phương pháp tính nguyễn quốc lân c5 giai phương trình vi phân thuong sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

om

-------------------------------------------------------------------------------------

ne

.C

PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV

Zo

CHƯƠNG 5

nh
Vi
en

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)

Si

•

SinhVienZone.com

/>

NỘI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

.C

1 – PHƯƠNG PHÁP EULER

om

A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU)

ne

2 – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA

nh
Vi
en

Zo

3 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

Si

B- BÀI TOÁN BIÊN

1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

SinhVienZone.com

/>

BÀI TOÁN CÔSI
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y'

f ( t , y ),

a

t

b

.C

điều kiện đầu

om

Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường &

ne

y (a )

Zo

Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h

nh
Vi
en

= (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < … < tn = b
y1 = ?

Si

y0 =

h

a

a = t0

t1

Cần tính gần đúng giá trò wk
SinhVienZone.com

b

t2

b = tn

yk = y(tk), k = 1

/>
n


MINH HOẠ Ý TƯỞNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5y

y (0 )

5t

2

2t,

0

t

Với bước chia h = 0.5

om

Bài toán Côsi:

y'

1 3

f ( x0

.C

& công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm:

f '( x0 )

h)

f ( x0 )

ne

h

Zo

hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1.

nh
Vi
en

Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) ygđ và vẽ

Điểm chia:

Si

đồ thò so sánh với nghiệm chính xác g(t) =

t0

1

e

5t

3

0

t1

Kết quả tìm được:

y 0 .5

0 .5

y 1 .0

1 . 875

SinhVienZone.com

t

2

0 .5

t2

1.

y gđ.Lagrang
y gđ

e

at

6 . 42 t

2

2

/>
bt

c

4 . 87 t

0 . 33


CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f ( t , y ), t

wi

a
n

, ti

a

w0

. Giả sử

k1

hf ( t i , w i ), k 2

n

wi

1

wi

Sơ đồ Runge –

k1

hf ( t i , w i ), k 2

Kutta: w0 =

k3

hf ( t i

Giả sử biết wi
SinhVienZone.com

.

wi

hf ( t i , w i )

S/đ Euler cải tiến (i = 0

ih

Si

Tính wi, i = 0

wi

Zo

b

n đoạn

nh
Vi
en

h

1

w i đã biết

ne

y (a )

Chia [a, b]

. Giả sử

w0

a,b

n – 1)

.C

y'

om

Sơ đồ Euler (i = 0

Btoán Côsi: Tìm y(t)

1

wi

h 2 , wi
(k1

2k2

n – 1)

w i đã biết

(k1

hf ( t i

h, wi

k1 )

k2) 2

hf ( t i

h 2 , wi

k 2 2 ), k 4
2k3

k1 2 )

hf ( t i

k4) 6

/>
1

, wi

k3)

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y

t

y (0 )

2

0 .5

1,

0

t

1

.C

y'

om

Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia:

ne

So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1)2 – 0.5et.

nh
Vi
en

Zo

Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang:

1

I

y ( t ) dt
0

Giải: f(t,y) = y – t2 + 1

t0

0 .5

t1 , w 1

t3 , w 3

t2 , w 2

Si

h = (b–a)/n = 1/3

0, w0

Sơ đồ Euler:

w0
wi

SinhVienZone.com

0 .5
1

wi

hf ( t i , w i )

wi

0 .2 ( w i
/>
2

ti

1)

KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0

0

0.5

1

1/3

2

2/3

3

om

wi

gi = g(ti )

| gi - wi |

0.5

0

.C

ti

Zo

ne

i

nh
Vi
en

Bảng kết quả:

1.

1

y ( t ) dt
0

Si

Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang
h

2

y t0

2 y t1

2 y t2

y t3

h
2

w0

2 w1

1 . 3528807

SinhVienZone.com

/>
2w2

w3


VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SĐ Euler cải tiến với h = 0.5:
y

t

1, h

0 .5

0,

nh
Vi
en

Zo

t0

k1

hf ( t i , w i ) , k 2

ti

0

hf ( t i

h, wi

0 .5

k1 )

1,

0

0 .5 , w1

wi

k1

0.0

0.5

0.75

1

0.5

1.375

1.0625

2

1.0

2.515625

SinhVienZone.com

2

t

1

0 .5

t1

wi

Si

i

t

.C

2

y

y (0 )

ne

f (t , y )

y'

om

Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng

1

?

