phương pháp tính nguyên hàm -tích phân

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
Hs: Nguyễn Xuân Nam



1
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


BẢNG NGUYÊN HÀM VÀ PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thƣờng gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp (u=u(x))
0.dx C



dx x C



2
.
2
x
x dx C



 
2

.
2
ax
ax b dx bx C   



1
.
1
a
a
x
x dx C
a





1
. ( 1)
1
a
a
u
u du C a
a

   




 
1
1 ( )
. ( 0)
1
n
n
ax b
ax b dx C a
an


   




1
. lndx x C
x



1
. lndu u C
u




11
. ln ( 0)dx ax b C a
ax b a
   




1
.2dx x C
x



1
.2du u C
u



12
.dx ax b C
a
ax b
  



1
11
. ( 1)
( 1)
nn
dx C n
x n x


  



    
1
11
1
nn
dx C
ax b a n ax b



  


.
xx
e dx e C



1
.
ax b ax b
e dx e C
a




. (0 1)
x
x
a
a dx C a
lna
   


. (0 1)
u
u
a
a du C a
lna
   


. (0 ,0 1)

.
kx
kx
a
a dx C k a
k lna
    



.
.
bx c
bx c
a
a dx C
blna






.sinx dx cosx C  


.sinu du cosu C  


.cosx dx sinx C



.cosu du sinu C


1
sin( ). cos( )ax b dx ax b C
a
    



CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
Hs: Nguyễn Xuân Nam



2
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


1
cos( ). sin( )ax b dx ax b C
a
   



. ln ( )
2

tanx dx cosx C x k


    



. ln ( )cotx dx sinx C x k

  



1
tan( ). ln cos( )ax b dx ax b C
a
    



1
cot( ). ln sin( )ax b dx ax b C
a
   



2
1
. ( )

sin
dx cotx C x k
x

   


2
1
. ( )
sin
du cotu C u k
u

   


2
1
. ( )
cos 2
dx tanx C x k
x


   


2
1

. ( )
cos 2
du tanu C u k
u


   


11
ln tan
sin( ) 2
ax b
dx C
ax b a






11
ln cot
cos( ) 2
ax b
dx C
ax b a

  





2
11
. cot( )
sin ( )
dx ax b C
ax b a
   




2
11
. tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
  




2
11
1 dx x C
xx


   





2
11
1 dx x C
xx

   





22
()
.
ax
ax
e asinbx bcosbx
e sinbx dx
ab





Sử dụng pp nguyên hàm từng phần
22
()
.
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbx dx
ab





Sử dụng pp nguyên hàm từng phần


22
11
arctan
x
dx C
a x a a



(Không được sử dụng)
Đặt:
; ;
22

x atant t


  



22
1 1 a x
ln C
2 a x
dx
a x a






22
11
ln
2
xa
dx C
x a a x a





CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
Hs: Nguyễn Xuân Nam



3
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


2 2 2 2 2 2 2
1
ln
2
a x dx x a x a x a x C

      





     
   
22
22
2
2
1

2
ln
2
x b a dx x b x b a
a
a a a
a
ax b x b Ca a
   
   



2 2 2 22 2 2
1
ln
2
x dx x x aa a ax x C

   






     
   
22
22

2
2
1
2
ln
2
x b a dx x b x b a
a
a a a
a
ax b x b Ca a
   
   



2 2 2
22
arcsin
22
x a x a x
a x dx C
a

   


Đặt:
; ;
22

x asint t


  



 
   
2
22
2
arcsin
22
x b a x x b
a x b dx C
aa
a
a
aa
  
    


Đặt:
; ;
22
ax b asint t



   



22
22
1
lndx x a x C
ax
   




 
   
2
2
2
2
11
lndx ax b ax b a C
a
xaa b


    



22
1
arcsin
x
dx C
a
ax



(Không được sử dụng)
Đặt
; ;
22
x asint t


  



 
2
2
arcsin
11xb
dx C
a
a

a
aa x b





Đặt:
; ;
22
ax b asint t


   



22
22
1
lndx x x a C
xa
   




 
   
