BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ CÁC SỐ VÒNG QUANH

VII- Bất đẳng thức hoán vị các số vòng quanh
Bài 134. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1)
b
ca
a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a
333
++++
; 2)
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba
3

3
3
3
3
3
++++
;
3)
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba
5
33
5
33
5
33
++++
; 4)
b
ca

a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a
3
5
3
5
3
5
++++
.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:

)1(
c
ab
2
ca
b
bc
a
33

+
;
)2(
a
bc
2
ab
c
ca
b
33
+
;
)3(
b
ca
2
bc
a
ab
c
33
+
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

b
ca
a
bc
c

ab
ab
c
ca
b
bc
a
333
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
cba
ac
cb
ba
bc
a
ab
c
ab
c
ca
b
ca
b
bc
a
33
33
33

==





=
=
=










=
=
=

.
2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:

)1(
c
ab
2

a
bc
c
ba
3
3
+
;
)2(
a
bc
2
b
ca
a
cb
3
3
+
;
)3(
b
ca
2
c
ab
b
ac
3
3

+
.
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba
3
3
3
3
3
3
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
171

cba
abc
cab
bca

c
ba
b
ac
b
ac
a
cb
a
cb
c
ba
23
23
23
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
==

=
=
=










=
=
=

.
3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:

)1(
c
ab
3
b
ca
a

bc
c
ba
5
33
++
;
3 3
5
3 . (2)
b c ca ab bc
a b c a
+ +
3 3
5
3 . (3)
c a ab bc ca
b c a b
+ +
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb

c
ba
5
33
5
33
5
33
++++
. (đpcm)
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
172

cba
ca
bc
ab
a
bc
c
ab
b
ac
c
ab
b
ca
a
cb
b

ca
a
bc
c
ba
5
33
5
33
5
33
==





=
=
=

==
==
==

.
4) Bạn đọc tự chứng minh.
Bài 135. Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc =1 . Chứng minh rằng:
1)
3
2
3
2
3
2
4
6
4
6
4
6
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c

c
a
++++
; 2)
3
2
3
2
3
2
111111
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
;
3)
3
2
3
2

3
2
12
8
12
8
12
8
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
; 4)
3
2
3
2
3
2
11
7

11
7
11
7
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
++++
.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:
6 6 3 2 2
4 4 2 3 3
2 2 2 ( 1 ). (1)
a c a c a a
abc do abc
c b b b b
+ = = =

)2(
a

c
2
a
c
abc2
a
bc
2
a
b
b
c
3
2
3
2
2
3
4
6
4
6
==+
;
6 6 3 2 2
4 4 2 3 3
2 2 2 . (3)
b a b a b b
abc
a c c c c

+ = =
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

3
2
3
2
3
2
4
6
4
6
4
6
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức

173

1cba
1abc
ab
bc
ca
1abc
acb
bac
cba
1abc

c
a
a
b

a
b
b
c

b
c
c
a
7
7
7

523
523
523
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
===







=
=
=
=

=
=
=
=












=
=
=
=

.
2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:

2 4 2

11 3 9 3 3 6 3
2 2 2 ( 1). (1)
( )
a b a a a
do abc
b c b c abc b b
+ = = =
Tơng tự, ta có:

)2(
c
b
2
a
c
c
b
3
2
3
2
11
+
;
2 2
11 3 3
2 . (3)
c a c
a b a
+

Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

3
2
3
2
3
2
111111
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
174

1cba
1abc
ab
ca

bc
1abc
acb
cba
bac
1abc

b
a
a
c

a
c
c
b

c
b
b
a
1310
1310
1310
1211
1211
1211
1111
1111
1111

===







=
=
=
=








=
=
=
=

=
=
=
=

.
3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:

8 2 2 5 6 2
3
3
12 3 3 10 9 3
3 3 3 ( 1). (1)
( )
a b c a a a
do abc
b c a b c abc b b
+ + = = =
Tơng tự, ta có:

)2(
c
b
3

b
a
a
c
c
b
3
2
3
2
3
2
12
8
++
;
8 2 2 2
12 3 3 3
3 . (3)
c a b c
a b c a
+ +
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

3
2
3
2
3
2

12
8
12
8
12
8
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
175

1cba
1abc
a
c
c
b
b

a
cb
ba
ac
1abc
a
c
c
b
b
a
acb
cba
bac
1abc

c
b
b
a
a
c
b
a
a
c
c
b

a

c
c
b
b
a
12
8
12
8
12
8
7
7
7
12
8
12
8
12
8
235
235
235
3
2
3
2
12
8
3

2
3
2
12
8
3
2
3
2
12
8
===











=
==
=
=
=

=
==
=
=
=












=
==
==

==

.
4) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:

( )
7 7 2 4 6 2
3
3
11 11 3 2 11 2 9 3
3 3 3 1 . (1)
( )
a b a b b b
do abc
c a b a c abc c c
+ + = = =
Tơng tự, ta có:
)2(
a
c
3
c
b
b
c
a
b
3
2
3

2
11
7
11
7
++
;
7 7 2 2
11 11 3 3
3 . (3)
c a c a
b c a b
+ +
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

3
2
3
2
3
2
11
7
11
7
11
7
a
c
c

b
b
a
a
b
b
c
c
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
176

1cba
1abc
b
c
a
b
c
a
ac
cb
ba
1abc

a
c
c

a
b
c

c
b
b
c
a
b

b
a
a
b
c
a
11
7
11
7
11
7
1013
1013
1013
3
2
11
7

11
7
3
2
11
7
11
7
3
2
11
7
11
7
===











=
==
=
=

=












=
==
==
==

.
Nhận xét:
Với cách chứng minh nh trên, bạn đọc hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
Cho a, b, c > 0 x, y, z . Ta luôn có:
a)
z
yx
z
yx
z
yx
zyx

zyxzyx
zyx
zyxzyx
zyx
zyxzyx
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
++++
++
+++
++
+++
++
+++
;
b)
z
yx
z
yx

z
yx
z2y
y2xzx2
z2y
y2xzx2
z2y
y2xzx2
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
++++
+
++
+
++
+
++
;
c)
z

yx
z
yx
z
yx
z3yx
zy3xzyx3
z3yx
zy3xzyx3
z3yx
zy3xzyx3
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
++++
++
+++
++
+++
++
+++

;
d)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
.
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y x y x y
z z z
a b b c c a
c a b
a b b c c a
c a b
+ + + + + + + + +
+ + + + + +
+ +
+ +

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
177