MỘT số DẠNG của ĐỊNH lý RITT và ỨNG DỤNG vào vấn đề DUY NHẤT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐAI HOC SƯ PHẠM
________>____>_______ •

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Vũ Hoài An
2. GS.TSKH Hà Huy Khoái

1

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Khoái và TS
Vũ Hoài An. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các
kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác.
Tác giả
Phạm Ngọc Hoa


4

Lời cảm ơn
Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.
TSKH. Hà Huy Khoái và TS. Vũ Hoài An. Các thầy đã truyền cho tác giả kiến thức,
kinh nghiệm học tập và sự say mê nghiên cứu khoa học. Với tấm lòng tri ân sâu sắc,
tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với hai thầy.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học
Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, các
Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo
viên trong khoa, đặc biệt là tổ Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp dở tác giả
trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Cao đẳng Hải Dương,
Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, các giảng viên trong Khoa Tự Nhiên đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi giúp dở tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn
thành luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ môn
Toán Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên,
Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp dở, động

viên tác giả trong nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình, đặc biệt là
chồng cùng hai con trai, những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả và dành hết
tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án.
Tác giả
Phạm Ngọc Hoa


ill

Mục lục


6

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Định lý cơ bản của lý thuyết số phát biểu rằng mọi số nguyên n > 2 đều biểu diễn
duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố có dạng
n = pm ...Pkk , với k > 1,
ỏ đó các thừa số nguyên tố Pi,..., pk đôi một phân biệt và các số mũ tương ứng m1 >
1,..., mk > 1 được xác định một cách duy nhất theo n. Ritt là người đầu tiên tương tự
định lý này đối với các đa thức.
Để mô tả kết quả của Ritt, ta kí hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm
phân hình (tương ứng, nguyên) trên C và kí hiệu L(C) là tập các đa thức bậc 1 Đặt E,
F là các tập con khác rỗng của M(C), khi đó một hàm phân hình F(z) được gọi là
không phân tích được trên Ex F nếu bất kỳ cách viết thành nhân tử F(z) = f o g(z) với
f (z) E E và g(z) E F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g là tuyến tính. Năm
1922, Ritt [46] đã chứng minh định lý sau.
Định lý A (Định lý thứ nhất của Ritt). Cho F ỉà tập con khác rỗng của

C[z] \ L(C). Nếu một đa thức F(z) có hai cách phân tích khác nhau thành
các đa thức không phân tích được trên Fx F:
F = ựi o o • •• ^r = ýi o Ỷ 2 o •• • 'ộs,
thì r = s, và bậc của các đa thức là bằng với bậc của các đa thức ip
nếu không tính đến thứ tự xuất hiện của chúng.
Cũng trong [46], Ritt đã chứng minh định lý sau.
Định lý B (Định lý thứ hai của Ritt). Giả sử rằng a, b,c,d E C[x] \ C thỏa
mãn aob = cod và gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1. Khi đó tồn
tại các hàm tuyến tính lj E C[x] sao cho (l 1 o a o l 2 , l- 1 o b o l 3 ,l 1 o c o
l 2 ,l-1 o d o l3) có một trong các dạng
(F F F F ) hoăc
n ± m m ± n) ibuụLs


7

(x n , x s h(x n ), x s h(x) n , x n ),
ở đó m,n > 0 là nguyên tố cùng nhau, s > 0 nguyên tố cùng nhau với n,
và h e C[x] \xC[x], l~ l là hàm ngược của lj, F n , F m là các đa thức
Chebychev.
Ổ đây, phép phân tích F(z) = f o g(z) chính là phép hợp thành F(z) = f (g(z)). Do
đó, ta thấy rằng Định lý thứ hai của Ritt mô tả các nghiệm của phương trình a(b) =
c(d), ỗ đó a,b,c,d là các đa thức và bậc của các đa thức là nguyên tố cùng nhau. Rõ
ràng phương trình đa thức được Ritt nghiên cứu là trường hợp riêng của phương
trình hàm P(f) = Q(g), ở đó P, Q là các đa thức và f,g là các hàm phân hình. Phương
trình hàm P(f) = Q(g) đã được nghiên cứu bỏi nhiều tác giả như Tạ Thị Hoài AnNguyễn Thị Ngọc Diệp [3], H.Fujimoto [19], Hà Huy Khoái-C.C.Yang [35],
P.Pakoviclì [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51], ...
Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định duy nhất
đối với hàm phân hình-một ứng dụng của lý thuyết phân bố giá trị. Vấn đề xác định
duy nhất đã được nghiên cứu lần đầu tiên bỏi R.Nevanlinna. Năm 1926,

R.Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân hình f và g trên mặt
phẳng phức C, nếu chúng có chung nhau ảnh ngược (không tính bội) của 5 điểm
phân biệt thì f = g (Định lý 5 điểm) và nếu chúng có chung nhau ảnh ngược (có tính
bội) của 4
af + b
điểm phân biệt thì g =
(a,b,c,d là các số phức nào đó sao cho
cf + d
ad — bc = 0)(Định lý 4 điểm). Khỏi nguồn từ
Định lý 5 điểm và Định lý 4 điểm, vấn đề duy nhất đã được nghiên cứu liên tục với
hai hướng nghiên cứu chủ yếu và đã có rất nhiều kết quả sâu sắc của G.Dethloff, Đỗ
Đức Thái, M. Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy Khoái, Hà Huy KhoáiVũ Hoài An, Hà Huy Khoái-Vũ Hoài An-Lê Quang Ninh, Tạ Thị Hoài An, Tạ Thị
Hoài An-Hà Trần Phương, L.Lahiri, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A.Escassut,
H.Piiịimoto....
Tiếp theo, sự nghiên cứu được mỏ rộng sang một nhánh của lý thuyết xác định
duy nhất đó là xem xét tập xác định duy nhất của các đa thức vi phân. Và người đầu
tiên khỏi xướng cho hướng nghiên cứu này là Hayman. Năm 1967, Hayman đã
chứng minh một kết quả nổi tiếng rằng một hàm phân hình f trên trường số phức C
không nhận giá trị 0 và đạo hàm bậc k của f, với k là số nguyên dương, không nhận
giá trị 1 thì f là hàm hằng. Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau.