2

2
2
2
11
lndx ax b ax b a C
a
xaa b


    




 
 
1
1
n
n
n
n
ax bdx ax b C
an

   



 
 
1
1
1
n
n
n
n
dx ax b C
an
ax b

  





22
11
arccos
x
dx C
aa
x x a



(Không được sử dụng)

Đặt
22
t x a

Hoặc
; ;
22
x asint t


  



CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
Hs: Nguyễn Xuân Nam



4
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


22
22
11
ln
a x a
dx C
ax

x x a
  




Đặt
22
t x a 

Hoặc
; ;
22
x asint t


  



   
ln ln
b
ax b dx x ax b x C
a

     




Dạng nguyên hàm
Cách đổi biến
   
'
n
f f x f x dx




   
1
'()
nn
n
t f x t f x nt dt f x dx

    

 

n
f xdx





 
t dt dx   

1
()f lnx dx
x


1
t lnx dt dx
x
  

22
()
chan
f a x x dx


. . ;
| |.
22
| |.
. . ; 0
dx a cost dt t
x a sint
x a cost
dx a sint dt t




   








   



22
()
le
f a x x dx


22
t a x x dx t dt    

22
()
chan
f a x x dx


 
 
2
2
2
2
||
1 tan ;
.
cos 2 2
.
||
1 cot ;0
sin
a
dx dt a t dt t
x a tant
t
x a cott
a
dx dt a t dt t
t



     










     



22
()
le
f a x x dx


22
t a x xdx t dt   

22
()
chan
f x a x dx


 
 
2
2 2 2 2
22
2

2 2 2 2
22
| | | |
| | 1 cot cot
sin sin
||
||
| | 1 tan tan
cos cos
aa
x x a t
sint t
a
a
x
x a t
cost
t


   








  






22
()
le
f x a x dx


22
t x a x dx t dt   

x
a
f dx
eb






1
t
x e t lnx dt dx
x
    

ax
dx
ax








. 2 ; 0
2
x acos t t

  

ax
dx
ax








. 2 ; 0
2

x acos t t

  

  
 
,x x a b x dx


2
( )sin ; 0
2
x a b a t t

    

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG
Hs: Nguyễn Xuân Nam



5
Sdt: 0.16488.36488 – 01.262.191.246


 
1
()
dx
x a x b



+ Với
0& 0x a x b   
thì đặt
t x a x b   

+ Với
0& 0x a x b   
thì đặt
t x a x b    

2
.ax bx c dx


Đặt:
2
u
dv
ax bx c
dx









2
1
dx
ax bx c


Đặt:
2
t ax bx c  




22
2
11
ln 2 2dx a x abx ac ax b C
a
ax bx c
     



 
2
1
dx
x A ax bx c  


Đặt:
1
t
xA



 
22
dx
Ax B ax
N
b


Đặt:
2
xt ax b

 
22
dx
Ax B
M
ax b
x



Đặt:
2
t ax b


     
2 2 2 2 2 2
Mx N Mx
dx dx dx
Ax B ax b Ax B ax b Ax B ax b
N

   


  

 
22
dx
Ax Bx C ax b
Mx N
  


Đưa về dạng:
 
22
' ' ' '
dx

A x B
x
a x b
MN





 
2
1
22
()
1
n
n
Px
dx Q x ax bx c R dx
ax bx c ax bx c

   
   


 
2
.
n
dx

x a ax bx c  


Đặt
1
xa
t


2 2 2 2
()
dx
x a x a


Đặt
; 0; ;
22
a
xt
cost


   
  
   
   

 
 

11
1
2
()
nn
n
n
n
dx dx
x a x b
xb
xa
xa











Đặt:
n
xb
t
xa





2
( ')'
dx
a x b ax bx c  


Đặt
1
' '
t
a x b



 
1
1 1 1
nn
n n n
x
dx C
x x x

  


Đà Nẵng, ngày 25 tháng 01 năm 2013.

(Nếu có sai sót xin gửi thắc mắc tới mail của mình, cảm ơn các bạn!)
Phiên bản 2 sẽ là hướng dẫn và phương pháp làm dẫn đến các công thức trên.