Bài giảng Chương I: Đại cương về xác suất

CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
§1:Biến cố và quan hệ của giữa các biến cố
 1.Phép thử và biến cố.
 2.Phân loại biến cố : gồm 3 loại
­ Biến cố chắc chắn:Ω
­ Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:
­ Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C… 
 3. So sánh các biến cố.
A B
Định nghĩa 1.1:             (A n
ằm trong B hay A kéo theo B)      
nếu A xảy ra thì B xảy ra.Vây
̣
A
B
A= B
B
A
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

1


Định nghĩa 1.2: A được goi la
̣ ̀ biến cố sơ cấp �∃ ̹ B

A, B

A.

4. Các phép toán trên biến cố.

A.B = A B ảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra.
                                x
A + B = A B ảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy 
                             x
ra.

A− B
                      xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy 
ra. A = Ω − A
                                       xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

2


• Hình 1.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Hình 1.2

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

3


• Các phép toán của biến cố có tính chất giống các phép toán 
của tập hợp, trong đó có các tính chất đối ngẫu:

Σ Ai = Π Ai , Π Ai = Σ Ai
i

i

i

i

Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một ;tích = tất cả 
đều.
(A = có ít nhất 1 phần tử có tính chất x) suy ra  (không A = tất 
cả đều không có tính chất x).
Ví dụ 1.1: (A = có ít nhất 1 người không bị lùn) suy ra( không 
A = tất cả đều lùn).
• Định nghĩa 1.3: biếA
n c
.Bố= A và B được gọi là xung khắc với 
nhau nếu 
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

4


§2: Các định nghĩa xác suất
• 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
• Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là 
đồng khả năng và có tất  cả n kết cục như vậy. Kí hiệu m 
là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A. Khi ấy xác suất 
của 
m
Ρ ( A) =
    biến cố A là:
n
• Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu 
nhiên ra 5 bi. Tính xác su
ất để lấy được đúng 3 bi trắng.
3
2

C6 .C4
Ρ=
5
C
• Giải                                         ( phân ph
ối siêu bội)
10
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1

@Copyright 2010

5


Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi không hoàn lại

• Ví dụ 2.2: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu. Tính xác 
suất để toa thứ nhất không có người lên:
410
Ρ = 10
5
2. Định nghĩa hình học về xác suất: 
Định nghĩa 2.2: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng
khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miềΩn .
     Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho 
biến cố A. Khi ấy xác suất của biến cố A là: 
Ω ộ đo là độ dài,diện tích hoặc thể 
 P(A)= độ đo D/độ đo    (đ
tích)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

6


• Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn. 
Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành 3 cạnh của 1 tam giác.

• Giai: Goi đô da
̉
̣
̣ ̀i đoan th
̣
ứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoan th
̣
ứ 3 là 
l­x­y
x > 0, y > 0
Ω
 
x+ y l
x+ y >
2
x+ y >l−x− y
1
�
� l
Ω �D �
x + l − x − y > y � �y <
� Ρ ( A) =
4
�y + l − x − y > x
� 2
l
x<
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

7


HÌNH 2.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

8


• Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có ke nh
̉ ững đường thăng 
̉
song
song cách nhau 1 khoang la
̉
̀ 2a môt cây kim co
̣
́ đô da
̣ ̀i 
2t<2a.Tính xác suất đê cây kim că
̉
́t 1 trong các đường 

thăng song song 
̉
α
Giai: G
̉
ọi I là đi
m gi
ảng 
0ể<
αữa cây kim khi quay kim,IH là kho
Π
cách  tΩ
ừ I tới đường thăng g
̉
ần nhấ
t;     la
 gó=
c nghiêng.Khi 
�
dt̀Ω
Π.a
a
ấy ta có: 0 < h = IH
0
α
Π
 