8

Giả thuyết Hayman. [21] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f
(z)f '(z) = 1 với n là số nguyên dương và với mọi z e C thì f làhàm,
hằng.
Giả thuyết này đã được chính Hayman kiểm tra với n > 1 và được Clunie kiểm tra
với n > 1. Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình thành một hướng nghiên
cứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman. Công trình quan trọng thúc đẩy hướng

nghiên cứu này thuộc về Yang-Hua [51], hai ông đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối
với hàm phân hình và đơn thức vi phân của nó có dạng f nf. Hai ông đã chứng minh
được rằng, với f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n là số nguyên, n > 11 nếu f nf1
và gng cùng nhận giá trị phức a tính cả bội thì hoặc f, g sai khác nhau một căn bậc n
+ 1 của đơn vị, hoặc f, g được tính theo các công thức của hàm mũ với các hệ số thỏa
mãn một điều kiện nào đó. Từ đó, các kết quả tiếp theo đã nhận được dựa trên xem
xét các đa thức vi phân dạng (fn)(k), [fn(f - 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang
[18]) và có dạng [fn(afm + b)](k), [fn(f — 1)m](k) (xem Zhang và Lin, [54]), và có dạng
(f)(/)p/(f),( xem K. Boussaf- A. Eseassut- J. Ojedafll]). Năm 1997, thay vì nghiên cứu
các đạo hàm bậc n, I. Lahiri [36] đã nghiên cứu các trường hợp tổng quát hơn của
các đa thức vi phân không tuyến tính của các hàm phân hình nhận giá trị 1 tính cả
bội. Theo hướng nghiên cứu này, năm 2002 c. Y. Fang và M. L. Fang [17] đã chứng
minh rằng, nếu n > 13, và đối với hai hàm phân hình khác hằng f và g, mà f (n)(f —
1)2f và g(n)(g — 1)V nhận giá trị 1 tính cả bội, thì f = g. Vào cuối những năm của
thập kỷ này, vấn đề nhận giá trị cũng được xem xét đối với đa thức sai phân của các
hàm nguyên và các hàm phân hình. Laine và Yang [37] đã nghiên cứu vấn đề phân
bố giá trị của tích sai phân đối với các hàm nguyên. X. C.-Qi, L.-Z. Yang và K. Liu
[45] xem xét các tích sai phân và vi phân có dạng f (z) (n)f(z + c), và đã chỉ ra điều
kiện để f = íg, với f và g là hai hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn.
n

Năm 2007, xuất phát từ Định lý thứ hai của Ritt, F.Packovich [43] có ý
tưỏng xét ảnh ngược của hai tập compact đối với hai đa thức. Ông đã tìm được điều
kiện cho hai đa thức fl, f2 và hai tập compact Kp K2 thỏa mãn f1_1(Ki) = f2_1(K2). Kết
quả của F.Packovich được Đinh Tiến Cường mỏ rộng trong [13], [14]. Từ Định lý
Ritt thứ hai và kết quả của F.Pakovich nói trên chúng tôi có nhận xét.
Nhận xét. Định lý Ritt thứ hai có thể được xem là kết quả đầu tiên về vấn đề xác
định hàm từ phương trình hàm P(f ) = Q(g), từ đó sinh ra các kết quả cho vấn đề xác
định đa thức thông qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm.
Từ nhận xét này và các kết quả về phương trình hàm (xem [3], [35], [44]) nêu

trên, vấn đề nghiên cứu được đặt ra tự nhiên như sau.
Vấn đề 1. Xem xét sự tương tự hai định lý Ritt đối với hàm phân hình và đa thức vi
phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân.


9

Vấn đề 2. Xem xét vấn đề xác định hàm, vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình và
đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân dưới góc độ của các định lý
Ritt.
Từ đó, chúng tôi chọn đề tài: "Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề
duy nhất" để giải quyết các vấn đề nghiên cứu trên đây, đồng
thời góp phần làm phong phú thêm các kết quả và ứng dụng của Lý thuyết
Nevanlinna.
2. Mục tiêu của luận án
2.1. Thiết lập một số định lý tương tự hai định lý của Ritt đối với hàm phân hình
và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp phức và
padic.
2.2. Tiếp cận Vấn đề xác định hàm, vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình, đa
thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp phức và p-adic
dưới góc độ của hai định lý Ritt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Vấn đề xác định hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức qsai phân trong trường hợp phức và padic dưới góc độ của hai định lý Ritt.
Vấn đề duy nhất của hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức
q-sai phân trong trường hợp phức và p-adic dưới góc độ của hai định lý Ritt.
4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu
Sử dụng hai định lý chính và các tương tự của chúng cùng với các kiểu Bổ đề
Borel của Lý thuyết phân bố giá trị để giải các phương trình hàm. Các phương trình
hàm này tương tự như phương trình hàm trong Định lý Ritt thứ hai.
Sử dụng hai định lý chính để chuyển bài toán xác định hàm, bài toán duy nhất về

phương trình hàm. Nhờ đó và các kết quả về phương trình hàm nói trên để đưa ra các
kết quả về vấn đề xác định hàm và vấn đề duy nhất.
5. Ý nghĩa khoa học của luận án
Luận án đã đưa ra một cách tiếp cận mới đối với vấn đề xác định, vấn đề duy
nhất của hàm, đa thức vi phân và đa thức sai phân. Đó là, xem xét các vấn đề này
dnới góc độ của hai định lý Ritt. Nhờ đó thiết lập
đnợc các kết quả mới góp phần mỏ rộng thêm các ứng dụng của Lý thuyết
Nevanlinna.
6. Cấu trúc và kết quả của luận án
Luận án gồm có ba chnơng cùng với phần mỏ đầu, phần kết luận và tài liệu tham
khảo.


