giải tích 1 lê xuân đại 7 phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

1 / 38


C
o

Định nghĩa

on

e.

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm

Xét phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng

nZ

L(y ) = a0(x)y (x) + a1(x)y (x) + a2(x)y = F (x),

hV

ie

trong đó a0(x), a1(x), a2(x) là các hàm liên tục

trong đoạn [a, b] và a0(x) = 0 trong khoảng [a, b].

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

2 / 38


C
o

Định nghĩa

4

hV

ie

3

on

2

Giải phương trình thuần nhất L(y ) = 0 thu
được tập nghiệm cơ bản {y1(x), y2(x)}
Nghiệm thuần nhất tổng quát
ytn = C1y1(x) + C2y2(x), C1, C2 = const.
Tìm nghiệm riêng bất kỳ yr của phương trình
không thuần nhất L(y ) = F (x)
Nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai đã
cho là ytq = ytn + yr .

nZ

1

e.

Phương pháp giải

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

3 / 38


Điều kiện ban đầu

C
o

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm

nZ

on

e.

Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm của phương
trình vi phân đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện
bổ sung nào đó. Số các điều kiện này bằng cấp
cao nhất của phương trình. Ví dụ đối với phương
trình vi phân cấp 2 sẽ có 2 điều kiện bổ sung tại
x = a là y (a) = α, y (a) = β, với α, β = const.

in

hV

ie

Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp 2 với điều kiện bổ sung
được gọi là bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài
toán cho trước giá trị ban đầu thường có nghiệm
m
/>uy.nhất
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

4 / 38


C
o

Bài toán thực tế

hV

ie

nZ

on

e.

Dao động tự do

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

5 / 38


C
o

Bài toán thực tế

e.

Dao động tự do

hV

ie

nZ

on

Tại vị trí cân bằng, trọng lực của quả nặng
bằng với lực đàn hồi của lò xo.
Lực có xu hướng đẩy quả nặng về vị trí cân
bằng tỉ lệ với ly độ, có nghĩa là bằng ky , với k
là hệ số đàn hồi của lò xo.
Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động của quả
dy
nặng, có nghĩa là lực đó bằng λ. , với λ là hệ
dt
số tỉ lệ.

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

6 / 38

C
o

Bài toán thực tế

e.

Tổng lực tác động lên quả nặng là ky + λ.

dy
.
dt

on

Theo định luật II Newton ta có

nZ

dy
d 2y
ky + λ. = −m. 2
dt
dt

hV

ie

d 2y
dy
⇔ m 2 + λ. + ky = 0. Đây là phương
dt
dt
trình vi phân cấp 2, thuần nhất, với hệ số hằng.

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

7 / 38


C
o

Bài toán thực tế

Dao động cưỡng bức

hV

ie

nZ

on

e.

Trong trường hợp lực cản không tồn tại, còn
quả nặng sẽ dao động theo 1 ngoại lực có chu
kỳ, theo quy luật là . sin ωt.
Trong trường hợp này, chỉ có lực có xu hướng
đưa quả nặng về vị trí cân bằng là
k(y + . sin ωt).
Theo định luật II Newton, ta được
d 2y
d 2y
ky + k . sin ωt = −m. 2 ⇔ m. 2 + ky = −k. sin ωt.
dt
dt

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

8 / 38


C
o

Định nghĩa

e.

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

nZ

on

Định nghĩa
Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng là
phương trình có dạng

ie

Ay + By + Cy = f (x),

hV

trong đó A, B, C = const.

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

9 / 38


C
o

Phương trình thuần nhất

e.

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất

on

Giải phương trình thuần nhất

nZ

Ay + By + Cy = 0

hV

ie

Phương trình đặc trưng

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

Ak 2 + Bk + C = 0

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

10 / 38


C
o

Phương trình thuần nhất

Bước 2.

hV

ie

nZ

on

e.

Tính ∆ = B 2 − 4AC
1
Nếu ∆ > 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm
phân biệt k1 = k2 . Khi đó nghiệm của phương trình
thuần nhất là ytn = C1 e k1 x + C2 e k2 x
2
Nếu ∆ = 0 thì phương trình đặc trưng có nghiệm kép
k = k0 . Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất
là ytn = C1 e k0 x + C2 x.e k0 x
3
Nếu ∆ < 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm
phức liên hợp k1 = a + bi, k2 = a − bi. Khi đó nghiệm
của phương trình thuần nhất là
ytn = e ax (C1 cos bx + C2 sin bx).

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

11 / 38


C
o

Phương pháp Euler

e.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng trường hợp f (x) = e αx .Pn (x)

hV

ie

nZ

on

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất
sẽ có dạng yr = x s .e αx .Qn (x), trong đó Qn (x) là đa thức
cần tìm có cùng bậc với Pn (x).
1
Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng
thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng yr = e αx .Qn (x)
2
Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì
s = 1 và nghiệm riêng có dạng yr = x.e αx .Qn (x)
3
Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì
s = 2 và nghiệm riêng có dạng yr = x 2 .e αx .Qn (x)

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

12 / 38

C
o

Phương pháp Euler

e.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng trường hợp
f (x) = e αx .(Pn (x). cos βx + Qm (x). sin βx)

hV

ie

nZ

on

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất
sẽ có dạng yr = x s .e αx .(Hk (x). cos βx + Tk (x). sin βx),
trong đó Hk (x), Tk (x) là những đa thức cần tìm có cùng
bậc k = max{m, n}.
1
Nếu α + iβ không là nghiệm của phương trình đặc
trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng
yr = e αx .(Hk (x). cos βx + Tk (x). sin βx)
2
Nếu α + iβ là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
thì s = 1 và nghiệm riêng có dạng

yr = x.e αx .(Hk (x). cos βx + Tk (x). sin βx)

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

13 / 38


C
o

Nguyên lý chồng chất nghiệm

e.

Nguyên lý chồng chất nghiệm

nZ

on

Nếu f (x) = f1 (x) + f2 (x), trong đó f1 (x), f2 (x) là một
trong 2 trường hợp đặc biệt trên thì
1
Ta tìm nghiệm riêng yr1 của phương trình
Ay + By + Cy = f1 (x)

Ta tìm nghiệm riêng yr2 của phương trình

hV

ie

2

Ay + By + Cy = f2 (x).

Khi đó nghiệm riêng của phương trình
Ay + By + Cy = f (x) là yr = yr1 + yr2 .

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

14 / 38


C
o

Nghiệm tổng quát

on

e.

Bước 4. Nghiệm tổng quát

nZ

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp
hai với hệ số hằng là

hV

ie

ytq = ytn + yr

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

15 / 38


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Giải phương trình y − 2y − 3y = e 4x với điều
kiện y (ln 2) = 1, y (2 ln 2) = 1

hV

ie

nZ

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất
y − 2y − 3y = 0
Phương trình đặc trưng k 2 − 2k − 3 = 0 có 2
nghiệm phân biệt k1 = −1, k2 = 3
Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất
ytn = C1e −x + C2e 3x

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

16 / 38


C
o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

e.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình
y − 2y − 3y = e 4x
Nghiệm riêng có dạng yr = x s .e 4x .A. Vì α = 4
không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên
s = 0 và yr = A.e 4x .
−3
yr
=
Ae 4x
yr
=
4Ae 4x
−2
1
yr
=
16Ae 4x
yr − 2yr − 3yr = 5Ae 4x = e 4x
1
⇒A=
5
/>
in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

17 / 38


Ví dụ

hV

ie

nZ

on

e.

C
o

1

Bước 4. Nghiệm tổng quát ytq = C1 e −x + C2 e 3x + e 4x .
5
Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện
y (ln 2) = 1, y (2 ln 2) = 1 nên


 C1 e − ln 2 + C2 e 3 ln 2 + 1 e 4 ln 2 = 1
5
1

 C1 e −2 ln 2 + C2 e 6 ln 2 + e 8 ln 2 = 1
5


 1 C1 + 8C2 + 16 = 1
652
491
2
5
⇒ C1 =
⇒
, C2 = −
.
1
256

75
600
 C1 + 64C2 +
=1

4
5
652 −x 491 3x 1 4x
Vậy nghiệm của bài toán y =
e −
e + e .
5
75
600
/>
in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

18 / 38


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Giải phương trình y − 2y + 2y = x 2

hV

ie

nZ

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất
y − 2y + 2y = 0
Phương trình đặc trưng k 2 − 2k + 2 = 0 có 2
nghiệm phức liên hợp k1 = 1 + i, k2 = 1 − i
Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất
ytn = e x (C1 cos x + C2 sin x)

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

19 / 38


C
o

Ví dụ

yr
= Ax 2 + Bx + C
yr
= 2Ax + B
yr
= 2A
= 2Ax 2 + (2B − 4A)x + (2C − 2B + 2A)
= x2
1
1
⇒
A
=
,
B
=
1,
C
=
/>2

2

hV

ie

2
−2
1
yr − 2yr + 2yr

nZ

on

e.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình
y − 2y + 2y = x 2
Nghiệm riêng có dạng
yr = x s .e 0x .(Ax 2 + Bx + C ). Vì α = 0 không là
nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0 và
yr = Ax 2 + Bx + C .

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

20 / 38


on

e.

C
o

Ví dụ

Bước 4. Nghiệm tổng quát

hV

ie

nZ

1
ytq = e x (C1 cos x + C2 sin x) + (x + 1)2.
2

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

21 / 38


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Giải phương trình y + y − 2y = cos x − 3 sin x
với điều kiện y (0) = 1, y (0) = 2.

hV

ie

nZ

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất
y + y − 2y = 0
Phương trình đặc trưng k 2 + k − 2 = 0 có 2
nghiệm phân biệt k1 = −2, k2 = 1
Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất
ytn = C1e −2x + C2e x

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

22 / 38


C
o

Ví dụ

on

e.

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình
y + y − 2y = cos x − 3 sin x
Nghiệm riêng có dạng yr = x s .e 0x .(A cos x + B sin x). Vì
α = 0 + i không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên s = 0 và yr = A cos x + B sin x

hV

ie

nZ

−2
yr
= A cos x + B sin x
1
yr
= −A sin x + B cos x
= −A cos x − B sin x
1
yr
yr + yr − 2yr = (B − 3A) cos x +(−3B − A) sin x =
= cos x − 3 sin x

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

⇒

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

B − 3A = 1
⇒ A = 0, B = 1.
3B + A = 3
/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

23 / 38


C
o

Ví dụ

on

e.

Bước 4. Nghiệm tổng quát
ytq = C1e −2x + C2e x + sin x.

Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện
y (0) = 1, y (0) = 2 nên

C1 + C2 = 1
⇒ C1 = 0, C2 = 1.
−2C1 + C2 = 1

hV

⇒

ie

nZ

C1e 0 + C2e 0 + sin 0 = 1
−2C1e 0 + C2e 0 + cos 0 = 2

Vậy nghiệm của bài toán y = e x + sin x.

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

24 / 38


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Giải phương trình y + y = xe x + 2e −x .

hV

ie

nZ

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất y + y = 0
Phương trình đặc trưng k 2 + 1 = 0 có 2 nghiệm
phức liên hợp k1 = −i, k2 = i
Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất
ytn = C1 cos x + C2 sin x

in

m

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

TP. HCM — 2013.

25 / 38