Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ NI

SỬ DỤNG MÔ HÌNH TOULMIN ĐỂ PHÂN TÍCH QUÁ
TRÌNH LẬP LUẬN VÀ CHỨNG MINH CỦA HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60

14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN KIÊM MINH

Huế, năm 2015
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng. Kết quả nghiên cứu chưa từng
được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Ni

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần
Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế,
Phòng đào tạo sau đại học, Quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các
thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình
giảng dạy, truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai
năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các em học sinh trường THPT chuyên Quốc
Học Huế và các em học sinh trường THPT Tố Hữu đã giúp đỡ tôi trong quá trình
thực nghiệm.
Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, động
viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Do điều kiện thời gian và khả năng hạn chế, tôi xin chân thành biết ơn và
lắng nghe những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii


MỤC LỤC
Trang
TRANG PHỤ BÌA ..................................................................................................i
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................ii
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... iii

MỤC LỤC.............................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................ 4
LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. 5
Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 8
1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận ................................................................ 8
1.1.1 Khái niệm chứng minh ........................................................................... 8
1.1.2 Khái niệm lập luận.................................................................................. 9
1.2 Các dạng lập luận .......................................................................................... 9
1.2.1 Suy diễn ................................................................................................. 9
1.2.2 Quy nạp ................................................................................................. 9
1.2.3. Ngoại suy ............................................................................................. 10
1.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học .................................................... 10
1.3.1. Các dạng ngoại suy .............................................................................. 10
1.3.2. Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán...................................... 13
1.4 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh .................................................. 14
1.4.1. Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh ............................... 14
1.4.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục
toán...... .......................................................................................................... 15
1.5 Kết luận chương 1 ....................................................................................... 18
Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................ 20
2.1. Mô hình Toulmin ........................................................................................ 20
2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin ........................................ 20
2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và
chứng minh .................................................................................................... 21
2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin ....... 22

1


2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh ........ 22

2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh ............................. 24
2.2.3 Phân tích cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình
Toulmin ......................................................................................................... 24
2.2.3.1 Cấu trúc của suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin
.................................................................................................................. 25
2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh
.................................................................................................................. 27
2.3 Mô hình Toulmin và phân tích quá trình ngoại suy ..................................... 27
2.3.1 Đối với ngoại suy đã mã hoá ................................................................. 28
2.3.2 Đối với ngoại suy chưa mã hoá ............................................................ 29
2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo ................................................................... 29
2.4 Vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh ......................... 30
2.5 Câu hỏi nghiên cứu ..................................................................................... 31
2.6 Kết luận chương 2 ....................................................................................... 32
Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU............................................................... 33
3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu .................................................................................. 33
3.1.1 Ngữ cảnh.............................................................................................. 33
3.1.2 Mục tiêu................................................................................................ 33
3.2 Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 33
3.3. Nội dung phiếu học tập ............................................................................... 33
3.3.1. Phiếu học tập 1..................................................................................... 33
3.3.2. Phiếu học tập 2..................................................................................... 39
3.3.3. Phiếu học tập 3..................................................................................... 42
3.3.4. Phiếu học tập 4..................................................................................... 45
3.4 Kết luận chương 3....................................................................................... 49
Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU................................................................ 50
4.1. Phân tích bài làm của học sinh .................................................................... 50
4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh ................................ 50
4.1.1.1 Bài toán 1: ...................................................................................... 51
4.1.1.2 Bài toán 2: ...................................................................................... 59

4.1.1.3 Bài toán 3: ...................................................................................... 66
2


4.1.1.4 Bài toán 4: ...................................................................................... 72
4.1.2 Các dạng ngoại suy ............................................................................... 75
4.2 Kết luận chương 4 ....................................................................................... 79
Chƣơng 5. KẾT LUẬN........................................................................................ 80
5.1 Kết luận ....................................................................................................... 80
5.2 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ............................ 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 84
PHỤ LỤC.............................................................................................................P1

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Góc
CM

Chứng minh

HS

Học sinh

LL

Lập luận

4


LỜI GIỚI THIỆU
Quá trình lập luận (argumentation), suy luận (reasoning) và chứng minh
(proof) là những thuật ngữ xuất hiện nhiều trong các công trình nghiên cứu gần đây
về dạy và học toán. Điều đó chứng tỏ ngày càng có nhiều nhà nghiên cứu quan tâm
phân tích về mặt nhận thức và cấu trúc lôgic của quá trình lập luận và chứng minh.
Từ một quan điểm tri thức luận, lập luận trong toán học có thể xem như là một quá
trình thuyết phục ai đó về giá trị chân lý của một mệnh đề hay phát biểu (Chazan
1993, [9]; De Villiers 1990, [10]; Hanna, 1989, [14]; Healy và Hoyles, 2000, [16];
Lakatos, 1976, [22]). Quá trình lập luận có thể là suy diễn, ngoại suy hoặc quy nạp.
Chứng minh là một trường hợp đặc biệt của quá trình lập luận trong đó kết luận
được đưa ra từ các lập luận diễn dịch và các quy tắc suy luận đúng. Trong toán học,
chứng minh thường là quá trình lập luận suy diễn, trong khi đó quá trình lập luận
dẫn đến một giả thuyết thường là quá trình ngoại suy hoặc quy nạp.
Gần đây, có nhiều tác giả tập trung vào nghiên cứu bản chất cấu trúc của các
quá trình nhận thức liên quan đến mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh toán
học của học sinh (Boero .v.v. 1996, [8]; Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2005,
[29]; Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte và Reid, 2010, [32]; Reid và Knipping,
2010, [38]; Martinez và Pedemonte, 2014, [24]). Các nghiên cứu này chỉ ra rằng,
lập luận thường có cấu trúc ngoại suy hoặc quy nạp, trong khi đó chứng minh
thường có cấu trúc diễn dịch. Nếu từ các lập luận ngoại suy (quy nạp) hình thành
một giả thuyết, học sinh có thể chuyển đổi thành các lập luận diễn dịch để đi đến
chứng minh (quy nạp toán học) giả thuyết đó thì ta nói có một tính liên tục cấu trúc
(structural continuity) giữa quá trình lập luận và chứng minh. Ngược lại, nếu từ các
lập luận ngoại suy hay quy nạp, học sinh không thể đi đến một chứng minh diễn
dịch thì ta nói có sự gián đoạn cấu trúc (structural distance/ structural discontinuity)
giữa quá trình lập luận và chứng minh.
Các nghiên cứu ở trên đã sử dụng mô hình Toulmin (Toulmin, 1958, [40]) để

