Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề chọn lọc về dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THÙY NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHỌN LỌC VỀ DÃY SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015


Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 1: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI
Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27
tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích
toán học: dãy số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó
còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc
của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết
biểu diễn... Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú. Có thể
kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm
số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số, tính chất
của dãy số nguyên...
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học
quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các
bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng
toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông. Một trong các nội dung
thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng
quát và tìm giới hạn của dãy số. Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập
đến các khía cạnh khác nhau của dãy số. Tuy nhiên, các tài liệu được
hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có
nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là
các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham
khảo về dãy số. Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán
tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số.
Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi
chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt
nghiệp bậc cao học của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp
hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và

2
chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp
xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại
hoặc tìm giới hạn của dãy số.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu
về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ
thống lại kiến thức.
Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình
bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp.
5. Bố cục đề tài
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số
Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc
tìm giới hạn của dãy số
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên
quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng,
nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên
cứu về Dãy số.
Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa
nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.


3

CHƢƠNG I
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. DÃY SỐ
Định nghĩa 1.1.1.[3] Một hàm số u xác định trên tập hợp các
số nguyên dương

*

được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là

dãy số).
Dãy số với các phần tử un thường được kí hiệu là

un  , n  1,2,... hoặc  un  .
Giả sử cho  

và cho hai dãy số:

(an )  (a1, a2 ,..., an ,...);
(bn )  (b1, b2 ,..., bn ,...);
Định nghĩa 1.1.2.[3]

 cn  :  an  bn    a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn ,... được
gọi là tổng của 2 dãy  an  và  bn  ;
b. Dãy  dn  :  an  bn    a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn ,... được
gọi là hiệu của 2 dãy  an  và  bn  ;
c. Dãy  bn    b1 , b2 ,..., bn ,... được gọi là tích của hằng
số  và dãy  bn  .
a. Dãy

1.2. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số
M sao cho: n 

*

, un  M .

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một
số m sao cho: n 

*

, un  m .

Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên,
vừa bị chặn dưới. Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho:

n 

*

,m  un  M .


4
1.3. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU
Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm
ngặt) nếu với mọi

un  un1 , n 

*

n

*

ta có:

un  un 1

(tương ứng

).

Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm (tương ứng giảm nghiêm

ngặt) nếu với mọi

un  un1 , n 

*

n

*

ta có:

un  un 1

(tương ứng

).

Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu.
1.4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa 1.4.1.[3] Dãy  un  được gọi là cấp số cộng khi và
chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng số hạng
đứng trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi được gọi là
công sai của cấp số cộng.
Tính chất 1.4.1.[3]
a. Công thức của số hạng tổng quát:

un  u1  (n  1)d , n 

b. un 1 

un  u n  2
, n 
2

*

*

.

.

c. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
n(u1  un ) n  2u1   n  1 d 
.
Sn  u1  u2  ...  un 

2
2
Định nghĩa 1.4.2.[3] Dãy số  un  được gọi là một cấp số
nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng
số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi. Số không đổi
được gọi là công bội của cấp số nhân.
Tính chất 1.4.2.[3]
a. Công thức của số hạng tổng quát:
un  u1.q n1 , n 

*

.


5
b. un21  un .un 2 , n  * .
c. Tổng của n số hạng đầu tiên:
1  qn
,(q  1) .
1 q
d. Tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn:
u
S  u1  u2  ...  1 .

1 q
1.5. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN
QUAN
Định nghĩa.[4] Dãy số  un    u1 , u2 ,..., un ,... có giới hạn là
Sn  u1  u2  ...  un  u1

số (điểm) a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng un đều
nằm trong  -lân cận bất kì U  a,   của điểm a , tức là ở ngoài

U  a,   hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng

nào của dãy.
Kí hiệu: lim un  a hay un  a khi n   .
n 

Định lí 1.5.1.[4]
Nếu dãy ( un ) có giới hạn thì nó bị chặn.
Định lí 1.5.2.[4]
Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
Định lí 1.5.3.[4]
Nếu lim un  a , lim vn  b và un  vn , n 
n 

n 

Định lí 1.5.4.[4] (Giới hạn kẹp) Giả sử:
a. lim un  lim vn   ;
n 

n 

b. un  zn  vn , n  ;
Khi đó lim zn   .
n 

Định lí 1.5.5.[4]
Nếu lim un  a thì lim | u n || a | .
n 

Định lí 1.5.6.[4]

n 

thì a  b .


