phương pháp tính nguyễn quốc lân c3 nội suy va bình phương cực tiểu sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

om

-------------------------------------------------------------------------------------

ne

.C

PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506

Zo

CHƯƠNG 3

nh
Vi
en

NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)

Si

•

SinhVienZone.com

/>

NỘI DUNG
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

.C

om

1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE

Zo

ne

2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE

nh
Vi
en

3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)
4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA

Si

5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

SinhVienZone.com

/>

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x0

x1

…

x =   xk 

…

xn-1

xn

Giá trò nội suy

y0

y1

…

…

yn-1

yn

ne

Mốc nội suy

.C

om

Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (xk, yk) }, k = 0  n

y=?

nh
Vi
en

Zo

xk : mốc nội suy, yk : giá trò (hàm) nội suy
Từ bảng này, nội suy giá trò ybảng tại điểm x = ?

Si

Nội suy đa thức: Xác đònh đa thức y = P(x) thoả điều kiện
nội suy P(xk) = yk, k = 0 … n  ybảng  P()

SinhVienZone.com

/>

NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k = 0  n

.C

! đa thức L(x), bậc  n, thoả đ/kiện nội suy L(xk) = yk, k = 0 … n

Zo

ne

Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(xk,yk)} , k=02
2

Giá Trò nội suy yk

0.5

nh
Vi
en

Mốc nội suy xk

2.5

4

0.4

0.25

Tại x = 3, ybảng ?

Cách 1: 3 mốc  n = 2  L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)
 4 a  2 b  c  0 .5

  6 . 25 a  2 . 5 b  c  0 . 4
 16 a  4 b  c  0 . 25


Si

 L  2   0 .5

 L  2 .5   0 .4
 L  4   0 . 25


SinhVienZone.com

ybảng  L(3) = 0.325

/>

VÍ DỤ SAI SỐ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f (x)  L(x) 

 n 1

x

 x  x 0    x  x n    Nội

om

 a ,b 

f

 n  1 !

.C

Sai số:

max

ne

Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trò

Zo

nội suy Lagrange bậc hai hàm y =

suy tại x

bằng đa thức

115

xây dựng tại các

x

nh
Vi
en

mốc x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144. Yêu cầu: Làm tròn kết
quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4

f 115

f x 

x  M  max

Si

Giải:

 a ,b 

  L 115   M 

1

f

(3)

( x )  max

 115  100

100

, 144

3
8

5

x

2

115  121 115  144 

3!

Kết quả:
SinhVienZone.com

Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên!
/>

NHIỀU MỐC  ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mốc NS

2

2.5

4

Giá Trò NS

0.5

0.4

.C

om

Đa thức nội suy cơ sở tại xk: Lk(xk) = 1, Lk(xi) = 0  i  k

ĐTNSCS L0(x)

1

0

ĐTNSCS L1(x)

0

 x  2  x  4 

 2 . 5  2  2 . 5  4 

Si

L1  x  

ne

Zo

0

0

1

0

0

1

nh
Vi
en

ĐTNSCS L2(x)

0.25

L2 x  

3 mốc  3 ĐT NSCS

L0 ( x ) 

 x  2 . 5  x  4 
 2  2 . 5  2  4 
L2 x 

 x  2  x  2 . 5 

Lx

L1  x 

 4  2  4  2 . 5 

L0 x 

Đa thức nội suy: L(x) = 0.5L0(x) + 0.4L1(x) + 0.25L2(x)
Thiết lập công thức tổng quát với (n + 1) mốc {(xk, yk)}?
SinhVienZone.com

/>

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(n+1) mốc  (n+1) đa thức nội suy cơ sở. Đa thức nội suy

ne

.C

1

  L k  x1     L k  x k 1   L k  x k 1     L k  x n   0

Zo

 Lk xk

 Lk x0

om

cơ sở Lk(x) tại xk (k = 0 … n): Lk(xk) = 1, Lk(xi) = 0  i  k:

nh
Vi
en

Lk (x) 

 x  x 0    x  x k  1  x  x k  1    x  x n 
 x k  x 0    x k  x k  1  x k  x k  1    x k  x n 