lập luận như là một công cụ có tính phương pháp luận nhằm phân tích mối quan hệ
giữa quá trình lập luận đi đến một giả thuyết và chứng minh.

5


Mô hình Toulmin đã góp phần quan trọng trong các nghiên cứu về mối quan
hệ giữa lập luận và chứng minh chẳng hạn như: phân tích tính liên tục/gián đoạn
cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005, [29]; Pedemonte,
2007, [30]) phân tích vai trò và các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá
trình chứng minh (Pedemonte và Reid, 2010, [32]).
Dựa trên các nghiên cứu đó của Pedemonte, chúng tôi chọn đề tài ― Sử dụng
mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh‖
với các mục tiêu như sau:
 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của
học sinh khi giải quyết các bài toán
 Phân tích các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá
trình chứng minh.
Luận văn này bao gồm 5 chương:
Trong chương 1, chúng tôi bắt đầu từ việc giới thiệu khái niệm lập luận và
khái niệm chứng minh trong Toán, các dạng lập luận thường gặp, tiếp theo là mối
quan hệ giữa quá trình lập luận và chứng minh trong Toán. Từ đó chúng tôi đặt ra
một số vấn đề khởi đầu cho nghiên cứu.
Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin cơ bản, một công
cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc giữa lập
luận và chứng minh. Sau đó, dựa vào mô hình Toulmin, chúng tôi sẽ phân tích mối
liên hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh trong toán học và cấu trúc của các
dạng ngoại suy mà học sinh có thể sử dụng trong chứng minh toán. Chương này
cung cấp khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ
liệu thực nghiệm trong các chương sau. Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi

nghiên cứu cho đề tài.
Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm.
Sau đó, chúng tôi trình bày nội dung của các phiếu học tập. Cuối cùng, chúng tôi
tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong các phiếu học tập. Các phân tích
này cung cấp cái nhìn tổng quan về các bài toán được đưa ra cho học sinh, cũng như
làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4.
6


Trong chương 4, trước tiên chúng tôi mô tả lại các dữ liệu thực nghiệm thu
thập được của một số cặp học sinh điển hình. Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích
các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu thập được. Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở
Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích theo các hướng: mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận
và chứng minh, các dạng ngoại suy học sinh đã sử dụng trong lập luận. Từ đó phát
hiện các khó khăn của học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng
minh và xem xét dạng ngoại suy nào có thể hỗ trợ cho học sinh trong việc chuyển
đổi cấu trúc của lập luận sang chứng minh
Cuối cùng, trong chương 6, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này
bằng cách phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra. Bên
cạnh việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của
nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như việc dạy và học
chứng minh trong Toán học. Kết quả nghiên cứu cũng góp phần khẳng định vai trò
chủ đạo của giáo viên trong việc thúc đẩy quá trình lập luận và chứng minh Toán
của học sinh

7


Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận

Trong những ngày đầu tiên, toán học gắn liền với những câu hỏi thực tế về
vấn đề đo đạc đất đai của người Ai Cập và người Hy Lạp. Vì vậy bản chất của toán
học thời kỳ này là xem xét các vấn đề về hình học và lượng giác. Hình học cổ đại và
các tiên đề của Euclid tập trung thảo luận cho các vấn đề này. Có thể nói, thời kỳ
này toán học mang tính hiện tượng, nếu có một người vẽ được một hình vẽ hợp lý
và đưa ra các mô tả cho nó thì đã được xem là một biện minh đối với một vấn đề
toán học. Đôi khi người ta lập luận bằng cách tương tự hoặc bằng cách gọi các vị
thần. Những suy nghĩ về việc chứng minh các phát biểu toán học hầu như không tồn
tại. Không có một khái niệm nào về chứng minh cũng như các cấu trúc lôgic và quy
tắc suy luận không hề được đưa ra. Họ đã nghĩ rằng việc quan sát thực tế hay thực
nghiệm là đủ để biện minh cho các phát biểu toán học. Nhưng sau này, người Hy
Lạp đã tìm được phương pháp để xác định tính đúng hoặc sai của một phát biểu
trong toán học. Họ thấy rằng, toán học không giống như những môn khoa học khác,
nó thường đề cập đến các thực thể vô hạn hoặc số như tập các số tự nhiện hoặc sự
trừu tượng hoá như hình tròn, hình tam giác. Vì vậy, họ là những người đầu tiên
chuyển đổi các phát biểu toán học thành những lập luận lôgic để phân biệt sự khác
nhau giữa những cái có thể và những cái không thể. Dựa vào phương pháp suy diễn,
một phát biểu được họ chứng minh bằng các tiên đề, hoặc các định lý hoặc một
nguyên tắc lôgic (Aristotle, 384 – 322, trước công nguyên). Tiên đề là các khái
niệm, các giả thiết được thừa nhận đúng nhưng không cần sự biện minh (Elements,
Euclid). Định lý bao gồm các phát biểu đã được chứng minh từ các tiên đề. Từ đó,
tất cả những gì liên quan đến toán học đều được bắt đầu từ các tiên đề và một quy
trình chứng minh chặt chẽ (Wolfram, 2002, [41]).
1.1.1 Khái niệm chứng minh
Chứng minh toán học là phương tiện thuyết phục ai đó hoặc chính bản thân
mình về một điều gì đó là đúng bằng cách sử dụng một dãy các lập luận phù hợp và
các quy tắc suy luận đúng. Chẳng hạn, theo Almeida (1994, [4]), chứng minh là một
dãy các mệnh đề, được kết nối với nhau bởi các phép suy luận, mà kết thúc là một
8