6
Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên
(dưới).
Định lí 1.5.7.[4]
Giả sử các dãy  un  ,  vn  hội tụ và lim un  a , lim vn  b ;
n 

n 

Khi đó:
a. lim(un  vn )  lim un  lim vn  a  b ;
n

n

n 

b. lim(un vn )  lim un lim vn  ab ;
n 

n 

n 

c. Nếu un  0, n và lim un  0 thì lim
n 

n 

1
1
1

 .
un lim un a
n 


7
CHƢƠNG II
XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
2.1. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ
Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật

biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình toán THPT
là cấp số cộng và cấp số nhân. Xét một số bài toán sau:
Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 
u1  c
xác định bởi: 
với a, b, c 
un  aun 1  b

.

Phƣơng pháp giải.
Trường hợp 1: Nếu a  1 thì dãy  un  là một cấp số cộng với
công sai là b . Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm được số hạng
tổng quát của dãy là: un  u1  (n  1)b  c  (n  1)b.
Trường hợp 2: Nếu a  1 , ta qui dãy  un  về dãy  vn  bằng
cách đặt vn  un  k , k 

; trong đó số k được xác định sao cho
b
thỏa mãn vn  avn1 (ta sẽ xác định được k 
).
a 1
Với cách đặt như trên ta được  vn  là một cấp số nhân, công
bội a. Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng
quát của dãy  vn  . Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy  un  .
Bài toán 2.1.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 
u1  c
xác định bởi: 
với a, c 
un  aun 1  f (n)

bậc k theo n .

, f (n) là một đa thức

Phƣơng pháp giải.
Ta phân tích f (n)  g (n)  ag (n  1) với g (n) cũng là một đa
thức theo n .


8
Trường hợp 1: Nếu a  1 , ta thấy đa thức g (n)  ag (n  1) có
bậc nhỏ hơn đa thức g (n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự
do

của

g ( n) .

Vì

f(n)

là

đa

thức

bậc

k

nên

để

f (n)  g (n)  ag (n  1)(*) ta cần chọn g (n) là đa thức bậc k  1 và

nên chọn hệ số tự do của g (n) bằng không. Khi đó để xác định các
hệ số của g (n) ta chỉ cần thay k  1 giá trị bất kỳ của n vào (*) và
giải hệ gồm k  1 phương trình này.
Lúc này ta có un  g (n)  u n1  g(n  1)  ...  u1  g (1) . Từ đó

suy ra công thức tổng quát của dãy  un  .

Trường hợp 2: Nếu a  1 , ta thấy g (n)  ag (n  1) và g (n) là
hai đa thức cùng bậc. Vì vậy ta chọn g (n) là đa thức bậc k và các
hệ số của g (n) được xác định tương tự như trường hợp 1.
Lúc này ta có un  g (n)  a(un1  g (n  1)). Đặt vn  un  g (n)
thì ta có dãy (v n ) là một cấp số nhân, công bội a. Dựa vào tính chất
của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy (v n ) . Từ
đó tìm được công thức tổng quát của dãy  un  .
Bài toán 2.1.3.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 

u1  c
xác định bởi: 
với a,b,c  ,  0 .
n

un  aun 1  b

Phƣơng pháp giải.
Trường hợp 1: Nếu a   .
 