,0  k  n

Si

 Đa thức nội suy L ( x )  y 0 L 0 ( x )  y 1 L 1 ( x )    y n L n ( x )

Ưu điểm: Công thức tổng quát cho đa thức nội suy L(x)

Chỉ phụ thuộc bộ mốc {xk} (0  k  n), không phụ thuộc yk
SinhVienZone.com

/>

VÍ DỤ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

Bảng 4 mốc 1, 2, 3, 4 ; 4 giá trò 5, 7, 8, 9. Viết ra biểu thức

ne

1  2 1  3 1  4 

 L 0  3 . 5   0 . 0625

L1 3 .5  

nh
Vi
en

Zo

L0 x  

 x  2  x  3  x  4 

.C

các đa thức nội suy cơ sở. Tính giá trò bảng tại x = 3.5?

 3 . 5  1  3 . 5  3  3 . 5  4 
 2  1  2  3  2  4 



L 2 (3 .5 ) 
L 3 (3 .5 ) 

Si

L ( x )  5 L 0 ( x )  7 L 1 ( x )  8 L 2  x   9 L 3 ( x )  L  3 . 5   8 . 4375

Viết biểu thức Lk(x) (Không tính!) Thay x  Giá trò
SinhVienZone.com

/>

NỘI SUY NEWTON – MỐC CÁCH ĐỀU
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bảng {(xk,yk)} , k = 0  n, mốc nội suy cách đều: x0, x1
Gtrò NS

x0

y0

x1

y1

x2

x3

.C

Mốc NS

nh
Vi
en

om

= x0 + h, x2 = x1 + h … xn = xn-1 + h. Lập bảng sai phân :
3

2

 yk

 yk

Zo

ne

yk

y0

y2

 y1

y3

y2

2

 y0

3

 y0

2

 y1

VD: Bảng sai

xk

yk

Ví dụ: y0 = y1 – y0

phân 3 mốc

1
2
3

2
4

7

Si

Cấp 1: yk = yk+1 – yk

2yk = yk+1 – yk …
SinhVienZone.com

(cách đều)

/>
y 2y
2

1

3


ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

h

t t  1 
2!

2

 y0   

t ( t  1)  ( t  n  1)
n!

n

 y0

Zo

N  x   y 0  t y 0 

.C

 x = x0 +th  Đa thức nội suy tiến:

ne

t 

x  x0

om

Đa thức nội suy Newton tiến: x x0 (đầu bảng)

nh
Vi
en

Đa thức theo t & Sai phân nằm trên đường chéo tiến
Đa thức nội suy Newton lùi: x  xn (cuối bảng)
h

 x = xn + th  Đa thức nội suy lùi:

Si

t 

x  xn

N  x   y n  t  y n 1 

t t  1 
2!

2

 yn2   

t  ( t  n  1)
n!

n

 y0

Sai phân nằm trên đường chéo lùi (từ cuối bảng đi lên)

SinhVienZone.com

/>

VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho bảng giá trò sinx từ 15  55. Xây dựng đa

0.3420
0.4226
0.5
0.5736
0.6428
0.7071
0.7660
0.8192

ne

20
25
30
35
40
45
50
55

y

2y

Zo

y
0.2588

Si

nh
Vi
en

x
15

.C

om

thức nội suy tiến (lùi) cấp 3 & tính sin16 (sin54)

SinhVienZone.com

/>
3y


VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đa thức nội suy tiến: x  15

x  15

 t 

 x  15  5 t

om

5

t t  1 

.C

N 1 ( t )  0 . 2588  0 . 0832 t  0 . 0026

 0 . 0006

2

3!

sin16 = 0. 2756

Zo

ne

x = 16  t = 0.2  N1(0.2) = 0. 2756

nh
Vi
en

Đa thức nội suy lùi: x  55

 t 

N 2 ( t )  0 . 8192  0 . 0532 t  0 . 0057

t  t  1  t  2 

x  55

 x  55  5 t

5
t t  1 

 0 . 0003

t  t  1  t  2 

2

3!

Si

x = 54  t = –0.2  N2(–0.2) = 0.80903 sin54 = 0. 8090
Câu hỏi: Tính tại x = 54 với Nội suy tiến. Nhận xét?

