đại số tuyến tính lê xuân đại 7 anh xa tuyến tính sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

1 / 67


C
o
e.
on

hV

ie

2

Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh
Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ,
cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ
tuyến tính.

nZ

1

in

m

Nội dung

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

2 / 67


C
o

Ánh xạ

Định nghĩa

nZ

on

e.

Cho 2 tập hợp tùy ý E , F = ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn
tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x).
Định nghĩa

hV

ie

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 = x2
⇒ f (x1) = f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh
nếu ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x). Ánh xạ f được
gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

3 / 67


C
o

Ánh xạ tuyến tính

nZ

on

e.

Định nghĩa
Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F
được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu)
nếu và chỉ nếu

ie

f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E
f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E .

hV

Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào
F là L(E , F ).

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

4 / 67


C
o

Ví dụ

e.

Ví dụ

on

Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.

hV

ie

nZ

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2,
f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2),
x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) =
(3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) =

f(x)+f(y).

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

5 / 67


C
o

Ví dụ

on

e.

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2,
f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2)
= λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

nZ

Ví dụ

hV

ie

Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2),
f (x) = (2x12 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) =
(2λ2x12 − λx2, λx2) = λ(2x12 − x2, x2), nếu λ = 1

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

6 / 67


e.

C
o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

Định nghĩa
Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được
gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là
ánh xạ tuyến tính.

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

7 / 67


C
o

Nhân và ảnh

e.

Định nghĩa
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là
nhân của ánh xạ f .
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .

on

1

ie

nZ

2

1

hV

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
Im(f ) là không gian véctơ con của F
Ker (f ) là />không gian véctơ con của E

in

m

Khái niệm tổng quát

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

8 / 67


ie

nZ

on

e.

C
o

Nhân và ảnh

hV
in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

9 / 67


on

e.

C
o

Nhân và ảnh

hV

ie

nZ

Định nghĩa
Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu
rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f .

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

10 / 67


e.

C
o

Ví dụ

1

f (p(x)) =
0

hV

2

Tìm Ker (f )
Tìm dim(Ker (f ))

ie

1

nZ

p(x)dx.

on

Ví dụ
Cho f : P2(x) → R xác định bởi

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

11 / 67


Ví dụ

C
o

1

p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x)

e.

1
0

= + + c = 0 ⇒ c = − 3a − b2 . Vậy
Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) : ∀a, b ∈ R}
Ta có

ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) = a(x 2 − 13 ) + b(x − 12 )
và x 2 − 31 , x − 12 ĐLTT nên chúng là cơ sở của
Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 2.

hV

ie

2

nZ

a
3

b
2

on

⇒ f (p(x)) = (ax 2 + bx + c)dx

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

12 / 67


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Cho f : R4 → R3 xác định bởi
f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4)
Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó
Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó
1

nZ

2

hV

ie

Ker (f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 =
0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta
được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R.
Vậy Ker (f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở
của Ker (f ) là (1,
1, −1, 0). Dim(Ker (f )) = 1.
/>
in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

13 / 67


C
o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

e.

Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0),
e4 = (0, 0, 0, 1).
Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1),
f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1),
f (e4) = (0, 0, 2)
Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có
f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) =
x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4)
⇒ Im(f ) =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) >

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

14 / 67


0
1
1
0



1
1


0
0
→
1
0
2
0

0
1
0
0



1

1

2
0

ie

nZ

1

 −1

 0
0



e.

C
o

Ví dụ

on



hV

Vậy (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f )
và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F = R3.

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

15 / 67


C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

on

e.

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ
véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó

nZ

f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E

ie

1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi
y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó
n

hV

∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x =

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

λi xi . Khi đó
i=1
n

n

y = f (x) = f (

in

m

Khái niệm tổng quát

λi f (xi ) ∈< f (M) > .

λi xi ) =
/>
i=1

i=1

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

16 / 67


e.

C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

on

2. Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >). Với mọi
y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K :

n

nZ

y=

n

λi xi ) ∈ f (< M >).

λi f (xi ) = f (
i=1

ie

i=1

hV
in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

17 / 67


e.

C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

nZ

on

Hệ quả
Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E
thì f (M) sinh ra F .

hV

ie

Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E )
= f (< M >) =< f (M) > .

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

18 / 67


C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

nZ

on

e.

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x1, x2, . . . , xn } là một họ véctơ gồm hữu
hạn phần tử của E . Khi đó
Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ
thuộc tuyến tính
Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập
tuyến tính.

ie

1

hV

2

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

19 / 67


C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

n

λi xi = 0. Khi đó
n

n

λi xi ) = f (0) = 0 =
i=1

ie

f(

nZ

i=1

on

e.

Chứng minh.
1. Nếu M PTTT thì
∃(λ1, λ2, . . . , λn ) = (0, 0, . . . , 0) sao cho

λi f (xi )
i=1

hV

⇒ f (M) PTTT.

2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính
thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì
f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

20 / 67


C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

nZ

on

e.

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x1, x2, . . . , xn } là một họ véctơ gồm hữu
hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc
lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính.
n

n

n

λi f (xi ) = 0

i=1

λi xi ) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên

hV

⇒ f(

ie

Chứng minh. Giả sử

i=1

λi xi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n.

in

m
=1

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

21 / 67


C
o

Tính chất của ánh xạ tuyến tính

nZ

on

e.

Định lý
Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F ,
∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với
mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .

hV

ie

Chứng minh.
Ta có f là song ánh=toàn ánh+đơn ánh. Vì f là
toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F .
Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy
f (B) là cơ sở của F .

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

22 / 67


C
o

Ví dụ

ie

nZ

on

e.

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0),
f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).
Xác định f (x1, x2, x3).

hV

3 véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở của
R3 nên
(x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1)

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

23 / 67


e.

C
o

Ví dụ

nZ

on



α
−β
=
x

 α = x1 + x2 + x3
1
⇔
β −γ = x2 ⇔ β =
x2 + x3



γ = x3
γ =
x3

hV

ie

Vậy f (x1, x2, x3) =
αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0, −1, 1) =
(x1 + x2 + x3)(1, 1, 1) + (x2 + x3)(−2, −1, 0) +
x3(2, 1, 3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + 4x3)

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

24 / 67


C

o

Ví dụ

nZ

on

e.

Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0),
f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).
Tìm cơ sở và số chiều của Ker (f ).

hV

ie

∀x 
∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = 0
 x1 − x2 + x3 = 0
⇔
x1 + x3
= 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0

x1 + x2 + 4x3 = 0
Ker (f ) = {0}. />Dim(Ker (f )) = 0. cơ sở Ker (f ).

in

m

Khái niệm tổng quát

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

25 / 67