10

Chnơng 1 với tựa đề: "Hai định lý của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức vi
phân của hàm phân hình". Trong chuông này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất
đối với đa thức vi phân của hàm phân hình. Nội dung của Chuông 1 đnọc viết dựa
trên các bài báo [5], [7], [29]. Việc nghiên cứu bài toán này gồm các bnớc sau.
Bước 1. Thiết lập các kết quả tuông tự hai định lý Ritt đối với hàm phân hình.
Bước 2. Chuyển bài toán duy nhất về phuong trình hàm và dùng kết quả
ỏ Bnớc 1.
Nhn ta đã thấy ỏ trên, Định lý thứ nhất của Ritt đã chứng tỏ rằng: bất kỳ hai sự
phân tích của một đa thức cho truớc thành các đa thức không phân tích đnọc sẽ chứa
cùng một số đa thức nhu nhau và bậc của các đa thức trong mỗi cách phân tích là
nhu nhau nếu không tính đến thứ tự của chúng trong cách phân tích. Từ đó, mục tiêu
thứ nhất của Chuông 1 là: Thiết lập kết quả tuông tự Định lý thứ nhất của Ritt cho
hàm phân hình. Tuy nhiên, ta thấy rằng, chứng minh của hai định lý của Ritt trong
[46] duờng nhu không tuông tự đnọc cho hàm phân hình. Lý do là ỏ chỗ, Ritt đã
dùng đến điều kiện "hữu hạn" không điểm của đa thức trong chứng minh của ông.

Khắc phục khó khăn này, truớc tiên chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2. Định lý 1.2.2
chính là một kiểu Định lý Ritt thứ hai đối với phnong trình hàm P(f1, f2) = Q(g1, g2),
ở đó P, Q là các đa thức hai biến kiểu Yi và f 1, f2, g1,g2 là các hàm nguyên. Chú ý
rằng, kết quả này đã đnọc phát biểu và chứng minh trong [2] và [32], tuy nhiên ỏ đây
chúng tôi nhìn kết quả này dnới góc độ của Định lý Ritt thứ hai và đua ra một cách
chứng minh khác. Nhờ áp dụng Định lý 1.2.2 và các hệ quả chúng tôi chứng minh
đnọc Định lý 1.2.5, chính là một kết quả tuông tự Định lý Ritt thứ nhất đối với hàm
phân hình. Trong Chuông 1 còn trình bày các ứng dụng của Định lý 1.2.2 đó là Định
lý 1.3.1 và Định lý 1.3.2, các định lý này cho ta các kết quả mới về Bi — URSM cho
các hàm phân hình.
Để ý rằng, vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân dạng (P(f )) (k), ỏ đó P là đa
thức và f là hàm phân hình, là một bài toán khó. Khó khăn ỏ đây là trong truờng họp
tổng quát hiện chua có một mối liên hệ tốt giữa hàm đếm, hàm đặc trưng của f với
hàm đếm và hàm đặc trưng của (P(f )) (k). Vì vậy, các kết quả nhận được đã xét một số
trường hợp riêng của bài toán này. Đó là các dạng: [f n(f — 1)m](k) với f là hàm
nguyên (xem [54]), (fn)(k) với f là hàm phân hình (xem [10]). Chúng tôi đã giảm bớt
khó khăn này đối với đa thức vi phân dạng (Pd(f))(k). Từ đó và dùng các kiểu tương tự
của Định lý chính thứ hai (Bổ đề 1.1.5) chúng tôi nhận được Định lý 1.3.10, đó là
một kết quả về tập xác định duy nhất đối với đa thức vi phân.
Chương 2 với tựa đề: "Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi
phân nhiều biến trên một trường không-Acsimet". Trong Chương 2, chúng tôi nghiên
cứu vấn đề 2: vấn đề xác định, vấn đề duy nhất của hàm phân hình và đa thức vi
phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp p-adic dưới góc độ của
Định lý Ritt thứ hai. Nội dung chính của Chương 2 được viết dựa trên các bài báo
[4], [5], [7]. Như đã đề cập đến ỏ trên, vấn đề xác định hàm phân hình và vấn đề duy


11

nhất của các đa thức vi phân cũng đã được nghiên cứu và có các kết quả thú vị trong