Ta phân tích:  n  k n  ak n1   k 
.
  a 

Khi đó ta có:
un  bk n  a(un1  kb n1 )  ...  an1 (u1  bk );
 un  an1 (u1  bk )  bk n .
Trường hợp 2: Nếu a  
Ta phân tích:  n  n n   (n  1) n1 .
Khi đó:


9
un  bn n    un 1  b(n  1) n 1   ...   n 1 (u1  b );
 un  b(n  1) n  u1 n 1.
2.2. DÙNG PHÉP THẾ LƢỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các

công thức lượng giác thì ta có thể thử với phép thế lượng giác. Ta xét
một số bài toán sau:
Bài toán 2.2.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 

u1  k
xác định bởi: 
với k  , n  2 .

2

un  2u n 1  1

Phƣơng pháp giải.
Trường hợp 1: k  1 .
Khi đó  0;  : cos   k  u1 . Từ công thức truy hồi của
dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin:
cos 2  2cos2   1.

Ta có:

u2  2u12  1  cos 2 ;
u3  2u22  1  cos 4 ;
u4  2u32  1  cos8 ;
…
Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được un  cos 2n1 .
Trường hợp 2: k  1.
1
1
Ta đặt u1   a   .
2
a
Bằng qui nạp ta chứng minh được:
1  n1
1
un   a 2  2n1
2
a


 , n  2.



10
Bài toán 2.2.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  un 

u1  k
xác định bởi: 
với k  , n  2 .
3

un  4u n 1  3un 1

Phƣơng pháp giải.
Trường hợp 1: k  1 .
Khi đó  0;  : cos   k  u1 . Từ công thức truy hồi của
dãy ta có thể liên tưởng đến công thức nhân ba của hàm số côsin:
cos3  4cos3   3cos .

Ta có:

u2  4u13  3u1  cos3 ;
u3  4u23  3u2  cos9 ;
u4  4u33  3u3  cos 27 ;

…
Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được un  cos3n1 .
Trường hợp 2: k  1.

1
1
Ta đặt u1   a   .
2
a
Bằng
qui
nạp
ta
chứng
minh
được
1  3n1
1 
un   a  3n1  , n  2.
2
a 
Bài toán 2.2.3. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1  a

định bởi: 
un 1  b với n  2 .
un  1  b.u
n 1


Phƣơng pháp giải.
Ta đặt a  tan  , b  tan   un  tan    n  1   .

11
Bài toán 2.2.4. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1  

định bởi: 
với n  2,  1, ab  2 .
2
a
un  a  bun 1

Phƣơng pháp giải.
Đặt:
u1    a cos;
Bằng qui nạp ta chứng minh được un  a cos 2n1 , n  2 .
2.3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH VÀO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG
QUÁT CỦA DÃY SỐ
Ở đây tôi chỉ trình bày ứng dụng của phương trình sai phân
tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định
công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không
chứng minh).
Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là
phương trình dạng: u1   ,au n1  bun  f n , n 

*

; 1

Trong đó a, b, là các hằng số, a  0 và f n là biểu thức của
n cho trước.

Phƣơng pháp giải.
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng a  b  0 để tìm  ;
Bước 2: Tìm nghiệm un của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng: aun1  bun  0 (nghiệm này có dạng
un  c n 1 , trong đó c được xác định dựa vào u1 );

Bước 3: Tìm một nghiệm riêng un* của phương trình không
thuần nhất;
Bước 4: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là
un  un  un* .


12
Bài toán 2.3.1. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1  
định bởi: 
với n  1 .
aun 1  bun  0

Phƣơng pháp giải.
Từ công thức truy hồi ta có:
2

n 1

 b
 b
 b
un     un 1     un  2  ...     u1.

 a
 a
 a
Bài toán 2.3.2. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác định

u1  
bởi: 
với n  1 , f (n) là đa thức bậc k của n .
aun 1  bun  f (n)

Phƣơng pháp giải.
b
Xét phương trình đặc trưng: a  b  0     .
a
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định

un  c n1  un* .
Trong đó un* được xác định như sau:
+ Nếu a  b  0 thì un*  g (n) , thay vào phương trình ta được:
ag (n  1)  bg (n)  f (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được un* .

