Giáo ân 12. Ôn tập chương 1. Các dạng toán về tiếp tuyến

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
TIẾT 45

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
TIẾÙP TUYEÁN
1


CÂU HỎI

1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường
thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k?
Trả lời: y – y0 = k( x – x0 ) hay: y = k(x – x0) + y0
2) Cho biết ý nghóa hình học của đạo hàm?
Trả lời:
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm
tại x0, có đồ thị ( C) và M(x0; y0)
là một điểm thuộc (C), khi đó hệ
số góc của tiếp tuyến của (C) tại
M(x0; y0) là: k = f’(x0).

y

(C)

y0 M

O

x0

x

2


3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0; y0) thuộc đồ thị.
Trả lời: y – y0 = f’(x0)(x – x0 ), hay y= f’(x0)(x – x0) + y0

CÁC BÀI TOÁN
TÌM PHƯƠNG TRÌNH
TIẾP TUYẾN

?
Hãy nêu các dạng toán về
phương trình tiếp tuyến đã học?
3


Trả lời:
1. Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 hoặc
biết tung độ y0 của tiếp điểm. Ta nói tiếp tuyến tại
điểm M(x0; y0) ).
2. Biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Biết tiếp tuyến qua một điểm M(x0; y0) cho trước.
4. Hai đường tiếp xúc nhau.

4

1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x0;y0) của tiếp điểm
Phương trình cần tìm là: y = f’(x0).(x – x0) + y0
∗Nếu chỉ biết x0, ta thay x0 vào
công thức của hàm số để tính y0 .
∗Nếu chỉ biết y0, ta thay y0 vào
công thức của hàm số để tính x0 .

(1)

(C) : y = f(x)

y

M


y0
O

x0

x

∗Tính f′(x) rồi tính f′(x0).
∗Thay các giá trị x0, y0, f′(x0) vào phương trình (1)
ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
5


Ví dụ 1:

Cho đường cong (C):

1
y = f( x) = x −
x−1

Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ x = 2
Giải:
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ bằng x0 là: y = f′(x0).(x – x0) + y0
Theo đầu bài x0 = 2. Suy ra y0 = 1 và f′(x0) = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 3

6


2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k của tiếp tuyến

• Gọi (x0 , y0) là tọa độ tiếp điểm
• Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = k(x – x0) + y0

(2) ;

[với: k = f’(x0) ]

• Tính f′(x) rồi giải phương trình f′(x0) = k để tính x0.
• Thay x0 vào hàm số để tính y0.

• Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến
7


x −2
Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)=
x +2
Tìm phương trình các tiếp tuyến của (C). Biết tiếp
tuyến ấy song song với đường phân giác thứ nhất.

Giải:
Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1
Gọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình có dạng:
y = (x – x0) + y0
Theo giả thiết: f′(x0) = 1
(1)
4
(1) ⇔
= 1 ⇔ x0 = 0 hoaëc x0 = – 4
2
( x0 + 2)
Với x0 = 0 thì y0 = – 1. Với x0 = – 4 thì y0 = 3
Vậy ta có hai tiếp tuyến là : y = x – 1 vaø y = x + 7
8


3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến của (C) qua điểm M
Chú ý: M thuộc (C) hoặc không thuộc
(C), cách giải như nhau.

Gọi k là hệ số góc của đường
thẳng (d) qua M(xM, yM) và tiếp xúc
với (C). Phương trình đường thẳng
(d) là: y = k(x − xM) +yM
hay: y = kx – kxM + yM (a)
(d) Tiếp xúc với (C) khi hệ sau
đây có nghiệm

y

yM

•
M
O xM

x

y

yM

M

x
O
f(x) = kx - kxM + yM
xM

f' (x) =k

Giải hệ trên tính được k, thay k vào phương trình (a), ta
tìm được phương trình tiếp tuyến của (C) qua M.
9


Ví dụ 3: Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương
trình các tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1)
Giải: Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) laø:
y = k(x − xM) + yM ⇔ y = kx − 1
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:

 2x3 + 3x 2 − 1 = kx − 1
 2
=k
 6x + 6x

(1)
(2 )