trường hợp p-adic. Trong [31], Khoái, An và Lai đã nghiên cứu đa thức vi phân dạng
(fn)(k) và nhận được kết quả: nếu (f n)(k) và (gn)(k nhận chung giá trị 1 có tính bội với f,
g là hai hàm phân hình khác hằng trên một trường không-Acsimet và n, k là các số
nguyên dương thỏa mãn n > 3k + 8 thì f và g sai khác nhau một căn bậc n của đơn vị.
Từ đó, bài toán thứ nhất đặt ra trong Chương 2 là: thay vì xét các hàm f, g, chúng tôi
xem xét các toán tử vi phân dạng (Pn(f ))(k) và (Qn(g))(k nhận cùng một giá trị, ỏ đó P,
Q là các đa thức kiểu Fermat-Waring. Từ đó, chúng tôi thiết lập được Định lý 2.2.7,
định lý này là một kết quả về vấn đề xác định duy nhất hàm phân hình trên một
trường không-Acsimet và đa thức vi phân của nó. Chú ý rằng điều kiện n > 3k + 5
trong Định lý 2.2.7 là tốt hơn điều kiện tương ứng n > 3k + 8 trong kết quả của
Khoái-An-Lai (xem [31]).
Trong [49] Yang đã đặt ra vấn đề sau: liệu đẳng thức f —1(S) = g—1(S) với S = { — 1,
1} đối với các đa thức cùng bậc f, g sẽ kéo theo f = g hay là f = —g ? Câu hỏi này
cũng đã được giải đáp trong [42], [43]. Từ đó, câu hỏi thứ hai đặt ra trong Chương 2
là: cho S, T là các tập không điểm của các đa thức P(z), Q(z) tương ứng thì ta có thể
kết luận gì về f, g nếu Ef (S) = Eg(T)?. Định lý 2.2.8 cùng các hệ quả 2.2.9 và 2.2.10
đã giải đáp cho câu hỏi đặt ra và góp phần trả lời Câu hỏi của C.C.Yang trong [38],
Câu hỏi của F.Pakovich trong [44] trong trường hợp p-adic. Trong Chương 2 chúng
tôi cũng thiết lập được các kết quả là Định lý 2.3.2, một kiểu Định lý Ritt thứ hai cho
một vec-tơ các hàm nguyên p-adic. Định lý 2.3.7 là kết quả cho vấn đề duy nhất của
đa thức vi phân nhiều biến p-adic.
Chương 3 có tên gọi: "Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích qsai phân, đa thức vi phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet". Trong
Chương 3 chúng tôi nghiên cứu vấn đề 3 dưới góc độ Định lý thứ hai của Ritt. Nội
dung của Chương 3 được viết dựa trên các bài báo [6], [22].
Trong trường hợp phức, chủ đề này được nghiên cứu gần đây và đang được tiếp
tục bỏi C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang ([37]), Liu-Cao
([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]), H.X.Yi ([52]),... Tuy nhiên,
các kết quả mới chỉ đề cập đến lớp hàm phân hình có bậc hữu hạn đối với tích sai
phân hoặc bậc không đối với tích q-sai phân.
Rất nhiều kết quả thú vị cũng đã nhận được đối với các hàm phân hình trên một

trường không-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]). K.Boussaf, A. Escassut,
J. Ojeda ([11]) đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với các hàm phân hình p-adic mà f
P (f ), g P (g) cùng nhận một hàm nhỏ. Trong [9], J.-P. Bezivin, K. Boussaf và A.
Escassut, đã nghiên cứu các không điểm của đạo hàm một hàm phân hình padic.
Mục đích của Chương 3 là thiết lập các kết quả đối với vấn đề duy nhất của tích
q-sai phân dạng fnf m(qz + c), của đa thức vi phân và q-sai phân dạng (fnm(z)fnd(qz +
c))(k). Vũ Hoài An-Phạm Ngọc Hoa [4], Vũ Hoài An-Phạm Ngọc Hoa-Hà Huy Khoái
[6], Vũ Hoài An-Hà Huy Khoái [28] đã có các kết quả theo hướng nghiên cứu này.


12

Chú ý rằng, tích q-sai phân và đa thức vi phân nêu trên chưa được đề cập trong
trường hợp phức. Lý do là ỏ chỗ, mối liên hệ giUa hàm đặc trưng của hàm phân hình
f và hàm đặc trưng của hàm phân hình f (qz + c) có thể không thiết lập được trong
trường hợp phức. Nó chỉ thiết lập được trong trường hợp padic do tính chất đặc biệt
của chuẩn padic. Dùng Bổ đề 3.1.2, 3.1.6 (các kiểu của Định lý chính thứ hai cho
hàm phân hình padic) và các Bổ đề kỹ thuật khác chúng tôi thu được Định lý 3.2.7,
Định lý 3.3.4 cho vấn đề 3. Định lý 3.2.7 là một kết quả cho vấn đề duy nhất của tích
q-sai phân của hàm phân hình p-adic. Định lý 3.3.4 là một kết quả cho vấn đề duy
nhất của tích q-sai phân, đa thức vi phân trong trường hợp padic.
Các kết quả trong luận án được báo cáo tại Hội thảo quốc tế về giải tích phức và
ứng dụng lần thứ 20 tại Hà Nội ngày 29/07-3 08/2012: Hội nghị Toán học phối hợp
Việt-Pháp, Huế 20-24/08/2012; Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang 1014/08/2013; Hội nghị Đại số- Hình học- Topo, Buôn Ma Thuột ngày 26-30/10/2016;
Các Seminar của Bộ môn Giải tích, khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên; Các
Seminar của nhóm nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long và trường
Cao đẳng Hải Dương.

Chương 1
Hai định lý của Ritt và vấn đề duy nhat đoi với đa thức VI
phan của hàm phân hình
Trong chương 1 chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất của hàm phân hình bằng cách cải tiến hai định lý của
Ritt cho phù hợp với hoàn cảnh này. Muốn vậy, trước hết chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2 như là một kiểu Định lý
thứ hai của Ritt. Từ đó, chúng tôi nhận được Định lý 1.2.5 và Định lý 1.3.2. Định lý 1.2.5 là một kiểu Định lý thứ
nhất của Ritt. Định lý 1.3.2 là một kết quả đối với vấn đề Bi — URSM.
Tiếp theo, chúng tôi thiết lập Định lý 1.3.3. Đây là một kết quả về tập xác định duy nhất đối với hàm phân
hình. Từ đó, dùng Bổ đề 1.1.5 (một tương tự của Định lý chính thứ hai) và dùng các phương trình hàm (tương tự
phương trình mà Ritt xem xét) chúng tôi nhận được Định lý 1.3.10- một kết quả về vấn đề duy nhất cho đa thức vi
phân.

1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
Trước hết, chúng tôi nhắc lại các ký hiệu và khái niệm cơ bản cùng với các kết quả bổ trợ dùng trong Chương 1
(xem [1]).
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C. Với mỗi a € C, ta định nghĩa hàm : C ^ N xác định bỏi
nếu f (z) = a nếu f (z) = a với bội d


và đặt = v0. Ta định nghĩa hàm va : C ^ N xác định bỏi va (z) =min Ivf(z), l j , và đặt f = v°. Đặt
r

N (r,f) = N (r,Ị).
Giả sử m là số nguyên dương. Với mỗi a e C U{TO} , ta xác định hàm vf ) từ C u {TO} đến N cho bỏi
/0
Vf,m)(z)
f
Ịv (z) nếu
f

,

nếu vf(z) >m
vf(z) < m .

