Luận án tiến sĩ Toán học: Một số dạng của định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Vũ Hoài An
2. GS.TSKH Hà Huy Khoái

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018

✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣
❞➝♥ ❝õ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ✈➔ ❚❙ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈✐➳t
❝❤✉♥❣ ✈î✐ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ sü ♥❤➜t tr➼ ❝õ❛ ✤ç♥❣ t→❝ ❣✐↔ ❦❤✐ ✤÷❛ ✈➔♦
❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣
❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛




ớ ỡ
ữủ tỹ t t tở trữớ
ồ ữ ồ ữợ sỹ ữợ t t
ừ ụ t
tr t tự ồ t sỹ s
ự ồ ợ t ỏ tr s s t tọ ỏ t ỡ
t s s t ố ợ t
ỡ ố ồ t
ồ trữớ ồ ữ ồ
Pỏ ự Pỏ t ừ
ũ t t tr t tờ t
t ồ t ủ ú ù t tr q tr ồ t
ự t
t ỡ trữớ
ữỡ Pỏ ự Pỏ t tr
ỹ t ồ t ủ ú ù t tr q tr

ồ t ự t
t ỡ t ổ tr r
t ở ổ t ự ử rữớ ồ ữ
ồ rữớ ồ rữớ
ữỡ ổ ú ù ở t tr ự ồ
tọ ỏ t ỡ tợ ỳ ữớ t tr
t ỗ ũ tr ỳ ữớ õ
t t t tữỡ ở s
t t ữủ

P ồ


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐✐
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❍❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ✤❛
t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✷✳ ❍❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❘✐tt ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❦✐➸✉ ❋❡r♠❛t✲❲❛r✐♥❣ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✸✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐
♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛
t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽

✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✷✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹
✷✳✸✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐
t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët
tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✸✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✸✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥
❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✾
✸✳✸✳ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
✈➔ ✤❛ t❤ù❝ s❛✐ ♣❤➙♥ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✺

❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✸
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✹
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺





ỵ ồ t
ỵ ỡ ừ ỵ tt số t r ồ số n 2
t ữợ t số tố õ
mk
1
n = pm

1 ...pk , ợ k 1,

õ tứ số tố p1 , ..., pk ổ ởt t số ụ tữỡ
ự m1 1, ..., mk 1 ữủ ởt t t n. tt
ữớ t tữỡ tỹ ỵ ố ợ tự
ổ t t q ừ tt t M(C) tữỡ ự A(C) t
tữỡ ự tr C L(C) t
tự 1 t E, F t rộ ừ M(C) õ ởt
F (z) ữủ ồ ổ t ữủ tr Eì F t
ý t t tỷ F (z) = f g(z) ợ f (z) E g(z) F
t f t t g t t tt
ự ỵ s

ỵ ỵ tự t ừ tt F t

rộ ừ C[z] \ L(C). ởt tự F (z) õ t
t tự ổ t ữủ tr Fì F

F = 1 2 ã ã ã r = 1 2 ã ã ã s ,
t r = s, ừ tự ợ ừ tự
ổ t tự tỹ t ừ ú
ụ tr tt ự ỵ s

ỵ ỵ tự ừ tt sỷ r a, b, c, d C[x]\

C tọ ab = cd gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1.
õ tỗ t t t lj C[x] s (l1 a l2 , l21 b
l3 , l1 c l2 , l41 d l3 ) õ ởt tr

(Fn , Fm , Fm , Fn )

(xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ),
õ m, n > 0 tố ũ s > 0 tố ũ ợ n,
h C[x]\xC[x], lj1 ữủ ừ lj Fn , Fm tự
é t F (z) = f g(z) ủ t
F (z) = f (g(z)) õ t t r ỵ tự ừ tt ổ t
ừ ữỡ tr a(b) = c(d) õ a, b, c, d tự
ừ tự tố ũ ó r ữỡ tr
tự ữủ tt ự trữớ ủ r ừ ữỡ tr
P (f ) = Q(g), õ P, Q tự f, g
Pữỡ tr P (f ) = Q(g) ữủ ự t
ữ ồ t
P
ỵ r ữỡ tr q t tt
t ố ợ ởt ự ử ừ ỵ tt ố
tr t ữủ ự t
ự ữủ r ợ
f g tr t ự C ú õ
ữủ ổ t ở ừ t t f = g
ỵ ú õ ữủ õ t ở ừ

af + b
a, b, c, d số ự õ s
cf + d
ad bc = 0 ỵ ỗ tứ ỵ ỵ
t ữủ ự tử ợ ữợ
ự ừ õ rt t q s s ừ t ộ ự

rs P
ụ ụ
r Pữỡ r r
ự ssst t
t t g =

t sỹ ự ữủ rở s ởt ừ ỵ tt
t õ t t t ừ tự
ữớ t ữợ ữợ ự
ự ởt t q ờ t r ởt
f tr trữớ số ự C ổ tr k
ừ f ợ k số ữỡ ổ tr t f
ụ ữ r tt s

n tt

ởt f tọ
f (z)f (z) = 1 ợ n số ữỡ ợ ồ z C t f


✸

❤➔♠ ❤➡♥❣✳
●✐↔ t❤✉②➳t ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➼♥❤ ❍❛②♠❛♥ ❦✐➸♠ tr❛ ✈î✐ n > 1 ✈➔ ✤÷ñ❝ ❈❧✉♥✐❡
❦✐➸♠ tr❛ ✈î✐ n ≥ 1✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➣ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤
♠ët ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ ❝õ❛ ❍❛②♠❛♥✳ ❈æ♥❣ tr➻♥❤
q✉❛♥ trå♥❣ t❤ó❝ ✤➞② ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② t❤✉ë❝ ✈➲ ❨❛♥❣✲❍✉❛ ❬✺✶❪✱ ❤❛✐
æ♥❣ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✈➔ ✤ì♥ t❤ù❝
✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♥â ❝â ❞↕♥❣ f n f ✳ ❍❛✐ æ♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ r➡♥❣✱ ✈î✐ f
✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✱ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✱ n ≥ 11 ♥➳✉ f n f

