Sử dụng Cauchy trong bài toán chứng minh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.1 KB, 17 trang )

A- một số vấn đề lý thuyết
A1 Tính chất
A C > 0
B D > 0
A.B C.D
A2 - Bất đẳng thức Cô si
Bất đẳng thức đợc viết dới dạng khác nhau
(Chỉ áp dụng với các số không âm)
1) Dạng căn thức
ba
ba
.
2

+
3
..
3
cba
cba

++
n
n
n
aaa
n
aaa
.....
...
21

21

+++
2) Dạng lũy thừa
ba
ba
.
2
2

+
cba
cba
..
3
3

++

n
n
n
aaa
n
aaa
....
...
21
21

+++
3) Hệ quả
a / Hai số không âm có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
b / Hai số không âm có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Nếu
Thì
B- các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si
Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng
Dạng 3: Nhân thêm hệ số cho các thừa số
Dạng 4: Tìm cách thêm các số hạng thích hợp
Dạng 5: Dạng tổng nghịch đảo của các số dơng
C- cách giải các dạng bài tập vận dụng bất đẳng thức cô si

Dạng 1: Vận dụng bất đẳng thức Cô si và tính chất của bất đẳng thức

Ví dụ 1:
* Bài toán:
Cho a > 0, b > 0
Chứng minh rằng: (a+2)(b+2)(a+b) 16ab
* Phân tích và cách giải:
- Bất đẳng thức cần chứng minh là tích của 3 tổng dơng vì a>0, b>0. Do vậy ta có
thể vận dụng bất đẳng thức Cô si kết hợp với tính chất của bất đẳng thức:
Nếu A C > 0
B D > 0 Thì: A.B C.D
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
aa .2.22
+
<1>
bb .2.22
+
<2>
baba ..2
+
<3>
- Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có:
abbababa .2.2.8))(2)(2(
+++

ab16

<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b =2
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 2

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Cho a,b,c > 0
Chứng minh rằng:
9
111
)(

++++
cba
cba
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
3
...3 cbacba
++
<1>
3
..
1
.3
111
cbaaaa

++
<2>
- Nhân từng vế của <1> và <2> ta có:
3
3
..
1
....9
111
)(
cba
cba
cba
cba

++++

9

<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c
* Nhận xét:
- Mở rộng từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Cho a

1
, a
2
, ... , a
n
là các số dơng thì ta có:
2
21
21
1
...
11
)...( n
aaa
aaa
n
n

++++++
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a
1
= a

2
= ... = a
n

Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1
Chứng minh rằng:
64
1
1.
1
1.
1
1

+

+

+
cba
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 3
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
4
2
...41 cbaacbaa
+++=+
<1>
4
2
...41 cbabcbab
+++=+
<2>
4
2
...41 cbaccbaa
+++=+
<3>
- Nhân từng vế của <1>, <2>, <3> ta có:
( ) ( ) ( )
cbacba ...641.1.1
+++

<4>
Vì a,b, c >0 nên abc > 0. Chia cả hai vế của <4> cho abc ta đợc:
64.
)1(
.
)1(
.
)1(

+++
c
c
b
b
a
a

64
1
1.
1
1.
1
1

+

+

+
cba
<Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b = c =
3
1

Bài tập đề nghị:
* Bài 1:
Cho a 1, b 1
Chứng minh rằng:
ababba
+
11
* Bài 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xx
P

+=
1
21
Với 0 < x < 1
* Bài 3:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Xác định hình dạng của tam giác sao cho biểu thức:
cba
c
bca
b
acb
a
Q
+
+
+
+
+
=
nhỏ nhất
Dạng 2: Tách các số hạng của tổng
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 4

Ví dụ 1:
* Bài toán:

Cho a, b là hai số dơng thoả mãn a + b = 5
Chứng minh rằng: a
2
.b
3
108
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 5 số dơng ta có:
5
3
b
.
3
b
.
3
b
.
2
a
.
2
a
333225
1

++++
bbbaa

( )
5
32

108
b . a
ba
5
1
+

5
32

108
b . a
1

a
2
.b
3
108 <Điều phải chứng minh>
- Dấu đẳng thức xảy ra khi :
32

ba
=
, mà a + b =5 a = 2 và b = 3

Ví dụ 2:
* Bài toán:
Tính số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức:
M = A.B
2
.C
3
Đạt giá trị lớn nhất
* Giải:
- áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 6 số dơng ta có:
6
3
C
.
3
C
.
3
C
.
2
B
.
2
B
.A

333226
1

+++++
CCCBB
A

( )
6
32
108
C . B
.A
6
1
++
CBA

6
32
108
C . B .A
30

108
C . B .A
30
32
6

AB
2
C
3
108.30
6

Vậy M = AB
2
C
3
đạt giá trị lớn nhất khi:
Sử dụng bất đẳng thức Cosi trong bài toán chứng minh Trang 5
30
6
180
622
==
++
===
CBACB
A
= 30

0
= 60
0
= 90
0

Giá trị lớn nhất là : M
max
= 108.30
6

Ví dụ 3:
* Bài toán:
Cho x

2

, 0
và m,n là các sô nguyên dơng.
Tím giá trị lớn nhất của hàm số: y = sin
m
x.cos
n
x