Tất cả sai phân: Nội suy Newton  Lagrange!
SinhVienZone.com

/>

HIỆN TƯNG RUNGE
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nội suy hàm f(x) = 1/(1+ 25x2), x  [-1, 1] bằng đa

om

thức nội suy, 5 mốc cách đều. Tính L(0.95), so sánh

ne

.C

giá trò tính được với giá trò chính xác f(0.95)

Zo

Lập bảng nội suy: 5 mốc cách đều trên [–1, 1] 

nh
Vi
en

x0 = –1, x1 = –0.5, x2 = 0, x3 = 0.5, x4 = 1 & yk = f(xk)

yk

–1

Si

xk

0 . 038

Giá trò L(0.95) =
SinhVienZone.com

–0.5

0.

0 . 138

1

0.5

1.

0 . 138

0 . 038

Giá trò chính xác f(0.95) = 0.04
/>

KẾT QUẢ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Si

nh
Vi
en

Zo

ne

.C

om

So sánh đồ thò hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P4(x)

Tăng số nút có thể khiến sai số tăng!
SinhVienZone.com

/>

NỘI SUY GHÉP TRƠN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

Nội suy Lagrange: Bậc quá lớn  Đồ thò phức tạp

.C

Thay đa thức

nh
Vi
en

nội suy bậc

Zo

bằng đa thức

ne

nội suy bậc n

thấp (bậc 1, 2,
3 …) trên từng

Si

đoạn
[xk,

xk+1],

k=0…n–1
SinhVienZone.com

/>

YÙ TÖÔÛNG NOÄI SUY GHEÙP TRÔN BAÄC 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

ne

S2 x

nh
Vi
en

Zo

S0 x

S1x 

.C

S 0  x1   y1

S 0 x0

 0

Si

S ' '0  x 0

  y0

 x 0 , x1 
SinhVienZone.com

 S 0  x1   S 1  x1 

 S ' 0  x 1   S '1  x 1 

 S ' ' 0  x 1   S ' '1  x 1 

 x1 , x 2 
/>
x2 , x3 


XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm hàm bậc 3 trên từng đoạn, liên tục và có đạo

2

2

3

3

–4

.C

y

Zo

ne

1

nh
Vi
en

Hàm nội suy:

x

om

hàm đến cấp 2 nội suy bảng số liệu sau:

 S 0  x   a 0  b 0 x  c 0 x  d 0 x , x  1 , 2 
S x  
2
3
S

x


a

b
x

c
x

d
x
, x  2 ,3 
 1
1
1
1

1
2

3

Si

Dạng thuận tiện hơn:
 S 0  x   a 0  b 0  x  1    , x  1 , 2 
S x  
 S 1  x   a 1  b1  x  2    , x   2 , 3 
SinhVienZone.com

/>

NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

1/ Hàm dạng bậc 3 trên từng đoạn [xk,xk+1], k = 0  n –1

 S 0  a 0  b 0  x  x 0   c 0  x  x 0   d 0  x  x 0  , x   x 0 , x1 

2
3
 S 1  a 1  b1  x  x 1   c 1  x  x 1   d 1  x  x 1  , x   x 1 , x 2 
S  
 
2


S

a

b

x

x


c

x

x

  , x   x n 1 , x n 
 n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
3

nh
Vi
en

Zo

ne

.C

2

2/ Điều kiện nội suy: S(xk) = yk, k = 0, 1 … n

Si

3/ Ghép trơn:

S  x k 1   S k 1  x k 1 
 k

 S k '  x k 1   S k 1 '  x k 1  k  0 

 S k "  x k 1   S k 1 "  x k 1 

4/ Điều kiện biên tự nhiên: S’’(x0) = S’’(xn) = 0
SinhVienZone.com

/>
n  2 


GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

I/ Độ dài hk = xk+1 – xk, k = 0 … n –1. Hệ số ak = yk, k = 0 … n

.C

II/ c = [c0, … cn]T là nghiệm (cn = S’’(xn)/2) hệ Ac = e với

Si

nh
Vi
en

Zo

ne

0
0 0  
0 
1


h 0 2 ( h 0  h1 ) h1 0  
0



0

h1 2 ( h1  h 2 ) h 2 0 
A 

.......... .......... .......... .......... .......... ..........