✈➔ g n g ❝ò♥❣ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ♣❤ù❝ a t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐ t❤➻ ❤♦➦❝ f, g s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉
♠ët ❝➠♥ ❜➟❝ n + 1 ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✱ ❤♦➦❝ f, g ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝
❝õ❛ ❤➔♠ ♠ô ✈î✐ ❝→❝ ❤➺ sè t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ ✤â✳ ❚ø ✤â✱ ❝→❝
❦➳t q✉↔ t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❞ü❛ tr➯♥ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥
❞↕♥❣ (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) ✭❇❤♦♦s♥✉r♠❛t❤ ✲ ❉②❛✈❛♥❛❧ ❬✶✵❪✱ ❋❛♥❣ ❬✶✽❪✮ ✈➔
❝â ❞↕♥❣ [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) ✭①❡♠ ❩❤❛♥❣ ✈➔ ▲✐♥✱ ❬✺✹❪✮✱ ✈➔ ❝â
❞↕♥❣ (f )( ) P (f ),✭ ①❡♠ ❑✳ ❇♦✉ss❛❢✲ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✲ ❏✳ ❖❥❡❞❛❬✶✶❪✮✳ ◆➠♠ ✶✾✾✼✱
t❤❛② ✈➻ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ n✱ ■✳ ▲❛❤✐r✐ ❬✸✻❪ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❝õ❛ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤æ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✳ ❚❤❡♦ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔②✱
♥➠♠ ✷✵✵✷ ❈✳ ❨✳ ❋❛♥❣ ✈➔ ▼✳ ▲✳ ❋❛♥❣ ❬✶✼❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♥➳✉ n ≥ 13,
✈➔ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f ✈➔ g, ♠➔ f (n) (f − 1)2 f ✈➔
g (n) (g − 1)2 g ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✶ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✱ t❤➻ f = g. ❱➔♦ ❝✉è✐ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠
❝õ❛ t❤➟♣ ❦✛ ♥➔②✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ①➨t ✤è✐ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝
s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ▲❛✐♥❡ ✈➔ ❨❛♥❣ ❬✸✼❪
✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà ❝õ❛ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠
♥❣✉②➯♥✳ ❳✳ ❈✳✲◗✐✱ ▲✳✲❩✳ ❨❛♥❣ ✈➔ ❑✳ ▲✐✉ ❬✹✺❪ ①❡♠ ①➨t ❝→❝ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ✈➔
✈✐ ♣❤➙♥ ❝â ❞↕♥❣ f (z)(n) f (z + c), ✈➔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ f = tg ✱ ✈î✐ f
✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ s✐➯✉ ✈✐➺t ❝â ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥✳
◆➠♠ ✷✵✵✼✱ ①✉➜t ♣❤→t tø ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt✱ ❋✳P❛❝❦♦✈✐❝❤ ❬✹✸❪ ❝â þ
t÷ð♥❣ ①➨t ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝✳ ➷♥❣ ✤➣ t➻♠
✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ f1 , f2 ✈➔ ❤❛✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K1 , K2 t❤ä❛ ♠➣♥
f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 ). ❑➳t q✉↔ ❝õ❛ ❋✳P❛❝❦♦✈✐❝❤ ✤÷ñ❝ ✣✐♥❤ ❚✐➳♥ ❈÷í♥❣ ♠ð
rë♥❣ tr♦♥❣ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✳ ❚ø ✣à♥❤ ❧þ ❘✐tt t❤ù ❤❛✐ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❋✳P❛❦♦✈✐❝❤
♥â✐ tr➯♥ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝â ♥❤➟♥ ①➨t✳

◆❤➟♥ ①➨t✳ ✣à♥❤ ❧þ ❘✐tt t❤ù ❤❛✐ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ❧➔ ❦➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥

✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P (f ) = Q(g)✱ tø ✤â s✐♥❤ r❛
❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ①→❝ ✤à♥❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ↔♥❤ ♥❣÷ñ❝

❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ✤✐➸♠✳

❚ø ♥❤➟♥ ①➨t ♥➔② ✈➔ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭①❡♠ ❬✸❪✱ ❬✸✺❪✱




tr ự ữủ t r tỹ ữ s
t sỹ tữỡ tỹ ỵ tt ố ợ
tự tự s tự q s
t t ố ợ
tự tự s tự q s ữợ
õ ở ừ ỵ tt
ứ õ ú tổ ồ t ởt số ừ ỵ tt ự ử
t qt ự tr ỗ
tớ õ ú t t q ự ử ừ ỵ tt





ử t ừ

t ởt số ỵ tữỡ tỹ ỵ ừ tt ố ợ
tự tự s tự q s tr
trữớ ủ ự p
t ố ợ
tự tự s tự q s tr trữớ
ủ ự p ữợ õ ở ừ ỵ tt

ố tữủ ự

tự tự s
tự q s tr trữớ ủ ự p ữợ õ ở ừ
ỵ tt
t ừ tự tự s
tự q s tr trữớ ủ ự p ữợ õ ở ừ
ỵ tt

