Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Radon

BỘ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
---oOo---

VŨ THỊ HỒNG HẠNH

PHÉP BIẾN ĐỔI RADON
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH
MÃ SỐ

Thành phố Hồ Chí Minh
Tháng 09 năm 2003

: TOÁN GIẢI TÍCH
: 1.01.01


LỜI CẢM ƠN.
Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin kính gửi đến Thầy TS. Nguyễn
Cam–Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh - người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc nhất.
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán,Khoa Tâm Lý–Giáo
Dục, Khoa Triết, Khoa Pháp, Phòng Khoa học–Công Nghệ–Sau Đại Học
thuộc Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, các Thầy thuộc
Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí
Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cũng như hỗ trợ về tư liệu,thủ tục
hành chánh cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm việc. Xin chân
thành cảm ơn TS.Chu Đức Khánh-Trường Dự Bò Đại Học Tp.Hồ Chí Minh,

TS.Đinh Ngọc Thanh-Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.Hồ Chí Minh, đã
đọc và đóng góp nhiều ý kiến q báu cho luận văn được hoàn chỉnh.
Xin cảm ơn các bạn cùng khóa Cao Học Giải Tích 11 Trường Đại Học Sư
Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, các bạn trong Tổ Toán trường THPT Bà
Điểm và Cô Nguyễn Lê Thúy Hoa, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong,
đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm luận văn.
Một lần nữa xin được kính gửi đến Quý Thầy, Cô và các Bạn Hữu lời
cảm ơn chân thành,sâu sắc .

Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2003.

Vũ Thò Hồng Hạnh.


MỤC LỤC.
1. CHƯƠNG I: Các kiến thức cần dùng
I.Những nhận xét sơ bộ
II.Các không gian hàm thử
III.Sự hội tụ trong không gian các hàm thử
IV.Các phiếm hàm tuyến tính
V.Sự phân bố
VI.Đa thức Hermite Hl(x)
VII.Biến đổi Fourier
VIII.Công thức Courant và Hilbert

1
1
1
1
2

2
5
6
6

2. CHƯƠNG II : Giới thiệu phép biến đổi Radon

7

I.Giới thiệu
II.Biến đổi Radon trên không gian Euclide hai chiều
III.Biến đổi Radon trên không gian Euclide ba chiều
IV.Vài ví dụ
3. CHƯƠNG III : Biến đổi Radon và các tính chất cơ bản
I.Tính thuần nhất
II.Tính tuyến tính
III.Biến đổi Radon của phép biến đổi tuyến tính
IV.Biến đổi Radon của đạo hàm
V.Biến đổi Radon của đa thức Hermite
VI.Đạo hàm của biến đổi Radon
VII.Biến đổi của tích chập
VIII.Liên hệ giữa biến đổi Radon và biến đổi Fourier
4. CHƯƠNG IV : Biến đổi ngược của biến đổi Radon
I.Giới thiệu
II.Biến đổi ngược của biến đổi Radon trên không gian
Euclide hai chiều
III.Sự thống nhất và liên hợp giữa biến đổi Radon

7
7

11
14
17
17
20
20
22
29
35
42
43
45
45
45


và biến đổi ngược của nó trên không gian Euclide
hai chiều
IV.Biến đổi ngược của biến đổi Radon trên
không gian Euclide ba chiều
V.Sự thống nhất và liên hợp giữa biến đổi Radon
và biến đổi ngược của nó trên không gian vectơ
ba chiều
VI.Sự liên hợp giữa ℜ và ℜ +

47
48

51
55

CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG

CHƯƠNG I:

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG
I.NHỮNG NHẬN XÉT SƠ BỘ:
Cho X = (x1,x2,…,xn)∈ Rn.Tích vô hướng của hai vectơ X,Y∈ Rn được cho
n

bởi công thức : X.Y = X, Y = ∑ x j y j
j=1

1

Và độ lớn của vectơ X là X = X, X 2
F(x1,x2,…,xn) hay F(X) là hàm của n biến số thực. Trong hầu hết các
trường hợp, F(X) có giá trò thực .
Cho K là bao đóng của tập hợp các điểm X∈ Rn sao cho F(X) ≠ 0,ta gọi
K là giá của F. Nếu giá K bò chặn, thì nó là tập compact (theo đònh lí
Heine-Borel trong không gian Euclide Rn,ta có : tính đóng và bò chặn của
một tập hợp tương đương với tính compact của tập hợp đó). Giá của một
hàm trong Rn là tập con đóng bé nhất trong Rn,mà bên ngoài nó, hàm bò
triệt tiêu.
Nếu F(X) khả vi vô hạn thì nó được gọi là thuộc lớp C∞.
II.CÁC KHÔNG GIAN HÀM THỬ:
1)Không gian DK :
Không gian các hàm C∞ trên Rn với giá compact K⊂Rn được kí hiệu
DK.

2)Không gian D:
Không gian lớp các hàm C∞ trên Rn với giá compact được kí hiệu
bởi D.
3)Không gian ϕ :
Cho f: R ỈR gọi là hàm giảm nhanh về 0 nếu ∀m∈N thì
lim D k f ( x ).x m = 0 ,∀k.
x →∞

Không gian các hàm C∞ giảm nhanh trên Rn được kí hiệu là ϕ.
III.SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ:
1)Không gian DK :
Cho { Fj} là dãy các hàm trong DK :Fj→F ∈ DK hay lim Fj = F
j→ ∞

Nghóa là : dãy {Fj-F} hội tụ đều về 0 trên tập compact K⊂ Rn.

1


CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG

Hơn nữa, dãy đạo hàm cấp bất kì của Fj cũng hội tụ đều trên K, tương
ứng với đạo hàm cấp đó của F,
(DmFj – DmF) → 0 ,với mỗi số cố đònh m ≥ 0.
2)Không gian D:
Sự hội tụ theo nghóa trong D được đònh nghóa như trong DK nhưng đặc
biệt tất cả các giá của các hàm số trong dãy {Fj } ở trong một số tập
compact cố đònh K⊂ Rn .
3)Không gian ϕ :
Cho {Fj} là dãy các hàm trong ϕ.Dãy này hội tụ về 0 khi và chỉ khi:

i)Fj và DmFj hội tụ đều về 0 trên mỗi tập hợp con compact K của Rn.
ii)Hằng số C(l,m) trong biểu thức⏐Xl Dm Fj⏐< C (l,m) độc lập đối với
j,∀j.
Dãy {Fj} được gọi là hội tụ về F∈ϕ nếu {Fj - F} hội tụ về 0.Ta có thể
viết : Fj → F hay lim Fj = F và ta gọi là sự hội tụ theo nghóa của ϕ.
j→ ∞

IV. PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH:
Một phiếm hàm tuyến tính T trên không gian tuyến tính L thoả mãn:
<T,αF1+βF2> = α<T,F1> + β<T,F2>
với F1,F2 bất kì ∈ L và 2 số phức α,β. Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính
trên không gian tuyến tính L hình thành nên một không gian tuyến tính gọi
là không gian đối ngẫu L’.
Xét dãy các hàm số {Fj} trong không gian tuyến tính L, một phiếm
hàm tuyến tính là liên tục nếu và chỉ nếu :
lim < T,Fj > = < T, lim Fj >
j→ ∞

j→ ∞

V.SỰ PHÂN BỐ:
1)Đònh nghóa 1:
Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian D được gọi là một
phân bố.
2)Đònh nghóa 2:
Không gian các phân bố được kí hiệu là D’.
3)Đònh nghóa 3:
Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian ϕ được gọi là phân
bố tempered.
4)Đònh nghóa 4:

Không gian của các phân bố tempered được kí hiệu là ϕ’.
2


CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG

LƯU Ý :
Đẳng thức, phép côïng, phép nhân vô hướng trên những không gian L’
được đònh nghóa như sau:
(i)T1∈L’ và T2∈L’,ta có: T1 = T2 ⇔ 〈T1,F〉 = 〈T2,F〉,∀F∈L
(ii)(T1+T2)∈L’,ta có: 〈T1+T2,F〉 = 〈T1,F〉 + 〈T2,F〉, ∀F∈L
(iii)αT∈L’,α∈C,ta có: 〈αT,F〉 = α*〈T,F〉, ∀F∈L
Dãy các hàm suy rộng {Tj}∈L’ được gọi là hội tụ về hàm suy rộng
T∈L’khi:

lim Tj , F = T, F , ∀F ∈ L

j→ ∞

Bây giờ ta xét dãy các hàm số sau :
⎧
⎪0, x < 0
⎪
1
⎪
∀ k ∈ N , S k ( x ) = ⎨ k ,0 ≤ x ≤
k
⎪
1
⎪

⎪⎩0, x > k
Rõ ràng, dãy {Sk} không có một giới hạn xác đònh rõ (k→∞) trong
phép tính giới hạn sơ cấp.Xét dạng tích phân sau :

Sk , F =

+∞

1
k

−∞

0

∫ Sk (x )F(x )dx = k. ∫ F(x )dx với F là hàm thuộc D.
j→ ∞

Cho mỗi dãy {Fj}⊂D sao cho : Fj → F ∈ D ,
ta có: lim S k , Fj = S k , F
j→∞

Vì vậy 〈Sk,F〉 ∀F∈D là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D.
Khi ta nói Sk là một phân bố thì phải hiểu là đã đồng nhất Sk với phiếm
hàm tuyến tính liên tục: F 6 Sk , F .Với T(x) khả tích trên mọi đoạn [a,b]
thì T là một phân bố xác đònh bởi : ∀F ∈ D : T, F =

+∞

∫ T(x )F(x )dx

−∞

Các phân bố được xác đònh như trong ví dụ 2 được gọi là phân bố chính
qui . Các phân bố không chính qui được gọi là phân bố kì dò.

3


CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG

Ta nhận thấy rằng dãy {Sk} không có giới hạn theo nghóa thông thường.
Nhưng 〈Sk,F〉 ,với F∈D, có một giới hạn.
Theo đònh lí giá trò trung bình:
1
1
S k , F = k. F(η k ) = F(η k ), 0 < η k < .
k
k
Vì vậy : lim S k , F = lim F(η k ) = F(0) .
k →∞

k →∞

Xét phân bố δ xác đònh bởi : δ, F = F(0 ) , ∀F∈D.
Và ta thường viết:

δ, F =

Lưu ý rằng cách viết :

+∞

+∞

∫ δ(x )F(x )dx = F(0)

−∞

∫ δ(x )F(x )dx

−∞

hoàn toàn mang tính hình thức mà thôi.Và ta xem như phân bố δ xác đònh
bởi : δ = lim S k theo nghóa giới hạn của phân bố.
k →∞

Đònh nghóa:Hàm Dirac δ được viết với x∈R1 ,được xác đònh như sau:
+∞

δ(x ) = 0, ∀x ≠ 0, ∫ δ(x )dx = 1
−∞

⎧
⎪0, x < a
⎪
1
⎪
Đặt : Sk (x − a ) = ⎨k , a ≤ x ≤ a +
k

⎪
1
⎪
⎪⎩0, x > a + k
a+

1
k

lim Sk , F = lim F(ηk ) = F(a ) ⇒

Như vậy:

1
k

1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
−
=
=
η

≤
η
≤
+
S
x
a
F
x
dx
k
.
F
x
dx
k
.
F
,
a
a
k
k
k
∫
∫
k
k
a
a

thì: Sk , F =

k →∞

a+

k →∞

+∞

+∞

∫ δ(x − a )F(x )dx = F(a )

−∞

∫ F(x )δ(x − a )dx = F(a )

−∞

***Hàm Dirac δ là hàm số chẵn, nghóa là δ(-x) = δ(x), ∀x∈R.

4


CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG

VI.ĐA THỨC HERMITE Hl(x) :
a) Hàm số tổng quát:

e

2 xt − t 2

∞ H (x )t l
l
=
l!
l=0

∑

b) Các giá trò đặc biệt:
H l (x ) = (− 1)l H l (− x )

H 2l (0 ) = (− 1)l
H 2l +1 (0 ) = 0

(2l)!
l!

c) Công thức truy hồi và đạo hàm:
H l +1 = 2 xH l − 2lH l −1

H 'l = 2lH l −1
H"l − 2 xH 'l + 2lH l = 0
d) Tính trực giao:
+∞

∫

H l (x )H m (x )e − x dx = π 2 l l!δ lm .
2

−∞

e) Công thức Rodrigues :
l x2 ⎛ d ⎞

H l (x ) = (− 1) e

l

−x
⎜ ⎟ e
⎝ dx ⎠

2

m

⎛ d ⎞ −x2
−x2
(
)
−
e
H
x

=
e
H m + n (x )
⎜
⎟
n
⎝ dx ⎠
f) Vài giá trò đầu tiên của công thức Rodrigues:
H0 = 1
H1 = 2 x

H 2 = 4x 2 − 2
H 3 = 8x 3 − 12 x
H 4 = 16 x 4 − 48x 2 + 12
H 5 = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x

g) Một số dạng khai triển:
x 0 = H0

1
x1 = H1
2
5


CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG

1
(2H0 + H 2 )
4

1
x 3 = (H 3 + 6H1 )
8
1
x 4 = (H 4 + 12H 2 + 12H 0 )
16
1
x 5 = (H 5 + 20H3 + 60H1 )
32
x2 =

VII.BIẾN ĐỔI FOURIER :
Cho hàm thử F∈ϕ
a)Biến đổi Fourier :
~

F(x ) =

+∞

∫e

− 2iπxt

F(t )dt

−∞

b)Biến đổi ngược của biến đổi Fourier :

F(t ) =

+∞

∫

~

e i 2πxt F(x )dx

−∞

VIII.CÔNG THỨC COURANT VÀ HILBERT :
Xét X,Y ∈ Rn ,ξ là vecto đơn vò, p là một vô hướng, và ΔX là toán tử
Laplacian.
1)n lẻ và n ≥ 3:

4(2π)

n −1

(− 1)

n −1
2 f

(X ) =

n +1
Δ X2

∫ dξ∫ dYf (Y ) ξ.(Y − X )

ξ =1

2)n chẵn và n ≥ 2:

(2π) (− 1)
n

n−2
2 f

(X ) =

n
Δ2X

∫ dξ∫ dYf (Y )ln ξ.(Y − X )

ξ =1

6


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

CHƯƠNG II:

GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON.

I.GIỚI THIỆU:
Trong chương này, phép biến đổi Radon của hàm f trên không gian
Euclide được đònh nghóa cho những hàm trên R2,R3, và ta làm việc trên
những lớp hàm tốt như lớp ϕ của những hàm giảm nhanh khả vi mọi cấp
C∞ hay lớp hàm D của những hàm khả vi mọi cấp C∞ và có giá compact.
II.BIẾN ĐỔI RADON TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE HAI
CHIỀU:
Cho (x,y) toạ độ của những điểm trong mặt phẳng , xét hàm f xác đònh
trên D ⊂ R2.Hàm f triệt tiêu bên ngoài miền D. Nếu L là một đường thẳng
bất kỳ trong mặt phẳng , thì phép biến đổi Radon của f được xác đònh bởi :
∨
f = ℜf = ∫ f (x, y )ds
(2.1)
L

trong đó ds là số gia của chiều dài dọc theo L.Miền D có thể là toàn bộ R2
hoặc một bộ phận của R2 như trong hình :

y

L

D
O

x

Hình 2.1
Phép biến đổi Radon xác đònh bởi (2.1) và phép biến đổi ngược của nó
đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Johann Radon (1917).Radon đã chỉ ra

rằng nếu f liên tục và có giá compact, thì ℜf được xác đònh duy nhất bởi
tích phân dọc theo mọi đường thẳng L.

7


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

y
y

I

M

P
ϕ

x

O

x
L

Hình 2.2
Xét phương trình của đường L được cho như sau:
p = x.cosφ + y.sinφ
Thật vậy, p = d(O,(L))=OM
→

L có pháp vectơ n = (cos φ, sin φ)
Cho I(x,y).
Toạ độ M là : M(p.cosφ,p.sinφ)
→
⇒ IM = (p. cos φ − x , p.sin φ − y )
→ →
Ta có: IM ⊥ n

(2.2)

→ →

⇔ IM . n = 0
⇔ p = x. cos φ + y.sin φ
Tích phân đường (2.1) phụ thuộc vào giá trò của p,φ . Điều này được xác
đònh bởi biểu thức sau:
∨
f (p, φ ) = ℜf = ∫ f (x , y )ds
(2.3)
L

∨
∨
Nếu f (p, φ) xác đònh với mọi p và φ , thì f (p, φ) là PHÉP BIẾN ĐỔI
RADON HAI CHIỀU của f(x,y) .
∨
Khi f chỉ được xác đònh với một số giá trò φ , ta nói ta có MỘT MẪU
của phép biến đổi Radon.

Bây giờ giả sử một hệ trục toạ độï mới được giới thiệu với trục quay góc

φ . Nếu hệ trục mới được ký hiệu bởi p và s như hình sau:
8


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

y

S

I
N

P
M

x

φ

O

Hình 2.3
⎛ x ⎞ ⎛ cos φ − sin φ ⎞ ⎛ p ⎞
⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟
Ta có: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
y
sin
cos
φ

φ
⎠⎝s⎠
⎝ ⎠ ⎝
⎧ x = p. cos φ − s.sin φ
là công thức đổi trục toạ độ.
⎨
⎩ y = p.sin φ + s. cos φ
Vậy:

+∞

∫ f (p. cos φ − s. sin φ, p. sin φ + s. cos φ)ds

(2.4)

−∞

Hiển nhiên, giới hạn có thể hữu hạn nếu f triệt tiêu bên ngoài miền D.
Cho X=(x,y) là vectơ với thành phần x và y, thì : f(X)=f(x,y).
Ngoài ra , ta có các vectơ đơn vò sau :
ξ = (cosφ, sinφ) và ξ⊥ = (-sinφ, cosφ)
Như vậy , sẽ tồn tại tham số vô hướng t sao cho :
X = p.ξ + t.ξ⊥
y
(x, y)
ξ
ξ

P

x

φ

O

L
Hình 2.4
9


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

Theo biến số mới thì (2.4) có dạng :
+∞
∨
f (p, ξ ) = ∫ f ⎛⎜ p.ξ + t.ξ ⊥ ⎞⎟dt
⎝
⎠

(2.5)

−∞

Ta có thêm một dạng biểu diễn nữa. Đầu tiên , xét phương trình (2.2)
có thể được viết như sau : p = ξ.X = x.cosφ + y.sinφ
Phép biến đổi có thể được viết dưới dạng tích phân trên R2 bởi hàm
delta Dirac , chọn đường p = ξ.X trong R2 .
∨

Ta sẽ chứng minh : f (p, ξ) =

∫∫ f (X).δ(p − ξ.X)dxdy

R2

Thực hiện phép đổi biến số :
⎛ u ⎞ ⎛ cos φ sin φ ⎞ ⎛ x ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟
⎝ v ⎠ ⎝ − sin φ cos φ ⎠ ⎝ y ⎠
⎧ u = x. cos φ + y.sin φ
⇔⎨
⎩ v = − x.sin φ + y. cos φ
⎧ x = u. cos φ − v.sin φ
⇔⎨
⎩ y = u.sin φ + v. cos φ

∫∫ f (X )δ(p − ξ.X )dxdy

Ta có :

R2

=

∫∫ f (x, y )δ(p − ξ.X )dxdy

R2

=

∫∫ f (u.cos φ − v.sin φ, u.sin φ + v.cos φ).δ(p − u )dudv

R2

=

∫∫ f (u.cos φ − v.sin φ, u.sin φ + v.cos φ).δ(u − p )dudv

R2

=

∫ f (p.cos φ − v.sin φ, p.sin φ + v.cos φ)dv

∨
= f ( p, φ )
∨
= f ( p, ξ )

∨

f (p, ξ ) =

Vậy:

∫∫ f (X).δ(p − ξ.X)dxdy
R

(2.6)

2

Để đơn giản hơn ta có thể viết:
∨

f (p, ξ ) = ∫ f (X ).δ(p − ξ.X )dX

(2.7)
10


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

III.BIẾN ĐỔI RADON TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE BA CHIỀU:
Cho (x,y,z) là toạ độ những điểm trong không gian R3 . Xét hàm f xác
đònh trên D ⊂ R3 và triệt tiêu bên ngoài miền D. Nếu (P) là một mặt phẳng
bất kỳ trong không gian, thì phép biến đổi Radon của f được xác đònh bởi :
∨

f = ℜf =

∫ f (x, y , z )ds

(2.8)

(P )
3

Miền D có thể là toàn bộ R hoặc một bộ phận của R3 .
Ta xét p = d(O,(P))=OM
→

(P) có pháp vectơ n = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ξ với ξ = 1

Cho I(x,y,z),tọa độ điểm M là : M(p.ξ1 , p.ξ 2 , p.ξ3 )
z

I

ξ

O

x

p

M

y

Hình 3.1

→

IM = (p.ξ1 − x , p.ξ 2 − y, p.ξ3 − z )
→

→

Ta có : IM ⊥ n
→ →

⇔ IM . n = 0
⇔ p = x.ξ1 + y.ξ 2 + z.ξ 3

(2.9)

Tích phân mặt (2.8) phụ thuộc vào giá trò của p,ξ . Điều này được xác
đònh bởi biểu thức sau :
∨

f (p, ξ ) = ℜf =

∫ f (x, y, z )ds

(P )

(2.10)

11


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON
∨

∨

Nếu f (p, ξ ) xác đònh với mọi p,ξ , thì f (p, ξ ) là PHÉP BIẾN ĐỔI
RADON BA CHIỀU của f(x,y,z) (với ⏐ξ⏐=1).
Giả sử ta có một hệ trục tọa độ mới với một trục Ox vuông góc với (P).
Ta ký hiệu hệ trục mới là Opvw.
⎛
⎛ x ⎞ ⎜ ξ1
⎜ ⎟ ⎜
Ta có : ⎜ y ⎟ = ⎜ ξ 2
⎜z⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎜ ξ3
⎝

Với : q = ξ12 + ξ 32

− ξ1ξ 2
q
q
− ξ 2 ξ3
q

− ξ3 ⎞
⎟
q ⎟ ⎛⎜ p ⎞⎟
0 ⎟.⎜ v ⎟
ξ1 ⎟ ⎜ w ⎟
⎟⎝ ⎠
q ⎠

2

, ξ = ξ12 + ξ 22 + ξ 32 = 1

Vậy :
∨

+∞ +∞

⎛
ξ3
ξ 2ξ 3
ξ 1ξ 2
ξ1 ⎞
⎜
f
p
v
w
,
p
qv
,
p
v
w ⎟⎟dvdw
ξ
−
−
ξ
+
ξ

−
+
2
3
∫ ∫ ⎜⎝ 1
q
q
q
q
⎠
−∞ −∞
(2.11)
Giới hạn có thể hữu hạn nếu f triệt tiêu bên ngoài miền D.
Cho X = (x,y,z) là vectơ với thành phần x,y,z thì : f(X) = f(x,y,z)

f (p, ξ ) =

Ngoài ra, ta có các vectơ đơn vò sau với q = ξ12 + ξ32 , ξ = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )
⎛ ξξ
ξ ξ ⎞
ξ v = ⎜⎜ − 1 2 , q,− 2 3 ⎟⎟
q
q ⎠
⎝
⎛ ξ
ξ ⎞
ξ w = ⎜⎜ − 3 ,0, 1 ⎟⎟
q⎠
⎝ q
Các vectơ ξ, ξ v , ξ w đôi một vuông góc.

Như vậy sẽ tồn tại tham số vô hướng v,w sao cho :
X = p.ξ + v.ξ v + w.ξ w

Theo biến số mới thì (2.11) có dạng :
∨

f (p, ξ ) =

+∞ +∞

∫ ∫ f (p.ξ + v.ξ v + w.ξ w )dvdw

(2.12)

−∞ −∞

Phương trình (2.9) có thể được viết như sau :
p = ξ.X = x.ξ1 + y.ξ 2 + z.ξ 3

12


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

Phép biến đổi radon có thể được viết dưới dạng tích phân trên R3 bởi
hàm delta Dirac.
∨

Ta sẽ chứng minh : f (p, ξ) = ∫∫∫ f (X).δ(p − ξ.X)dxdydz
R3

Thực hiện phép đổi biến số :

⎛
⎜
⎛ u ⎞ ⎜ ξ1
⎜ ⎟ ⎜ ξ1ξ 2
⎜ v ⎟ = ⎜−
q
⎜w⎟ ⎜
⎝ ⎠
⎜ − ξ3
⎜
q
⎝

ξ2
q
0

⎞
⎟
ξ3 ⎟ ⎛ x ⎞
ξ ξ ⎟⎜ ⎟
− 2 3 ⎟.⎜ y ⎟
q
⎟⎜ ⎟
ξ1 ⎟ ⎝ z ⎠
⎟
q

⎠

⎧
⎪ u = x.ξ + y.ξ + z.ξ
1
2
3
⎪
⎪
ξ ξ
ξξ
⇔ ⎨ v = − 1 2 .x + q.y − 2 3 .z
q
q
⎪
⎪
ξ3
ξ1
⎪w = − x + z
q
q
⎩

ξ3
ξ1ξ 2
⎧
⎪ x = ξ1u − q v − q w
⎪⎪
⇔ ⎨ y = ξ 2 u + qv
⎪

ξ ξ
ξ
⎪ z = ξ3u − 2 3 v + 1 w
⎪⎩
q
q
Ta có :
∫∫∫ f (X )δ(p − ξ.X )dxdydz
R3

= ∫∫∫ f (x , y, z )δ(p − ξ.X )dxdydz
R3

ξ
ξ ξ
⎛
ξξ
ξ ⎞
= ∫∫∫ f ⎜⎜ ξ1u − 1 2 v − 3 w , ξ 2 u + qv, ξ3u − 2 3 v + 1 w ⎟⎟.δ(p − u )dudvdw
q
q
q
q ⎠
3 ⎝
R

=

∨
ξ3

ξ 2 ξ3
⎛
ξ1ξ 2
ξ1 ⎞
⎜
⎟
f
ξ
p
v
w
,
ξ
p
qv
,
ξ
p
v
w
dvdw
=
f
−
−
+
−
+
( p, ξ )
2

3
∫∫ ⎜⎝ 1
⎟
q
q
q
q
⎠
2

R

13


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

Vậy :

∨

f (p, ξ ) = ∫∫∫ f (X )δ(p − ξ.X )dxdydz

(2.13)

R3

Để đơn giản,ta thay

∫∫∫

bằng

R3

∫

ta có :

∨

f (p, ξ ) = ∫ f (X )δ(p − ξ.X )dX

(2.14)

IV.VÀI VÍ DỤ :
1.Ví dụ 1 :

Cho f (x , y ) = e − x
∨

f = ℜf =

+∞ +∞

∫ ∫

2

− y2

2
2
e − x − y δ(p − ξ1x − ξ 2 y )dxdy

−∞ −∞

với ξ = (ξ1 , ξ 2 ), ξ = ξ12 + ξ 22 = 1
2

Bằng phép biến đổi tuyến tính trực giao, ta có :
⎛ u ⎞ ⎛⎜ ξ1 ξ2 ⎞⎟ ⎛ x ⎞
.⎜ ⎟
⎜ ⎟=⎜
⎝ v ⎠ ⎝ −ξ2 ξ1 ⎟⎠ ⎝ y ⎠

⎧u = ξ1x + ξ 2 y
⇒⎨
⎩ v = − ξ 2 x + ξ1y
ξ2 ⎞
⎛ ξ
⎟⎟ =1 , x2+y2 = u2+v2
với det ⎜⎜ 1
⎝ − ξ 2 ξ1 ⎠
∨
+∞ +∞
2
2
Như vậy: f p, ξ = ∫ ∫ e − u − v .δ(p − u )dudv

( )

=

−∞ −∞
+∞
−p2 − v2

∫

e

−∞

=e

−p2

+∞

∫

dv

2

e − v dv

−∞
2

= π.e − p
Vì vậy, ta có kết quả quan trọng:

ℜ ⎧⎨e − x
⎩

2

−y2

⎫ = π .e − p 2
⎬
⎭

(2.15)

14


CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

2.Ví dụ 2 :
Kết quả ở ví dụ 1 có thể được mở rộng theo giá trò của n. Nếu n=3, ta
2

2

2

có : f ( x, y) = e − x − y − x
Thực hiện đổi biến số :
⎛
⎜
u
⎛ ⎞ ⎜ ξ1
⎜ ⎟ ⎜ − ξ1ξ 2
⎜ v⎟=⎜
⎜w⎟ ⎜ q
⎝ ⎠ ⎜ − ξ3
⎜ q
⎝

ξ2
q
0

⎞
⎟
ξ3 ⎟ ⎛ x ⎞
− ξ 2ξ3 ⎟ ⎜ ⎟
.⎜ y ⎟
q ⎟⎟ ⎜ ⎟
ξ1 ⎟ ⎝ z ⎠
q ⎟⎠

với q = ξ12 + ξ 32
⎛
⎜
⎜ ξ1

⎜−ξ ξ
det ⎜ 1 2
⎜ q
⎜ − ξ3
⎜ q
⎝

ξ2
q
0

⎞
⎟
ξ3 ⎟
− ξ 2ξ3 ⎟
=1 ,
q ⎟⎟
ξ1 ⎟
q ⎟⎠

2

ξ = ξ12 + ξ 22 + ξ 32 = 1

⎧
⎪u = ξ x + ξ y + ξ z
1
2
3
⎪

⎪
ξξ
ξ ξ
⇒ ⎨ v = − 1 2 x + qy − 2 3 z
q
q
⎪
⎪
ξ3
ξ1
⎪w = − x + z
q
q
⎩
⎧u 2 = ξ 2 x 2 + ξ 2 y 2 + ξ 2 z 2 + 2ξ ξ xy + 2ξ ξ yz + 2ξ ξ zx
1
2
3
1 2
2 3
3 1
⎪
⎪ 2
ξ 22 ξ32 2
ξ12 ξ 22 2
2
2 2
x + ξ1 + ξ3 y +
z − 2ξ1ξ 2 xy
⎪v = 2

ξ1 + ξ32
ξ12 + ξ32
⎪
⎪
⇒⎨
2ξ1ξ 22 ξ3
zx
⎪− 2ξ 2 ξ3 yz + 2
2
+
ξ
ξ
⎪
1
3
⎪
2
2
⎪ w 2 = ξ3 x 2 + ξ1 z 2 − 2ξ1ξ 3 xz
⎪
ξ12 + ξ32
ξ12 + ξ32
ξ12 + ξ32
⎩

(

)

15

CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

⇒ u 2 + v2 + w 2 = x 2 + y2 + z2
∨

f = ℜf =

+∞ +∞ +∞

∫ ∫ ∫

2
2
2
e − x − y − z δ(p − ξ1x − ξ 2 y − ξ 3z )dxdydz

−∞ −∞ −∞
∨

f (p, ξ ) =

+∞ +∞ +∞

∫ ∫ ∫

2
2
2

e − u − v − w δ(p − u )dudvdw

−∞ −∞ −∞

=

+∞ +∞

∫ ∫

2
2
2
e − p − v − w dvdw

−∞ −∞
+∞ +∞
−p2
− v2 − w 2

=e
=e

∫ ∫

e

∫

e

−∞ −∞
+∞
−p2
−w2

π

dvdw

dw

−∞

= e− p

2

= π.e − p
Vậy:

{

π π
2

ℜ e− x

2

−y 2 −z2

}= π.e

−p 2

(2.16)

16


CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

CHƯƠNG III:

BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN.
Chúng ta sẽ xem xét vài tính chất cơ bản của biến đổi Radon của hàm
số f,đã được đònh nghóa:
∨

f (p, ξ ) = ℜf = ∫ f (X ).δ(p − ξ.X )dX

I.TÍNH THUẦN NHẤT:
∨

f (sp, sξ ) = s

−1

∨

f (p, ξ ) , ∀s ∈ R , s ≠ 0

(3.1)

Chứng minh:
1)Trên không gian Euclide hai chiều:
Theo chứng minh (2.6)trên, ta có:
∨

f (sp, sξ ) =

∫∫ f (X ).δ(sp − sξ.X )dxdy

R2

=

∫∫ f (x, y ).δ(sp − sξ.X )dxdy

R2

=

∫∫ f (u cos φ − v sin φ, u sin φ + v cos φ).δ(sp − su )dudv

R2

=

∫∫ f (u cos φ − v sin φ, u sin φ + v cos φ).δ(su − sp )dudv

R2

a)s > 0:
Đặt u’=s.u ⇒ du’=s.du
Ta có:
∨
u'
1
⎛ u'
⎞
f (sp, sξ ) = ∫∫ f ⎜ cos φ − v sin φ, sin φ + v cos φ ⎟.δ(u '−sp ) du ' dv
s
s
⎠
2 ⎝ s
R

u'
⎛ u'
⎞
= s −1 ∫∫ f ⎜ cos φ − v sin φ, sin φ + v cos φ ⎟.δ(u '−sp )du ' dv
s
⎠
2 ⎝ s
R

= s −1 ∫ f (p cos φ − v sin φ, p sin φ + v cos φ)dv
∨

= s −1. f (p, ξ )

(3.2)

b)s < 0:
Đặt s’= -s , đặt u’= -s.u=s’.u ⇒ du’=-s.du=s’du
17


CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Ta có:
∨

f (sp, sξ ) =

∫∫ f (u cos φ − v sin φ, u sin φ + v cos φ).δ(− s' u + s' p )dudv

R2

=

∫∫ f (u cos φ − v sin φ, u sin φ + v cos φ).δ(s' u − s' p )dudv

R2

=

⎛ u'

⎞

u'

1

∫∫ f ⎜⎝ s' cos φ − v sin φ, s' sin φ + v cos φ ⎟⎠.δ(u '−s' p ) s' du ' dv

R2

u'
⎛ u'
⎞
= (s')−1 ∫∫ f ⎜ cos φ − v sin φ, sin φ + v cos φ ⎟.δ(u '−s' p )du ' dv
s'
⎠
2 ⎝ s'
R

= (s')−1 ∫ f (p cos φ − v sin φ, p sin φ + v cos φ)dv
∨

= (− s )−1. f (p, ξ ).
Từ (3.2) và (3.3),ta có:
∨

f (sp, sξ ) = s

(3.3)

−1

∨

. f (p, ξ )

2)Trên không gian Euclide ba chiều:
Theo chứng minh (2.13) ta có:
∨

f (sp, sξ ) = ∫∫∫ f (X ).δ(sp − sξ.X )dxdydz
R3

= ∫∫∫ f (x, y, z ).δ(sp − sξ.X )dxdydz
R3

ξ
ξ ξ
⎛
ξξ
ξ ⎞
= ∫∫∫ f ⎜⎜ ξ1u − 1 2 v − 3 w , ξ 2 u + qv, ξ3u − 2 3 v + 1 w ⎟⎟.δ(sp − su )dudvdw
q
q
q
q ⎠
3 ⎝
R

a)s>0:

Đặt u’=s.u ⇒ du’=s.du
∨

Ta có: f (sp, sξ )

ξ
ξ
ξ ξ
⎛ξ
ξξ
ξ
ξ ⎞
= ∫∫∫ f ⎜⎜ 1 u '− 1 2 v − 3 w , 2 u '+ qv, 3 u '− 2 3 v + 1 w ⎟⎟ .
q
q
s
s
q
q ⎠
3 ⎝ s
R

18


CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

1
. δ(sp − u ') du ' dvdw .
s

ξ
ξ
ξ ξ
⎛ξ
ξξ
ξ
ξ ⎞
= ∫∫∫ f ⎜⎜ 1 u '− 1 2 v − 3 w , 2 u '+ qv, 3 u '− 2 3 v + 1 w ⎟⎟ .
q
q
s
s
q
q ⎠
3 ⎝ s
R

1
s

. δ(u '− sp ) du ' dvdw .

ξ
ξ ξ
⎛
ξξ
ξ ⎞
= s −1 ∫∫ f ⎜⎜ ξ1p − 1 2 v − 3 w , ξ 2 p + qv, ξ3p − 2 3 v + 1 w ⎟⎟.dvdw
q
q

q
q ⎠
2 ⎝
R

∨

= s . f ( p, ξ ) .
−1

(3.4)

b)s<0:
Đặt s’= -s, đặt u’= -s.u=s’.u ⇒ du’=-s.du=s’du
Ta có:
∨

f (sp, sξ )
ξ
ξ
ξ ξ
⎛ξ
ξξ
ξ
ξ ⎞
= ∫∫∫ f ⎜⎜ 1 u '− 1 2 v − 3 w , 2 u '+ qv, 3 u '− 2 3 v + 1 w ⎟⎟.
q
q
s'
s'

q
q ⎠
3 ⎝ s'
R

1
. δ(u '+ sp ) du ' dvdw
s'
ξ
ξ
ξ ξ
⎛ξ
ξξ
ξ
ξ ⎞
= ∫∫∫ f ⎜⎜ 1 u '− 1 2 v − 3 w , 2 u '+ qv, 3 u '− 2 3 v + 1 w ⎟⎟ .
q
q
s'
s'
q
q ⎠
3 ⎝ s'
R