+ Nếu a  b  0 thì un*  n.g (n) , thay vào phương trình ta
được: a(n  1) g (n  1)  bng (n)  f (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được

un* .
Với g (n) là đa thức bậc k của n và c là hằng số được xác định
dựa vào u1 .
Bài toán 2.3.3. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác định

u1  

bởi: 
với n  1 .
n

aun 1  bun  d .


13
Phƣơng pháp giải.
b
Xét phương trình đặc trưng: a  b  0     .
a
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định:

un  c n1  un* ; trong đó un* được xác định như sau:
+ Nếu    thì un*  A. n , thay vào phương trình ta được:
d
;
a. A n 1  b. A n  d n  A 
a  b
d n
d n
Vậy un* 

.
a  b a(   )
+ Nếu    thì un*  An n , thay vào phương trình ta được:
a. A(n  1) n 1  b. An n  d n ;
d
d

d
 A


.
a(n  1)  bn a(n  1)  a n a
dn n 1
.
a
Với c là hằng số sẽ được xác định dựa vào u1 .

Vậy un* 

Định nghĩa 2.3.2.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là
phương trình dạng:

u1   ,u 2   ,au n2  bun1  cun  gn , n 

*

;

 2

trong đó a, b,c, ,  là các hằng số, a  0 và g n là biểu thức
của n cho trước.
Phƣơng pháp giải.
Bước 1: Tìm nghiệm un của phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng: aun 2  bun1  cun  0;
Bước 2: Tìm một nghiệm riêng un* của phương trình không

thuần nhất;
Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là un  un  un* .


14
Bài toán 2.3.4. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1   , u2  
định bởi: 
với n  1 .
aun  2  bun 1  cun  0

Phƣơng pháp giải.
Xét phương trình đặc trưng a 2  b  c  0.
Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực
phân biệt 1 , 2
un  c 

n 1
1 1

c 

n 1
2 2

thì số hạng tổng quát của dãy có dạng
; trong đó c1 , c2 được xác định khi biết u1 , u2 .

Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực

1  2   thì số hạng tổng quát của dãy có dạng
un  (c1  c2 n) n ; trong đó c1 , c2 được xác định khi biết u1 , u2 .

kép

Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức

  x  iy thì   x  iy cũng là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Ta đặt:   r  cos  i sin   ;
Vậy số hạng tổng quát của dãy là un  r n (c1 cos n  c2 sin n ) ;
trong đó c1 , c2 được xác định khi biết u1 , u2 .
Bài toán 2.3.5. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác

u1   , u2  
định bởi: 
với n  1 .
n

aun  2  bun 1  cun  dq

Phƣơng pháp giải.
Giải phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 tìm nghiệm.
Ta có số hạng tổng quát của dãy là un  un  un* ; trong đó:
un là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với c1 , c2 chưa được xác định.

un* được xác định như sau:
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  q và 2  q
thì un*  kq n , thay vào phương trình ta được:

15
d
;
aq  bq  c
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  q hoặc
akq n  2  bkq n 1  ckq n  dq n  k 

2

2  q thì un*  knq n , thay vào phương trình ta được:
ak (n  2)q n  2  bk (n  1)q n 1  cknq n  dq n ;
d
.
a(n  2)q  b(n  1)q  cn
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  2  q thì
k 

2

un*  kn2 q n , thay vào phương trình ta được:
ak (n  2) 2 q n  2  bk (n  1) 2 q n 1  ckn 2 q n  dq n ;
k 

d
d

.
a(n  2)2 q 2  b(n  1) 2 q  cn 2 2aq 2

Từ hệ thức un  un  un* ta tìm được c1 , c2 khi biết u1 , u2 .
Bài toán 2.3.6. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u1   , u2  
định bởi: 
, n  1 , f (n) là đa thức bậc k
aun  2  bun 1  cun  f (n)

theo n .
Phƣơng pháp giải.
Giải phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 tìm nghiệm.
Ta có số hạng tổng quát của dãy có dạng un  un  un* ; trong
đó:
un là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với c1 , c2 chưa được xác định.

