R

R

R

R

R

B (e 1 )/ B (e 2 ) đo

R

R

R

R

R

R

được, X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Khi đó ánh xạ T  X : Ω → e 2 là phần tử
R

ngẫu nhiên

R

G - đo được.

Chứng minh. Với mọi B2 ∈ B (e 2 ) ta có T −1 ( B2 ) = B1 ∈ B (e 1 ). Do đó
R

(T  X )=
( B2 )
−1

R

R

R

−1
X −1 (T =

( B2 ) ) X −1 ( B1 ) ∈ G .Vậy ánh xạ T  X : Ω → e 2 là phần tử ngẫu nhiên
R

R

G - đo được. 
2.1.5 Hệ quả. Giả sử ánh xạ X : Ω1 → e là phần tử ngẫu nhiên G - đo được thì ánh xạ

X : Ω1 →  là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được.


⋅
X
⋅  X : Ω1 
→ e 
→ , ⋅

X=

Chứng minh. Ta có

liên tục nên đo được, áp dụng

Định lí 2.1.4 ta có điều phải chứng minh. 
2.1.6 Định lí. Ánh xạ X : Ω → e là phần tử ngẫu nhiên

G -đo được khi và chỉ khi với mọi

f ∈ e’ thì f ( X ) = f  X là đại lượng ngẫu nhiên G -đo được.
Chứng minh. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên

G - đo được. Khi đó với mọi f ∈ e’, f liên

tục nên f là B (e) / B (  ) đo được. Theo Định lí 2.1.4 ta có f ( X ) là đại lượng ngẫu nhiên G đo được.
Ngược lại, giả sử f ( X ) là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được với mọi f ∈ E ′ cần chứng
minh X −1 ( B ) ∈ G với mọi B ∈ B (e). Đặt

L= {A ⊂ : X −1 ( A ) ∈ G }.
là σ - đại số. Ta sẽ chứng minh B (e) ⊂ L , nhưng B (e) là σ - đại số sinh bởi các

Khi đó, L

tập trụ nên ta chỉ cần chứng minh L chứa các tập trụ. Thật vậy, giả sử

f1 ,..., f n ∈ e’

, Aˆ ⊂  n ,
đặt

( ) {ω ∈ Ω : ( f ( X )(ω ) ,..., f ( X )(ω ) ) ∈ Aˆ} ,

C Aˆ=

n

1

{

}

( )

Ln =
Ln ( f1 ,..., f n ) =
Aˆ ∈  n : C Aˆ ∈ G .



n
Giả sử f ( f1 ,..., f n ) : E →  là ánh xạ xác định bởi

=
x  f ( x)

( f ( x ) , f ( x ) ,..., f ( x ) ) ∈ 
1



2

n



n

.

( )

Do f1 ,..., f n liên tục nên f liên tục. Vậy f là B (e) / B  n đo được. Từ đó


−1
C Aˆ=  f ( X )  Aˆ=

( )

( )

{

=
với g f ( X ) : Ω →  n là ánh xạ F/B

( )

( )

n
con của  . Thật vậy

(i)

g −1 (  n ) = Ω ∈ F

} {g


−1
 f ( X )  Aˆ ∈ FF=



suy ra  n ∈ Ln .

n

−1

( Aˆ ) ∈ }

đo được nên suy ra Ln là một σ - đại số các tập


( )

(ii) Aˆ ∈ Ln suy ra g −1 Aˆ ∈ F

(

)

nên

( )
( )
( Aˆ ); g ( Aˆ );...∈ F

g −1  n \ Aˆ =
g −1 (  n ) \ g −1 Aˆ =
Ω \ g −1 Aˆ ∈ F .
(iii) Giả sử

( Ai )i=1 ⊂ Ln
∞

nên g −1

−1

1

2

suy ra

∞
∞
−1 ˆ
1
ˆ
g −=
A
   g A ∈ F .
=
 n 1=
 n1

( )

(α1; β1 ) × (α 2 ; β 2 ) × .... × (α n ; β n ) ∈ B (  n ) thì

Mặt khác nếu =
D

n
 −1

−1
−1
−1 
 f ( D )  X   fi −1 (α i ; βi ) 
fX ( D ) X =
=
 i =1


( )

g ( D)
=
−1

n

n

( fi X )−1 (α i ; βi )   ( fi ( X ) )−1 (α i ; βi )  ∈ F
=





=i 1 =i 1

=

( )

( )

ˆ B n
nên D ∈ Ln từ đó B  n ⊂ Ln . Vậy với A∈

( )

( )

thì Aˆ ∈ Ln , do đó C Aˆ ∈ G .