Đăt vV ^ = v°1 v Xác
đinh hàm vf N : CUÍTOỊ —>
N xác đinh bỏi
f,m)
• f,m)
f m)
•
LJ
•
vf Vz) = min vf Vz), l f , và đăt vT N = v° _v
f m)v
, '
t f’m)v y’ J ’
• f,m)
1 ,m)
Ta cũng có các hàm đếm Nm)(r, f--f), Nm)(r, f), Nm)(r, f), Nm)(r, f-f) xác định bỏi
r
^

l
f - ay I v^-f,m)
N
m)(r, y-^) =
( X f,m)(z) - f,m)(0))
N

Ị)
m)(r, f) = Nm)°N(r,N<í
.
f ) = m)(r,f).
r
)
(
vf
l
=
/
X
,m)(z)
N m)(r,
0 |z|
dx

J

-v

-

vf',m.}(0))

f-a

N

m)(r, f) = Nm^(r, Ị).

Tương tự ta định nghĩa vf ( xác định bỏi
f

,

Vf,(m(z)

/0
nếu vf(z) ịvf(z) nếu vf(z) > m ,

-

f, m)(0) l0g r;

vf,m}(0) log r;


và đặt vf{m = V0 ( . Ta định nghĩa hàm Va (m : C u {TO} ^ N xác định
bởi V

Ị,(m(z) = min {VỊ'(m(z), ^ , ™ đặt VTO(„, = VỊm
Ta cũng định nghĩa tương tự các hàm đếm
N(m ( r , T ^ ) , N(m ( r,

f),N

( m ( r , f ) , N (m ( r, T ^ ) . f — a

f— a

Ta định nghĩa
m(r,f) =

2n

/log+ |f (reiớ)|dớ,
0
T (r,f ) = N (r,f) + m(r,f).

Ta có các Bổ đề sau (xem trong [20]).
Bổ đề 1.1.1. (Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a]_,a 2 ,... ,a q là các
điểm phân biệt trong Cu {to}. Khi đó
(q — 2)T(r, f) <Ỳ, Ni(r, —T) + S(r, f)
•=1
f — a.
trong đó S(r,f) = 0(Tf (r)) với mọi r trừ ra một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

Hệ quả 1.1.2. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a 1 ,a 2 ,... ,a q là các điểm phân biệt trong
C u {to}. Giả sử f — aị không có không điểm hoặc f — ai có không điểm bội ít nhất mị, i = 1,..., q.
Khi đó

E

< 2.

Ta nhắc lại các khái niệm sau.
Một đa thức khác hằng P(z) e C[z] được gọi là đa thức duy nhất cho các hàm phân hình trên C nếu với mọi

cặp hàm phân hình f, g khác hằng trên C thỏa mãn P(f) = P(g), ta có f = g.
Tương tự, đa thức khác hằng P (z) e C[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình, nếu với
bất kỳ cặp f, g là các hàm phân hình khác hằng trên C và hằng số c = 0 thỏa mãn P(f) = cP(g), ta có
f
= g.
Đa thức duy nhất (tương ứng, duy nhất mạnh) đối với các hàm phân hình viết tắt là UPM (tương ứng, SUPM).


Ký hiệu M(C) là trường các hàm phân hình trên C. Với f e M(C) và S c C u {TO}, ta định nghĩa
Ef(S) = u {(z,v a f (z)): z e C} .
Nếu trong định nghĩa trên, ta thay

(z) bỏi Vaj(z) (không tính bội) thì

ta kí hiệu tập nhận được là Ef (S) (ảnh ngược của S).
Giả sử m là một số nguyên dương hoặc TO, ta định nghĩa
E

f,m)(S) = u {(z,Vĩm)(z)) : z e cỊ .

Chú ý rằng, nếu m = TO thì Ef to)(S) = Ef(S) và nếu m = 1, thì Ef, 1)(S) c Ef (S).
'
Giả sử F là tập con khác rỗng của M(C). Hai hàm f, g của F gọi là nhậnStínhbội, (nhận S CM ), nếu Ef (S) = Eg(S) và
nhậnSkhôngtínhbội, (nhận S IM), nếu Ef (S) = Eg(S).
Cho tập S c C u {TO}. Nếu Ef (S) = Eg(S) kéo theo f = g với hai hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) khác
hằng f, g thì S gọi là tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) viết tắt là URSM
(tương ứng, URSE).
Một tập S c C u {TO} gọi là tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) không tính
bội, ký hiệu URSM — IM (tương ứng, URSE — IM), nếu Ef (S) = Eg(S) kéo theo f = g.
Một tập S c C u {TO} gọi là URSMm) ( tương ứng, URSEm) ) nếu với bất kì hai hàm phân hình (hàm nguyên) f,g

thoả mãn điều kiện Ef,m)(S) = Eg,m)(S) kéo theo f = g.
Hai tập S1,S2 c C u {TO} được gọi là Bi — URSM (tương ứng, Bi — URSE), nếu với bất kì hai hàm phân hình
(tương ứng, hàm nguyên) f,g thoả mãn điều kiện Ef (Si) = Eg(Sị),i = 1, 2 kéo theo f = g.
Ta có các kết quả sau.
Bổ đề 1.1.3. [24] (Bể đề đạo hàm Logarit) Cho f ỉà hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó với
mỗi số nguyên k, và mọi r <
p
ta có
1
<
V
Đặc
biệt

< S(r,f).