un* được xác định như sau:
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  1 và 2  1 thì

u  g ( n) .
*
n

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  1 hoặc 2  1
thì u  ng (n) .
*
n

16
+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1  2  1 thì

u  n2 g (n) .
*
n

Trong đó g (n) là đa thức cùng bậc với f (n) .
Từ hệ thức un  un  un* ta tìm được c1 , c2 khi biết u1 , u2 .
2.4. ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỂ XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
Ta xét một số bài toán sau:
Bài toán 2.4.1. Xác định số hạng tổng quát của hai dãy  un 
và  vn 

u0   , v0  

thỏa mãn un 1  aun  bvn .
v  cu  dv
n
n
 n 1

Phƣơng pháp giải
u 
a b 
Đặt X n   n  , A  
 . Khi đó ta được:
c d 
 vn 

X n  AX n1  ...  An X 0 .
Như vậy bài toán sẽ được giải quyết khi ta xác định được An .
Bài toán 2.4.2. Xác định số hạng tổng quát của các dãy
 xn  ,  yn  và  zn  thỏa mãn:
 x0   , y0   , z0  

 xn 1  a1 xn  b1 yn  c1 zn
,n

 yn 1  a2 xn  b2 yn  c2 zn
 zn 1  a3 xn  b3 yn  c3 zn

*

.

Phƣơng pháp giải.
 a1 b1 c1 
 xn 


Đặt A   a2 b2 c2  , X n   yn  . Khi đó ta được:
 a3 b3 c3 
 zn 
X n  AX n1  ...  An X 0 .


17
2.5. PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG
THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Cơ sở lý thuyết
Định nghĩa Hàm sinh thường của dãy số vô hạng  an n0 là
một chuỗi hình thức được xác định bởi:
G( x)  a0  a1 x  a2 x2  ...  an x n  ...
Sau đây tôi sẽ tổng kết một số công thức thường dùng trong
hàm sinh:
1
a/
 1  x  x 2  x3  ... ;
1 x
1
b/
 1  2 x  3x 2  4 x3  ... ;
2
(1  x)
c/


1
n(n  1) 2 n(n  1)(n  2) 3
 1  nx 
x 
x  ...   Cii n 1xi , n 
n
(1  x)
2!
3!
i 0

*

;

1
 1  x  x 2  x3  ... ;
1 x
1
e/
 1  2ax  3a 2 x 2  4a3 x3  ... ;
(1  ax)2
1
f/
 1  x r  x 2 r  x3r  ... ;
1  xr
1
g/
 1  x r  x 2 r  x3r  ...
1  xr
Ứng dụng hàm sinh vào xác định công thức tổng quát của

d/

dãy số
Xét một vài bài toán sau:
Bài toán 2.5.1. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u0  a, u1  b
định bởi: 
với n  0 .
un  2  pun 1  qun

Phƣơng pháp giải.
Đặt G( x) là hàm sinh cho dãy  un  , ta có:


18

G( x)  u0  u1 x  u2 x 2  u3 x3  ... ;
 pxG( x)   pu0 x  pu1 x2  pu2 x3  pu3 x4  ... ;
qx2G( x)  qu0 x2  qu1 x3  qu2 x4  qu3 x5  ... ;

Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, kết hợp với hệ thức truy hồi
đề cho ta được:
 G ( x) 

(u1  pu0 ) x  u0
.
1  px  qx 2

Trường hợp 1: Nếu  ,   :1  px  qx2  (1   x)(1   x) ;
(u  pu0 ) x  u0
A
B
Do đó G( x)  1
;


(1   x)(1   x) 1   x 1   x
Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được A, B .