mệnh đề kết luận và khởi đầu là các dữ liệu hoặc các sự kiện được thừa nhận hoặc
các nguyên lý:
“A proof is a directed tree of statements, connected by implications, whose
end point is the conclusion and whose starting points are either in the data
or are generally agreed facts or principles” (Almeida, 1994, [4], p.661).
1.1.2 Khái niệm lập luận
Trong toán học, lập luận liên kết với chứng minh một cách chặt chẽ. Mặc dù
lập luận là hoạt động thường xuyên xảy ra trong lớp nhưng không có một khái niệm
chung nào về lập luận. Các nghiên cứu hiện nay cũng không cung cấp cái nhìn sâu
sắc về vấn đề này. Tuy nhiên, hầu hết các quan niệm về lập luận đều thống nhất cho
rằng lập luận trong toán học là quá trình đưa ra những bằng chứng nhằm dẫn đến
một kết luận nào đấy. Ta cũng có thể xem, quá trình lập luận (argumentation) như
một hoạt động diễn ngôn dựa trên các lí lẽ (arguments).
1.2 Các dạng lập luận
Có 3 dạng lập luận thường được đề cập trong nghiên cứu giáo dục toán học:
suy diễn, quy nạp và ngoại suy.
1.2.1 Suy diễn
Suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một số dữ
liệu và một quy tắc suy luận đã biết (Petemonte, 2007, [30]).
Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau :
 Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết luận
cụ thể.
 Suy diễn không dẫn tới một tri thức mới (chỉ dẫn tới kinh nghiệm
để tìm ra một kiến thức mới).
 Thiết lập một kết luận có tính chắc chắn.
1.2.2 Quy nạp
Quy nạp là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận bằng việc khái
quát hoá một số trường hợp cụ thể (Petemonte, 2007, [30]).
9

Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau :
 Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết
luận tổng quát.
 Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái
chưa biết (phát hiện quy luật chung).
 Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần
được xác minh.
1.2.3. Ngoại suy
Ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một sự
kiện quan sát được (Petemonte, 2007, [30]).
Ngoại suy thường có các đặc điểm sau:
 Giải thích giả thuyết quan sát được.
 Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức.
 Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý (plausible) vì kết luận của
nó không thể biết được một cách trực tiếp.
Như vậy, trong khi lập luận suy diễn tìm kiếm các kết luận từ những kết quả
đúng cho trước, lập luận quy nạp tìm kiếm kết quả tổng quát từ những kết quả đúng
của các trường hợp đặc biệt thì ngoại suy đi tìm lời giải thích tốt nhất cho giả thuyết
quan sát được trước đó (Peirce, 1960, [36]) và việc giải thích giả thuyết quan sát
được trong lập luận ngoại suy có thể dùng đến cả lập luận suy diễn và lập luận quy
nạp.
1.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học
1.3.1 Các dạng ngoại suy
Trong đời sống hằng ngày, ngoại suy thường xuất hiện một cách tự nhiện
trong việc giải thích các sự việc hoặc các hiện tượng của con người. Trong Toán,
ngoại suy lại thường xuất hiện trong quá trình dạy học các khái niệm mới thông
qua việc quan sát các tình huống để đưa ra các lời giải thích hoặc quá trình tìm