Pữỡ ổ ử ự

ỷ ử ỵ tữỡ tỹ ừ ú ũ ợ
ờ r ừ ỵ tt ố tr ữỡ tr
ữỡ tr tữỡ tỹ ữ ữỡ tr tr ỵ
tt tự
ỷ ử ỵ t t
t ữỡ tr ớ õ t q ữỡ tr
õ tr ữ r t q t

ị ồ ừ
ữ r ởt t ợ ố ợ




t ừ tự tự s õ
t ữợ õ ở ừ ỵ tt ớ õ tt
ữủ t q ợ õ rở t ự ử ừ ỵ tt

trú t q ừ

ỗ õ ữỡ ũ ợ t t
t
ữỡ ợ tỹ ỵ ừ tt t ố ợ
tự ừ r ữỡ ú tổ
ự t ố ợ tự ừ ở
ừ ữỡ ữủ t ỹ tr ự
t ỗ ữợ s
ữợ t t q tữỡ tỹ ỵ tt ố ợ

ữợ t t ữỡ tr ũ t q
ữợ
ữ t t tr ỵ tự t ừ tt ự tọ r t
ý sỹ t ừ ởt tự trữợ t tự ổ
t ữủ s ự ũ ởt số tự ữ ừ
tự tr ộ t ữ ổ t tự tỹ ừ
ú tr t ứ õ ử t tự t ừ ữỡ
t t q tữỡ tỹ ỵ tự t ừ tt
t t r ự ừ ỵ ừ tt tr
ữớ ữ ổ tữỡ tỹ ữủ ỵ ộ tt
ũ ỳ ổ ừ tự tr ự
ừ ổ ử õ trữợ t ú tổ tt
ỵ ỵ ởt ỵ tt tự ố
ợ ữỡ tr P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ), õ P, Q tự
f1 , f2 , g1 , g2 ú ỵ r t q
ữủ t ự tr t ú
tổ t q ữợ õ ở ừ ỵ tt tự ữ r ởt
ự ớ ử ỵ q ú
tổ ự ữủ ỵ ởt t q tữỡ tỹ ỵ

tt tự t ố ợ r ữỡ ỏ tr
ự ử ừ ỵ õ ỵ ỵ
ỵ t t q ợ Bi U RSM
ỵ r t ố ợ tự (P (f ))(k) õ
P tự f ởt t õ õ
tr trữớ ủ tờ qt ữ õ ởt ố tốt ỳ




trữ ừ f ợ trữ ừ (P (f ))(k)
t q ữủ t ởt số trữớ ủ r ừ t
õ [f n (f 1)m ](k) ợ f (f n )(k)
ợ f ú tổ ợt õ
ố ợ tự (P d (f ))(k) . ứ õ ũ tữỡ
tỹ ừ ỵ tự ờ ú tổ ữủ ỵ
õ ởt t q t t ố ợ tự
ữỡ ợ tỹ ỵ tự ừ tt t
ừ tự tr ởt trữớ ổst r
ữỡ ú tổ ự
t ừ tự tự s tự
q s tr trữớ ủ p ữợ õ ở ừ ỵ tt tự
ở ừ ữỡ ữủ t ỹ tr
ữ tr
t ừ tự ụ ữủ ự õ t q
tú tr trữớ ủ p r ự
tự (f n )(k) ữủ t q (f n )(k) (g n )(k)
tr õ t ở ợ f, g
tr ởt trữớ ổst n, k số ữỡ tọ
n 3k + 8 t f g s ởt n ừ ỡ ứ õ

t tự t t r tr ữỡ t t f, g ú
tổ t t tỷ (P n (f ))(k) (Qn (g))(k) ũ
ởt tr õ P, Q tự rtr ứ õ ú
tổ tt ữủ ỵ ỵ ởt t q
t tr ởt trữớ ổst tự
ừ õ ú ỵ r n 3k + 5 tr ỵ
tốt ỡ tữỡ ự n 3k + 8 tr t q ừ

r t r s tự f 1 (S) = g 1 (S)
ợ S = {1, 1} ố ợ tự ũ f, g s t f = g
f = g ọ ụ ữủ tr ứ õ
ọ tự t r tr ữỡ S, T t ổ
ừ tự P (z), Q(z) tữỡ ự t t õ t t f, g
Ef (S) = Eg (T ) ỵ ũ q
ọ t r õ tr ớ ọ ừ tr
ọ ừ P tr tr trữớ ủ p r
ữỡ ú tổ ụ tt ữủ t q ỵ ởt
ỵ tt tự ởt tỡ p ỵ
t q t ừ tự p


✼

❈❤÷ì♥❣ ✸ ❝â t➯♥ ❣å✐✿ ✧✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐
✈î✐ t➼❝❤ q✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣
❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t✧✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❱➜♥ ✤➲ ✸ ❞÷î✐ ❣â❝
✤ë ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥
❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✻❪✱ ❬✷✷❪✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤ù❝✱ ❝❤õ ✤➲ ♥➔② ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣➛♥ ✤➙② ✈➔ ✤❛♥❣
✤÷ñ❝ t✐➳♣ tö❝ ❜ð✐ ❈✳❨✳❋❛♥❣✲▼✳▲✳❋❛♥❣ ✭❬✶✼❪✮✱ ■✳▲❛❤✐r✐ ✭❬✸✻❪✮✱ ▲❛✐♥❡✲❨❛♥❣