A
B
 G ( x) 

 A ( x)n  B (  x) n .
1 x 1  x
n 0
n 0
Do đó hệ số của x n trong khai triển của G( x) là A n  B n
nên: un  A n  B n , n  0 .
Trường hợp 2: Nếu   :1  px  qx2  (1   x)2 :
(u  pu0 ) x  u0
A
B
Do đó G( x)  1
;


2
(1   x)
1   x (1   x) 2
Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được A, B .


A
B
n
 G ( x) 



A
(

x
)

B
(n  1)( x)n .


2
1   x (1   x)
n0
n0
Do đó hệ số của x n trong khai triển của G( x) là:
A n  B(n  1) n   A  B(n  1) n nên

un  [A  B(n  1)] n , n  0 .
Trường hợp 3: Nếu
 ,   :1  px  qx2  1     i  x  1     i  x 
Do đó :


19
G ( x) 

(u1  pu0 ) x  u0
A
B



1     i  x  1     i  x  1  (   i) x 1  (   i) x

Quy đồng và đồng nhất hệ số ta tìm được A, B .
 G ( x) 



A
B

 A[(   i) x]n  B[(   i) x]n
1  (   i) x 1  (   i) x
n 0
n 0

Do đó hệ số của x n trong khai triển của G( x) là

A(   i)n  B(   i)n nên: un  A(   i)n  B(   i)n , n  0 .
Ta có thể chuyển    i về dạng lượng giác r (cos  i sin  )
để dễ tính lũy thừa.
Bài toán 2.5.2. Tìm công thức tổng quát của dãy  un  xác
u0  a, u1  b
định bởi: 
với n  0 , f (n) là một biểu
un  2  pun 1  qun  f (n)
thức theo n .
Phương pháp sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát

của dãy số có dạng đã cho tương tự như bài toán ở trên.

20
CHƢƠNG III
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI
HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
3.1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN
Phương pháp chung.
Bước 1: Chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên bởi số M
(hoặc giảm và bị chặn dưới bởi số m).
Bước 2: Tính giới hạn của dãy số theo một trong hai cách sau:
*Cách 1:
- Đặt lim un  a ;
n 

- Từ hệ thức truy hồi ta được một phương trình theo ẩn a ;
- Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un ) là
một trong các nghiệm của phương trình trên.
*Cách 2:
- Tìm công thức tổng quát của dãy số;
- Tính giới hạn của dãy số dựa vào công thức tổng quát vừa
tìm.
3.2. DÙNG HÀM CO VÀ ĐỊNH LÝ LAGRANGE
Hàm số co. Hàm số f : D  D được gọi là một hàm số co
trên

D

nếu

tồn

tại

số

thực

0  q 1

sao

cho

f ( x)  f ( y)  q x  y , x, y  D .

Định lý. Nếu f ( x) là 1 hàm số co trên D thì dãy số (x n ) xác
định bởi x0  a  D, xn1  f ( xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là
nghiệm duy nhất trên D của phương trình x  f ( x) .
Phương pháp này thường dùng đối với dạng bài toán:
u1  a
, n 
Cho dãy số thực (un ) xác định bởi 
un 1  f (un )

*

.

21
Khi đó nếu f (u ) là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa
a và

f ' (u)  q  1, u  D thì (un ) có giới hạn hữu hạn khi

n   . Ngược lại nếu f (u ) là hàm số có đạo hàm trên khoảng D
chứa a , f (a)  0 và f ' (u)  q  1, u  D thì (un ) dần về dương
vô cùng khi n   . Trường hợp (un ) có giới hạn thì giới hạn đó
chính là nghiệm của phương trình f (u)  u .
Trong phương pháp này ta cũng thường dùng định lý Lagrange
Định lý Lagrange. Nếu f là hàm số liên tục trên  a; b và