Thay giá trị của k ở (2) vào (1), ta được phương trình:
2x3 + 3x2 − 1= (6x2 + 6x)x − 1
⇔ 4x3 + 3x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = − 3/4
Với x = 0 ta có k = 0, với x = − 3/4, ta có k = − 9/8
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là:
y = − 1 và

9
y = − x −1
8

10


4) Trường hợp 4 : Hai đường cong tiếp xúc
Hai đường cong được
gọi là tiếp xúc nhau tại
điểm M nếu chúng có
chung điểm M và tiếp
tuyến tại M của hai
đường cong đó trùng
nhau.(SGK ; tr 101)

y

y = f(x)



M y = g(x)

O

x

Đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số
y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có
nghiệm :
f
 (x) = g(x)
(Hệ đó cho ta hoành độ tiếp điểm)


f
 ' (x) =g' (x)
11


Ví dụ 4:
Xác định a để đồ thị (C) của hàm số :
x3
y = f (x) =
− x 2 + 4x
3
tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a
Giải : Hoành độ tiếp điểm của (C) và (P) là nghiệm
của hệ :

f(x) = g(x)

f' (x) = g' (x)

x
2
2
 − x + 4x = x + a (1)
⇔3
x 2 − 2x + 4 = 2 x
( 2)

3

(2) ⇔ x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2

8
Thay x = 2 vào (1), ta được : a =
3
8

ĐS : Khi a =

3

thì (C) tiếp xúc (P)

12


CÁC BÀI TOÁN
ĐỂ RÈN LUYỆN

13


(2m −1)x −m2
Cho hàm số : y =
x −1

Bài số 1:

(1)

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với
đường thẳng có phương trình: y = x.
Gợi ý: Như ví dụ 4. Điều kiện tiếp xúc
(2m − 1)x − m2
=x
(1)
x −1
− (2m −1) + m2
( 2)
=1
2
(x −1)

{

Đi đến:

(x − m)2 = 0
chú ý tập xác định.

2
2
(x − 1) = (m − 1)

ĐS: Mọi m khác 1

14


Bài số 2:

x
Cho hàm số: y = f(x) =
1+ x

Gọi (C) là đồ thị. Tìm phương trình tiếp của đồ thị đi
qua tâm đối xứng (nếu có).
Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1). Giống ví dụ 3
Phương trình tiếp tuyến qua điểm I.
ĐS: Không có tiếp tuyến nào qua tâm đối xứng.
x 2 + 3x + 3
Bài số 3: Cho hàm số y = f(x) =
x+2
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số
Biết nó vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + 6 = 0.
Gợi ý: Gọi (d) là tiếp tuyến. Vì (a) có hệ số góc 1/3
nên (d) có hệ số góc là – 3.
15
ĐS: y = – 3x – 3 và y = – 3x – 11.


Bài số 4:

Cho (C): y = f(x) = x3 − 3x2 + 2. Tìm trên
đường thẳng y = − 2 các điểm từ đó có thể
kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc
Gợi ý: Gọi A(a; – 2) là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – 2
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

x3 − 3x 2 + 2 = k(x − a) − 2 (1)

(2)
 3x(x − 2) = k
Theá (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x2 – (3a – 1)x+2] = 0

+ Với x = 2: Ta có tiếp tuyến là y = – 2 (loại).
+ Với 2x2 – (3a –1)x+ 2 = 0 (*). Để bài toán được thỏa
thì (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – 1
∆ = (3a – 1)2 – 16 > 0
Giaûi hệ ta được
⇔
(3x12 – 6x1)(3x22 – 6x2) = – 1
16
a = 55/27

{


Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + 4
Bài số 5:
Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó vẽ được
đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số.
Gợi ý: Gọi A(0; m) là điểm cần tìm.
Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m
Điều kiện tiếp xúc:

{

x4 – 12x2 + 4 = kx + m

4x3 – 24x = k

Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – 4 = 0

(1)
(2)
(3)

Do có đúng 3 tiếp tuyến nên (3) là phương trình
trùng phương có 3 nghiệm cần thử lại.
ĐS: Điểm A(0;4)
17


CHÚC SỨC KHỎE
CÁC THẦY , CÔ GIÁO

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG
TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI