Chuyên đề chứng minh BĐT ( Luyện thi Đại Học)

Chứng minh Bất đẳng thức bằng
phơng pháp khác
Ph ơng pháp 1 :
Dùng phép chứng minh phản chứng:
* Giả sử cần phải chứng minh BĐT nào đó đúng. Ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các
giả thiết để suy ra điều vô lý
1) Ví dụ
CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai

Giải.
Giả sử 3 BĐT trên đều đúng
< < <
tức là x y z ; y z x ; z x y
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )

<

+ + <



< + + < + + + <


+ + <

<



2
2
2 2 2 2
2
2
2
x x z
x y z . x y z 0
y z x y z x . y z x 0 x z y . y z x . x y z 0
z x y . z x y 0
z x y
( Vô lý)
Suy ra giả sử sai
Vậy có ít nhất một trong 3 BĐT trên là sai
2 - Bài tập áp dụng
1)- Cho a = b = 2cd
CMR; ít nhất trong 2 BT sau có 1 BĐT đúng

2 2
c a ; d b
2) Giải hệ
a y z t
y x z t
z x y t
t x y z

< +

< +


< +


< +

3) Cho a ; b ; c < 1.CMR ít nhất 1 trong 3 BĐT sau là sai
1 1 1
a (1 b) ; b (1 c) ; c (1 a)
4 4 4
> > >
4) Cho f(x) = ax
2
+ bx
2
+c với a ; b ; c t/m
+ + >
a b c 17.
CMR
[ ]
( )
x 0 ;1 / f x 1
>
5) Cho
a b c 17
+ + >

.Chứng minh rằng:

+ +





2
ax bx c
0 x 1
có n
0
Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp quy nạp
1) Ví dụ:
CMR: Nếu
n N ; h 1
>
Thì
( )
1 h n 1 nh
+ +
.( Bất đẳng thức Bcenuli)
Giải:
Với n = 0 ta có
( )
0
1 h 1 0.h
+ +
n = 1 ta có

( )
1
1 h 1 1.h
+ +
Giả sử bài toán đúng với
n k (k 1)=
Tức là
( )
h
1 k 1 k.h+ +
(1)
Ta phải CM
( ) ( )
k 1 h
1 h 1 k 1
+
+ + +
Thật vậy:
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Từ (1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+ + = + + + + + + +
k k 1
2
1 h 1 h 1 k.h . 1 h 1 h 1 k 1 h k.h 1 k 1 h

Với
2
kh 0

.Bất đẳng thức đợc chứng minh
2) Bài tập áp dụng
1*/. Cho
1 2 n
0 a ; a ;.....; a 1

CMR:
( ) ( ) ( )
1 2 n 1 n
1 a . 1 a ..... 1 a 1 a ... a n N

2*/ CMR
1 1 2n 1 1
. ... n N
2 4 2n
3n 1


+
3*/
1 4a 1
a a ... a (a 0)
2
+ +
+ + + < >
4*/ Cho n số dơng a
1
; a
2

; ....; .a
n
t/m
a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
= f
CMR: Với
x 0
>
ta có
n
1 2 n
1 1 1 n
x . a ... x x
a fa a


+ + + +
ữ ữ ữ
ữ


5*/ CMR

số nguyên
n 2

ta có
( )
( )
2
2n !
4n
n 1
n!
<
+
* Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp đổi biến
1) Ví dụ :
Cho:a + b = 4. CMR a
4
+b
4


32
Giải;
Có a + b = 1
a 2 m
b 2 m
= +



=

với
m R
Khi đó a
4
+ b
4
= (2 + m)
4
+ (2 - m)
4
= 32 + 48 m
2
+ 2m
4

32 m

Dấu - xảy ra

a = b = 2
2) Bài tập áp dụng
1/* Cho a + b = c + d. CMR d
2
+c
2
+ cd

3ab
2/* Cho a < 2 ; x+ y > 5.CMR 5x
2

+ 2y
2
+ 8y

62
3/* Cho x + y = z = 3 .CMR x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy xz + yz

6
* Ph ơng pháp 4: Phơng pháp làm trội
1) Ví dụ
CMR:
a b c d
1 2
a b c d b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + + +
Giải :
Ta có

< < < <
+ + + + + + + + + + + +
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
a a a b b b

; ;
a b c d a b c a c a b c d b c d b d
c c c d d d
;
a b c d c d a a c a b c d d a b d b
2
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Cộng từng vế các BĐT ta có

a b c d a b c d a c b d
a b c d a b c b c d c d a d a b a c b d
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
+ + + + +
< + + + < +
+ + + + + + + + + + + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
2) Bài tập áp dụng:
1/* Cho a ; b ; c ; d t/m
1 a b c d 100