1
. δ(u '− s' p ) du ' dvdw
s'
ξ
ξ ξ

⎛
ξξ
ξ ⎞
= (s' ) −1 ∫∫ f ⎜⎜ ξ1p − 1 2 v − 3 w , ξ 2 p + qv, ξ3p − 2 3 v + 1 w ⎟⎟.dvdw
q
q
q
q ⎠
2 ⎝
R

∨

= ( − s ) − 1 . f ( p, ξ )
Từ (3.4) và (3.5), vậy:

(3.5)
∨

−1

∨

f (sp, sξ ) = s . f (p, ξ ) .

Nếu s= -1, ta có tính chất đối xứng:
∨

∨

f (− p,−ξ ) = f (p, ξ )

(3.6)

19


CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

MỘT SỐ VÍ DỤ :
i)Ví dụ 1:
Cho ζ=s.ξ , ⏐ζ⏐=s > 0, ta có:
∨
∨
∨
⎞
⎛ p
−1 ⎛ p ⎞
f (p, ζ ) = f ⎜ s. , s.ξ ⎟ = s . f ⎜ , ξ ⎟
⎠
⎝s ⎠
⎝ s
∨
∨
−1 ⎛ p ζ ⎞
f (p, ζ ) = ζ . f ⎜⎜ , ⎟⎟
⎝ζ ζ⎠
ii)Ví dụ 2 :
Theo ví dụ 1 (IV) của chương II :
∨

∨

f (p, ξ ) = π.e − p ⇒ f (p, ζ ) =
2

π
.e
ζ

(3.7)

p2
− 2
ζ

iii)Ví dụ 3 :
Theo ví dụ 2 (IV) của chương II :
∨

∨

f (p, ξ ) = π.e − p ⇒ f (p, ζ ) =
2

π
.e
ζ

p2

− 2
ζ

II.TÍNH TUYẾN TÍNH:
Cho hai hàm số f và g, hai hằng số c1, c2 , ta có:

ℜ{c1f + c 2 g} = c1ℜf + c 2ℜg

(3.8)

Chứng minh:
ℜ{c1f + c2g} = ∫ (c1f + c 2g )(X ).δ(p − ξ.X )dX

= ∫ [c1.f (X ) + c 2 .g(X )].δ(p − ξ.X )dX

= ∫ c1.f (X ).δ(p − ξ.X )dX + ∫ c 2 .g(X ).δ(p − ξ.X )dX

= c1.∫ f (X ).δ(p − ξ.X )dX + c 2 .∫ g(X ).δ(p − ξ.X )dX
= c1.ℜf + c 2 .ℜg

Vậy:Biến đổi Radon là một biến đổi tuyến tính.
III.BIẾN ĐỔI RADON CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH:
Bây giờ, bằng cách đổi biến lấy tích phân, ta có được một biến đổi
Radon một hàm của phép biến đổi tuyến tính toạ độ.
Xét trong Rn với n=2 hay n=3 .

20


CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

n

ξ.X = ∑ ξi .x i , ξ = (ξ1 , ξ 2 ,...ξ n )
i =1

⎛ x1 ⎞ n
⎜ ⎟
ξ T X = (ξ1 , ξ 2 ,...ξ n )⎜ # ⎟ = ∑ ξ i .x i
⎜ x ⎟ i =1
⎝ n⎠
với ξ T là ma trận chuyển vò của ma trận ξ
⇒ ξ.X=ξTX
n

Ta kí hiệu ξ, X = ∑ ξi X i
i =1

Cho A là ma trận không suy biến với những phần tử thực như Y=AX
với X,Y ∈Rn . Ta có thể viết 〈ξ,Y〉 = 〈ξ,AX〉 = 〈ATξ,X〉
hay

( )T

ξ T Y = ξ T AX = A T ξ X

ξ.Y = ξ.AX = A T ξ.X
hay
Xét ℜ{f (AX )}, ta có :
⎛ y1 ⎞ ⎛ A11 ... A1n ⎞⎛ x1 ⎞

⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
# ⎟⎜ # ⎟
...
⎜ # ⎟=⎜ #
⎜y ⎟ ⎜A
⎟⎜ ⎟
⎝ n ⎠ ⎝ n1 ... A nn ⎠⎝ x n ⎠
n

y k = ∑ A ki x i

(3.9)

với k = 1,2,...n

i =1

**Ví dụ :
− x12 − x 22

Giả sử X∈Rn và f(X)= f (x1 , x 2 ) = e
f (AX ) = f (A11x1 + A12 x 2 , A 21x1 + A 22 x 2 )
2
2
= e − (A11x1 + A12 x 2 ) − (A 21x1 + A 22 x 2 )

thì :

Đặt B = A-1, ta có : X = A-1Y = BY

ℜ{f (AX )} = ∫ f (AX ).δ(p − ξ.X )dX

= ∫ f (Y ).δ(p − ξ.BY )d(BY )

(

)

= det B .∫ f (Y ).δ p − BT ξ.Y dY

)
∨
Vậy : ℜ{f (AX )} = det B . f (p, B T ξ ).
∨

(

= det B . f p, BT ξ

(3.10)

B = A-1 ⇒ AB = AA-1 = I
21