Về phương trình tuyến tính với các số Fibonacci (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

ĐINH THỊ HUYỀN

VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VỚI CÁC SỐ FIBONACCI
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - 2019


✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ð ✤➛✉
✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶
✷
✹

✷ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❝→❝ sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐

✾

✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹
✷✳✺
✷✳✻
✷✳✼
✷✳✽

❉➣② ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➔ ❞➣② ▲✉❝❛s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ✼✼✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ✽✵✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 3 ✈➔ m = 4 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ x(i) < b, ✈î✐ ♠å✐ i ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ tç♥ t↕✐ i ✤➸ x(i) ≥ b ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ S1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ b ❧➫ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ✷✳✸✳✶ ✭ ✤à♥❤ ❧þ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✮

❑➳t ❧✉➟♥

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✹
✻
✼

✾
✶✸
✶✻
✷✷
✷✺
✷✾
✸✸
✸✻

✸✽
✸✾




ớ ỡ
rữợ t tổ ỷ ớ t ỡ t P ổ ố
ữợ tổ t t
t tỹ sỹ tổ t ở ợ ỡ ỳ
ợ ố tự t ọ rt õ t t ũ rt rở
tr ổ ữ tớ t t tr
ữợ ở tổ tr sốt tớ tổ tỹ
t r q tr t t q tr t
ổ t t t tốt t tổ
t ớ t s ừ tổ ữủ
t ỡ ổ ố tổ
ổ tr trồ ỡ Pỏ
t ừ trữớ ồ ồ ồ ổ tr
trồ ỡ ổ t t tr t ỳ tự qỵ
ụ ữ t ồ t ủ t tổ t

ổ tr trồ ỡ t ổ trữớ P
ữ ỡ tổ ổ t t ú ù tổ
t ổ ổ t trữớ tổ t ữỡ tr
ồ t ồ
ố ũ tổ t tọ ỏ t ỡ
ỳ ữớ ổ ứ ở ộ trủ t ồ tốt t
tổ tr sốt q tr ồ t tỹ
t








r Ps ỏ ữủ
t ợ t r ừ Ps ờ t ữợ t

ởt t ồ ữớ ị ổ ữủ ởt số ữớ
t ồ t t tớ r ờ ờ t tr t
ợ õ ổ tr ỵ số
t số t ổ tr ố s
r
số ởt tr ỳ ừ t ồ
t õ ổ t tr tỹ ợ rt
t t ự ử q trồ õ rt rở ừ
ữ k t ỳ t t tốt ừ
ỳ t t tứ ởt tỗ t s s

ợ s õ ự ử t tr
t ừ ữỡ tr t ú õ
ố t ợ
r tỹ õ tữủ sỹ t t trũ ợ số
t ổ õ số ởt tr số
ố tứ ởt tứ ố ồ ụ tữớ t t
tứ rỗ ỳ
tr ởt ụ tữỡ ự ợ số r
ú t t t r t tờ qt
ữỡ tr t t tr õ số
ở ừ tr tr ữỡ ữỡ
tr số tự q số số s ợ t
t ớ ừ t t q
t ừ ữỡ ữủ t t t
ữỡ t t tr t t tờ qt ớ t


✸
tr♦♥❣ ❦❤✐ m = 3, 4 tø ✤â ✤÷❛ r❛ ❞ü ✤♦→♥ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t✳
❈ö t❤➸ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ✷✳✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t✳ P❤➛♥ ✷✳✷ tr➻♥❤ ❜➔②
❧í✐ ❣✐↔✐ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 3 ❤♦➦❝ 4✳ P❤➛♥ ✷✳✸ tr➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ✤â ❧➔ ✣à♥❤ ❧þ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ P❤➛♥ ✷✳✹ ✤➳♥ ❤➳t ✷✳✽ ❧➔
❝→❝ ❦➳t q✉↔ ①♦❛② q✉❛♥❤ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✳ ❈→❝ ❦➳t
q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ ✈✐➳t t❤❡♦ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✹❪✳




ữỡ
ởt số tự

s
số ỵ (Fn)n

N

ữủ

ổ tự tr ỗ

F0 = 0,
F1 = 1,
Fn+1 = Fn + Fn1 ,

(n 1),

Fn số tự n ừ số
số t ừ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . .
ứ tự tr ỗ ừ t õ

Fn+2 Fn+1 Fn = 0,
ợ ồ n 0. õ t õ ữỡ tr x2 x 1 = 0 x2 = x + 1.
ừ ữỡ tr ợ xn1 t ữủ

xn+1 = xn + xn1 .



ó r ởt ừ ữỡ tr t 1 ụ ởt

ừ ữỡ tr õ

n+1 = n + n1 (1 )n+1 = (1 )n + (1 )n1 .
n

ợ ộ số tỹ a, b t t Fa,b (n) = an + b(1 ) õ tt
tọ tự tr ỗ




Fa,b (n) = an + b(1 )n ữủ ồ
s

r số ừ ữủ ữợ
tr ỗ sỷ ử ổ õ s
t ổ tự tữớ ừ ữủ ồ ổ tự
t ổ tự t ữủ sỷ ử ỳ tr ự s


số ữủ ổ tự
Fn =

n
1+ 5
2



5

n
1 5
2

.

s ởt số ữủ t t t ồ
rs r t s ữớ ự số
số s tữỡ tỹ ố ữ
ộ số tr s tờ ừ số trữợ õ số ỗ
tữỡ ỳ số s s ở tử ợ t
ợ số t tr s

L0 = 2 L1 = 1 tr t ởt số
t t ừ số s s ợ số

r, s số ổ s ự

ợ (r, s) ữủ

u0 (r, s) = 0, u1 (r, s) = 1, un (r, s) = run1 + sun2 (n 2) .
r trữớ ủ (r, s) = (1, 1) t số tự n ừ Ln
ồ ồ s ữỡ tỹ ữ q
t õ t ự ữủ s ữủ ổ tự s

ợ ồ số ữỡ n, t õ
Ln =

1+ 5
2

n




1 5
2

n

ứ t õ ỵ s ỵ t
ố ỳ số tờ qt ừ s




ỵ ợ ồ số ữỡ n > m, t õ FnLm = Fn+m +
Fnm .
ợ ộ số ữỡ n t t Fn = (1)n Fn Ln = (1)n Ln .

t
t rtr số ợ t
t ừ r s ở ừ t õ
số a, b, c d tọ 1 < a < b < c < d s ỗ
t tự s ú ợ ồ số ữỡ n.

Fn = Fna + 6Fnb + Fnc + Fnd

õ t ồ ỷ ớ t
rtr t t ồ ỷ ớ

a = 2, b = 5, c = 6, d = 8
r ự tự

Fn = Fn2 + 6Fn5 + Fn6 + Fn8



ữỡ ự q t n ỡ õ r
ự ử t r t a, b, c, d
ữỡ t qt t ữớ ữ ổ
õ t qt õ t õ ự tự ữỡ
q t n ữ s
ợ n = 8 t ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ

F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0 .
tự ú F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = 0.
sỷ tự ú ợ ồ số tỹ 8 k n. ự
ú ợ k = n + 1. tt q


✼
♥↕♣ t❛ ❝â

Fn+1 = Fn + Fn−1

= (Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 )
+ F(n−1)−2 + 6F(n−1)−5 + F(n−1)−6 + F(n−1)−8
= (Fn−2 + Fn−3 ) + 6 (Fn−5 + Fn−6 ) + (Fn−6 + Fn−7 ) + (Fn−8 + Fn−9 )
= Fn−1 + 6Fn−4 + Fn−5 + Fn−7 .
❱➻ ✈➟② t❛ ❝â

Fn+1 = F(n+1)−2 + 6F(n+1)−5 + F(n+1)−6 + F(n+1)−8 .

✶✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ✽✵✹
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✽✵✹ ❧➔✿ ❍➣② t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ a, b, c ✈➔ d
✭✈î✐ 1 < a < b < c < d✮ s❛♦ ❝❤♦ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤ù❝ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐
sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n

Fn = Fn−a + 9342Fn−b + Fn−c + Fn−d .

✭✶✳✹✮

◆❣❛② s❛✉ ✤â✱ ♥➠♠ ✶✾✾✼✱ ▲✳❆✳●✳ ❉❡rs❡❧ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
✽✵✹ tr♦♥❣ sè ✸✺✳✶ ✭✶✾✾✼✮ ❝õ❛ t↕♣ ❝❤➼ ❚❤❡ ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ◗✉❛rt❡r❧②✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❝ö
t❤➸ ♥❤÷ s❛✉✳
❚ø ♥❤➟♥ ①➨t 9342 = 9349 − 7 = L19 − L4 , ð ✤➙② Lk ❧➔ sè ▲✉❝❛s t❤ù ❦✳
❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ✤ç♥❣ ♥❤➜t t❤ù❝ ❣✐ú❛ ❝→❝ sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➔ sè ▲✉❝❛s t❛ ❝â

Fm+19 − Fm−19 = Fm L19 ,
Fm+4 + Fm−4 = Fm L4 .
❚rø ✈➳ ✈î✐ ✈➳ ❝õ❛ ✷ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

Fm+19 − Fm−19 − Fm+4 − Fm−4 = Fm (L19 − L4 ) .
✣➦t n = m + 19✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

Fn = Fn−15 + 9342Fn−19 + Fn−23 + Fn−38 .
◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝â ❝→❝ sè tr➯♥ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔✿ a = 15, b = 19, c = 23, d = 38✳ ❇è♥
sè tr➯♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✽✵✹✳




t r tỹ t t
t số tọ ỗ tự õ

ữỡ tr t t ợ số

ó r t õ t t ờ số ừ tỷ tự ừ
ỗ t tự tr t s ữủ ởt t ợ ợ ớ


ử t t r a = 2, b = 20, c = 40, d = 1 ớ ừ
ữỡ tr

Fn = Fn2 + 9349Fn20 + Fn40 + Fn41
r ữỡ s ở ử ừ ú t s ự
ữỡ tr t t ợ ở số


✾

❈❤÷ì♥❣ ✷
❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❝→❝
sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐
✷✳✶ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t✱ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❇➔✐ t♦→♥ ✼✼✾ ✈➔ ✽✵✹ t❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ q✉→t s❛✉✳

❇➔✐ t♦→♥✳ ❈❤♦ m ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ t❤ä❛ ♠➣♥ m ≥ 3✳ ❚➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜ë
sè ♥❣✉②➯♥ {c = 0, a(1), ...a(m)} t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

0 < a(1) < a(2) < ... < a(m)
s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ sè n > 0 ❝❤♦ tr÷î❝ t❛ ❝â

Fn = Fn−a(1) + cFn−a(2) + Fn−a(3) + Fn−a(4) + ... + Fn−a(m) .

✭✷✳✶✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥
t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t ✈î✐ ❝→❝ sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ❝â ✤ë ❞➔✐ m.

❚r♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② n = a(2) = b ✈➔ ✤➦t

x(1) = b − a(1), x(i) = a(i) − b, i = 3, 4, ..., m.
❑❤✐ ✤â tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m) ,

✭✷✳✷✮

0 < x(1) < b; 0 < x(3) < x(4) < ... < x(m).

✭✷✳✸✮

tr♦♥❣ ✤â

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✷✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ rót ❣å♥

❝õ❛ ✭✷✳✶✮✳




ởt b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) ừ ữỡ
tr ữủ ồ 1 t số

b + 2j, x(1) + 2j, x(3) + 2j, x(4) + 2j, . . . , x(m) + 2j
ụ ừ ởt ừ ữỡ tr ữủ ồ
ỡ õ ổ 1 t số.

t ữ t tt 1 t số ởt ợ ổ

ú õ ỳ số
tt số ừ 1 t số õ t ữ ởt
t t ừ ởt t số t
ừ ữỡ tr 1 t số t
ỳ số rt q trồ

ố ợ 1t số b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m)

ừ ữỡ tr t sỷ ử y y tt t ở

(m 1) s y(1), y(3), y(4), ã ã ã , y(m) tr õ y(i) ữủ


y(i) = |b x(i)| .

ợ i = 1, 3, 4, . . . , m

ử ố ợ ỗ t tự Fb = Fb1 + Fb2 t õ y
1, 2


y(1) = ã ã ã = 1
y(2) = ã ã ã = 2.
ố ợ ỗ t tự Fb = Fb2 + Fb1 t y 2, 1

ừ ữỡ tr tọ

ữủ ồ ữ ở y ừ ú


ó r q ữ tr ợ ừ
ữỡ tr ữủ ữ tr ởt q tữỡ ữỡ




ử ố ợ ỗ t tự
Fb = Fb1 + Fb2 ,
t õ

y(1) = |b x(1)| = |b (b 1)| = 1,
y(3) = |b x(3)| = |b (b 2)| = 2.

õ số Fz ợ z > 2 õ ởt
ỗ t tự ợ ừ õ ởt tờ ủ t t ừ

số õ tt số ợ ỡ 2 ởt ừ ữỡ
tr ữủ ồ ợ b > 2 x(i) > 2 ợ ồ i = 1, 3, 4, . . . , m.

õ ởt ỗ t tự õ

jJ

Fj = Fb

t ữủ tờ ừ ởt t rộ tỹ sỹ õ
tỷ ừ ỗ t tự

jJ

Fj = Fb ổ

t ữủ t t õ ỗ t tự õ tố

ử Pữỡ tr Fb = Fx(1) + Fx(3) + Fx(4) õ ởt
0 < x(1) = x(3) 0 < x(4) = b ợ x(3) < x(4)

Fb = Fx(1) + Fx(1) + Fb
ợ b x(1) t ữủ ừ ữỡ tr
t õ

Fx(1) + Fx(3) = 0.
Pữỡ tr Fb = Fx(1) + Fx(3) õ x(1) = b 1, x(3) = b 2,
ợ b 3 b b t õ (b 2) õ F(b2) = Fb2 .

Fb = Fb1 + F(b2)
tố ừ ữỡ tr tr
ố ợ ỗ t tự t ữủ t õ t ừ
õ ữ tờ ừ tố tr

ởt tố tr ừ ởt ỗ t
tự t ữủ ởt tờ õ


jJ

Fj = 0

jJ

Fj = Fb

jJ

Fj tọ



tr õ J t tỹ sỹ ừ t số {x(1), x(3), x(4), ã ã ã , x(m)}
ố ữủ tố ừ ởt ỗ t tự t ữủ số
ợ t ừ t rộ ổ ừ số tr
ỗ t tự õ s ố ợ ộ t J ữ t õ

jJ

Fj

ởt tố ừ ỗ t tự
ở ừ ởt tố số tỷ õ tr tố õ

ử ợ m = 6 t õ ỗ t tự
Fb = Fd + F1 + F2 + Fd + Fb
ợ d b 2 < d < b ởt ừ ỗ t tự
tr õ 3 tố õ t ữủ tố õ

Fd + Fd = 0.
d tố õ ở
ữỡ tỹ t õ tố ỏ ụ õ ở

F1 + F2 = 0
Fb = Fb b
ợ m = 7 t õ ỗ t tự
Fb = Fd + F1 + F3 + F4 + Fd + F(b+1) + F(b+2)
ợ b d d < 4 < b + 1
ỗ t tự t ữủ õ õ 3 tố õ

Fd + Fd = 0 õ ở 2
F1 + F3 + F4 = 0 õ ở 3
b F(b+2) = Fb+2 , F(b+1) = Fb+1 t õ tố
Fb = F(b+1) + F(b+2) õ ở 3

ởt ừ ữỡ tr ữủ ồ
b tữỡ ự

ởt ừ ữỡ tr ữủ ồ

tố ỗ t tự Fb = Fx(1) + Fx(3) + Fx(4) + ... + Fx(m)
ổ t ữủ ổ õ ởt t J tỹ sỹ ừ
t {b, x(1), x(3), . . . , x(m)} s

jJ

Fj = 0.


✶✸

✷✳✷ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 3 ✈➔ m = 4
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ t➻♠ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ tr♦♥❣
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 3 ✈➔ m = 4. ❱î✐ m = 3, ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❝â ❞↕♥❣

Fb = Fx(1) + F−x(3) , 0 < x(1) < b, 0 < x(3).
❚r÷î❝ t✐➯♥ t❛ ❝➛♥ ❜ê ✤➲ s❛✉✳

❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✶✳ ◆➳✉ {b, x(1), x(3)} ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❧î♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮

✈î✐ m = 3 t❤➻ x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b ❧➫✱ b ≥ 5 ❤♦➦❝ x(1) = b − 2,
x(3) = b − 1, b ❝❤➤♥✱ b ≥ 5.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ x(1) t❛ ❧✉æ♥ ❝â 0 < x(1) < b. ❉♦ ✤â t❛
①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉✳

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✿ x(1) = b − 1✳ ❱➻ {b, x(1), x(3)} ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❧î♥ ♥➯♥

b, x(1), x(3) > 2. ❑❤✐ ✤â F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb − Fb−1 = Fb−2 > 0. ❉♦
✤â x(3) ❧➔ sè ❧➫ ✈➔ x(3) = b − 2 ≥ 3 ❤❛② b ≥ 5.

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✿ x(1) = b − 2. ❑❤✐ ✤â F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb−1 > 0. ❚÷ì♥❣
tü t❛ ❝â x(3) ❧➔ sè ❧➫ ✈➔ x(3) = b − 1 ♥➯♥ b ❝❤➤♥✳ ▼➦t ❦❤→❝ x(1) = b − 2 > 2
♥➯♥ b ≥ 5.
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✸✿ x(1) ≤ b − 3. ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ F−x(3) ≤ Fb−1 t❤➻ t❛ ❝â Fx(1) +
F−x(3) ≤ Fb−3 + Fb−1 < Fb , ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ◆➳✉ F−x(3) ≥ Fb ❞♦
x(1) > 0 t❛ s✉② r❛ Fx(1) + F−x(3) > Fb , ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➟② ❦❤æ♥❣
①↔② r❛ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ x(1) ≤ b − 3✳ ❉♦ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣
Fb = Fx(1) + F−x(3) , 0 < x(1) < b, 0 < x(3)
❝❤➾ ❝â ❤❛✐ ❤å ♥❣❤✐➺♠ 1 − t❤❛♠ sè ❧➔ Fb = Fb−1 + F−(b−2) ✈î✐ b ❧➫✱ b ≥ 5 ✈➔

Fb = Fb−2 + F−(b−1) ✈î✐ b ❝❤➤♥✱ b ≥ 6.

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✷✳ ❑❤✐ m = 3✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❝❤➾ ❝â ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔
✭✐✮ x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b ≥ 3 ✈➔ b ❧➔ sè ❧➫.
✭✐✐✮ x(1) = b − 2, x(3) = b − 1, b ≥ 4 ✈➔ b ❧➔ sè ❝❤➤♥.
✭✐✐✐✮ b = 3, x(1) = 1, x(3) = 1.
✭✐✈✮ b = 4, x(1) = 1, x(3) = 3.
✭✈✮ b = 4, x(1) = 3, x(3) = 1.


✶✹

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✶✱ ♥➳✉ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❧➔ ❧î♥

✈➔ b ≥ 5 t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ ❞↕♥❣ (i) ❤♦➦❝ (ii)✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝á♥ ❧↕✐✱ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❦❤æ♥❣ ❧î♥ t❤➻ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ ❣✐→ trà b✱ x(1), x(3) ♣❤↔✐
❜➡♥❣ 1 ❤♦➦❝ 2✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ tø ♥❤➟♥ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Fz − 1 = Fy ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐↔✐ ✤÷ñ❝ ✤è✐ ✈î✐ y ♥➳✉ z ≥ 5✳ ❱➻ ✈➟②✱ t❛ ❝â t❤➸ ❦✐➸♠ tr❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✸

3

tå❛ ✤ë ♥❣✉②➯♥ tr♦♥❣ ❦❤è✐ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ [1, 4] ⊂ R3 ✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❝❤➾
❝â ✸ ♥❣❤✐➺♠ ❞↕♥❣ (iii) ❤♦➦❝ (iv) ✈➔ (v)✳ ❱➻ ✈➟② ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❧î♥ ❝õ❛
✭✷✳✷✮ ❧➔

F3 = F1 + F−1

(x(3) = −1) ,

F4 = F1 + F−3

(x(3) = 3) ,

F4 = F3 + F−1

(x(3) = 1).

❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❑➳t q✉↔ s❛✉ ❧➔ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✷✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✸✳ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ ❦❤✐ m = 3 ✤➲✉

t❤✉ë❝ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉✳
✭✐✮ Fn = Fn−1 + Lb−2Fn−b + Fn−(2b−2),
✭✐✐✮Fn = Fn−2 + Lb−1Fn−b + Fn−(2b−1),
✭✐✐✐✮ Fn = Fn−1 + 2Fn−4 + Fn−5.
✭✐✈✮ Fn = Fn−2 + 2Fn−3 + Fn−4.
✭✈✮ Fn = Fn−3 + 5Fn−4 + Fn−7.

b ≥ 3 ✈➔ b ❧➫✳
b ≥ 4 ✈➔ b ❝❤➤♥✳

❈❤ó þ r➡♥❣ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❧î♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ tr♦♥❣ (iii), (iv)
✈➔ (v) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ tr♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧î♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ ❧➔ 1 −
t❤❛♠ sè.
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 4. ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❝â ❞↕♥❣

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) ,
tr♦♥❣ ✤â b > x(1) > 0 ✈➔ 0 < x(3) < x(4).
❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ m = 3 t❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✹✳ ❑❤✐ m = 4 t❤➻ b, x(1), x(3), x(4) ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ✶✵ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣
❜↔♥❣ ✷✳✶✱ ✷✳✷ ✈➔ ✷✳✸ ❞÷î✐ ✤➙②✳


✶✺
❍❛✐ ♥❤â♠ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ tè 1− t❤❛♠ sè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✈î✐ m = 4 ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ✷✳✶ ❞÷î✐ ✤➙②✳

②✲❦➼ ❤✐➺✉

❚❤❛② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❜
< 2, 0, 1 >
Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1)
b > 3, b ❝❤➤♥
< 4, 3, 1 >
Fb = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b+1) b > 5, b ❝❤➤♥

❇↔♥❣ ✷✳✶✿ ❍❛✐ ♥❤â♠ ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❦❤✐ m = 4✳
b, x(1), x(3), x(4)
b, b − 2, b, b + 1
b, b − 4, b − 3, b − 1

b, x(1), x(3), x(4)
4, 3, 2, 3
5, 3, 1, 3
4, 1, 4, 5
6, 3, 1, 5
6, 3, 1, 5
6, 5, 3, 1

❚❤❛② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮
F4
F5
F4
F6
F6
F6

= F3 + F−2 + F−3
= F3 + F−1 + F−3
= F1 + F−4 + F−5
= F3 + F−1 + F−5
= F1 + F−3 + F−5
= F5 + F−1 + F−3

❇↔♥❣ ✷✳✷✿ ❙→✉ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❦❤✐ m = 4✳

❙→✉ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ✷✳✷✳ ❚r♦♥❣ ✻ ♥❣❤✐➺♠ ♥➔② t❤➻
♥❣❤✐➺♠ b = 4, x(1) = 3, x(3) = 2, x(4) = 3 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝✱ ✺
♥❣❤✐➺♠ ❝á♥ ❧↕✐ ✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ tè✳
❑❤✐ m = 4✱ ❤❛✐ ❤å ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✤÷ñ❝
❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ✷✳✸✳ ❍å ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❤➔♥❣ 1 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ 1 − t❤❛♠ sè✱ ♣❤➙♥
t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ✈➻

Fx(1) + F−x(1) = 0.
❱î✐ x(1) ❧➔ ❝❤➤♥✳ ❍å ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ❤➔♥❣ ✷ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ✈➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤
✤÷ñ❝ ✈➻

F1 + F−2 = 0.

❚❤❛② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✳✷✮ ●✐î✐ ❤↕♥ t❤❛♠ sè
Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b
b ❧➫❀ x(1) ❝❤➤♥ x(1) < b
Fb = F1 + F−2 + Fb
b ❧➫❀ b > 2
❇↔♥❣ ✷✳✸✿ ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♥❤➙♥ tè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❦❤✐ m = 4✳

b, x(1), x(3), x(4)
b, x(1), x(1), b
b, 1, 2, b


✶✻

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✺✳ ▼÷í✐ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➺♠ rí✐ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❦❤✐
m = 4 ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ð tr➯♥✱ ✤➦t ❝❤♦ t❛ ❝➙✉ ❤ä✐ ✈➲ ✈✐➺❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠➟t ✤ë

❝õ❛ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠✳ ❚❛ ❝â t❤➸ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ✈✐➺❝ ✤â ♥❤÷ s❛✉✿ ▼é✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✷✳✷✮
t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✸✮ ❧➔ ♠ët ❜ë ❜è♥✳
❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♠ët sè u ❦❤æ♥❣ ✤ê✐ ✈➔ ✤➳♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜ë ✹ sè ♥❣✉②➯♥
4

♥➡♠ tr♦♥❣ ❦❤è✐ s✐➯✉ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ [1, u] ✳ ❑✐➸♠ tr❛ ①❡♠ ♥❤ú♥❣ ❜ë ❜è♥ ♥➔♦
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✸✮✳
❚r♦♥❣ ❜↔♥❣ ❜è♥ ❞÷î✐ ✤➙②✱ t❛ ❧➜② u = 40 tr♦♥❣ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣

[1, 40]4 ❝â ✶✸✶ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✷✳✷✮✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â s→✉ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ❝ö t❤➸ ✤÷ñ❝
tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ✷✳✷✱ ❦❤✐ u t➠♥❣ t❛ ❝ô♥❣ ❝❤➾ ❝â ✻ ♥❣❤✐➺♠ ✤ì♥ ❝ö t❤➸ ✤â✱ ❝á♥ ❧↕✐
t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤➲✉ ♥➡♠ tr♦♥❣ ✹ ❤å ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜↔♥❣ ✷✳✶ ✈➔ ❜↔♥❣ ✷✳✸✳
❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ❝â ✶✷✺ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✹ ❤å ♥❣❤✐➺♠ ♥➔②✱ ❝❤✐➳♠
✾✺✪✳ ▼➟t ✤ë ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✹ ❤å ♥❣❤✐➺♠ ✤â ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❜↔♥❣
✷✳✹ ❞÷î✐ ✤➙②✳
b, x(1), x(3), x(4)
b, x(1), x(1), b
b, 1, 2, b
b, b − 2, b, b + 1
b, b − 4, b − 3, b − 1

❚❤❛② ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ▼➟t ✤ë
Fb
Fb
Fb
Fb

= Fx(1) + F−x(1) + F−b
= F1 + F−2 + F−b
= Fb−2 + F−b + F−(b+1)

= Fb−4 + F−(b−3) + F−(b−1)

69%
14%
6%
6%

❇↔♥❣ ✷✳✹✿ ▼➟t ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ ❤å ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ❦❤✐ m = 4✱ tr♦♥❣ ✹ t➟♣ sè
tr♦♥❣ ❤➻♥❤ s✐➯✉ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣[1, 40]4.
❑❤✐ u t➠♥❣ t❤➻ ♠➟t ✤ë ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ s➩ t❤❛② ✤ê✐✱ t→❝ ❣✐↔ ❙t❡♣❤❡♥s ❍❛❧❧ ❞ü
✤♦→♥ ❧➔ ♥â s➩ t✐➳♥ ✤➳♥ ♠ët ❣✐î✐ ❤↕♥ ♥➔♦ ✤â✱ ✈➔ ❝â ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ❤➛✉ ❤➳t
❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ❜↔♥❣ ✷✳✹ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ tè✳

✷✳✸ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❧í✐ ❣✐↔✐ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣
q✉→t✳ ❚r÷î❝ ❦❤✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t❛ ❝➛♥ ♠ët sè q✉② ÷î❝ s❛✉✳
❚❛ q✉② ÷î❝ ❦➼ ❤✐➺✉ o, o , o t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ ❧➫ tò② þ✳
◆➳✉ J ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ t❤➻ a ≤ J ≤ b ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ a ≤ j ≤ b ✈î✐
♠å✐ j ∈ J ✳ ❚÷ì♥❣ tü J ❧➔ ❝❤➤♥ ✭❧➫✮ ♥❣❤➽❛ ❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣
❤ñ♣ J ❧➔ ❝❤➤♥ ✭❧➫✮✳ ❑❤✐ ✤â ❦➳t q✉↔ s❛✉ ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✳


✶✼

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✸✳✶✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✮ ●✐↔ sû {b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m)}
❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ tè ❧î♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮ ✈î✐ m ≥ 3. ❑❤✐ ✤â
♥❣❤✐➺♠ ♥➔② ❧➔ 1 − t❤❛♠ sè✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ♥➳✉ m = 3 t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ❝â ❞↕♥❣ ✭✐✮ ✈➔
✭✐✐✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✱ ♥➳✉ m > 3✱ b ❧➔ sè ❝❤➤♥ t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ ♥➔② t❤✉ë❝ ♠ët
tr♦♥❣ ❝❤➼♥ ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✳

✭✶✮ Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) .
✭✷✮ Fb = Fb−2 + F−b + F−(b−1) .
✭✸✮ Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o

+ F−(b+o +2) .
✭✹✮ Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) .
✭✺✮ Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2)
+ F−(b+4) + ... + F−(b+o +1) + F−(b+o +2) .
✭✻✮ Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+1) .
✭✼✮ Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+2)
+ F−(b+4) + ... + F−(b+o +1) + F−(b+o +2) .
✭✽✮ Fb = Fb−o−4−o +F−(b−o−3−o ) +F−(b−o−1−o ) +...+F(b−o−4) +F−(b−o−1) +
F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) .
✭✾✮ Fb = Fb−o−4−o + F−(b−o−3−o ) + F−(b−o−1−o ) + ... + F−(b−o−4)
+ F−(b−o−1) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4)
+ ... + F−(b+o +1) + F−(b+o +2) .
+1)

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐ ♠å✐ sü ❧ü❛ ❝❤å♥ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ b ❧➔ ❧î♥✱ ❝❤➤♥ ✈➔ ♠å✐ ❧ü❛
❝❤å♥ o, o ✈➔ o s❛♦ ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝❤➾ sè tr♦♥❣ ✾ ❞↕♥❣ ð tr➯♥ ✤➲✉ ❧î♥ t❤➻
t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ 1 − t❤❛♠ sè✱ ❧î♥✱ ❝❤➤♥✱ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✭✷✳✷✮ ✈î✐ m > 3✳
❱➼ ❞ö s❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮✳

❱➼ ❞ö ✷✳✸✳✷✳ ❈→❝ ♥❣❤✐➺♠ s❛✉ ✤➙② ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✷✮✱ ✈î✐ ❝→❝ ❣✐→ trà
❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ m ♠✐♥❤ ❤å❛ ❜ð✐ ✾ ❞↕♥❣ s❛✉✿

✭✶✮ Fb = Fb−10 + F−(b−9) + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−(b−1) .
✭✷✮ Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1) .
✭✸✮ Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + F−(b+6) + F−(b+7) .

✭✹✮ Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) .
✭✺✮ Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3) .
✭✻✮ Fb = Fb−8 + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+1) .
✭✼✮ Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3) .


✶✽
✭✽✮ Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) .
✭✾✮ Fb = Fb−8 +F−(b−7) +F−(b−5) +F−(b−2) +F−(b−1) +F−b +F−(b+2) +F−(b+3) .
❚r÷î❝ ❦❤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ t❛ ❝â ♥❤➟♥ ①➨t ✈➲ ✾ ❞↕♥❣
♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✸✳ ❚r♦♥❣ ✾ ❞↕♥❣ ð tr➯♥✱ ❞✉② ♥❤➜t ❞↕♥❣ ✶ ❝â x(i) < b ✈î✐

♠å✐ i✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❞↕♥❣ ❝á♥ ❧↕✐ ✤➲✉ ❝â x(i) ≥ b ✈î✐ i ♥➔♦ ✤â✳

❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ q✉② ÷î❝ s➩
sû ❞ö♥❣ ♠ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉ ✤➙②✿
✲ ◆➳✉ tê♥❣ Fx + Fy + · · · + Fz ❝â tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤➻ t❛ ❤✐➸✉ tê♥❣ ✤â
❜➡♥❣ ❤♦➦❝ Fx ✱ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣

Fx + Fx+d + Fx+2d + · · · + Fx+jd ✱ ✈î✐ y = x + d, z = x + jd, d = x ✈î✐ j
❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ♥➔♦ ✤â✳
✲ ▼ët tê♥❣ ❝â ❞↕♥❣ Fx + Fy + · · · + Fz + Fu ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ ❧➔

(Fx + Fy + · · · + Fz ) + Fu .
✲ ▼ët tê♥❣ ❝â ❞↕♥❣ Fx + Fy + · · · + Fz + Fy + Fy + · · · + Fw ✤÷ñ❝ ❤✐➸✉ ❧➔

(F2 + Fy + · · · + Fz ) + (Fy + Fy + · · · + Fw ) .

❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✹✳ ❱î✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ z tò② þ t❛ ❝â✿

❛✮ Fz + Fz+1 + Fz+3 + Fz+5 + · · · + Fz+o = Fz+o+1.
❜✮ Fz − Fz−1 − Fz−3 − Fz−5 − · · · − Fz−o = Fz−o−1.
tr♦♥❣ ✤â o ❧➔ ✶ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❧➫ ❜➜t ❦➻✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ o = 2k + 1✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤➛♥ ❛✮ ❜ê ✤➲

tr➯♥ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ k ✳
✰ ❱î✐ k = 0 s✉② r❛ o = 1✱ t❛ ❝â

Fz + Fz+o = Fz + Fz+1 = Fz+2 = Fz+o+1 .
❙✉② r❛ ❜ê ✤➲ ✤ó♥❣ ✈î✐ k = 0✳
✰ ●✐↔ sû ❜ê ✤➲ ❧➔ ✤ó♥❣ ✈î✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ k ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ t❛ ❝â

Fz + Fz+1 + Fz+3 + · · · + Fz+2k+1 = Fz+(2k+1)+1 .
❳➨t tê♥❣✿



Fz + Fz+1 + Fz+3 + ã ã ã + Fz+2(k+1) + Fz+2(k+1)+1
= Fz+(2k+1)+1 + Fz+2k+3 = Fz+2k+2 + Fz+2k+3
= Fz+2k+4 = Fz+[2(k+1)+1]+1 = Fz+o+1 .
tr õ o = 2(k + 1) + 1
ứ õ s r tự ờ ú ố ợ (k + 1) ứ õ s
r t ú ừ ờ ố ợ ồ số ữỡ k õ
ỗ t tự ú ố ợ ồ số ữỡ o
ự ởt tữỡ tỹ t õ ỗ t tự
ờ t ởt q q trồ s

q số t o, o o số ữỡ

tũ ỵ õ tr ỵ tr ừ ữỡ
tr
ự ự tr ỵ
ừ ữỡ tr s ữủ ự tữỡ
tỹ
rữợ t t s r r

F(b+1) = F(b+2) + F(b+4) + ã ã ã + F(b+o

+1)

+ F(b+o

t b t ờ t õ

F(b+o

+1)

+ F(b+o

F(b+o ) + F(b+o

+2)

1)

= F(b+o

= F(b+o

ããã
ự t tử q tr ữ t õ

F(b+5) + F(b+4) = F(b+3)
F(b+3) + F(b+2) = F(b+1)

)

2)

+2) .



b (b + 1) F(b+1) = Fb+1
tr tr t tỹ ữủt ở tỷ ố ũ
ừ q tr õ t ữủ tờ ừ

F(b+1) tr
t t s ự

F(bo3) = Fbo+4o + F(bo3o ) + F(bo1o ) + ã ã ã + F(bo4) .
ỹ r trứ tỷ t õ số ỏ
tt tỷ ỏ õ số t õ Fz = Fz z số
ỗ t tự tr tữỡ ữỡ ợ

F(bo3) = Fbo+4o + Fbo3o + Fbo1o + . . . + Fbo4
ỹ t tờ tỷ t ừ ố

ũ t ữủ tr
ờ ró r

F(bo3) + F(bo1) + F(bo) + ã ã ã + F(b1)
= F(bo3) + F(bo2) + F(bo) + ã ã ã + F(b3)
= Fb2 .
ừ ữủ rút ồ t

F(b2) + Fb + F(b+1) = Fb .
õ ự

ờ J t ủ số ữỡ s
2 < j z, j J.

õ t õ

jJ

Fj < Fz+1

sỷ k ởt số ữỡ ụ tọ 2 < k
k
/ J õ
Fj < Fz+1 Fk .
jJ

z,

ự số tr J số t õ
F1 + F3 + F5 + ã ã ã + Fz = Fz+1 .
õ
jJ

Fj F3 + F5 + ã ã ã + Fz < Fz+1 .

số tr J số t õ

F2 + F4 + F6 + ã ã ã + Fz = Fz+1 1.
õ t õ ự
ự tữỡ tỹ ữ

ờ v số tt số ợ t
Fv Fv1 + Fv2 Fv3 ã ã ã < Fv1 .

ự s ự ữỡ q t số v
tự s

F2 + F3 F4 + ã ã ã + Fv = Fv1 .
ợ v = 5 t õ

F2 + F3 F4 + F5 = (1) + 2 3 + 5 = 3 = F4
ú ợ v = 5
sỷ ú ợ ồ số k tọ 5 k v s
ự ú ợ k = v + 2
tt q t õ

F2 + F3 F4 + ã ã ã + Fv = Fv1
ứ õ s r

F2 + F3 F4 + ã ã ã + Fv Fv+1 + Fv + 2
= Fv1 Fv+1 + Fv+2 = Fv1 Fv+1 + Fv+1 + Fv
= Fv1 + Fv = Fv+1 = F(v+2)1 .
ỗ t tự tr ú ợ ồ số v ứ t q tr
t ồ số ợ t õ

Fv Fv1 + Fv2 Fv3 + ã ã ã < Fv1 .




rữớ ủ x(i) < b, ợ ồ i
r trữớ ủ t sỷ r n, z, u(1), u(3), . . . , u(n) số
s

Fz = Fu(1) + Fu(3) + Fu(4) + ... + Fu(n)



ởt ỗ t tự tố ợ ợ

n 3.

0 < u(1) < z, u(3) < u(4) < . . . < u(n) < z,
õ t õ ởt ờ q trồ s

ờ t s ú

ỗ t ởt số s u(j) = z 1.
ổ t ỗ tớ r u(1) = z 1 u(n) < z 1.
ự sỷ ữủ u(i) z 2 ợ ồ i õ tt
số u(i) tr tr z 3 số
tứ ừ s tr õ ữỡ tr õ

Fz +

iKz2

Fi = Fu(1) +

iJz3

Fi

tr õ K t ủ tt số J t tt
số tr ử ờ t õ

Fz Fz +

iKz2

Fi = Fu(1) +

iJz3

Fi Fz2 + Fz2

ổ ỵ tr t õ

Fz = Fz2 + Fz1 = 2Fz2 + Fz3
õ t õ ự
ự tữỡ tỹ

ờ số ữỡ p 3 tọ
0 = Fu(3) + ... + Fu(p) + Fzo ,

ợ u(i) z o + 1 õ u(p) = z o + 1.
số ữỡ p 3 tọ
Fz(o+1) = Fu(3) + ... + Fu(p) ,

ợ u(i) z (o + 1) + 1 õ u(p) = z (o + 1) + 1




ự r ỗ t tự 0 = Fu(3) +ã ã ã+Fu(p) +Fzo

()



K = {i : u(i) }
J = {j : u(j) }
õ ỗ t tự õ t t

0=

Fu(i) +

Fu(j) + Fzo ,

iK

jJ



Fu(i) = Fu(i) , i K


Fu(j) = Fu(j) , j J.
tt tỷ õ tr s tr t õ

Fzo

Fzo +

Fu(j) =
jI

sỷ i K t ổ õ u(i)
õ t ờ t õ

Fu(i) . ()
iK

z o 1.
Fu(i) < Fzo
iK

ứ s r Fzo < Fzo ổ ỵ
õ ự tọ tỗ t i k u(i) = z o + 1
z số o số số t t ừ z o1 z o+1
u(i) ợ t i = p t õ

u(p) = z o + 1.
ự tữỡ tỹ

ờ ổ t r ỗ tớ u(1) = z 1 u(n) = z 1

ự sỷ ữủ t t u(1) = z 1 u(n) = z 1

ữỡ tr (2.4) t õ

0 = Fu(3) + Fu(4) + ... + Fu(n1) + Fz3



ợ 3 i n 1 t õ u(i) z 2 u(i) u (n 1) < u(n) = z 1
ử ờ t õ u (n 1) = z 2. õ tứ t ừ

z s r
F(z3) + Fu(n1) = Fz3 Fz2 = Fz4 .