. CMR
a c 1
b d 5
+
2/* Cho 0 < a
1
, a

2
< .... < a
12
CMR:
1 2 9
1 2 12
3 6 9
4 8 12
a a ... a
a a ...a
7
a a a
a a a
+ + +
+ +
+ <
+ +
+ +
3/* CMR:
a)
1 1 1 1
2 n 1 2 2 1 2 n 1
1
2 2 n
+ + < + + + <
b)
1 1 1
1 ... n 1 n 2
2 3 n
+ + + + < + +

4/* Cho a =
2 1 3 2 4 3 25 21
...
1 2 2 3 4 3 25 21

+ + + +
+ + + +
. CMR:
<
2
a
5
5/* CMR
2
1 1 1 5
1 ...
4 9 3
n
+ + + + <
*Ph ơng pháp 5 : Dùng tam thức bậc 2
* Định lý về dấu của tam thức bậc 2
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c với a
0
Gọi

= b
2
4ac là biệt thức của tam thức khi đó ta có

1/ Nếu

< 0 thì af(x) > 0
x R
2/ Nếu

= 0 thì af(x) > 0
0
x x
ở đây
0
b
x
2a
=
và f(x
0
) = 0
3/ Nếu

>.0; Khi đó nếu gọi x
1
; x
2
là 2n
0
của tam thức thì
a.f(x) > 0 nếu x < x
1
hoặc x > x

2

a.f(x) < 0 nếu x
1
< x < x
2
( Với x
1
< x
2
)
1) Ví dụ
1* CMR
a, b,c R
Ta có (a
2
b
2
). (c
2
d
2
)

(ac bd)
2
Xét tam thức bậc hai:
f(x) + (a
2
b

2
).x
2
2(ac bd)x + (c
2
d
2
) có

= (ac bd)
2
(a
2
b
2
).(c
2
d
2
)
mà f(x) = (ax- c)
2
(bx-d)
2
luôn có n
0
2 2 2 2 2
' 0
(a b ).(c d ) (ac bd)

3
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Giải:
Xét tam thức bậc 2: f(x) = (a
2
b
2
)a
2
2(ac- bd)x + (c
2
d
2
)
Có

= (ac bd)
2
(a
2
b
2
).(c
2
d
2
) mà f(x) = (ax c)
2
(bx d)

2
luôn có n
0
' 0

( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
a b . c d ac bd
2) Cho
+ >
ax by xy, x ; y 0
. CMR:
1
ab
4

Giải:
Xét
ax by xy
+

ax by 0 x ; y 0 + > >

a 0
b 0
>

>

Vì vai trò của a; b nh nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0
đặt
x t (t 0)
= >

x = t
2
Có
ax + by xy

+
2
at by y t

+
2
at y t by 0
đặt
2
f(t) at y t by
= +
Ta có
f(t) 0
a 0

>



Phơng trình vô nghiệm

1
0 y 4aby 0 1 4ab 0 (vì y>0) ab
4
3- Giả sử x
1
; x
2
là 2 nghiệm phân biệt của PT
= + + =
3 2
ax bx cx d 0 (a 0), (1)
CM:
2
1 2
2
4ac b
x .x
4a



Giải:
Vì x1; x2 là 2 nghiệm của PT (1) nên
3 2

1 2 1
3 2
2 2 2
ax bx cx d 0
ax bx cx d 0

+ + + =


+ + + =


( ) ( )
( ) ( )
( )
( )

+ + + = + = + + + =

3 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
a x x b x x c x x 0 x x . a x x x x b x x c 0
Vì
1 2 1 2
x x x x 0
Nên
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + =

+ + + + = + + + + =
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
a x x ax x b x x c 0
a x x ax x b x x c 0 a x x b x x c ax x 0
Suy ra (x
1
+ x
2
) là nghiệm của PT
am
2
+bm + c - ax
1
x
2
= 0 (2)
PT (2) có n
0


+
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2
4ac b

0 b 4a(c a.x x ) 0 b 4ac 4a x x 0 x x
4a
2) Bài tập áp dụng
1*) CH
2
3x 4 1 x 5
+
2*) a; b ; c là 3 cạnh của 1

CH:
( ) ( )
ax by . x y cxy x; y
+ +
3*) a; b; c; d là 4 số thực t/m b<c <d
CH (a + b + c + d)
2
> f (ac + bd )
4*) CMR
( ) ( )
2
x y xy 1 x y 3 x; y R
+ + +
thì
4
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Ph ơng pháp 6: Phơng pháp hình học
1) Ví dụ:
CMR:
( ) ( )
2 2

2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
+ + + + +
Giải
Trong mp Oxy xét A( a
1
; b
1
) ; B( a
2
; b
2
)
( ) ( )
+ = + = + + +
2
2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1 2
Ta có OA= a b ,OB a b ,AB a a b b