0 
hn  2 2 ( hn  2  hn 1 ) hn 1 


0
1
 0 .......... .......... ....


Bước III:

bk 
dk 

SinhVienZone.com

a k 1  a k
hk
c k 1  c k
3hk



0


3 ( a 2  a1 )
3 ( a1  a 0 )


h1
h0








3(a3  a2 )
3 ( a 2  a1 )



h2
h1
e  



.......... .......... .......... .......... ..



3 ( a n 1  a n  2 ) 
 3 ( a n  a n 1 )



hn 1
hn  2


0



h k ( 2 c k  c k 1 )

, k  0 ... n  1

3
,

k  0 

n 1
/>

VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

Lập hàm nội suy spline bậc 3 g(x) thoả điều kiện biên

x0 = 1

Giá trò NS

y0 = 2

x1 = 2

x2 = 3

x3 = 4

y1 = 1

y2 = 3

y3 = 2

nh
Vi
en

Zo

ne

Mốc NS

.C

tự nhiên và nội suy bảng sau

a 0  b 0  x  1   c 0  x  1   d 0  x  1  , x  1 , 2 
3



2
3
S   a 1  b1  x  2   c 1  x  2   d 1  x  2  , x   2 , 3 

 a  b  x  3   c  x  3  2  d  x  3  3 , x  3 , 4 
2
2
2
2

Si

Hàm spline

2

Bước I: Độ dài bước chia
Hệ số:

h 0  h1  h 2  1 .

a k  y k , 0  k  3  a 0  2 , a 1  1, a 2  3 , a 3  2

SinhVienZone.com

/>

BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

2

1

1

1

2

1

3
2

ck

0

0

0

0

dk

nh
Vi
en

3

ek

om

0

bk

.C

ak

ne

hk

Zo

k

Si

Bước II: c3 = g”(x3)/2  c = [c0, c1, c2, c3]T là nghiệm

III/ bk, dk, 0  k  2:
SinhVienZone.com

d0 

c1  c 0
3 h0

 b0 

a1  a 0
h0



/>
h 0  2 c 0  c1 
3



BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

2

3

4

5

6

.C

Tháng

om

Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thò
7

Si

nh
Vi

en

Zo

ne

Lượng mưa 550 665 540 580 610 605 570

SinhVienZone.com

/>
8
…


PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhiều dữ liệu & yk có sai số: p đặt L(xk) = yk: vô nghóa!

.C

om

Giải quyết: h(x) xấp xỉ bảng {(xk, yk)} theo nghóa BPCT
n



2

ne

F   h ( x k )  y k

hxk

Si

y  h(x)

nh
Vi
en

Zo

k 1

 min

SinhVienZone.com

/>
  yk


TRƯỜNG HP TUYẾN TÍNH
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 F  a , b     ax

om

h tuyến tính: h(x) = ax + b

n



2

k 1

ne

.C

n
n
 n 2
a
x  b  xk   xk yk
F
  k
 0

 k 1
a
k 1

k 1



n
n
F
 0



a  x k  nb

b
 yk

 k 1
k 1

nh
Vi
en

Zo

Điểm dừng:

k

 b  yk

Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn tìm a, b. So với đường cong y
= h1(x)  Tổng S =  (h1(xk) – yk)2: càng bé càng tốt

Si

VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghóa BPCT
xk

1

2

3

4

5

6

7

yk

1.3

3.5

4.2

5.0

7.0

8.8

10.1

SinhVienZone.com

8

9

10

12.5 13. 15.6

/>

ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+ bx + c

n

 F a , b , c  

 ax

om

h(x) =

ax2

2
k

 bx

k

 c  yk



2

k 1


4
a  xk  b   c   

k 1

n


3
 a  xk  b   c   
 k 1
n

2
a
x
 
  k  b   nc
 k 1

ne

Zo

nh
Vi
en

Điểm dừng:

F
 0

a

F
 0


b

 0
F

c

.C

n

Si

Tổng quát: Điểm dừng hàm tổng bình phương độ lệch
h = ax2 + bx
SinhVienZone.com

n

 F a , b  

 ax
k 1

2
k

 bx

k

 yk



2



F
a

/>


F
b

 0