✭❬✸✼❪✮✱ ▲✐✉✲❈❛♦ ✭❬✸✾❪✮✱ ❳✳❈✳◗✐✱ ▲✳❩✳❨❛♥❣✲❑✳▲✐✉ ✭❬✹✺❪✮✱ ❈✳❈✳❨❛♥❣ ✭❬✺✵❪✮✱
❍✳❳✳❨✐ ✭❬✺✷❪✮✱✳✳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♠î✐ ❝❤➾ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❧î♣ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❝â ❜➟❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤ s❛✐ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ❜➟❝ ❦❤æ♥❣ ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤ q ✲s❛✐
♣❤➙♥✳
❘➜t ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ t❤ó ✈à ❝ô♥❣ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ ❦❤æ♥❣✲❆❝s✐♠❡t ✭①❡♠ ❬✾❪✱ ❬✶✻❪✱ ❬✷✼❪✱ ❬✷✽❪✱ ❬✸✵❪✱ ❬✹✶❪✮✳
❑✳❇♦✉ss❛❢✱ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ❏✳ ❖❥❡❞❛ ✭❬✶✶❪✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t
✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝ ♠➔ f P (f ), g P (g) ❝ò♥❣ ♥❤➟♥ ♠ët ❤➔♠
♥❤ä✳ ❚r♦♥❣ ❬✾❪✱ ❏✳✲P✳ ❇❡③✐✈✐♥✱ ❑✳ ❇♦✉ss❛❢ ✈➔ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❧➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤è✐ ✈î✐ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉②
♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❞↕♥❣ f n f m (qz + c)✱ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ q ✲s❛✐
♣❤➙♥ ❞↕♥❣ (f nm (z)f nd (qz + c))(k) . ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛ ❬✹❪✱ ❱ô
❍♦➔✐ ❆♥✲P❤↕♠ ◆❣å❝ ❍♦❛✲❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐ ❬✻❪✱ ❱ô ❍♦➔✐ ❆♥✲❍➔ ❍✉② ❑❤♦→✐
❬✷✽❪ ✤➣ ❝â ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t❤❡♦ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔②✳ ❈❤ó þ r➡♥❣✱ t➼❝❤ q ✲s❛✐
♣❤➙♥ ✈➔ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♥➯✉ tr➯♥ ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ ✤➲ ❝➟♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤ù❝✳
▲þ ❞♦ ❧➔ ð ❝❤é✱ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f ✈➔
❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f (qz + c) ❝â t❤➸ ❦❤æ♥❣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷ñ❝
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤ù❝✳ ◆â ❝❤➾ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p✲❛❞✐❝ ❞♦
t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ p✲❛❞✐❝✳ ❉ò♥❣ ❇ê ✤➲ ✸✳✶✳✷✱ ✸✳✶✳✻ ✭❝→❝ ❦✐➸✉ ❝õ❛
✣à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝✮ ✈➔ ❝→❝ ❇ê ✤➲ ❦ÿ t❤✉➟t
❦❤→❝ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✉ ✤÷ñ❝ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳✼✱ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✸✳✹ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ✸✳ ✣à♥❤
❧þ ✸✳✷✳✼ ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ p✲❛❞✐❝✳ ✣à♥❤ ❧þ ✸✳✸✳✹ ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛
t➼❝❤ q ✲s❛✐ ♣❤➙♥✱ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ p✲❛❞✐❝✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❍ë✐ t❤↔♦ q✉è❝ t➳ ✈➲ ❣✐↔✐
t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❧➛♥ t❤ù ✷✵ t↕✐ ❍➔ ◆ë✐ ♥❣➔② ✷✾✴✵✼✲✸✴✵✽✴✷✵✶✷❀ ❍ë✐
♥❣❤à ❚♦→♥ ❤å❝ ♣❤è✐ ❤ñ♣ ❱✐➺t✲P❤→♣✱ ❍✉➳ ✷✵✲✷✹✴✵✽✴✷✵✶✷❀ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝
❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ✽✱ ◆❤❛ ❚r❛♥❣ ✶✵✲✶✹✴✵✽✴✷✵✶✸❀ ❍ë✐ ♥❣❤à ✣↕✐ sè✲ ❍➻♥❤ ❤å❝✲
❚♦♣♦✱ ❇✉æ♥ ▼❛ ❚❤✉ët ♥❣➔② ✷✻✲✸✵✴✶✵✴✷✵✶✻❀ ❈→❝ ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐

t➼❝❤✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥❀ ❈→❝


✽

❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣ ✈➔ tr÷í♥❣
❈❛♦ ✤➥♥❣ ❍↔✐ ❉÷ì♥❣✳


✾

❈❤÷ì♥❣ ✶
❍❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❘✐tt ✈➔ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉②
♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝õ❛
❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥
❤➻♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝↔✐ t✐➳♥ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝õ❛ ❘✐tt ❝❤♦ ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ❤♦➔♥ ❝↔♥❤
♥➔②✳ ▼✉è♥ ✈➟②✱ tr÷î❝ ❤➳t ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✷ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❦✐➸✉
✣à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❘✐tt✳ ❚ø ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✺ ✈➔
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✺ ❧➔ ♠ët ❦✐➸✉ ✣à♥❤ ❧þ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❘✐tt✳ ✣à♥❤
❧þ ✶✳✸✳✷ ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✤è✐ ✈î✐ ✈➜♥ ✤➲ Bi − U RSM ✳
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤✐➳t ❧➟♣ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✸✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ t➟♣
①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❚ø ✤â✱ ❞ò♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✺ ✭♠ët
t÷ì♥❣ tü ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤ t❤ù ❤❛✐✮ ✈➔ ❞ò♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ✭t÷ì♥❣
tü ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠➔ ❘✐tt ①❡♠ ①➨t✮ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✶✵✲
♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ✤❛ t❤ù❝ ✈✐ ♣❤➙♥✳