Ω
D
0

h
IK = t sin α
π
2t
t sin α dα = 2t � Ρ( A) =
0
Πa
Khoa Khoa Học và Máy Tính

diện tích D =

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

9


HÌNH 2.2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

10


HÌNH 2.3

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

11


3. Định nghĩa xác suất theo tiên đề
Σ
• Định nghĩa 2.3: Ký hiệu          là t
ập hợp các biến cố trong 1 
phép thử. Ta gọi xác suất là 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A 
với 1 số P(A) thỏa mãn các tiên đề: 
0 P ( A) 1
(I)
P(Ω) = 1, P ( �) = 0
(II)
(III) Với mọi dãy biến cố đôi một xung khắc,ta có:
   
�
�

Ρ�
Ai �
=
�
�i =1
�

Khoa Khoa Học và Máy Tính

�Ρ ( A )
i =1

i

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

12


§3: Các định lý xác suất
1: Định lý cộng xác suất

Định lý 3.1.        P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
�n � n
Ρ ��Ai �= �Ρ ( Ai ) − �Ρ ( Ai Aj ) + �Ρ ( Ai Aj Ak ) + ... + (−1)n −1 P ( A1 A2 ... An )
i< j
i< j �i =1 � i =1

Ví dụ 3.1: Có k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (ksuất để tất cả các toa đều có người lên

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

13


Bài giải
•

A ­ tất cả các toa đều có người lên

•     ­ có ít nh
Α
ất 1 toa không có người lên.
Ai
•     ­ toa th
ứ i không có người lên, i =1, 2,…n� Α =

( )

�Ρ Α =C
+... + ( −1)

n

1
n

( n − 1)
n

k

k

−C

2
n

( n − 2)
n

k

k

+C

3
n

( n − 3)

n
i =1

Ai

k

nk

1k n −1
.Cn + 0
k
n

( )

� Ρ ( Α) = 1− Ρ Α

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

14


Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì có đề 
sẵn địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ.
Bài giải
           A   ­ Có ít nhất 1 bức đúng.
� A=
Αi
                  ­ B
ức thứ i đúng 

� Ρ ( Α) = C

1
n

( n − 1) !

i =1

( n − 2) !

n!
n 1!
n +1 1
n −1
+... + ( −1)
.Cn + ( −1) .
n!
n!
1 1 1
n +1 1
= 1 − + − + ... + ( −1) .
2! 3! 4!
n!

Khoa Khoa Học và Máy Tính

n!

−C

2
n

n

Ai

+C

3
n

( n − 3) !
n!

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

15


2. Định lý nhân xác suất
• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố 
A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí 
hiệu là P(B/A).
• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B
• Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc 
Cho A… tính xác suất B.
• Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Ρ ( Α1 , Α2 ...Α n ) = Ρ ( Α1 ) .Ρ ( Α 2 / Α1 ) .Ρ ( Α3 / Α1 Α 2 ) ...Ρ ( Α n / Α1Α 2 ...Α n−1 )
• Hệ quả:

Ρ ( Β / Α) =

Ρ ( ΑΒ )
Ρ ( Α)

                                                    
Khoa Khoa Học và Máy Tính

=

Ρ ( Β ) .Ρ ( Α / Β )
Ρ ( Α)

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

16


HÌNH 3.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

17


• Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau 
nếu xác suất của biến cố này không thuộc vào việc biến có 

kia đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử.
• Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn 
phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ 
của các biến cố còn lại.
• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
Αi , i = 1, n ̀ độc lập toàn phần. Khi ấy ta có:
• Giả sử                     la
n

n

i =1

i =1

1.Ρ (Π Ai ) = Π Ρ ( Α i )
n

n

i =1

i =1

(

2.Ρ ( Σ Ai ) = 1 − Π Ρ Α i
Khoa Khoa Học và Máy Tính

)

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

18


Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công 
thức cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.
• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất 
hỏng của chi tiết thP
ứi  i là      . Tính xác suất để mạng hỏng.
n
Αi
• Giải:         ­ bi
ến cố chi tiết thứ i hỏng
�Α=
Αi
                     A ­ biến cố mạng hỏng
i=1
• Vậy xác suất để mạng hỏng là:
 

( )

�n � n
Ρ ( Α ) = Ρ � Αi �= 1 − Π Ρ Αi = 1 − �
1 − Ρ1 ) ( 1 − Ρ 2 ) ... ( 1 − Ρ n ) �
(
�

�
i =1
�i =1 �

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

19


Ví dụ 3.4: Tung 3 xúc xắc. Tính xác suất để:
•

1. Tổng số chấm bằng 9 biết có ít nhất 1 mặt 1 chấm
2. Có ít nhất 1 mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau từng 
đôi một.
•
Giải:
1. Gọi A là có ít nhất 1 mặt 1 chấm.
                B là tổng số chấm bằng 9
                C là các số chấm khác nhau từng đôi một
63 − 53
3
Ρ
ΑΒ
Ρ ( Α) =
(
)

15
6
15
3
6
� Ρ ( Β / Α) =
= 3. 3 3 =
Ρ ( Α ) 6 6 − 5 91
15
Ρ ( ΑΒ ) = 3
6
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

20


Số cách để có ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9:
• 1+2+6 suy ra có 3! cách
• 1+3+5 suy ra có 3! cách
• 1+4+4 suy ra có 3 cách
Suy ra có 15 cách để có ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 
9
6.5.4
2. 
Ρ( C) =

63

3.5.4
Ρ ( ΑC ) =
63

Khoa Khoa Học và Máy Tính

1
� Ρ( Α / C) =
2

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

21


3. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes:
H i , i = 1, n
• Định nghĩa 3.5: Hệ                       đ
ược gọi là hệ đầy đủ, 
nếu trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ 1 trong các biến 
cố Hi xảy ra.
• Định lý 3.4: Giả sử                       là h
ệ đầy đủ. Ta có:
H i , i = 1, n
                                                       
Ρ ( ΑH )
n
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
                                                      (công th
ức đầy đủ).
Ρ ( A) = Ρ
H�
Ρ
Α�
/�
H
(�
)i �
(�
i)
i

i =1

Ρ ( ΑH i ) Ρ ( H i ) .Ρ ( Α / H i )
Ρ ( Hi / Α) =

=
, i = 1, n
                                                                        (công th
ức 
Ρ ( Α)
Ρ ( Α)
Bayess)
Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

22


Chú ý:

1.

Ρ ( Β / Α) =

2.

Với: 

n
i =1

Ρ ( Hi / Α )Ρ ( Β / Hi Α )

Ρ ( Β / Α) =

Ρ ( ΑΒ ) =

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Ρ ( ΑΒ )

n
i =1

Ρ ( Α)

Ρ ( H i ) Ρ ( ΑΒ / H i )

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

23


Ví dụ 3.5: Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi 
xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 
hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1bi thì được bi trắng. Tìm 
xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi 
trắng. 
Giải: Hộp 1: 4t + 6x .Lấy ngẫu nhiên 1 hộp:H1lấy được hộp 
1
Ρ ( H1 ) = Ρ ( H 2 ) = 1/ 2
          Hộp 2: 5t + 7x                                    H2 lấy được hộp 2

� Ρ ( Β / Α)
A­ biến cố lấy được bi trắng ở lần 1
B­ biến cố lấy được bi trắng ở lần 2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

24


Cách 1:

Ρ ( Α ) = Ρ ( H1 ) Ρ ( Α / H 1 ) + Ρ ( H 2 ) Ρ ( Α / H 2 )
1 4 1 5
= . + . =
2 10 2 12
Ρ ( H1 ) Ρ ( Α / H1 )
Ρ ( H1 / Α ) =
Ρ ( Α)

Ρ ( H2 ) Ρ ( Α / H2 )
Ρ ( H2 / Α) =
Ρ ( Α)

Ρ ( Β / Α ) = Ρ ( H1 / Α ) . Ρ ( Β / H1Α ) + Ρ ( H 2 / Α ) . Ρ ( Β / H 2 Α )
1 42 43
1 42 43

3/9

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010

4/11

25