BỔ đề 1.1.4. [24] Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C. Nếu Ef (1) = Eg (1) thì một
trong ba hệ thức sau là đúng:
1■ T(r, f) < N,(r, f) + N2(r, 1) + N2(r, g) + N2(r, 1) + S(r, f) + S(r, g),
Bất đẳng thức tương tự xảy ra đối với T (r, g);
f fg_- 1;
5- f - g.
Bổ đề 1.1.5. [24] Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C.
Nếu Ef (1) = Eg(1); thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng:
1.
T(r,f)
+ N2(r,g) + N^r,1^ r’/))

S (r,f)
+ S (r,g),
+ 2^Ni(r, f) + N ( ) +

+ Ni(r,g) + N2 Cr,1 \ g
.sắí đổng thức tương tự xảy ra đối với T (r, g);
fg_- u 3- f - g.
diễn rút gọn là f = (f 1 : • • • : fN+1)saơ cho ảnh của nó nằm trong đường
cong được xác định bởi
N +1
^ xd-qi Di (X1,X2, . .
i=1

Bổ đề 1.1.6. [48] Cho x d - q i Dị(x 1 ,x 2 ,... ,x N + 1 ) với 1 < i < N + 1 là
các đa thức thuần nhất bậc d xác định các siêu mặt có vị trí
N
tong quát trong P (C). Giả sử tồn tại đường cong chỉnh hình f từ C vào PN (C) với biểu
XN+1) = 0, d > N2 + ^ qi.

N +1
i =1

Khi đó các đa thức
xẵ 1 -qí D1(X1,X2, . . .,XN+1), . . . , XpN+1 DN +1 (x1, X2, . . . ,XN +1) phụ thuộc tuyến tính trên ảnh
của f.
Bổ đề 1.1.7. [40] Cho d,n e N*, d > n 2 , a i ,i = 1,..., n + 1, là các hằng số khác không thuộc C, và f 1 ,...,
f n + 1 là các hàm nguyên trên C, không đồng nhất không và thỏa mãn điều kiện a 1 fị + a2fd + ... +
an+1fd+1 = 0. Khi đó tồn tại một phân hoạch của các chỉ số, {1, ...,n + 1} = uI v , thỏa mãn
i. Mỗi I v đều chứa ít nhất 2 chỉ số;
ii. Với j, i e Iv; ta có f i = c i j fj, ở đó c i j là hằng số khác không.

1.2. Hai định lý của Ritt đối với các đa thức kiểu Fermat-Waring của
các hàm phân hình
Xét các đa thức thuần nhất hai biến kiểu Fermat-Waring được xác định bỏi
P(zi,Z 2 ) = cz n + dzp m z m + ez^, Q(zi, Z 2 ) = uz n + vzp m z m + tz%.

Cho f1, f2,g1,g2 là các hàm nguyên. Trong mục này, chúng tôi xét phương trình hàm P( f1, f2) = Q(g1,g2) dưới góc độ
Định lý thứ hai của Ritt.
Trước hết chúng tôi cần có bổ đề sau.

...

Bổ đề 1 2 1

[2] Cho n,n 1 ,n 2 ,... ,n q E N*, a 1 ,a 2 ,...,a q là các điểm,
q
n'
phân biệt của C c E C c = ồ và q > 2 + V —. Khi đó các phương trình
i =1 n
hàm
(f - P P (f - a 2 p ... (f - aq )nq = cg n ,

(1.1)

(f - ai )ni (f - a 2 )n2 ... (f - a q p g n = c

(1.2)

không có nghiệm phân hình khác hằng (f,g).

Định lý sau là một kết quả tương tự Định lý thứ hai của Ritt. Chú ý rằng, kết quả này đã được đề cập đến trong
Khoái-An-Ninh [32] và trong
[2]
. Tuy nhiên, ỏ đây chúng tôi nhìn kết quả này dưới góc độ Định lý thứ hai của Ritt và đưa ra một cách
chứng minh khác.
Định lý 1.2.2. Cho n,m E N*, n > 2m + 9, và c,d,e,u,v,t E C là các hằng số khác không. Giả sử hoặc m
> 2, (m,n ) = 1 hoặc m > 4; f i , f 2 , g i , g 2 ỉà cấc hàm nguyên không đồng nhất không, Ỵ và — ỉà các
hàm phân hình khác hằng thỏa mãn
Khi đó ta có
cf ĩ + df pmf ĩ + ef n = ug n + vg pmg ĩ + tg n2.
gi = h f , g 2 = f 2 ,
với h,l là các hằng số thỏa mãn các điều kiện:
hn =

hn-m^im _ d l n = e
v'’
t

(1.3)


Chứng minh. Từ (1.3) ta có

Ta sẽ chứng tỏ rằng C1, C2 = 0, C3 = 0.
Trước hết, ta giả sử rằng C1,C2,C3 = 0. Khi đó, ta thấy rằng các đa thức thuần nhất x2 -m(cxm + dxm),ex2, tx2 là ỏ vị
trí tổng quát. Do có n > 2m + 9 và Bổ đề 1.1.6 nên tồn tại các hằng số a, ß, (a, ß) = (0,0), sao cho
a/rm (c/m+d/m)+ßefn = 0.
f
Từ đây suy ra là một hàm hằng, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy, f2
có một trong các hằng số CT, C2, C3 bằng không. Ta sẽ chứng minh rằng

C3 = 0.
Thật vậy, giả sử rằng C2 = 0. Thế thì từ (1.6) ta có
Cf + Csfrm(cf1 " + d/2m) = 0.

fn-m(f - di)...(f - dm) = 7^n,7 = 0.