10


kiếm định lý, công thức mới, tìm kiếm lời giải cho một bài toán .v.v. mà đặc biệt
là trong quá trình chứng minh.
Ngoại suy lần đầu tiên được giới thiệu bởi CS. Peirce (1839 – 1914), một
nhà toán học, triết học, lôgic học người Mỹ nhằm phân biệt với lập luận suy diễn
và lập luận quy nạp. Trong những nghiên cứu đầu tiên của mình, Peirce nhấn
mạnh vào các lôgic hình thức của ngoại suy, ông gọi ngoại suy là ―hypothesis‖
(Peirce, 1867, [34]) và mô tả bằng phép tam đoạn luận :
Với M bất kỳ có đặc điểm P , P’, P‖
S có P, P’, P‖
∴ S có lẽ là M.
( Ở đây, S: là một đối tượng, một trường hợp cụ thể).
Năm 1878, Peirce chú ý đến tầm quan trọng của việc giải thích các vấn đề
ngẫu nhiên liên quan đến ngoại suy và ―hypothesis‖ trở thành phương tiện tìm quy
tắc chung để giải thích một quan sát ngẫu nhiên. Ông ấy đưa ra ví dụ sau :
“Giả sử tôi vào một cái phòng và ở đó tôi tìm thấy một vài cái túi xách có
chứa một số loại đậu. Trên bàn có một ít hạt đậu trắng. Sau một hồi tìm kiếm tôi
chỉ thấy có một túi xách chứa đậu trắng. Tôi dự đoán rằng, số đậu trắng này rơi
ra từ chiếc túi đó”.
Suy luận này được gọi là tạo ra một giả thuyết. Đó là suy luận mà từ một
―quy tắc‖ và một ―kết quả‖ dẫn tới một ―trường hợp‖ (Peirce, 1960, [36]).
Ở đây ta hiểu một trường hợp là một quan sát cụ thể mà trong đó một điều
kiện được thỏa mãn. Chẳng hạn, ―Hàm số y  x có đạo hàm tại x  1 ‖ là một
trường hợp. Một quy tắc thường là một mệnh đề có tính khái quát phát biểu rằng
nếu một điều kiện xảy ra thì một điều kiện khác cũng sẽ xảy ra. Chẳng hạn, mệnh
đề ―Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó‖ là một quy
tắc. Một kết quả là một quan sát cụ thể, tương tự một trường hợp, nhưng đề cập
đến một điều kiện, điều kiện này phụ thuộc vào một điều kiện khác được liên kết

với nó bởi một quy tắc. Ví dụ, ―hàm số y  x liên tục tại x  1 là một kết quả‖.

11


Ta có thể phân biệt cấu trúc dạng tam đoạn luận của các kiểu suy luận suy
diễn, quy nạp và ngoại suy dựa vào ba yếu tố đặc trưng là trường hợp, kết quả và
quy tắc như sau:
Suy diễn

Quy nạp

Ngoại suy

-

Trường hợp

-

Trường hợp

-

Kết quả

-

Quy tắc

-

Kết quả

-

Quy tắc

-

Kết quả

-

Quy tắc

-

Trường hợp

Đến năm 1880, Peirce tập trung vào vai trò của ngoại suy, ông giới thiệu
thuật ngữ ―retroduction‖ với nghĩa ―tạm thời chấp nhận một giả thuyết‖ và sử
dụng ―hypothesis‖ với nghĩa ―điều gì đó có thể đúng hoặc đúng mà ta có đủ khả
năng để xác minh hoặc bác bỏ bằng cách so sánh các sự việc‖ (Peirce, 1960,
p.1.120, [36]). Đến 1901, Peirce sử dụng thuật ngữ ―abduction‖ thay thế cho
―retroduction‖. Đến 1903, Peirce lại mô tả ngoại suy bằng phép tam đoạn luận,
ngoại suy ở đây được dùng để giải thích các vấn đề quan sát ngẫu nhiên:
Vấn đề C được quan sát ngẫu nhiên
Nếu A đúng thì C là một vấn đề hiển nhiên
∴ Từ đây, có lý do để nghi ngờ C đúng

(Peirce, 1960, [36])

Như vậy, đối với Peirce ngoại suy được đề cập để giải thích các quan sát
ngẫu nhiên. Từ quan sát thực tế có một quy tắc nào đó làm cho giả thiết ban đầu
trở nên hợp lý hơn. Kết luận của giả thuyết này tuy có vẻ hợp lý nhưng không
chắc chắn có thể xác minh hoặc bác bỏ. Dựa trên phát biểu của Peirce (1878, [35])
về ngoại suy, Eco (1983, [12]) chỉ ra rằng quy tắc trong phép tam đoạn luận về
ngoại suy của Peirce không nhất thiết phải luôn luôn rõ ràng và có sẵn. Eco (1983,
[12]) mô tả ngoại suy như là việc tìm kiếm một quy tắc tổng quát mà từ đó một
trường hợp cụ thể sẽ tuân theo. Eco phân biệt ba dạng ngoại suy như sau:
 Ngoại suy đã mã hoá (overcoded abduction): xảy ra khi người lập
luận nhận thức được chỉ có một quy tắc cho phép giải thích kết quả
quan sát được, giống như quan niệm của Pierce (1878, [35]).
12


 Ngoại suy chƣa mã hoá (undercoded abduction): xảy ra khi có nhiều
quy tắc có thể giải thích cho kết quả quan sát được, trong đó người lập
luận phải chọn ra một quy tắc phù hợp.
 Ngoại suy sáng tạo (creative abdution): xảy ra khi người lập luận
chưa biết một quy tắc nào để giải thích cho kết quả quan sát được, và
người lập luận phải tìm ra một quy tắc mới để giải thích cho kết quả đó.
1.3.2 Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán
Theo Pedemonte (2007, [30]), chứng minh trong toán học thường là suy
diễn, nhưng quá trình phát hiện và đưa ra các phỏng đoán thường là các lập luận
ngoại suy. Khi học sinh tham gia vào quá trình chứng minh toán học, họ thường
đến với một ý tưởng. Phân tích những gì mà học sinh thực hiện trong quá trình
chứng minh thông thường là đề cập đến các ngoại suy.
Ngoại suy đã được xem xét trong mối quan hệ với các hoạt động toán học

nói chung trong một số nghiên cứu như Krummheuer, 2007, [21]; Mason,1996,
[25]). Ngoại suy cũng được xem xét trong mối quan hệ với chứng minh toán học
trong các nghiên cứu về giáo dục toán như Arzarello et al. 1998a, [5]; Arzarello et
al. 1998b, [6]; Knipping, 2003a, [18]; Knipping, 2003b, [19]; Pedemonte, 2007,
[30]; Pedemonte, 2008, [31]). Trong các nghiên cứu này, ngoại suy đóng vai trò
quan trọng trong mối quan hệ biện chứng giữa việc phỏng đoán một giả thuyết và
chứng minh một kết quả: ngoại suy hỗ trợ việc chuyển đổi từ quá trình lập luận
sang các phương thức chứng minh. Chẳng hạn, khi giải quyết bài toán kết thúc mở
trong hình học, một số học sinh đã không xây dựng được chứng minh suy diễn vì
không thể chuyển các lập luận ngoại suy thành các lập luận suy diễn trong chứng
minh (Petemonte, 2007, [30]). Điều này cho thấy ngoại suy gây trở ngại cho các
học sinh khi họ phải xây dựng một chứng minh suy diễn. Tuy nhiên, trong các bài
toán về đại số (Pedemonte, 2008, [31]), ngoại suy lại hỗ trợ cho học sinh trong
quá trình chứng minh, học sinh không phải gặp một trở ngại nào trong quá trình
xây dựng chứng minh vì quá trình chứng minh một bài toán trong đại số bao gồm
các thao tác chuyển đổi một công thức từ các công thức đã biết trước. Một nghiên
cứu về các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá trình

13


chứng minh (Pedemonte và Reid, 2010, [32]) cho rằng việc xây dựng chứng minh
sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh nếu lập luận ngoại suy được học sinh sử dụng là
dạng ngoại suy đã mã hoá. Ngược lại dạng ngoại suy chưa mã hóa hoặc ngoại suy
sáng tạo thường gây trở ngại cho học sinh trong quá trình chứng minh vì rất nhiều
dữ liệu tham gia vào quá trình lập luận, dễ gây nhầm lẫn và làm rối loạn tư duy
của học sinh. Dựa vào các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá trình
chứng minh, nghiên cứu này cũng đã trình bày được các khó khăn của học sinh cả
trong lập luận khi có ngoại suy xảy ra và sau khi xây dựng được chứng minh.
Như vậy, lập luận ngoại suy là một lập luận quan trọng tham gia vào quá

trình phân tích giả thiết và đưa ra các ý tưởng mới nhằm hỗ trợ cho việc xây dựng
chứng minh toán học. Một số dạng ngoại suy có thể giúp học sinh xây dựng chứng
minh dễ dàng bởi vì chúng hỗ trợ trong việc tìm và chọn một định lý hoặc những
lý thuyết cần thiết để đi tới chứng minh nhưng một số ngoại suy khác lại cản trở,
gây khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng chứng minh. Điều này có ý nghĩa
thiết thực đối với việc dạy và học chứng minh. Bởi lẽ, ngoại suy cung cấp cái nhìn
sâu sắc trong việc thu hẹp khoảng cách giữa việc tạo ra giả thuyết để đi đến chứng
minh cho cả học sinh và giáo viên. Do đó, việc phát triển cho học sinh các lập
luận ngoại suy trong quá trình chứng minh toán là điều cần thiết.
1.4 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh
1.4.1 Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh
Trong toán học, lập luận và chứng minh được mô tả qua bốn đặc điểm chức
năng cho phép giải thích các khía cạnh chung của hai khái niệm này:
 Lập luận và chứng minh trong toán học được xem như là một sự biện minh
hợp lý. Đặc điểm biện minh này có thể nhìn thấy trong quá trình lập luận để
tạo ra một phát biểu từ một hoặc nhiều phát biểu cho trước (Duval, 1995,
[11]).
 Lập luận và chứng minh trong toán học là để thuyết phục. Theo một quan
điểm nhận thức, lập luận và chứng minh trong toán học được phát triển khi
một người nào đó muốn thuyết phục bản thân mình hoặc một người khác về

14


sự thật của một phát biểu (Chazan, 1993, [9]; De Villiers, 1990, [10];
Hanna, 1989, [14]; Healy và Hoyles, 2000, [16]; Lakatos, 1976, [22]).
 Lập luận và chứng minh trong toán học được giải quyết cho một đối tượng
phổ thông. Đối tượng ở đây có thể là: một cộng đồng toán học, một lớp học,
giáo viên hoặc chính bản thân mình.
 Lập luận và chứng minh trong toán phụ thuộc vào lĩnh vực: đại số, hình

