Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Như Hằng

HÀM KHẢ VI, LIÊN TỤC PHI ACSIMET

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình,
trách nhiệm của PGS.TS.Mỵ Vinh Quang. Tác giả xin bày tỏ
lòng kính trọng và biết ơn của mình đến PGS.TS.Mỵ Vinh
Quang.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo giảng
dạy lớp cao học khóa 18 trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, BGH
trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phòng Khoa học Công nghệSau Đại học trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả
trong quá trình học và nghiên cứu luận văn này.
Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ,
khích lệ của gia đình tác giả. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

vô hạn của mình đến gia đình tác giả.

Tác giả


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................................. 3
KÍ HIỆU ...................................................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 5
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................................................................. 6
1.1 Các khái niệm cơ bản ........................................................................................................ 6
1.1.1 Định nghĩa (Chuẩn trên trường) ................................................................................ 6
1.1.2 Ví dụ .......................................................................................................................... 6
1.1.3 Ví dụ .......................................................................................................................... 6
1.1.4 Mệnh đề ..................................................................................................................... 7
1.1.5 Định nghĩa (Đặc số của trường K) ............................................................................ 7
1.1.6 Mệnh đề (Nguyên lý tam giác cân) ........................................................................... 7
1.1.7 Mệnh đề ..................................................................................................................... 7
1.1.8 Mệnh đề ..................................................................................................................... 7
1.1.9 Mệnh đề ..................................................................................................................... 8
1.1.10 Mệnh đề ................................................................................................................... 8
1.1.11 Mệnh đề .................................................................................................................. 8
1.1.12 Định nghĩa (dãy cauchy) ........................................................................................ 8
1.1.13 Định nghĩa (hội tụ) ................................................................................................. 8
1.1.14 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ từng điểm) .................................................................. 8
1.1.15 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ đều) ............................................................................ 8
1.1.16 Định nghĩa (hàm liên tục) ...................................................................................... 9
1.1.17 Định nghĩa (hàm liên tục đều) ............................................................................... 9
1.1.18 Định nghĩa (hàm khả vi) ......................................................................................... 9

1.1.19 Định nghĩa............................................................................................................... 9
1.1.20 Mệnh đề (tích các không gian Banach) ................................................................. 10
1.2 Trường các số p-adic....................................................................................................... 10
Chương 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 2 ...................................................... 15
2.1 Hàm khả vi liên tục ......................................................................................................... 15
2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm C1) ................................................................................ 17
2.3 Một số kết quả về hàm C1 ............................................................................................... 19
2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai ............................................................................................ 25
Chương 3: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC n ......................................................................... 36
3.1 Hàm khả vi liên tục bậc n ............................................................................................... 36
3.2 Một số tính chất của hàm khả vi liên tục bậc n............................................................... 37
KẾT LUẬN............................................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 58
DANH MỤC TỪ KHOÁ .......................................................................................................... 59
T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

P

T
0

P

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

P

T

0
P

T
0

T
0


KÍ HIỆU

Ν ={0,1, 2...}
Ν * ={1, 2,3...}

{0, ±1, ±2,...}

Ζ=

Q: trường các số hữu tỉ
Q p :trường các số p-adic
R

RP

P

Zp= { x∈ Qp, x ≤ 1
R

R

R

} là vành các số nguyên p-adic

R

K là trường giá trị phi Acsimet đầy đủ, chứa Q p như trường con
R

R

X là tập con khác rỗng của K và không chứa điểm cô lập
=
∆n X
=
∇n X

{( x, x,..., x), x ∈ X }

{( x , x ,..., x ), x ∈ X , x
1

2

n

i

i

≠ x j ∀i ≠ j}

C n ( X → K ) : tập các hàm khả vi liên tục bậc n từ X vào K
BC n ( X → K ) : tập các hàm khả vi liên tục bị chặn bậc n từ X vào K
Φ n f : sai phân bậc n của f


MỞ ĐẦU

Các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỉ nay nhưng giải tích p-adic chỉ
mới phát triển mạnh mẽ và trở thành chuyên ngành độc lập trong lý thuyết số khoảng
40 năm. Trong giải tích thực và phức, các hàm khả vi liên tục đóng vai trò quan trọng,
do đó một cách tự nhiên đặt ra cho ta vấn đề nghiên cứu các hàm khả, vi liên tục trong
giải tích phi Acsimet.
Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về các hàm khả vi, liên tục phi
Acsimet.
Trong luận văn này chúng tôi giới thiệu khá đầy đủ cách xây dựng định
nghĩa các hàm khả vi liên tục bậc 1, 2, khái quát lên cho trường hợp bậc n và những
tính chất của nó. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ cụ thể cho từng
trường hợp. Luận văn gồm những phần như sau:
Chương I: Trình bày các kiến thức cơ bản về các số p-adic và giải tích pU

U

adic.
Chương II: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc 1 và bậc 2
U

U

Xây dựng và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm khả vi liên tục phi
Acsimet bậc 1 và bậc 2 và cho một số ví dụ cụ thể.
Chương III: Hàm khả vi, liên tục phi Acsimet bậc n
U

U

Xây dựng và nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm khả vi liên tục phi
Acsimet bậc n và cho ví dụ minh hoạ.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên có
thể vẫn còn thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và quý độc giả góp ý để luận văn
được hoàn thiện hơn.


Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa (Chuẩn trên trường)
Cho K là một trường, chuẩn trên K là ánh xạ

: K → R thỏa:

i) ∀x ∈ K , x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = 0
ii) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ K (bất đẳng thức tam giác)
iii) xy = x y ∀x, y ∈ K
Cặp (K,

) gọi là trường giá trị

Trong định nghĩa trên, nếu ta thay ii) bởi ii’) như sau:
x + y ≤ max { x , y

} ∀x, y ∈ K thì khi đó (K,

) gọi là trường giá trị phi

Acsimet và ( ii’) gọi là bất đẳng thức tam giác mạnh)
Mêtric cảm sinh bởi chuẩn phi Acsimet gọi là siêu mêtric. Trong luận văn
này,(nếu không nói gì thêm) ta chỉ nghiên cứu các trường giá trị K là phi Acsimet.

1.1.2 Ví dụ
Mọi trường K cùng với chuẩn tầm thường là trường giá trị phi Acsimet.

1.1.3 Ví dụ
Ta xét trường số hữu tỉ Q với chuẩn

p

:Q → R được xây dựng như sau:

p là số nguyên tố, với mỗi n ∈ Z, ta định nghĩa ord p n là số tự nhiên i sao cho
R

R

pi chia hết n và pi+1 không chia hết n.
P

P

P

P

a
b

x ∈ Q, x= , a,b ∈ Z, ta định nghĩa ord p x= ord p a- ord p b
Khi đó

p

được định nghĩa:

R

R

R

R

R

R


0, x=0

x p =  -ordp x
, x≠0
p

Trường Q cùng với chuẩn

p

là trường giá trị phi Acsimet.

1.1.4 Mệnh đề
i) − x =x
ii)

1 1
=
x
x

iii) 1K = 1, 1K là phần tử đơn vị của trường K

1.1.5 Định nghĩa (Đặc số của trường K)
Trường K gọi là trường có đặc số 0 nếu n ∈ N sao cho n 1K =0 thì n=0.
Kí hiệu: char(K)=0
Trường K gọi là trường có đặc số p nếu p là số tự nhiên nhỏ nhất (khác 0)
sao cho p 1K =0 (ta chứng minh được p là số nguyên tố).
Kí hiệu: char(K)=p

1.1.6 Mệnh đề (Nguyên lý tam giác cân)
∀x, y ∈ K mà x ≠ y thì x+y =

max { x , y }

1.1.7 Mệnh đề
B − (a, r ) = { x ∈ K , x − a < r} và B (a, r ) = { x ∈ K , x − a ≤ r} là các quả cầu tâm

a, bán kính r, vừa là tập đóng vừa là tập mở.
Mọi điểm thuộc quả cầu đều là tâm của quả cầu đó.

1.1.8 Mệnh đề
Hai quả cầu bất kì thì chứa nhau hoặc rời nhau.


1.1.9 Mệnh đề
Nếu K là trường hữu hạn thì có duy nhất một chuẩn trên nó đó là chuẩn tầm
thường.

1.1.10 Mệnh đề
Hai chuẩn trên trường K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh ra
cùng một tôpô.

1.1.11 Mệnh đề
Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn trị tuyệt đối
thông thường hoặc tương đương với chuẩn p-adic.

1.1.12 Định nghĩa (dãy cauchy)
0
Dãy { xn } ⊂ K là dãy Cauchy nếu lim xn +1 − xn =

1.1.13 Định nghĩa (hội tụ)
X ⊂ K , f : X → K , a là điểm tụ của X, b ∈ K

lim f ( x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ >0: 0< x-a < δ thì f ( x) − b < ε
x→a

1.1.14 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ từng điểm)
Dãy hàm f1 , f 2 ,...: X → K hội tụ từng điểm về f , kí hiệu lim f n = f nếu
lim f n (=
x) f ( x) ∀x ∈ X

1.1.15 Định nghĩa (dãy hàm hội tụ đều)
Dãy hàm f1 , f 2 ,...: X → K hội tụ đều về f , kí hiệu lim f n = f đều nếu
∀ε > 0, ∃m ∈ N : ∀n > m và ∀x ∈ X ta có f ( x) − f n ( x) < ε


1.1.16 Định nghĩa (hàm liên tục)
X ⊂ K , f : X → K , f liên tục tại a ∈ X nếu thỏa mãn một trong các điều kiện

sau:

i)

Với mỗi lân cận U của f (a) thì f -1(U) là tập mở
P

P

ii)

∀ε > 0 ∃ δ >0: 0< x-a < δ thì f ( x) − f (a) < ε

iii)

Nếu a 1 , a 2 ,…
=
thì lim f (an ) f (a )
∈ X, lim an a=

iv)

a là điểm cô lập của X

v)

lim f ( x) = f (a )

R

R

R

R

x→a

1.1.17 Định nghĩa (hàm liên tục đều)
X ⊂ K , f : X → K , f liên tục đều trên X nếu

∀ε > 0 ∃δ >0: ∀x,y ∈ X mà x-y < δ ⇒ f ( x) − f ( y ) < ε

1.1.18 Định nghĩa (hàm khả vi)
X ⊂ K , f : X → K , f khả vi tại a ∈ X nếu đạo hàm của f tồn tại và

f ' (a ) := lim
x→a

f ( x) − f (a)
x−a

f khả vi trên X nếu khả vi tại mọi a thuộc X

Hàm f khả vi liên tục nếu f khả vi và đạo hàm liên tục

1.1.19 Định nghĩa
Cho X ⊂ K
Ánh xạ g: X → K là một đẳng mêtry nếu g ( x ) − g ( y ) = x − y ∀x, y ∈ X .
Nếu g(X) là không gian Banach thì X là không gian Banach.
Ánh xạ h: X → K là một phép đồng dạng nếu
∃α ∈ K , α ≠ 0 : h ( x ) − h ( y ) = α x − y ∀x, y ∈ X , nếu 0 < α < 1 thì h là phép co.