Xét 3 điểm O ; A ; B ta có
+ OA OB AB
( ) ( )
+ + + + + +
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
2) Bài tập áp dụng

1/* Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh

CMR: a
2
(b + c - a) + b
2
(c + a - b) + c
2
(a + b - c)

3.a.b.c
2/* Gọi R ; x Lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp vầ nội tiếp

CMR : R

2x
3/* Cho a

c > 0 ; b

c > 0 . CMR:
( ) ( )
c a c c b c ab
+
4/* a b ; c ; > 0 .CMR
2 2 2 2 2 2
a ab b b bc c a ac c
+ + + + +
5/* Độ dài 3 cạnh

a ; b ; c t/m
2 2 2 2 2 2
1
a b b c c a
3
+ + =
.CMR
2 2 2
2
1
a b c
9R
+ +
Ph ơng pháp 7: Sử dụng BĐT Trêbsep
Cho 2 dãy đơn điệu tăng
1 2 n
a a . . . a

và
1 2 n
b b . . . b

Khi đó ta có
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b ... a b a a ... a b b ... b
n n n
+ + + + + + + + +
ì
Dấu = xảy ra
1 2 3 n

1 2 3 n
a a a ... a
b b b ... b
= = = =



= = = =

Chứng minh :
Đặt
1 2 n
a a ... a
a
n
+ + +
=
.
Luôn

i sao cho :
+ +
1 2 i i n 1 2 i i n
a a ... a a a 1 ... a và b b ... b b b 1 ... b
Có
=
k 1, 2,...n
ta đợc
( ) ( )
+

k k k k k k
a a . b b 0 a b ab ba ab 0
Cộng n BĐT này ta đợc
= = =
= +

n n n
k k k k
k 1 k 1 k 1
0 a b a b b a nab (1)
Có
n n
k k
k 1 k 1
na a nab b b
= =
= =

.Khi đó (1) trở thành
n n
k 1 k 1
akbk a bk
= =


Hay
1 1 k k 1 2 n 1 2 n
a b ... a b a a ... a b b ...b
n R R
+ + + + + + +

ì
Dấu = xảy ra
k 1; 2; ...; n =
thì
5
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
(a
k
a). (b
k
b) = 0
Nếu (a
1
; a
2
; . .. ; a
n
) Re là 1 dãy số dừng

a
1
< a
i
< a
n
thì
( ) ( )
( ) ( )
1 1
n n

a a . b b 0
b b a a 0

=


=




b
1
= b
n
= b

Dãy b
1
; b
2
; ; . . . .; b
n
là dãy số dừng
Tóm lại
1 2 n
1 2 n
a a ... a
b b ... b
= = =

= = =

1) Ví dụ
CH BĐT Nesbit với 3 sốn
a b c 3
b c a c a b 2
+ +
+ + +
Giải
Đặt x = a + b + c
BĐT
a b c 3
x a x b x c 2
+ +

có:
( )
a b c 1 1 1 1
a b c
x a x b x c 3 x a a b a c

+ + + + ì + +
ữ


( ) ( ) ( )
a b c 1 1 1 1
x a x b x c

x a x b x c 6 x a x b x c


+ + + + ì + +
ữ



a b c 3
x a x b x c 2
+ +

2) Bài tập áp dụng:
1/* Cho: a ; b ; c > 0 có a
2
+ b
2
+ c
2


1
CMR: a)
3 3 3
a b c 1
b c a c a b 2
+ +
+ + +
b)
+ +

+ + +
2 2 2
a b c 3
b c a c a b 2
2/* Cho a ; b ; c ; d

0 t/m
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2


1
CMR: a)
3 3 3 3
a b c d 1
d c b a c d a b d a b c 3
+ + +
+ + + + + + + +
b)
2 2 2 2
a b c d 2
c b d a c d a b d a b c 3
+ + +
+ + + + + + + +

3/* Hãy tổng quát với n số dơng
4/* CMR
a ; b R
ta có
(a + b).(a
2
+ b
2
).(a
3
+b
3
).(a
4
+ b
4
)

8.(a
10
+ b
10
)
5/* cho a; b ; c ; d

0 t/m a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
= 1.
Tìm min A =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + +
+ + + + + + + +
6
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
Bất đẳng thức Cauchy
Chơng I- Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng
Bất đẳng thức Cauchy
Chơng I- Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng
1) Định lý: Với mọi số thực dơng a
1
; a
2
...a
n
ta có bất đẳng thức
1 2 n
n
1 2 n
a a ... a
a a ...a (*)
n
+ + +