(1 .
8)


Từ đây suy ra f khác hằng và If cũng khác hằng.
n—m
m số1 bội
m > 4.
2, Do
(m,n)
mỗi
, ápcủa
dụng
Bổkhông
đề
Xét trnờng hợp m
m += 11.>Thế
2 + thì từ (1.6) ta thấy rằng
ị= n
n
điểm của f và f — dị là một bội của n. Do n > 2m + 9 và Hệ1quả 1.1.2 ta suy ra rằng
1.2.1 cho (1.8) với q = m + 1,n = n,n 1 = n — m, n2 = n3 = ... = nm = 1 ta cũng nhận
phnơng trình (1.8) không có nghiệm phân hình khác hằng, điều này mâu thuẫn với
đnợc một mâu thuẫn với giả thiết.

giả thiết.
Vậy C3 = 0. Từ (1.6) ta có
C/ + C2tsĩ = 0. (1.9)
Suy ra,

g2 là một hằng số khác không. Đặt f2
ta nhận đnợc
#2
(1.10)
= ỉ,
f2
e(1 + C )fĩ + /rm(cfm+d/m) — sr>sm + vsm) = 0.

—«sn + /ĩ"m(c/m + dfm) + (e(1 + C )fĩ"m' — vỉmsĩ—m)fm = 0.
2

(1.11)

C
Ta sẽ chứng tỏ rằng 1 + — = C0.
2„
1

C
Giả sử phản chứng rằng 1 + — = 0. Rõ ràng các đa thức
C
2
1

C1

vỉmx m^ĩ—
m
có vị trí tổng quát. Do n > 2m + 9 và Bổ đề 1.1.6, tồn tại các hằng
Ci,C2, (C1,C2) = (0,0), sao cho
) xĩ"^ —«XĨ, xĩ—m(cxm+dxm),xm( e(1 + C1)

0, C2 = 0. Khi đó, ta có

số

C2usĩ + C1 fĩ—m(cfim + dfm) = 0.
f
Vì g1 là hàm nguyên không đồng nhất 0 và ^ khác hằng số nên C1 =
f
2

C1 fĩ-m(c/1" + dfm) = —C2usĩ,C1 c( /Ị )ĩ + C1 d( /Ị ) f1 )ĩ—
m f2


(1.12
)
Do (1.12) là tương tự như (1.7) nên lập luận tương tự như chứng minh
C1 = 0, ta nhận được một mâu thuẫn với giả thiết.
C
Vậy,
ta đã chứng minh được 1 + —1 = 0, nên từ (1.8) và (1.9) ta có tgn = ef2 và g2=lf2 với e = tln.
2
92

Để hoàn thiện chứng minh Định lý 1.2.2, ta cần phải chứng tỏ rằng dỷ là
một hằng số.
Vì tgn = ef2n, nên từ (1.4) ta có

f

1

(1.13)
Giả sử rằng h1 không là hằng. Từ (1.13) và (1.14) ta có
T(r,f) = T(r,g) + S(r,f ),S(r, f) = S(r,g),
T (r, f) = —T (r, h1) + S (r, f ),S (r, f) = S (r, h).
Đặt S(r) = S(r, f) = S(r, g) = S(r, h1). Ta xét các trường hợp sau đây. Trường hợp l.m > 2, (m, n) = 1. Nếu hn - a và
hn-m - 3 không có không điểm chung thì mọi không điểm của hn - a đều có bội > m. Thế thì
N (

1 r hn 1 ) < — N(r hn \ ).
hn - a m

hn - a

Do Bổ đề 1.1.1 ta có
T(r, hn) < N1(r, hn) + N1(r, hn) + N1(r,

) + S(r).


Ký hiệu £ là một can nguyên thủy bậc n của đơn vị, ta có
1

Ni(r,

) < 1N(T, 1

hn — a m

1"

) < - E N( T,
hn — a m z
j=1 1
j=

n
-) < yr(r,hi).
h1 — zj a
m
1

(1.15)

Từ đây, kéo theo
nT(r, hi) < 2T(r, hi) + —T(r, hi) + S(r), (n — 2 — £■)T(r, hi) < S(r), suy ra
m

n(m — 1) < 2m,

điều này mâu thuẫn với n > 2m + 9.
Nếu hn — a và hn—m — p có không điểm chung thì tồn tại z0 sao cho hn (z0) = a và hn—m(z0) = ^. Từ (1.14) ta có
Vì (m, n) = 1 nên các phương trình z n — 1 = 0 và zn m — 1 = 0 có các nghiệm phân biệt khác z = 1. Đặt Ti, i =

a/ m((

hi
hi(zo)

)n — 1) = —V ((Ví- )"-m — 1).
v hi(zo)

1,..., 2n — m — 2 là tất cả các
nghiêm đó. Khi đó mọi không điểm của
thế, do Hệ quả 1.1.2 ta có
(1

hi
— ^ đều có bội > m. Vì
hi(zo)

—)(2n — m — 2) < 2, tức là, n < m

m2 + 3m — 2
2(m — 1)

,

(1.16)

điều này mâu thuẫn với n > 2m + 9.
Trường hợp 2. m > 4. Chú ý rằng phương trình z n — a = 0 có n nghiệm đơn, phương trình z n—m — p = 0 có n — m
nghiệm đơn. Do đó zn — a = 0, zn—m — ^ = 0 ró nhiều nhất n — m nghiệm đơn chung. Vì thế, có ít nhất m nghiệm
của phương trình zn — a = 0 không phải là nghiệm của phương trình z n—m — p = 0, gọi các nghiệm đó là

Ti,T2,...,Tm. Thế thì, mỗi không điểm của h i — Tj, j = 1,..., m, có bội ít nhất là m. Theo Hệ quả 1.1.2 ta có m(1
— —) < 2. Suy ra m < 3, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy hi là hàm hằng.
Do g = hif, g2 = l/2 nên ta có gi = h/i Từ (1.4) và do 4r, ~ là các hàm
f
2 g2
khác hằng nên ta có
gi = h/i,g2 = l/2,


với h,l là các hằng số được xác định bỏi
e
d
h n— l m = v 1 l n =
m ]m
t
Vậy Định lý 1.2.2 được chứng minh.
hn =