✶✳✶✳ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ
❚r÷î❝ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝
❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ tr➯♥ C✳ ❱î✐ ♠é✐ a ∈ C✱ t❛ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❤➔♠ νfa : C → N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

νfa (z) =

0
d

♥➳✉ f (z) = a
♥➳✉ f (z) = a ✈î✐ ❜ë✐ d

,

✈➔ ✤➦t νf∞ = ν 01 . ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ν af : C → N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ν af (z) =
f


✶✵
0
min νfa (z), 1 , ✈➔ ✤➦t ν ∞
f = ν 1 . ✣➦t
f

r

1
N (r,
)=
f −a

νfa (z) − νfa (0))

(
|z|≤t

0

dx
− νfa (0) log r;
x

1
N (r, f ) = N (r, ).
f
r

N (r,

1
)=
f −a

ν af (z) − ν af (0))

(
0

|z|≤t

dx

− ν af (0) log r;
x

1
N (r, f ) = N (r, ).
f
●✐↔ sû m ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ❱î✐ ♠é✐ a ∈ C ∪ {∞} , t❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠
a
tø C ∪ {∞} ✤➳♥ N ❝❤♦ ❜ð✐
νf,m)
a
νf,m)
(z)

=

0
νfa (z)

♥➳✉ νfa (z) > m
♥➳✉ νfa (z) ≤ m

.

∞
= ν 01 m) . ❳→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ν af,m) : C ∪ {∞} → N ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
✣➦t νf,m)
f,

ν af,m) (z)

a
0
(z), 1 , ✈➔ ✤➦t ν ∞
= min νf,m)
f,m) = ν 1 ,m) .
f

❚❛ ❝ô♥❣ ❝â ❝→❝ ❤➔♠ ✤➳♠ Nm) (r,
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

1
1
f −a ), Nm) (r, f ), N m) (r, f ), N m) (r, f −a )

r

1
Nm) (r,
)=
f −a

(

a
a
νf,m)
(z) − νf,m)
(0))

|z|≤t

0

dx
a
− νf,m)
(0) log r;
x

1
Nm) (r, f ) = Nm) (r, ).
f
r

1
N m) (r,
)=
f −a

(
0

ν af,m) (z) − ν af,m) (0))

|z|≤t

dx
− ν af,m) (0) log r;
x

1
N m) (r, f ) = N m) (r, ).
f
a
❚÷ì♥❣ tü t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ νf,(m
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
a
νf,(m
(z)

=

0
νfa (z)

♥➳✉ νfa (z) < m
♥➳✉ νfa (z) ≥ m

,




t f,(m
= 01 ,(m . af,(m : C {} N
f

af,(m (z)

0
= min af,(m (z), 1 , t
f,(m = 1 ,(m .
f

ụ tữỡ tỹ

N(m (r,

1
1
), N(m (r, f ), N (m (r, f ), N (m (r,
).
f a
f a



1 2 +
log |f (rei )|d,
m(r, f ) =
2 0
T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ).
õ ờ s tr

ờ ỵ ỡ tự f

tr C a1 , a2 , . . . , aq t tr C {} õ

q

(q 2)T (r, f )

N1 (r,
i=1

1
) + S(r, f )
f ai

tr õ S(r, f ) = 0(Tf (r)) ợ ồ r trứ r ởt t õ ở s
ỳ

q f tr C a1, a2, . . . , aq

t tr C {} sỷ f ai ổ õ ổ
f ai õ ổ ở t t mi i = 1, . . . , q õ
q

1
i=1

1
mi

2.

s
ởt tự P (z) C[z] ữủ ồ tự t

tr C ợ ồ f, g
tr C tọ P (f ) = P (g), t õ f = g.
ữỡ tỹ tự P (z) C[z] ữủ ồ tự t
ợ t ý f, g
tr C số c = 0 tọ P (f ) = cP (g), t õ

f = g.
tự t tữỡ ự t ố ợ
t tt U P M tữỡ ự SU P M


✶✷

❑þ ❤✐➺✉ M(C) ❧➔ tr÷í♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C✳ ❱î✐ f ∈ M(C) ✈➔
S ⊂ C ∪ {∞}✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

(z, νfa (z)) : z ∈ C .

Ef (S) =
a∈S

◆➳✉ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥✱ t❛ t❤❛② νfa (z) ❜ð✐ ν af (z) ✭❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✮ t❤➻
t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ t➟♣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❧➔ E f (S)✭↔♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ S ✮✳
●✐↔ sû m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❤♦➦❝ ∞, t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
a
(z, νf,m)
(z)) : z ∈ C .