học, giải tích …
Ngoài các khía cạnh chung được đề cập ở trên, mối quan hệ giữa lập luận và
chứng minh đã được các nhà giáo dục toán học nghiên cứu và phân tích theo các
quan điểm khác nhau với nhiều mục đích giáo dục khác nhau.
1.4.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục
toán
Theo quan điểm xã hội và nhận thức luận (Balacheff, 1988, [7]) không thể
đồng nhất lập luận và chứng minh. Theo quan điểm nhận thức và ngôn ngữ (Duval,
1995, [11]), sự khác biệt giữa lập luận và chứng minh cũng được nhấn mạnh. Khi
nghiên cứu mối quan hệ cá nhân với chứng minh toán học như một chuỗi lôgic các
bước suy luận. Duval cho rằng có một ― khoảng cách về mặt cấu trúc‖ giữa lập luận
và chứng minh ngay cả khi chúng sử dụng các dạng kí hiệu giống nhau và cách kết
nối các mệnh đề tương tự nhau. Cấu trúc của một chứng minh có thể được mô tả bởi
một sơ đồ bậc ba: dữ liệu, phát biểu, quy tắc suy luận (tiên đề, định lý, định nghĩa)
và các bước trong chứng minh liên kết với nhau bởi một ―quá trình lặp chu kỳ‖, tức
là kết luận của một bước được xem như là điều kiện cho bước tiếp theo. Trong khi
đó, quá trình lập luận chỉ đưa ra các suy luận dựa trên nội dung. Kết quả của nghiên
cứu này hỗ trợ các quy tắc dạy học đặc biệt, dựa trên các đồ thị mệnh đề, để xây
dựng một bước suy luận.
Theo quan điểm sư phạm, chứng minh toán học là một sản phẩm phải phù
hợp với một mô hình cho trước, nhưng quan trọng là các yếu tố nội dung được học
sinh đưa vào trong quá trình xây dựng chứng minh. Mối quan hệ giữa học sinh và
chứng minh được liên kết bởi các lập luận, không phải bởi một mô hình chính thức.
Từ một quan điểm toán học, Thurston (1994, [39]) ủng hộ mô hình suy diễn trong
15


chứng minh. Theo Thurston, quá trình chứng minh dựa trên các tiêu chuẩn nội dung
chứ không phải dựa trên tiêu chuẩn hình thức. Nhiều ví dụ về tính liên tục đã được
quan sát trong mối quan hệ giữa một bên là các đối tượng phỏng đoán, xác định giả

thuyết hoặc đưa ra phỏng đoán mới, một bên là thực hiện thử nghiệm để đưa ra phát
biểu (Lakatos, 1976, [22]; Thurston, 1994, [39]).
Các nghiên cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti, 1996, [8]) tập trung nhấn mạnh
tính liên tục tồn tại giữa quá trình lập luận đi đến các giả thuyết và việc thiết lập một
chứng minh. Tính liên tục này gọi là tính thống nhất nhận thức. Trong quá trình giải
quyết bài toán, một giả thuyết cần được tạo ra trong lập luận. Theo giả thuyết về
tính thống nhất nhận thức, trong một số trường hợp, lập luận này có thể được các
học sinh sắp xếp lại thành một chuỗi lôgic để xây dựng một chứng minh. Các
nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến tính thống nhất nhận thức (Boero, Garuti
.v.v., 1996, [8]) đã chỉ ra rằng, việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh
nếu các hoạt động lập luận dẫn tới việc xây dựng một giả thuyết mà từ đó có thể xây
dựng được chứng minh từ các lập luận.
Một số nghiên cứu thực nghiệm lại chỉ ra rằng một số sinh viên không thể
xây dựng được một chứng minh, ngay cả khi họ biết các định lý để xây dựng nó.
Thực tế này không phù hợp với giả thuyết thông nhất nhận thức (học sinh có thể
thực hiện liên tiếp giữa quá trình tạo ra các giả thuyết và quá trình xây dựng chứng
minh). Phân tích này chỉ ra rằng, không phải mọi trường hợp đều phù hợp với giả
thuyết về tính thống nhất nhận thức (Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2002,
[28]). Nghiên cứu tính thống nhất nhận thức là không đủ để giải thích cho trường
hợp một số sinh viên không có khả năng xây dựng các chứng minh. Như vậy, các
nghiên cứu về tính thống nhất nhận thức mà không liên quan đến tính liên tục giữa
lập luận và chứng minh không chỉ quan trọng để làm rõ các loại liên tục được so
sánh mà nó còn rất hữu ích trong việc tìm một công cụ để phân tích mối quan hệ
nhận thức giữa lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005, [29]).
Để làm rõ hơn sự khác nhau giữa các kết quả nghiên cứu, Petemonte (2002,
[28]; Pedemonte, 2008, [31]) đã so sánh lập luận và chứng minh theo hai quan
điểm: hệ thống tham chiếu và cấu trúc.

16

Hệ thống tham chiếu được tạo thành từ hệ thống biểu đạt (ngôn ngữ, hình vẽ,
heuristic…) và hệ thống các kiến thức (khái niệm, định lý) của lập luận và chứng
minh. Việc phân tích tính thống nhất nhận thức được dựa vào hệ thống tham chiếu.
Chẳng hạn, có tính liên tục trong hệ thống tham chiếu nếu một số từ ngữ, hình vẽ,
định lý được sử dụng trong chứng minh đã được sử dụng trong quá trình lập luận hỗ
trợ cho việc hình thành giả thuyết. Ngược lại nếu lập luận và chứng minh được xây
dựng từ các yếu tố trong các lĩnh vực toán học khác nhau (chẳng hạn lập luận trong
số học và chứng minh trong đại số) thì ta nói có sự gián đoạn giữa lập luận và
chứng minh theo hệ thống tham chiếu.
Cấu trúc là sự kết nối lôgic nhận thức giữa các phát biểu (ngoại suy, quy nạp
và suy diễn). Nó bao gồm các khái niệm về sự liên tục/ gián đoạn cấu trúc giữa lập
luận và chứng minh. Trong nghiên cứu của Petemonte (2007, [30]), khi giải các bài
toán kết thúc mở trong hình học, nhiều học sinh đã không xây dựng được các chứng
minh bởi vì không thể chuyển đổi cấu trúc ngoại suy trong lập luận thành cấu trúc
suy diễn trong chứng minh, một số học sinh đã xây dựng luôn chứng minh ―ngoại
suy‖ bắt đầu từ các lập luận ngoại suy.
Tuy nhiên, theo Petemonte (2008, [31]), tính liên tục/gián đoạn cấu trúc giữa
lập luận và chứng minh không phải khi nào cũng gây khó khăn cho học sinh. Thật
vậy, khi chứng minh các bài toán kết thúc mở trong đại số, mặc dù học sinh đưa ra
lập luận ngoại suy trong quá trình lập luận đi đến giả thuyết nhưng chúng không sử
dụng chúng trong quá trình xây dựng chứng minh, bởi lẽ cấu trúc suy diễn trong
chứng minh rất rõ ràng. Trong các trường hợp đặc biệt, lập luận ngoại suy hữu ích
trong xây dựng chứng minh vì chúng hỗ trợ cho tính liên tục giữa lập luận và chứng
minh trong hệ thống tham chiếu.
Nghiên cứu trong lĩnh vực hình học nhằm phân tích mối quan hệ giữa lập
luận quy nạp và chứng minh quy nạp toán học, Petemonte (2007, [30]) đã chỉ ra
rằng việc xây dựng các chứng minh quy nạp tuỳ thuộc vào dạng khái quát đã sử
dụng trong lập luận quy nạp. Một số học sinh chỉ xây dựng được chứng minh quy
nạp toán học chỉ khi chúng sử dụng quá trình khái quát để tìm ra giải pháp xây dựng

bài toán chứng minh quy nạp toán học.

17


Phân tích tính liên tục nhận thức về mối quan hệ giữa quá trình lập luận quy
nạp trong số học và chứng minh suy diễn trong đại số (Martinez và Petemonte,
2014, [24]) chỉ ra rằng học sinh gặp trở ngại trọng việc chuyển đổi từ một lập luận
trong số học thành lập luận trong đại số và chuyển một lập luận quy nạp thành
chứng minh suy diễn. Học sinh chỉ xây dựng được chứng minh quy nạp toán học
khi chúng sử dụng quá trình khái quát để tìm ra giải pháp xây dựng bài toán chứng
minh quy nạp toán học. Đặc biệt, quá trình khái quát thực hiện được cả trong số học
và đại số đã rút ngắn khoảng cách nhận thức giữa lập luận và chứng minh trong hệ
thống tham chiếu.
Như vậy, trong các nghiên cứu giáo dục toán, mối liên hệ giữa lập luận và
chứng minh đã được làm rõ hơn dựa trên nội dung của giả thuyết thống nhất nhận
thức và cấu trúc giữa lập luận và chứng minh thể hiện trên nội dung của hệ thống
tham chiếu và cấu trúc giữa chúng.
1.5 Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1, chúng tôi đã làm rõ khái niệm lập luận (suy diễn, ngoại suy
và quy nạp) và chứng minh trong toán học, mối quan hệ giữa lập luận và chứng
minh trong các nghiên cứu giáo dục toán. Đặc biệt, chúng tôi đã phân tích làm rõ
các dạng ngoại suy khác nhau dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco.
Có thể nói, quá trình lập luận và chứng minh toán học liên kết với nhau một
cách chặt chẽ. Lập luận và chứng minh trong toán học đều là phương tiện thuyết
phục một đối tượng nào đó về phát biểu đưa ra. Tuy trong quá trình lập luận, phát
biểu đưa ra có thể bị bác bỏ nhưng quá trình chứng minh trong toán không thể thiếu
sự lập luận. Đặc biệt là lập luận ngoại suy, nó không những tham gia vào quá trình
phân tích các giả thiết mà còn đưa ra các ý tưởng mới hỗ trợ cho việc xây dựng các
chứng minh trong mọi lĩnh vực toán học. Với các dạng ngoại suy khác nhau, học

sinh lại đưa ra các ý tưởng khác nhau trong quá trình lập luận. Và quan trọng hơn
nữa là giữa lập luận và chứng minh còn có mối liên hệ về mặt cấu trúc nhận thức.
Cấu trúc nhận thức ở đây được thể hiện trên các khái niệm về tính liên tục/ gián
đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh. Vậy, làm thế nào để phân tích cấu trúc
lập luận và chứng minh của học sinh? Mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận
và chứng minh của học sinh được phân tích và làm sáng tỏ như thế nào?... Trong
18


chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin như một cơ sở lý thuyết và một
công cụ phương pháp luận cho phép phân tích và làm sáng tỏ các vấn đề liên quan
đến cấu trúc lập luận của học sinh.

19


Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Mô hình Toulmin
2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin
Lý thuyết tam đoạn luận của Aristotle là lý thuyết đầu tiên mô tả mô hình
cấu trúc của lập luận. Cấu trúc này bao gồm: tiên đề lớn, tiên đề nhỏ và kết luận.
Theo Platin, tam đoạn luận không khám phá được kiến thức mới vì kết luận của nó
chứa trong các tiên đề. Dựa trên tam đoạn luận của Aristotle, Toulmin (1958, [40])
đề xuất một mô hình cấu trúc lập luận dạng đơn giản gọi là mô hình Toulmin cơ
bản. Trong mô hình Toulmin cơ bản, một lập luận bao gồm ba yếu tố:
 C (Claim): phát biểu kết luận
 D (Data): dữ liệu để biện minh cho phát biểu C
 W (warrant): quy tắc suy luận (nguyên lý, định lý …) cho phép
kết nối các dữ liệu D để biện minh cho phát biểu C.
Cấu trúc cơ bản của một lập luận được trình bày như hình 2.1:

Hình 2.1: Mô hình Toulmin cơ bản của một lập luận
Có thể nói, bất kì bước đầu tiên nào của một lập luận cũng được trình bày
bởi một quan điểm (một khẳng định, một ý kiến). Toulmin gọi các quan điểm đó là
các phát biểu. Hay nói cách khác đó là kết luận, là mục tiêu của lập luận. Bước thứ
hai là tìm các dữ liệu D để hỗ trợ cho phát biểu C. Các dữ liệu ở đây có thể là các
bằng chứng, sự kiện, thông tin, ví dụ… Còn W cung cấp các quy tắc hỗ trợ cho việc
thuyết phục, biện minh cho mối liên hệ giữa D và C. W ở đây có thể được trình bày
bởi một nguyên lý, hoặc một quy tắc, hoặc một định lý hoạt động như cầu nối giữa
D và C.
Tuy nhiên, các dữ liệu và quy tắc suy luận nhiều lúc không cho phép chúng
ta chắc chắn tuyệt đối về kết luận vì vậy ba yếu tố tiếp theo là B (Backing), Q
20


(qualifier), Re (rebuttal) được đề cập để đưa vào mô hình Toulmin như hình 2.2, gọi
là mô hình Toulmin dạng đầy đủ:
 B (Backing): hỗ trợ thêm cho các quy tắc
 Q (qualifier): bày tỏ mức độ tin cậy đối với phát biểu đưa ra. Các
trạng từ thường dùng là: ―đúng‖, ―có lẽ đúng‖, ―có khả năng‖…
 Re (rebuttal): các điều kiện ngoại lệ của phát biểu hay đưa ra điều
kiện để bác bỏ phát biểu.
Tính chắc chắn của W sẽ giảm nếu có một trường hợp nào đó ngoại lệ: trong
trường hợp này điều kiện của ngoại lệ hay sự bác bỏ cần được đưa vào. Q cũng ảnh
hưởng đến tính chắc chắn của phát biểu. B là cần thiết nếu như quy tắc suy luận đưa
ra chưa đủ thuyết phục hoặc làm rõ thêm cho quy tắc suy luận được đưa ra.
Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận được trình bày như hình 2.2:
Q: Qualifier Re: Rebuttal
C: Claim

D: Data
W: Warrant

B: Backing

Hình 2.2: Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận
2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và
chứng minh
Trong các tài liệu về giáo dục, mô hình Toulmin đã được các nhà nghiên cứu
sử dụng để phân tích và so sánh nhiều khía cạnh khác nhau liên quan đến lập luận
và chứng minh toán học.
Mô hình Toulmin được sử dụng để phân tích và ghi lại quá trình học tập
trong lớp học của học sinh (Krummehuer, 1995, [20]). Mô hình Toulmin được dùng
như là một công cụ tạo ra ngữ cảnh cho các hoạt động lập luận trong lớp (Wood,
1999, [42]).
21


Theo lý thuyết ngôn ngữ học (Plantin, 1990, [37]) chứng minh là một tập
hợp các luận cứ hợp lý được diễn tả như lập luận, những lập luận này cũng được
phân tích và so sánh bằng mô hình Toulmin.
Mô hình Toulmin cũng được sử dụng bởi nhiều nhà nghiên cứu trong giáo
dục toán học (Inglis, Mejia-Ramos, và Simpson, 2007, [17]; Lavy, 2006, [23]) để
kiểm tra các lập luận toán học của học sinh. Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu
của Paolo Boero, Nadia Douek, Francesca Morselli, và Bettina Pedemonte (2010,
[26])… cũng có ý nghĩa quan trọng trong việc so sánh các lập luận của học sinh và
các chứng minh của họ từ quan điểm cấu trúc và nhận thức (Pedemonte 2005, [29];
Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte, 2008, [31]; Pedemonte, 2010, [32]; Pedemonte,
2014, [24]). So sánh này dựa trên giả thuyết chứng minh là một lập luận đặc biệt
trong toán học

Có thể nói, mô hình Toulmin là một công cụ phương pháp luận trong các
nghiên cứu về lập luận và chứng minh, đặc biệt là để phân tích mối liên hệ cấu trúc
giữa lập luận và chứng minh trong những năm gần đây. Trong nghiên cứu này,
chúng tôi chỉ sử dụng mô hình Toulmin cơ bản để phân tích cấu trúc của các bước
lập luận và cấu trúc của các bước chứng minh.
2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin
2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh
Nhận thức là quá trình biện chứng của sự phản ánh thế giới khách quan trong
ý thức con người, nhờ đó con người tư duy và không ngừng tiến đến gần khách thể.
Tính thống nhất nhận thức được các nhà nghiện cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti,
1996, [8]) định nghĩa dựa trên sự liên tục tồn tại giữa quá trình tạo ra một phỏng
đoán và quá trình xây dựng một chứng minh. Đó là trong quá trình giải quyết một
bài toán, một hoạt động tranh luận thường được phát triển để tạo ra các phỏng đoán.
Giả thuyết về tính thống nhất nhận thức là học sinh có thể biện minh tính hợp lý của
các giả thuyết để tạo ra các lập luận và sau đó, sắp xếp, tổ chức các lập luận này
thành một chuỗi lôgic trong quá trình xây dựng chứng minh.
Theo Pedemonte (2002, [28]) có thể nhận ra tính thống nhất nhận thức (tính
liên tục) tồn tại giữa quá trình tạo ra phỏng đoán và quá trình xây dựng chứng minh
22