□

Bổ đề sau đã được chứng minh trong [2] và [32].
Bổ đề 1.2.3. [2] Cho n,m e N*, c,d,e,u,v,t e C ỉà các hằng số khác không và n > 2 m + 4, và ho ặc m
> 2, (n,m) = 1, hoặc m > 4. Giả sử rằng (f, g) là nghiệm, phân hình khác hằng của phương trình
cf n + df n - m + e = ug n + vg n - m + t.
Khi đót = e và tồn tại số phức khác không h thỏa mãn h n

(1.17)
c, hn-m = d
u

v

= sao cho g = hf.
Bây giờ, chúng ta xem xét sự phân tích tương tự như trong Định lý thứ nhất của Ritt đối với một lớp các đa
thức kiểu Fermat-Waring cho hàm phân hình. Lớp các đa thức này nhận được bằng cách lặp các đa thức Yi. Trước
hết, ta gọi một hàm phân hình F là không phân tích được đối với một lớp P các đa thức nếu không tồn tại một sự
phân tích có dạng
F = P ◦ f,
ỏ đó P e P có bậc lớn hơn 1 và f là hàm phân hình. Ta có hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.4. Với mọi hàm phân hình f, ta đều có f n là hàm không phân tích được đối với P = {z n
+ dz n - m + e}, ở đó d,e là các hằng số phức khác không và n,m là các số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện n > m + 4.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng tồn tại D e P và g e M(C) sao cho
f n = D ◦ g, f n = g n + dg n - m + e.
Khi đó, lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 1.2.3 ta nhận được một mâu thuẫn với n > m + 4.

□

Cho ai,bị,i = 1,2, • • • ,r và pj,qj,j = 1, 2, • • • ,s là các hằng số khác không. Đặt
P = {Ri = z n + az n - m + bi, i = 1, 2, ...,r};
Q = {Dj = z n + pjz n - m + qj,j = 1,2,s}.

Sau đây là kết quả tương tự Định lý thứ nhất của Ritt cho hàm phân hình.


Định lý 1.2.5. Cho n,m là các số nguyên dương, thỏa mãn n > 2m + 4 và hoặc m > 2, (n, m) = 1,
hoặc m > 4. Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho f (tương ứng, g) là không
phân tích được trên Q (tương ứng, trên V). Khi đó, nếu ta có
Rr o Rr-1 o • • • o R1 o f = Ds o Ds-1 o • • • o D1 o g, í/d r = s và f = lg, với l là một hằng

số.
Chú ý rằng tập các hàm phân hình khác hằng không phân tích được trên V, Q là vô hạn (xem Hệ quả 1.2.4).
Chứng minh. Giả sử
Rr o Rr-1 o • • • o R1 o f = Ds o Ds-1 o • • • o D1 o g.

(1.18)

Không giảm tổng quát, giả sử rằng r < s.
Để đơn giản, ta đặt
'ậ = Rr-1 o • • • o R1 o f,tp = Ds-1 o • • • o D1 o g.
Thế thì, ta có
■ệ n + ar ĩ( n - m + br = p n + Psp n - m + qs.

(1.19)

Áp dụng Bổ đề 1.2.3 cho (1.19) ta suy ra tồn tại hằng số khác không h sao cho 'ệ = hp, tức là
Rr-1 o • • • o R1 o f = hDs-1 o • • • o D1 o g.
Tiếp tục như vậy, ta thấy rằng tồn tại hằng số t khác không sao cho
R1 o f = tDs-r+1 o • • • o D1 o g.

(1.20)

Tương tự như trên, từ Bổ đề 1.2.3 và (1.20) suy ra tồn tại hằng số l khác không sao cho
f = lDs-r o • • • o D1 o g.
Nếu r < s thì f là hàm phân tích được trên Q, điều này là mâu thuẫn với giả thiết. Vậy thì r = s và f = lg. □

1.3. Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân của
hàm phân hình

Trước tiên ta đưa ra hai ứng dụng của Bổ đề 1.2.3.

Ký hiệu Y(a i ,bi,m,n)(x) = x n + a t x n - m + bi, (i = 1, 2),ỗ đỏ n,m G N*,n > m,ai,bi, (i = 1, 2), là các số
phức khác không.
Giả sử các đa thức Y(a. b. mn)(x), (i = 1,2), không có nghiệm bội với tập các không điểm tương ứng là S^ Gọi Ti là
tập các không điểm của các đa thức Y(a.,bi,m,n)(x + 1), (i =1,2).
Định lý 1.3.1. Giả sử f, g là các hàm phân hình khác hằng với các ký hiệu
và giả thiết như trên. Giả sử rằng n > 2m + 9, hoặc m > 2 và (m,n) = 1,
hoặc m > 4,Ef (S 1 ) = E g (So). Khi đó tồn tại số phức h sao cho g = hf


không có không điểm chung. Từ Ef (S1) = Eg(So) suy ra tồn tại hàm nguyên c không có không điểm sao cho
fn + a 1 fn - m fm + bf = c(gn + a2gn-mg2m + bogn).

(1.21)

Do c là hàm nguyên không có không điểm, nên luôn viết được c dưới dạng c = eY = (etf/n)n. Vì thế, không giảm
tổng quát, ta có thể giả sử c = 1. Khi đó (1.21) trỏ thành
fn+a 1 fr m f 2 m+bf = gn+aogn-mg2m + bogon.

(1.22)

Áp dụng Bổ đề 1.2.3 cho (1.22) ta được
g1 = h 1 f 1 , go = h 2 f 2 ,

□
Định lý 1.3.2. Giả sử f, g là các hàm phân hình khác hằng và giữ nguyên các giả thiết như trong
Định lý 1.3.1. Giả sử n > 2m + 9,m > 4 và Ef (Si) = Eg (Si),Ef (To) = Eg (To). Khi đó f = g.