Ef,m) (S) =
a∈S

❈❤ó þ r➡♥❣✱ ♥➳✉ m = ∞ t❤➻ Ef,∞) (S) = Ef (S) ✈➔ ♥➳✉ m = 1, t❤➻

Ef,1) (S) ⊂ E f (S).
●✐↔ sû F ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ M(C). ❍❛✐ ❤➔♠ f, g ❝õ❛ F ❣å✐ ❧➔ ♥❤➟♥
S t➼♥❤ ❜ë✐✱ ✭♥❤➟♥ S ❈▼ ✮✱ ♥➳✉ Ef (S) = Eg (S) ✈➔ ♥❤➟♥ S ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✱
✭♥❤➟♥ S ■▼✮✱ ♥➳✉ E f (S) = E g (S).
❈❤♦ t➟♣ S ⊂ C ∪ {∞}✳ ◆➳✉ Ef (S) = Eg (S) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ✈î✐ ❤❛✐ ❤➔♠
♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f, g t❤➻ S ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ①→❝
✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ ✈✐➳t t➢t
❧➔ U RSM ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ U RSE ✮✳
▼ët t➟♣ S ⊂ C ∪ {∞} ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✱ ❦þ ❤✐➺✉ U RSM − IM ✭t÷ì♥❣
ù♥❣✱ U RSE − IM ✮✱ ♥➳✉ E f (S) = E g (S) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g ✳
▼ët t➟♣ S ⊂ C ∪ {∞} ❣å✐ ❧➔ U RSMm) ✭ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ U RSEm) ✮ ♥➳✉
✈î✐ ❜➜t ❦➻ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ f, g t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
Ef,m) (S) = Eg,m) (S) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g.
❍❛✐ t➟♣ S1 , S2 ⊂ C ∪ {∞} ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ Bi − U RSM ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ Bi −
U RSE ✮✱ ♥➳✉ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✮ f, g
t❤♦↔ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 ❦➨♦ t❤❡♦ f = g.
❚❛ ❝â ❝→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ❬✷✹❪ ✭❇ê ✤➲ ✤↕♦ ❤➔♠ ▲♦❣❛r✐t ✮ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝
❤➡♥❣ tr➯♥ C . ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ k, ✈➔ ♠å✐ r < p t❛ ❝â
(k)

ν r, f f

≤

1
rk ✱

✣➦❝ ❜✐➺t

m r,

f (k)
f

≤ S(r, f ).




ờ f g tr C

Ef (1) = Eg (1) t ởt tr tự s ú
T (r, f ) N2 (r, f ) + N2 (r, f1 ) + N2 (r, g) + N2 (r, g1 ) + S(r, f ) + S(r, g),
t tự tữỡ tỹ r ố ợ T (r, g);
f g 1;
f g.

ờ f g tr C

E f (1) = E g (1) t ởt tr trữớ ủ s ú

1
1
T (r, f ) N2 (r, f ) + N2 r,

+ N2 (r, g) + N2 r,
f
g
1
+ 2 N1 (r, f ) + N1 r,
f
1
+ N1 (r, g) + N2 r,
+ S(r, f ) + S(r, g),
g
t tự tữỡ tỹ r ố ợ T (r, g);
f g
f g.

ờ xdq
Di (x1 , x2 , . . . , xN +1 ) ợ 1 i N + 1
i
i

tự t t d s t õ tr tờ qt tr
P N (C) sỷ tỗ t ữớ f tứ C PN (C) ợ
rút ồ f = (f1 : ã ã ã : fN +1 )s ừ õ tr ữớ
ữủ
N +1

N +1
i
xdq
Di (x1 , x2 , . . . , xN +1 )
i

2

= 0, d N +

i=1

qi .
i=1

õ tự
dqN +1

1
xdq
D1 (x1 , x2 , . . . , xN +1 ), . . . , xN
1

DN +1 (x1 , x2 , . . . , xN +1 )

ử tở t t tr ừ f

ờ d, n N, d n2, ai, i = 1, ..., n + 1,

số ổ tở C, f1 , ..., fn+1 tr C, ổ
d
ỗ t ổ tọ a1 f1d + a2 f2d + ... + an+1 fn+1
= 0.
õ tỗ t ởt ừ số {1, ..., n + 1} = Iv , tọ

ộ Iv ự t t 2 số
ợ j, i Iv ; t õ fi = cij fj , õ cij số ổ




ỵ ừ tt ố ợ tự
rtr ừ
t tự t t rtr ữủ


P (z1 , z2 ) = cz1n + dz1nm z2m + ez2n , Q(z1 , z2 ) = uz1n + vz1nm z2m + tz2n .
f1 , f2 , g1 , g2 r ử ú tổ t ữỡ
tr P (f1 , f2 ) = Q(g1 , g2 ) ữợ õ ở ỵ tự ừ tt
rữợ t ú tổ õ ờ s

ờ n, n1, n2, . . . , nq

N , a1 , a2 , . . . , aq
q n
i
t ừ C c C c = 0 q > 2 +
. õ ữỡ tr
i=1 n

(f a1 )n1 (f a2 )n2 . . . (f aq )nq = cg n ,



(f a1 )n1 (f a2 )n2 . . . (f aq )nq g n = c

ổ õ (f, g)
ỵ s ởt t q tữỡ tỹ ỵ tự ừ tt ú ỵ
r t q ữủ tr tr
ú tổ t q ữợ õ ở ỵ tự
ừ tt ữ r ởt ự

ỵ n, m N, n 2m + 9, c, d, e, u, v, t C

số ổ sỷ m 2 (m, n) = 1 m 4;
f1 , f2 , g1 , g2 ổ ỗ t ổ ff21 gg12
tọ

cf1n + df1nm f2m + ef2n = ug1n + vg1nm g2m + tg2n .
õ t õ

g1 = hf1 , g2 = lf2 ,

ợ h, l số tọ

hn =

c nm m d n e
, h
l = , l = .
u
v
t

ự ứ t õ

cf1n + df1nm f2m + ef2n ug1n vg1nm g2m tg2n = 0,



ef2n + f1nm (cf1m + df2m ) tg2n g1nm (ug1m + vg2m ) = 0.