Nếu h là phép co trên X và K là không gian Banach thì h có điểm bất động
trên X.

1.1.20 Mệnh đề (tích các không gian Banach)
Cho E1 ,..., En là các K-không gian Banach lần lượt với chuẩn
E1 × ... × En là K-không gian Banach với chuẩn

( x1 ,..., xn ) =

x1 1 ∨ ... ∨ xn

1

,...,

n

thì

: E1 × ... × En → R xác định bởi

trong đó x1 1 ∨ ... ∨ xn n =
max { x1 1 ,..., x1 n }

n

1.2 Trường các số p-adic
Q p là bao đủ của Q theo chuẩn p-adic gọi là trường các số p-adic.
R

R

Kí hiệu S là tập các dãy số Cauchy thuộc Q theo chuẩn p-adic

p

R

, trên S ta

R

xác định quan hệ tương đương ~ như sau:
{x n }~{y n } khi và chỉ khi lim (x n -yn )=0 (theo chuẩn p-adic)
R

R

R

R

R

R

R

R

Phần tử của Q p là các lớp tương đương theo quan hệ ~ với phép cộng và
R

R

phép nhân trên Q p được định nghĩa như sau:
R

R

{ xx } + { yn } ={ xn + yn }
{ xx }{. yn } = { xn . yn }
Q p cùng với phép cộng và phép nhân định nghĩa như trên lập thành một
R

R

trường gọi là trường các số p-adic.
Q được xem là trường con của Q p với ánh xạ nhúng i: Q → Q p biến mỗi
R

R

phần tử a ∈ Q thành {a} ∈ Q p .
Q dày đặc trong Q p
R

RP

Với mỗi phần tử a ∈ Q p suy ra a= {an } và a = lim an
Q p là trường đầy đủ nhưng không đóng đại số
R

R

Q p là tập compac địa phương nhưng không là tập compac.
R

R

1.2.1 Mệnh đề (Khai triển p-adic)
U

U

x ∈ Q p , x có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau:


∞

∑a

x
=

j =m

j

p j , m ∈ Z, 0 ≤ a j < p

Biểu diễn trên gọi là khai triển p-adic của x
Trong khai triển này, nếu i là số nguyên nhỏ nhất để a i ≠ 0 thì x = p −i
R

R

1.2.2 Định nghĩa (Số nguyên p-adic)
U

U

Z p =∈
{ x Qp , x ≤ 1} là vành con của Q p gọi là vành các số nguyên p-adic.
R

R

Nếu x ∈ Z p thì khai triển p-adic của x có dạng
=
x

∞

∑a
j =0

j

pj, 0 ≤ aj < p

1.2.3 Mệnh đề
U

Z p là tập compac, đầy đủ.
R

R

1.2.4 Mệnh đề
U

Q*p = Q p \ {0} , tập giá trị của Q*p là=
Q*p

{p

α

,α ∈ Z}

1.3 Một số kết quả của giải tích phi Acsimet:
1.3.1 Mệnh đề
U

Cho X ⊂ K và {U i , i ∈ I } là một bao phủ của X (U i vừa đóng vừa mở trong
R

RP

P

X), r > 0 . Khi đó X = ∪ B j : B j là các quả cầu có bán kính ≤ r .
j∈I

1.3.2 Mệnh đề
U

C ( X → K ) là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục từ

X →K
UC ( X → K ) là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục đều từ

X →K

{

}

cho f ∞ : sup f ( x ) : x ∈ X < ∞ .
B ( X → K ) gồm các hàm f : X → K sao
=
Khi đó B ( X → K ) là không gian Banach với chuẩn

∞

BC ( X → K ) là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục bị chặn

từ X → K bởi chuẩn

∞


BUC ( X → K ) là không gian K-tuyến tính gồm tất cả các hàm liên tục đều,

bị chặn từ X → K bởi chuẩn

∞

1.3.3 Mệnh đề
U

C ( X → K ) và UC ( X → K ) là các tập đóng với tính hội tụ đều, tức là nếu
f1 , f 2 ,... ⊂ C ( X → K )

thì f ∈ C ( X → K )

( ⊂ UC ( X → K ) )

và lim f n = f đều

( f ∈UC ( X → K ) )

BC ( X → K ) và BUC ( X → K ) là các không gian con đóng của B ( X → K ) do

đó BC ( X → K ) , BUC ( X → K ) là các không gian Banach.
1.3.4 Mệnh đề
U

Xét chuỗi lũy thừa

∞

∑a x , a
n

n =0

n

n

∈K

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là {x ∈ K:

∞

∑a x
n =0

(

Bán kính hội tụ của chuỗi là ρ := lim n an

)

−1

n

n

hội tụ}

, chuỗi hội tụ nếu x < ρ và

phân kì nếu x > ρ
A= { x ∈ K , x =

ρ } , chuỗi lũy thừa hội tụ trên A hoặc không hội tụ tại bất kì
điểm nào thuộc A
1.3.5 Mệnh đề
U

Cho a 1 , a 2 ,… là dãy trong K
R

i)

R

R

R

Nếu lim a n =a và a khác 0 thì an = a với n đủ lớn
R

∞

∑a

ii)

n =0

n

R

hội tụ khi và chỉ khi lim a n =0
R

R

1.3.6 Định nghĩa
U

x, y ∈ K, quả cầu nhỏ nhất chứa x và y kí hiệu [x,y]
Tập con X của K gọi là tập lồi nếu với mọi x, y thuộc K thì [x,y] ⊂ K


1.3.7 Định nghĩa
U

Cho D là tập lồi mở con của K, hàm f gọi là giải tích trên D nếu tồn tại u
thuộc D và a 1 ,a 2 ,…thuộc K sao cho=
f ( x)
R

R

R

R

∞

∑ a ( x − u)

n =0

n

n

với mọi x thuộc D

1.3.8 Định nghĩa
U

f : X → K là hàm giải tích địa phương trên X nếu với mọi a thuộc X đều tồn

tại lân cận U ⊂ X sao cho f / U giải tích.
1.3.9 Định nghĩa
U

f : X → K là hàm hằng địa phương nếu với mọi x thuộc X đều tồn tại lân cận

U của x sao cho f là hàm hằng trên U ∩ X
1.3.10 Ví dụ
U

Với mỗi tập mở U con X ta xây dựng hàm đặc trưng ξU như sau:
1, x ∈ U
0, x ∈ X\U

ξU := 

Hàm ξU là hàm hằng địa phương.

1.3.11 Mệnh đề
U

Nếu f là hàm hằng địa phương trên X thì X = ∪U i trong đó f là hàm hằng
i

trên mỗi U i
R

R

Hàm hằng địa phương khả vi và có đạo hàm liên tục (đạo hàm đồng nhất 0).
1.3.12 Mệnh đề
U

Cho f : X → K liên tục, khi đó tồn tại dãy hàm hằng địa phương
f1 , f 2 ,...: X → K sao cho lim f n = f đều

Tập tất cả các hàm hằng địa phương bị chặn hình thành không gian con dày
đặc của BC ( X → K )
Chứng minh
U

Với n ∈ N , ta định nghĩa quan hệ ~ trên X như sau:


x ~ y nếu f ( x ) − f ( y ) <

1
n

Khi đó ~ là quan hệ tương đương trên X nên X được phân hoạch thành các lớp
tương đương U i , i ∈ I ( U i vừa đóng vừa mở)
Với mỗi U i ta chọn ai ∈ U i
∀x ∈ X thì x chỉ thuộc một U i nào đó. Ta định nghĩa f n : X → K như sau:

f n ( x ) = f ( ai ) ; ( x, ai ∈ U i )
Rõ ràng f n là hàm hằng địa phương và f n ( x ) − f ( x ) <
Vậy lim f n = f đều.

1
n


Chương 2: HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC BẬC 1 VÀ BẬC 2
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày những điểm khác nhau về hàm khả
vi liên tục giữa giải tích thực và giải tích p-adic, từ đó dẫn đến yêu cầu phải có một
định nghĩa mới về hàm khả vi liên tục trong trường hợp phi Acsimet nhằm thỏa
mãn một số tính chất nền tảng về hàm khả vi liên tục đã biết. Sau đó, chúng tôi
trình bày một số kết quả về hàm khả vi liên tục bậc 1 và bậc 2 trong giải tích phi
Acsimet.

2.1 Hàm khả vi liên tục
Định lý giá trị trung bình trong giải tích thực nói rằng nếu hàm f khả vi liên
) f ' (c ) ( x − y )
tục trên đoạn [x,y] thì sẽ tồn tại c thuộc (x,y) sao cho f ( x) − f ( y =

Hàm khả vi liên tục như đã định nghĩa ở chương 1 là hàm khả vi và có đạo
hàm liên tục, theo định lý giá trị trung bình ta có ngay kết quả quen thuộc trong giải
tích thực là nếu hàm f có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên một đoạn thì f sẽ là hàm

hằng trên đoạn đó.
Trong trường hợp phi Acsimet, định lí giá trị trung bình không còn đúng
nữa. Tồn tại hàm khả vi, có đạo hàm bằng 0 nhưng không phải hàm hằng.
2.1.1 Ví dụ (Hàm khả vi, có đạo hàm bằng 0 nhưng không phải hàm
U

U

hằng)


∞



∞

Cho hàm g : Z p → Q p được cho bởi công thức g  ∑ ai p i  = ∑ ai p i! . Khi đó g




=i 0=i 0

là hàm khả vi , g’=0 nhưng g không là hàm hằng.
Chứng minh
U

Ta có g xây dựng như trên là ánh xạ và nếu x, y ∈ Z p , x-y =
p − k thì

g(x)-g(y) = p − k ! nên g là đơn ánh.
g ( x) − g ( y ) p − k ! p k
’
=
=
→ 0 khi x → y (k → ∞) hay g =0
−k
k!
x− y
p
p