( )

ˆ B  n thì C Aˆ ∈ G . Bây giờ giả sử A là tập trụ, khi
Từ chứng minh trên ta suy ra nếu A∈

( )

ˆ B n ,
đó tồn tại n; f1 ,..., f n ∈ E ′ ; A∈

{

}

A=
x ∈ E : ( f1 ( x ) ,..., f n ( x ) ) ∈ Aˆ

=
X −1 ( A )
=

{u : X (ω ) ∈ A}

{ω : ( f ( X )(ω ) ,..., f ( X )(ω ) ) ∈ Aˆ}= C ( Aˆ ) ∈ F
1

n

do đó A ∈ L . Do L chứa các tập trụ nên L ⊃ B ( E ) . Điều này kéo theo B ∈ B ( E ) thì B ∈ L
nên X −1 ( B ) ∈ G .Từ đó X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được. Định lí được chứng minh. 
2.1.7 Hệ quả. Cho X , Y là các phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈  , ζ : Ω →  là
đại lượng ngẫu nhiên G - đo được. Khi đó aX + bY , ξ X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được.
Chứng minh. Ta có

( aX + bY )(ω ) =

aX (ω ) + bY (ω ) ∈ e,


=
ξ X (ω ) ξ (ω ) X (ω ) ∈ e.
Do đó, với mọi f ∈ e’, thì f ( aX + bY )= af ( x ) + bf (Y ) là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được và

f (ξ X ) = ξ f ( X ) là đại lượng ngẫu nhiên G - đo được. Từ đó suy ra aX + bY , ξ X là phần tử
G - đo được. 

ngẫu nhiên

Cho X t , t ∈ ∆ là họ các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian (Ω, F , p) nhận
giá trị trong (e, B (e)). Khi đó, họ X t , t ∈ ∆ gọi là độc lập, nếu với mọi bộ hữu hạn t j ∈ ∆ và

Aj ∈ B ( E ) , 1 ≤ j ≤ n , ta có
 n −1
 n
p   X t j ( Aj )  = ∏ p X t−j 1 ( Aj ) .
 j =1
 j =1

(

)

( Xt , t ∈ ∆)

2.1.8 Định lí. Giả sử e 1 , e 2 là các không gian Banach;
R

R

R

R

là họ phần tử ngẫu nhiên độc lập

nhận giá trị trong e 1 . Khi đó, nếu với mỗi t ∈ ∆ , Tt : e 1 → e 2 là ánh xạ B (e) / B (e 1 )-đo được, thì họ
R

R

R

R

R

R

R

R

Tt ( X t ) , t ∈ ∆ là phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong e 2 .
R

R

Chứng minh. Nếu X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong e 1 ,
R

R

A∈ B (e) , T : e 1 → e 2 là
R

R

R

R

ánh xạ B (e 1 ) / B (e 2 ) -đo được thì
R

R

R

R

−1

−1
−1
−1
=

T
( X ) ( A) X=
T ( A )  X ( A′ )

với A ' ∈ B (e 1 ).
R

R

Chúng ta bỏ qua chứng minh định lí sau
2.1.9 Định lí. Giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian

(Ω, F , p) nhận giá trị trong (e, B (e)). Khi đó, điều kiện cần và đủ để X 1 , X 2 ,..., X n độc lập là với
mọi f1 , f 2 ,..., f n ∈ e’, các đại lượng ngẫu nhiên f ( X 1 ) , f ( X 2 ) ,..., f ( X n ) độc lập.