õ

nm
m
m
n
(uxm
(cxm
ú ỵ r exn1 , xnm
4 + vx3 )
2 + dx1 ), tx3 , x4
2
tự t t n tr tờ qt n 2m + 9 ờ
tỗ t số C1 , C2 , C3 , (C1 , C2 , C3 ) = (0, 0, 0), s

C1 ef2n + C2 tg2n + C3 f1nm (cf1m + df2m ) = 0.



s ự tọ r C1 , C2 = 0, C3 = 0.
rữợ t t sỷ r C1 , C2 , C3 = 0. õ t t r
m
n
n
tự t t x1nm (cxm
1 + dx2 ), ex2 , tx3 tr tờ qt õ
n 2m + 9 ờ tỗ t số , , (, ) = (0, 0),
s

f1nm (cf1m + df2m ) + ef2n = 0.

f1
ởt t ợ tt
f2
õ ởt tr số C1 , C2 , C3 ổ s ự r
C3 = 0.
t sỷ r C2 = 0. t tứ t õ

ứ s r

C1 ef2n + C3 f1nm (cf1m + df2m ) = 0.
f1
ởt tr ợ tt
f2

ớ sỷ C1 = 0. ứ t õ
r

C2 tg2n + C3 f1nm (cf1m + df2m ) = 0.
r

cC3

f1
f2

nm

f1
f2

m

+

g2
d
= C2
c
f2

n

.

ú ỵ r ữỡ tr z m + dc = 0 õ m t d1 , d2 , ..., dm .
t f =

f1
g2
, = , t ữủ
f2
f2

f nm (f d1 )...(f dm ) = n , = 0.






ứ s r f ụ
t trữớ ủ m 2 (m, n) = 1 t tứ t t r số ở
ừ ộ ổ ừ f f di ởt ở ừ n. n 2m + 9
q t s r r ữỡ tr ổ õ
t ợ tt

nm
1
+ m
i=1 , ử ờ
n
n

ợ q = m + 1, n = n, n1 = n m, n2 = n3 = ... = nm = 1
t ụ ữủ ởt t ợ tt
C3 = 0. ứ t õ

t trữớ ủ m 4. m + 1 > 2 +



C1 ef2n + C2 tg2n = 0.
r

g2
ởt số ổ t
f2
g2
= l,
f2



t ữủ

e 1+

C1 n
f + f1nm (cf1m + df2m ) g1nm (ug1m + vg2m ) = 0.
C2 2

ug1n + f1nm (cf1m + df2m ) + e 1 +

C1 nm
f2
vlm g1nm f2m = 0.
C2


C1
= 0.
C2
C1
sỷ ự r 1 +
= 0. ó r tự
C2
C1 nm
m
m
uxn1 , x2nm (cxm
x3 vlm xnm
2 + dx3 ), x3 e 1 +
1
C2
s ự tọ r 1 +

õ tr tờ qt n 2m + 9 ờ tỗ t số
C1 , C2 , (C1 , C2 ) = (0, 0), s

C2 ug1n + C1 f1nm (cf1m + df2m ) = 0.
g1 ổ ỗ t 0

0, C2 = 0. õ t õ

C1 f1nm (cf1m + df2m ) = C2 ug1n , C1 c

f1
f2

n

f1
số C1 =
f2

+ C1 d

f1
f2

nm

= C2 u

g1
f2

n

.

f1
f2

C1 c

nm

f1
f2

m

+

d
g1
= C2 u
c
f2

n

.



tữỡ tỹ ữ tữỡ tỹ ữ ự
C1 = 0, t ữủ ởt t ợ tt
t ự ữủ 1 +

C1
= 0, tứ t õ
C2

tg2n = ef2n g2 2 ợ e = tln .
g2

t ự ỵ t ự tọ r
f1
ởt số
tg2n = ef2n , tứ t õ
c n d nm u n v nm
g1
f1
f + f
= g + g
, ợf = , g = .
e
e
t
t
f2
g2
ỡ t h1 =



g
ct
dt

=
= 0; =
= 0. õ t õ
f
eu
ve

u m n ct
v
dt
f (h1 ) = (hnm
),
1
t
eu
t
ve
f

m

(hn1

v hnm

v nm
m
.
) = (h1 ), f = 1 n
u

u h1



sỷ r h1 ổ ứ t õ

T (r, f ) = T (r, g) + S(r, f ), S(r, f ) = S(r, g),
n
T (r, h1 ) + S(r, f ), S(r, f ) = S(r, h1 ).
m
t S(r) = S(r, f ) = S(r, g) = S(r, h1 ). t trữớ ủ s
rữớ ủ m 2, (m, n) = 1. hn1 hnm
ổ õ ổ
1
n
t ồ ổ ừ h1 õ ở m. t
T (r, f ) =

N1 (r,

1
1
1
N
(r,
)

).
hn1
m

hn1

ờ t õ

T (r, hn1 ) N1 (r, hn1 ) + N1 (r,

1
1
)
+
N
(r,
) + S(r).
1
hn1
hn1


✶✽

❑þ ❤✐➺✉ ζ ❧➔ ♠ët ❝➠♥ ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ❜➟❝ n ❝õ❛ ✤ì♥ ✈à✱ t❛ ❝â

1
1
1
1
N1 (r, n
) ≤ N (r, n
)≤
h1 − α

m
h1 − α
m

n

N (r,
j=1

1
n
)
≤
T (r, h1 ).
h1 − ζ j α
m

❚ø ✤➙②✱ ❦➨♦ t❤❡♦

nT (r, h1 ) ≤ 2T (r, h1 ) +

n
n
T (r, h1 ) + S(r), (n − 2 − )T (r, h1 ) ≤ S(r),
m
m

s✉② r❛
✭✶✳✶✺✮

n(m − 1) ≤ 2m,

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ n ≥ 2m + 9.
◆➳✉ hn1 − α ✈➔ hn−m
− β ❝â ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t❤➻ tç♥ t↕✐ z0 s❛♦ ❝❤♦
1
n−m
n
h1 (z0 ) = α ✈➔ h1 (z0 ) = β. ❚ø ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