Mặt khác

P

Như vậy g’=0 và g không phải hàm hằng (vì g đơn ánh).
P

P

P


Trong giải tích thực, ta lại có tính chất: hàm f :(a,b) → R khả vi liên tục và
đạo hàm f ’(c) khác 0 (c thuộc (a,b)) thì f khả nghịch trong lân cận nào đó của c.
P

P

P

P

Tính chất này không đúng trong trường hợp phi Acsimet.
2.1.2 Ví dụ (Hàm f khả vi liên tục, có f ' ( 0 ) ≠ 0 nhưng không khả
U

U

nghịch trong bất kì lân cận nào của 0)
 x − p 2 n , x ∈ Bn
Cho f : Z p → Q p , f ( x ) := 
với
,x ∈ Z p \ ∪ Bn
 x

{

}

’
Bn = x ∈ Z p : x − p n < p −2 n . Khi đó f =1 tại mọi điểm và f không khả nghịch
P

P

trong bất kì lân cận nào của 0
Chứng minh
U

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu x ≠ p n thì

{

}

=
x − p n max =
x , pn
max { x , p − n } > p −2 n , vì vậy nếu x ∈ Bn thì =
x

n
p=
p − n . Do

đó, Bn vừa là tập đóng vừa là tập mở và Bn , Bm rời nhau ∀m ≠ n .
Mặt khác, do p n ∈ Bn suy ra f ( p n=
) p n − p 2 n mà p n − p 2 n không thuộc bất kì
Bm nào nên f ( p n − p 2 n ) =p n − p 2 n . Do đó f không đơn ánh trong bất kì lân cận nào

của 0.
Kế đến ta chứng minh f ’=1 tại mọi điểm trên Z p \{0}
P

R

R

P

 p 2 n , x ∈ Bn
0 , x ∈ Zp \ ∪ Bn

Đặt g ( x)=: x − f ( x) như vậy g ( x) = 

g(x) xây dựng như trên là hàm hằng địa phương trên Z p \{0} nên g’=0 trên Z p \{0},
R

suy ra f ’(x)=1 trên Z p \{0}
P

R

R

P

f (0)=1, thật vậy lấy x ∈ Z p , x ≠ 0 thì:
’

P

P

0, x ∈ Zp \ ∪ Bn
g ( x ) − g ( 0)  2n
= p
x

p − n , x ∈ Bn
=
n
 p
g ( x ) − g ( 0)
Suy ra g ' ( 0 ) lim
=
= 0 suy ra f ' (0) = 1
x →0
x

R

P

P

R

R


Tóm lại f ' = 1 ∀x ∈ Z p nhưng f không đơn ánh trong bất kì lân cận nào của 0,
do đó f không khả nghịch trong bất kì lân cận nào của 0.
Ví dụ 2.1.2 được chứng minh xong, kế đến ta sẽ xem xét một tính chất quan
trọng khác của hàm khả vi liên tục trong giải tích thực
Trong giải tích thực ta cũng có tính chất sau:
Dãy hàm f1 , f 2 ,...: (a, b) → R khả vi liên tục, lim f n = f đều, lim f n' = g đều thì
f'=g

Trong giải tích phi Acsimet, tính chất trên không còn đúng nữa. Ta xét phản
ví dụ sau:
2.1.3 Ví dụ (tồn tại dãy hàm khả vi liên tục f1 , f 2 ,... hội tụ đều về f và
U

U

f1' , f 2' ,... hội tụ đều về g nhưng g ≠ f ' )

Chứng minh
U

f : Z p → Q p , f ( x ) = x ∀x ∈ Z p

f khả vi liên tục và f ' ( x ) = 1 ∀x ∈ Zp (1)

Do đó, theo mệnh đề 1.3.12 ta có
1
n

, f n : Z p → Q p là hàm hằng địa phương sao cho f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀x ∈ Z p , vậy
ε =∃

f n → f đều
f n là hàm hằng địa phương nên khả vi liên tục và f n' = 0∀n suy ra
lim f n' = g =0 đều.(2)

Từ (1) và (2) suy ra g ≠ f '

2.2 Hàm khả vi liên tục bậc 1 (hàm C1)

Với thực tế như trên, ta thấy định nghĩa hàm khả vi liên tục cũ đã không còn
phù hợp trong điều kiện phi Acsimet, cần thiết phải có một định nghĩa tốt hơn về
hàm khả vi liên tục phi Acsimet. (Từ đây về sau, trong luận văn này nếu không nói
gì thêm ta sẽ hiểu hàm khả vi liên tục chính là hàm khả vi liên tục phi Acsimet)


2.2.1 Định nghĩa ( hàm khả vi liên tục bậc 1)
U

U

Cho f : X → K , a ∈ X
f ( x) − f ( y)
, x, y ∈ X ; x ≠ y
x− y

Sai phân bậc 1 của f , kí hiệu Φ1 f ( x, y ) =

( ( x, y ) ∈∇ X )
2

1
f khả vi liên tục tại a (viết gọn là C tại a) nếu
P

P

lim

Φ1 f ( x, y ) tồn tại

( x , y ) →( a , a )

Nói theo cách khác, f là C1 tại a nếu f khả vi tại a và
P

P

∀ε > 0 ∃δ > 0 : x − a < δ , y − a < δ , ( x, y ) ∈∇ 2 X thì Φ1 f ( x, y ) − f ' ( a ) < ε

Hàm f là C1 trên X nếu f là hàm C1 tại mọi a thuộc X.
P

P

P

P

2.2.2 Nhận xét:
U

U

f khả vi liên tục tại a (C tại a) thì f ' liên tục và
1
P

P

lim φ f ( x, y ) = f
( ) ( )
x , y → a ,a

'

1

(a)

Tập tất cả các hàm C1 trên X kí hiệu là C1 ( X → K ) , C1 ( X → K ) là không
P

P

gian con đóng với phép nhân.Thật vậy:
f ,g ∈ C1 ( X → K )

gf ( x ) − gf ( y ) g ( x ) f ( x ) − g ( x ) f ( y ) g ( x ) f ( y ) − g ( y ) f ( y )
=
+
x− y
x− y
x− y
f ( x) − f ( y)
g ( x) − g ( y)
+ f ( y)
x− y
x− y

= g ( x)

φ gf ( x, y ) g ( a ) f ( a ) + f ( a ) g ( a )
lim =
( ) ( )
,

Suy ra

x , y → a ,a

,

1

Vậy gf ∈ C1 ( X → K )
2.2.3 Mệnh đề (Tính chất cơ bản của hàm khả vi liên tục bậc 1)
U

U

Cho f : X → K , các phát biểu sau tương đương
1) f là hàm C1
P

2) Hàm Φ1 f có thể mở rộng (duy nhất) thành hàm Φ1 f liên tục trên X × X
3) Tồn tại hàm liên tục R: X × X → K sao cho
f ( x=
) f ( y ) + ( x − y ) R ( x, y ) , x,y ∈ X

Chứng minh
U

Để chứng minh 1) suy ra 2) ta xây dựng Φ1 f như sau:
 f ' ( x )
,x=y
Φ1 f ( x, y ) := 
Φ1 f ( x, y ) , x ≠ y

Sự liên tục của Φ1 f được suy ra trực tiếp từ sự liên tục của f '
2) suy ra 3) hiển nhiên bằng cách chọn R= Φ1 f
Ta chứng minh 3) suy ra 1)
f ( x=
) f ( y ) + ( x − y ) R ( x, y ) , x,y ∈ X
⇔

f ( x) − f ( y)
=
R ( x, y )
x− y

Vì R(x,y) liên tục nên theo định nghĩa của hàm C1 ta có f là hàm C1.
P

P

P

P

2.3 Một số kết quả về hàm C1
Trong phần này, chúng tôi chứng minh được tính đầy đủ của không gian các
hàm khả vi liên tục bị chặn và tính khả nghịch địa phương của hàm C1. Từ đó thấy
P

P

được rằng định nghĩa mới về hàm khả vi liên tục là phù hợp trong trường hợp phi
Acsimet. Kế đến, chúng tôi cũng trình bày một phương pháp khác chứng minh bổ
đề Hensel.
Gọi BC1 ( X → K ) là tập tất cả các hàm khả vi liên tục bậc 1 và
f=
:
1

f

∞

∨ Φ1 f

∞

Banach với chuẩn

< ∞ ( f thuộc BC1 ( X → K ) ), khi đó BC1 ( X → K ) sẽ là không gian
1

2.3.1 Mệnh đề ( Tính đầy đủ của không gian các hàm C1 bị chặn)

U

U

P

P

BC1 ( X → K ) là K-không gian Banach.

Chứng minh
U

Để chứng minh mệnh đề 2.3.1) ta sẽ chứng minh mệnh đề sau
2.3.2 Mệnh đề
U

Cho f1 , f 2 ,... là dãy hàm C1 trên X
P

P


Giả sử Φ1 f n hội tụ đều về g trên ∇ 2 X và f n hội tụ về f .Khi đó f là hàm C1 và
P

Φ1 f n → Φ1 f đều.

Chứng minh
U

Ta chứng minh g(x,y)= Φ1 f ( x, y )
Do Φ1 f n hội tụ đều về g nên
∀ε > 0, ∃N1 : ∀m, n > N1 ⇒ Φ1 f n ( x, y ) − Φ1 f m ( x, y ) < ε , ∀ ( x, y ) ∈∇ 2 X

Cho m → ∞ , ta được
∀ε > 0, ∀n > N1 ⇒ Φ1 f n ( x, y ) − Φ1 f ( x, y ) < ε , ∀ ( x, y ) ∈∇ 2 X (1)

Vậy Φ1 f n ( x, y ) → Φ1 f đều nên g(x,y)= Φ1 f ( x, y )
Kế đến ta chứng minh Φ1 f n ( x, y ) → Φ1 f ( x, y ) , ( x, y ) ∈∇ 2 X
Vì f n hội tụ về f nên Φ n f ( x, y ) → Φ1 f ( x, y )
a ∈ X , ( xk , yk ) → ( a, a ) trong đó ( xk , yk ) ∈∇ 2 X

Do (1) nên
∀ε > 0, ∃N 0 > N1 : ∀n > N 0 ⇒ Φ1 f n ( xk , yk ) − Φ1 f ( xk , yk ) < ε (2)