khả vi trên (a;b) thì khi đó luôn tồn tại c   a; b  sao cho

f (b)  f (a)  f ' (c)(b  a) .
3.3. PHƢƠNG PHÁP DÃY PHỤ
Trong phương pháp này ta sẽ thông qua giới hạn của một dãy
số khác để tìm giới hạn của dãy số đã cho bằng cách đặt thêm một
dãy số phụ.
3.4. DÙNG GIỚI HẠN HÀM SỐ
Đối với một vài dãy số có dạng un  f (n), n  * , nếu ta có
lim f ( x)  l thì lim un  l . Như vậy, ta đã chuyển việc tính giới hạn

x 

dãy số sang tính giới hạn hàm số. Khi tính giới hạn hàm số, ta có thể
sử dụng nhiều tính chất liên quan đến hàm số hơn. Và ta cũng có thể
sử dụng qui tắc L’Hospital để tính giới hạn đơn giản hơn, đó là điều
mà khi tính giới hạn dãy ta không dùng được.

3.5. SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP
Kết hợp giữa việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử
dụng nguyên lý kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số
cho bởi hệ thức truy hồi. Sử dụng phương pháp này ta có thể đưa bài
toán tìm giới hạn của dãy đã cho về bài toán tìm giới hạn của những
dãy đơn giản hơn.


22
3.6. DÙNG ĐỊNH LÝ STOLZ – CESARO
Định lý trung bình Cesaro. Nếu dãy số  un  có giới hạn hữu
 u  u  ...  un 
hạn là a thì dãy số các trung bình cộng  1 2
 cũng có
n


giới hạn là a .

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
u
Nếu lim  un1  un   a thì lim n  a .
n
n  n
Định lý Stolz . Cho 2 dãy  un  ,  vn  thỏa mãn:
i/  vn  tăng thực sự đến  ;
u  un 1
ii/ lim n
a;
n  v  v

n
n 1
u
Khi đó lim n  a .
n  v
n

Định lý trung bình Cesaro và định lý Stolz có nhiều ứng dụng
trong việc tìm giới hạn của dãy số, đặc biệt là các dãy số có dạng
un1  un   un  .


3.7. SỬ DỤNG TỔNG TÍCH PHÂN
Để tìm giới hạn của một tổng phụ thuộc vào n

, trong

nhiều trường hợp ta gặp khó khăn trong việc phân tích để tính tổng
đó. Tuy nhiên, ta lại có thể phân tích tổng này về dạng tổng của tích
phân, rồi chuyển bài toán tính giới hạn về bài toán tính tích phân
tương ứng.
Theo định nghĩa tích phân xác định thì ta có : Nếu hàm f ( x)
khả tích trên đoạn  a; b thì với mọi phép phân hoạch  của đoạn

 a; b

và mọi cách chọn các điểm i  xi 1; xi  , i  1,2,..., n ta luôn

b

có


a

f ( x)dx  lim

d 0

n

 f ( )( x  x
i

i 1

i

i 1 ) .

Trong đó d  max( xi  xi 1 ) .
1i  n


23
Như vậy, để tính giới hạn của một tổng dựa vào định nghĩa
tích phân ta có thể làm như sau:
Xét hàm f ( x) xác định trên đoạn  a; b ;

Chia đoạn  a; b thành n đoạn bằng nhau, giới hạn bởi (n  1)





điểm chia xi i  0, n như sau: x0  a  x1  x2  ...  xn  b .
Lấy i  xi  a  i

ba
[xi 1 ; xi ],i=1, n ;
n
ba

 f (i )  f  a  i
.
n 

ba
n

 f  a  i

Nếu f ( x) khả tích trên  a; b thì lim Sn 

 f ( x)dx .

Ta lập tổng Sn 

n


i 1

f (i )( xi  xi 1 ) 

n 

n

i 1
b



ba
.
n 

a

3.8. PHƢƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Nội dung chính của phương pháp này là lựa chọn dãy phù hợp
nhằm áp dụng công thức tích phân từng phần để tìm ra quy luật của
dãy. Từ đó tính giới hạn theo yêu cầu của đề bài.