Đẳng thức xảy ra

a
1
= a
2
=...= a
n
2) Chứng minh:
* với n = 2 ta có (*)
1 2
1 2
a a
a a
2
+

( )
2
1 2
a a 0

Luôn đúng
* Giả sử BĐT (*) đúng với n số khi đó ta có
n
1 2 1 2 n
n
n 1 n 2 2n n 1 n 2 2n
1 2 2n 1 2 3 2n 1 2n

a a ... an n a a ...a
a a ... a n a a ...a
a a ... a 2n a a a ...a a
+ + + +

+ + +
+ +
+ + +
Do dó BĐT đúng khi n là một luỹ thừa của 2 . Mặt khác nếu BĐT đúng với n số thì cũng đúng
với n -1 số. Thật vậy ta chỉ cần chọn
n
s
a
n 1
=

với s = a
1
+ a
2
+...+ a
n-1
1 2 n 1
n _1
n
1 2 3 n 1
a a ...a s
s
s n s n 1. a a a ...a
n 1 n 1

+


BĐT (*) đúng
n N ; n 2
Dấu = xảy ra
1 2 n
a a ... a
= =
* Ghi chú: Năm 1821 Cauchy nhà Toán học ngời Pháp đã chứng minh BĐT trên trong trờng hợp tổng
quát. Có lẽ vì vậy mà nhiều ngời lầm lẫn rằng ông phát hiện ra BĐT này.
Bất đẳng thức Bunhiacopxki thực chất là phát minh của 3 nhà toán học Schwarz; Bunhiacopxki
và Cauchy. Theo cách gọi chung của thế giới BĐT Cauchy có tên là BĐT AM-GM (Arithmetic Means
Geometric Means) Đây là sự nhầm lẫn kỳ lạ và khá ngạc nhiên trong thời gian dài !
3) ứng dụng của BĐT Cauchy
BĐT Côsi thờng đợc sử dụng cho các dạng toán
*Dạng 1: Chứng minh BĐT
*Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số hoặc biểu thức.
*Dạng 3: Giải phơng trình, bất và hệ phơng trình
Dạng 1: Chứng minh BĐT
I, Các bài tập cơ bản:
Bài 1: Chứng minh rằng
a, b, c N *
ta có
1 1 1 9
a b c a+b+c
+ +
Giải: áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta có:

7
Chuyên đề BĐT - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh-Trờng THPT chuyên Lê Hồng Phong
( )
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c 3 abc
1 1 1 1
. a b c 9 abc. 9
a b c abc
+ +
+ +

+ + + + =
ữ


đpcm. Dấu = xảy ra

a = b = c
Bất đẳng thức tổng quát hơn đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự.
Bài 2: ( Bất đẳng thức Nesbit)
CMR
a, b, c N *
Ta có
a b c 3
b c a c a b 2

+ +
+ + +
Giải:Xét các biểu thức
a b c b c a c a b
S ;M ;N
b c c a a b b c c a a b b c c a a b
= + + = + + = + +
+ + + + + + + + +
Ta có M +N = 3 Theo BĐT Cauchy ta có
a b b c c a
M S 3
b c c a a b
a c a b b c
N S 3
b c c a a b
+ + +
+ = + +
+ + +
+ + +
+ = + +
+ + +
Vậy
3
M N 2S 6 25 3 S (dpcm)
2
+ +
áp dụng BĐT phụ :
1 1 4
x y x y
+

+
(x; y, > 0) hệ quả
( )
2
1 4
xy
x y

+
1 1 1 9
x y z x y z
+ +
+ +
(x; y; z > 0) (tcm)
Để giải một số bài toán sau :
Bài 3: Cho a, b, c > 0 cm:
9 4 4 4 1 1 1
a b c 2a b c a 2b c a b 2c a b c
+ + + +
+ + + + + + + +
Giải: áp dụng BĐT phụ
( )
1 1 4
x;y 0
x y xy
+ >
Có
4 1 1 1 1 1
2a b c 2a b c 2a 4b 4c
+ + +

+ + +
(Dấu =

a=b=c)
C/m tt
4 1 1 1
a 2b c 2b 4a 4c
+ +
+ +
(Dấu =

a=b=c)
4 1 1 1
a b 2c 2c 4b 4a
+ +
+ +
(Dấu =

a=b=c)
4 4 4 1 1 1 1 1 1
2a b c a 2b c a b 2c 2a 4b 4c 2b 4a 4c
1 1 1 1 1 1
2c 4b 4a a b c
+ + + + + + +
+ + + + + +
+ + + = + +
(Dấu =

a=b=c)
Đặt x

1
= a + b + 2c ; y
1
= 2a + b + c ; z
1
= a + 2b + c
áp dụng BĐT phụ
1 1 1 1 1 1
1 1 1 9
x y z x y z
+ +
+ +
(Dấu =

x
1
=y
1
=z
1
)
8