Φ1 f ( xk , yk ) − Φ1 f ( xk' , yk' ) ≤
Φ1 f ( xk , yk ) − Φ1 f n ( xk , yk ) ∨ Φ1 f n ( xk , yk ) − Φ1 f n ( xk' , yk' )
∨ Φ1 f n ( xk' , yk' ) − Φ1 f ( xk' , yk' ) < ε ∀n > N 0

Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có Φ1 f ( xk , yk ) hội tụ khi k → ∞
Đặt Φ1 f ( a, a ) :=
lim Φ1 f ( xk , yk )
Chứng minh Φ1 f n → Φ1 f đều
Hiển nhiên Φ1 f n ( x, y ) → Φ1 f ( x, y ) với mọi ( x, y ) ∈∇ 2 X
Với (a,a) ∈ X × X , lấy dãy ( xk , yk ) → ( a, a ) .Khi đó, do (2) ta có
∀ε > 0, ∃N 2 : ∀n > N 2 ⇒ Φ1 f n ( x, y ) − Φ1 f ( x, y ) < ε∀ ( x, y ) ∈∇ 2 X

Vậy ∀n > N 2 : Φ1 f n ( xk , yk ) − Φ1 f ( xk , yk ) < ε ,

P


cho k → ∞ ta được Φ1 f n ( a, a ) − Φ1 f ( a, a ) < ε∀n > N 2
suy ra Φ1 f n → Φ1 f đều
Chứng minh BC1 ( X → K ) là K-không gian Banach
Cho f1 , f 2 ,... là dãy Cauchy trong BC1, khi đó:
P

P

f n → f đều
Φ1 f n → Φ1 f đều

Áp dụng mệnh đề 2.3.2, ta được: f là hàm C1 và Φ1 f n → Φ1 f đều, tính bị
P

P

chặn của f suy ra trực tiếp từ tính bị chặn của f n .Vậy f ∈ BC1 ( X → K ) do đó
BC1 ( X → K ) là không gian Banach.

2.3.3 Mệnh đề (Tính khả nghịch của hàm C1)
U

U

P

P

Cho f ∈ C1 ( X → K ) , f ' ( x ) ≠ 0∀x ∈ X . Khi đó:

i)

X là hợp của các quả cầu rời nhau Ba ( ri ) và f / B
i

(

(

)

f Bai ( ri ) = B f ( ai ) f ' ( ai ) ri

ii)

ai

( ri ) là

phép đồng dạng và

)

Nếu f đơn ánh thì ánh xạ ngược cũng là hàm C1.
P

P

Ta lần lượt xét các mệnh đề sau:
2.3.4 Mệnh đề
U

Cho f ∈ C1 ( X → K ) , a ≠ 0, f ' ( a ) ≠ 0 .Khi đó tồn tại lân cận U của a sao cho
f /U ∩ X là phép đồng dạng và f ( x ) − f ( y )=

f ' (a) x − y

Hay nói cách khác f / f ( a ) là đẳng mêtry trong lân cận nào đó của a, và hiển
'

nhiên khi đó f là đơn ánh trong lân cận đó.
Chứng minh
U

Vì f là hàm C1 nên ∃δ > 0 : ∀x, y ∈ X , x ≠ y, x − a < δ , y − a < δ suy ra:
P

P

f ( x) − f ( y)
1
− f ' (a) < f ' (a)
x− y
2


f ( x) − f ( y)

= f ' (a)
x− y

Do đó

Vậy ∃δ > 0 : ∀x, y ∈ X , x ≠ y, x − a < δ , y − a < δ thì f ( x ) − f ( y=
)

f ' (a) . x − y

2.3.5 Mệnh đề
U

Cho f ∈ C1 ( X → K ) , f đơn ánh, f ' ( x ) ≠ 0∀x ∈ X
Giả sử ∃g : f ( X ) → K là nghịch đảo của f , g liên tục.
Khi đó g cũng là hàm C1 và g ' ( f=
( x ) ) f ' ( x ) ∀x ∈ X
−1

P

P

Chứng minh
U

Lấy z , t ∈ f ( X )
Φ1 g ( z=
,t)

g ( z ) − g (t )
=
z −t

1
1
(i)
=
f ( g ( z ) ) − f ( g ( t ) ) Φ1 f ( g ( z ) , g ( t ) )
g ( z ) − g (t )

Vì Φ1 f ≠ 0 mọi nơi nên ánh xạ biến ( z , t ) thành

1
xác định
Φ1 f ( g ( z ) , g ( t ) )

trên f ( X ) × f ( X ) là sự mở rộng liên tục của Φ1 g vì thế g là hàm C1 và do (i)
P

P

nên g ' ( f=
( x ) ) f ' ( x ) ∀x ∈ X .
−1

2.3.6 Mệnh đề
U

Cho B = { x ∈ K : x − a < r} là quả cầu trong K, f : B → K

Giả sử có α ∈ K sao cho sup { Φ1 f ( x, y ) − α , x, y ∈ B, x ≠ y} < α
Khi đó f ( B ) là quả cầu trong K với bán kính α .r và f là phép đồng dạng.
Chứng minh
U

Rõ ràng ∀x, y ∈ B, x ≠ y thì Φ1 f ( x, y ) =
α
Do đó f ( x ) − f ( y ) =α x − y nên f là phép đồng dạng
Mặt khác f ( x ) − f ( y )= α x − y ≤ α r nên