αf m ((

u
h1 n−m
h1 n
) − 1) = −β ((
)
− 1).
h1 (z0 )
v h1 (z0 )

❱➻ (m, n) = 1 ♥➯♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n − 1 = 0 ✈➔ z n−m − 1 = 0 ❝â ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❦❤→❝ z = 1. ✣➦t ri , i = 1, ..., 2n − m − 2 ❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â ♠å✐ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛
t❤➳✱ ❞♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷ t❛ ❝â

(1 −

h1
− ri ✤➲✉ ❝â ❜ë✐ ≥ m. ❱➻

h1 (z0 )

1
m2 + 3m − 2
)(2n − m − 2) ≤ 2, tù❝ ❧➔, n ≤
,
m
2(m − 1)

✭✶✳✶✻✮

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ n ≥ 2m + 9.
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✳ m ≥ 4. ❈❤ó þ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n − α = 0 ❝â n ♥❣❤✐➺♠
✤ì♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n−m − β = 0 ❝â n − m ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥✳ ❉♦ ✤â z n − α =
0, z n−m − β = 0 ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t n − m ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ❝❤✉♥❣✳ ❱➻ t❤➳✱ ❝â ➼t ♥❤➜t
m ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ z n − α = 0 ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ z n−m − β = 0✱ ❣å✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ r1 , r2 , ..., rm . ❚❤➳ t❤➻✱ ♠é✐ ❦❤æ♥❣
✤✐➸♠ ❝õ❛ h1 − rj , j = 1, ..., m, ❝â ❜ë✐ ➼t ♥❤➜t ❧➔ m. ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✷ t❛
1
❝â m(1 − m
) ≤ 2. ❙✉② r❛ m ≤ 3✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t✳
❱➟② h1 ❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳
❉♦ g = h1 f, g2 = lf2 ♥➯♥ t❛ ❝â g1 = hf1 ✳ ❚ø ✭✶✳✹✮ ✈➔ ❞♦
❦❤→❝ ❤➡♥❣ ♥➯♥ t❛ ❝â

g1 = hf1 , g2 = lf2 ,

f 1 g1
✱
❧➔ ❝→❝ ❤➔♠

f 2 g2




ợ h, l số ữủ

hn =

c nm m d n e
, h
l = , l = .
u
v
t

ỵ ữủ ự
ờ s ữủ ự tr

ờ n, m N, c, d, e, u, v, t C số

ổ n 2m + 4 m 2 (n, m) = 1, m 4. sỷ
r (f, g) ừ ữỡ tr

cf n + df nm + e = ug n + vg nm + t.



c
d

õ t = e tỗ t số ự ổ h tọ hn = , hnm =
u
v
s g = hf.
ớ ú t t sỹ t tữỡ tỹ ữ tr ỵ tự
t ừ tt ố ợ ởt ợ tự rtr
ợ tự ữủ tự
rữợ t t ồ ởt F ổ t ữủ ố ợ
ởt ợ P tự ổ tỗ t ởt sỹ t õ

F = P f,
õ P P õ ợ ỡ f õ q s

q ợ ồ
f t õ f n ổ
n
nm
t ữủ ố ợ P = {z + dz
+ e}, õ d, e số ự
ổ n, m số ữỡ tọ n m + 4.

ự sỷ ự r tỗ t D P g M(C) s

f n = D g, f n = g n + dg nm + e.
õ tữỡ tỹ ữ tr ự ờ t ữủ
ởt t ợ n m + 4
ai , bi , i = 1, 2, ã ã ã , r pj , qj , j = 1, 2, ã ã ã , s số
ổ t

P = {Ri = z n + ai z nm + bi , i = 1, 2, ..., r};

Q = {Dj = z n + pj z nm + qj , j = 1, 2, ..., s}.
t q tữỡ tỹ ỵ tự t ừ tt




ỵ n, m số ữỡ tọ n 2m + 4

m 2 (n, m) = 1, m 4. sỷ f g
s f tữỡ ự ổ t ữủ tr Q
tữỡ ự tr P õ t õ

Rr Rr1 ã ã ã R1 f = Ds Ds1 ã ã ã D1 g,
t r = s f = lg ợ l ởt số
ú ỵ r t ổ t ữủ
tr P, Q ổ q

ự sỷ

Rr Rr1 ã ã ã R1 f = Ds Ds1 ã ã ã D1 g.



ổ tờ qt sỷ r r s.
ỡ t t

= Rr1 ã ã ã R1 f, = Ds1 ã ã ã D1 g.
t t õ

n + ar nm + br = n + ps nm + qs .

ử ờ t s r tỗ t số ổ h
s = h, tự

Rr1 ã ã ã R1 f = hDs1 ã ã ã D1 g.
tử ữ t t r tỗ t số t ổ s

R1 f = tDsr+1 ã ã ã D1 g.



ữỡ tỹ ữ tr tứ ờ s r tỗ t số l
ổ s

f = lDsr ã ã ã D1 g.

r < s t f t ữủ tr Q, t ợ
tt t r = s f = lg.

ỵ tự ừ tt t ố
ợ tự ừ
rữợ t t ữ r ự ử ừ ờ
ỵ Y(ai ,bi ,m,n) (x) = xn + ai xnm + bi , (i = 1, 2), õ n, m N , n >