{

f ( B) ⊂ z ∈ K : z − f (a) ≤ α r

}

Ta chứng minh f ( B ) ⊃ { z ∈ K : z − f ( a ) ≤ α r}
Lấy c ∈ K : c − f ( a ) ≤ α r , xây dựng ánh xạ ψ như sau:
ψ : B → K biến x ∈ B thành x −

f ( x) − c

α

Với x ∈ B ,
ψ ( x) − a ≤ x − a ∨
≤r∨
≤r∨

f ( x) − c

α

f ( x) − f (a)

α

∨

f (a) − c

α

αr αr
r
∨
=
α
α

Suy ra ψ ( x ) ∈ Ba ( r )
∀x, y ∈ B, x ≠ y ,ta có:

f ( x) − f ( y)

ψ ( x ) −ψ ( y ) = x − y −

α

=x − y 1 −

= x − y 1= x− y .

f ( x) − f ( y)
α ( x − y)

Φ1 f ( x, y )

1

α

α
. α -Φ1 f ( x, y )
≤ k. x-y , 0
Suy ra ψ là phép co nên ψ có điểm bất động x0
⇒ f ( x0 ) =
c

Vậy f ( B ) =
{ z ∈ K : z − f ( a ) ≤ α r}
Mệnh đề 2.3.6 chứng minh xong.
Tính chất i) được suy ra trực tiếp từ mệnh đề 2.3.6 và 1.3.1


Tính chất ii) là hệ quả của 2.2.5
2.3.7 Bổ đề Hensel
U

Trong phần này ta sẽ đưa ra cách khác chứng minh bổ đề Hensel bằng việc
áp dụng các tính chất trên.
Bổ đề Hensel: f là hàm giải tích trên B 0 (1) được cho bởi:
R

f ( x) =

∞

∑a x
n =0

n

n

R

; x ∈ B 0 (1)
R

R

Giả sử an ≤ 1 ∀n ( an ∈ Z p ) và ∃a ∈ B0 (1) sao cho
f ( a ) 〈1 và f ' ( a ) = 1

Khi đó ∃b ∈ B0 (1) sao cho f ( b ) = 0
b − a ≤ f (a)

Chứng minh
U

Giả =
sử r

f (a) < 1

Vì f giải tích trên B 0 (1) nên f có thể viết dưới dạng
R

R

f ( x) = b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + ...( x ≤ 1)

Nhận xét f=
(a ) b=
f ' (a ) và bn ≤ 1∀n
0 , b1
Nếu x, y ∈ Ba (r ), x ≠ y thì
Φ1 f (=
x, y ) − f ' (a ) b2

( x − a)2 − ( y − a)2
( x − a )3 − ( y − a )3
+ b3
+ ...
x− y
x− y

≤ max
n ≥2

1
( x − a)n − ( y − a)n
x− y

 u n − v n
≤ max 
: u ≤ r, v ≤ r, u ≠ v
n ≥2
 u − v

≤ max r n −1 =
r
n ≥2

= f (a) 〈 f ' (a)
(<1)

(=1)


Vậy f / B ( r ) thoả mãn mệnh đề 2.3.6, ta kết luận f biến Ba (r ) thành B f ( a ) (r ) .
a

Vì 0 ∈ B f ( a ) (r ) ( vì 0 − f (a) = f (a ) = r ) nên ∃b ∈ Ba (r ) : f (b) =0

2.4 Hàm khả vi liên tục bậc hai
2.4.1.Định nghĩa (Hàm khả vi liên tục bậc hai)

U

U

f : X → K , sai phân bậc hai của f là hàm Φ 2 f : ∇3 X → K được cho bởi

công thức:
Φ1 f ( x, y ) − Φ1 f ( y, z )
Φ 2 f ( x, y , z ) =
x−z
2
f là hàm khả vi liên tục bậc hai (viết gọn là hàm C ) tại a ∈ X nếu
P

lim

( x , y , z ) →( a , a , a )

P

Φ 2 f ( x, y, z ) tồn tại.

f là hàm C trên X nếu f là hàm C tại mọi a ∈ X .
2
P

2

P

P

P

Tập tất cả các hàm C2 f : X → K kí hiệu C 2 ( X → K )
P

{ f ∈C ( X → K ) :

BC 2 ( X → K =
)

f=
2

f

∞

∨ Φ1 f

∞

P

2

f

2

< ∞} là K-không gian vectơ trong đó

∨ Φ2 f ∞ .

2.4.2 Nhận xét
U

Φ1 f , Φ 2 f là hàm đối xứng.

Vì X không có điểm cô lập nên ∇3 X dày đặc trong X3.
P

2

P

1

f là hàm C trên X thì f là hàm C trên X
P

P

P

P

2.4.3 Mệnh đề (Tính chất của hàm C2)
U

U

P

P

f :X →K

a) f là hàm C2 tại a thì f là hàm C1 tại a.
P

P

P

P

b) C 2 ( X → K ) ; BC 2 ( X → K ) lần lượt là các không gian con K-tuyến tính
của C1 ( X → K ) ; BC1 ( X → K )
c) C 2 ( X → K ) ; BC 2 ( X → K ) đóng với phép nhân