t2 , w 2

k1

wi

k2
2

k2
1.0
1.21875

/>

VÍ DUÏ RUNGE – KUTTA
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4:

k3

i

ti

0 0.0

wi+1

wi

wi

1

Si

wi

0.5

1 0.5

1 . 4251302

2 1.0

2 . 6396027
SinhVienZone.com

hf ( t i

ne

Kutta

h 2 , wi

k1

wi

hf ( t i

h
2

, wi

k2 2) , k4

Zo

–

hf ( t i , w i ) , k 2

nh
Vi
en

Runge

k1

.C

om

Tính y(1.) baèng Runge – Kutta vôùi h = 0.5

2k2

2k3

y'

y

y (0 )
k1

t

2

1

0 .5

)

2
hf ( t i

h, wi

k3)

k4

6

k1

k2

0 . 75

0 . 90625

0 . 9451325

1 . 0976563

1 . 2032064

1 . 2331167

1 . 3286235

1 . 0875651

k3

/>
k4


HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

du 1

f 1 ( t , u 1 , u 2 ),

dt

t

b

2

f 2 ( t , u 1 , u 2 ),

t

b

đầu

1

u 2 (a )

2

Zo

dt

a

kiện

.C

& Điều

u1 (a )

ne

du

a

om

Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoả

nh
Vi
en

Chia [a, b] thành đoạn bằng nhau: Phân hoạch & rời rạc hoá
0

0

w1

1

, w2
1

,

2

u 1 t1 , u 2 t1

?

2

2

w1 , w 2

?

Si

1

2

1

w1 , w 2

a

Ký hiệu: w 1i
SinhVienZone.com

t0

t1

i

u 1 ( t i ), w 2

a

u 2 ( t i ), i

h

t2

0

a

Biết

2h
0

w1 , w

0
2

i

tính w 1 , w

/>
i
2

?


MINH HOẠ Ý TƯỞNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2u 2

u2'

4u1

u2

2t

2

2

t

1 e
2t

2t

, u1 0

1

.C

3u1

4 e

2t

ne

u1 '

om

Xét bài toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường:

, u2 0

1

Zo

Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 tại t = 0.5; 1

nh

Vi
en

So sánh giá trò tính được với giá trò nghiệm chính xác:
1

u1 t

3

t0

1

e

t

e

2t

3

Si

Điểm chia:

e

5t

0

t1

1

; u2 t

0 .5

e

5t

3
t2

t

e

2

t e

2t

3

1.

u1 0

1

u 1 0 .5

?

u1 1

?

u2 0

1

u 2 0 .5

?

u2 1

?

SinhVienZone.com

2

t

u1

u2

0

1

1

0.5
1.0

/>

SƠ ĐỒ EULER
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

du 1

f 1 ( t , u 1 , u 2 ),

dt

b

kiện

.C

& Điều

f 2 ( t , u 1 , u 2 ),

S/đồ Euler:

a

0

t

nh
Vi
en

0

w1

1, w2

i 1

i

w1

2

2
i

i

2t

i

i

w1 , w 2 i
i 1

w2

i

w2

hf

1

f1 t , u 1 , u 2

u2'

2

2t

4u1
u2
t
2t 4 e , u 2 0

     
f 2 t ,u1 ,u 2

SinhVienZone.com

1

u 2 (a )

Giả sử biết

3u1 2 u 2
2t
1 e , u1 0
      

VD:

đầu

b

hf 1 t i , w 1 , w 2 ,

Si

w1

u1 (a )

ne

2

dt

u1 '

t

Zo

du

a

om

Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoả

1

1

w1

1

1

0

2

n

1

i

i

ti , w1 , w 2

2

0

1

1

w1

2

1

w2

0

0 . 5 f 1 0 ,1 ,1

w2
1 0 . 5 f 2 0 ,1 ,1
/>
1
1


ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f t, y, y' ,

y a

1

t

a

.C

y"

om

Bài toán Côsi cấp 2 (Ph/trình vi phân cấp 2 và đkiện đầu):

, y' a

2

f1 t , u 1 , u 2

y''

f t, y, y'

u2

nh
Vi
en

u1 '

Zo

ne

Đưa về bài toán Côsi cấp 1: Đổi biến u1(t)= y(t), u2(t)=y’(t)
u2'

Sơ đồ Euler:

1

w1

1

w2
SinhVienZone.com

0

u1 a

y a

u2 a

y' a

Si

Điều kiện đầu:

0

w1

0

w2

w1

1

0

0

0

2

1

w2

2

2

0

hf 1 t 0 , w 1 , w 2
hf

f 2 t, u1 , u 2

h

1

0

t0 , w1 , w 2

2

hf

2

2

a,

/>
1

,

2

VÍ DỤ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Với h = 0.1, tính xấp xỉ giá trò y(0.2), y’(0.2) của nghiệm

om

bài toán sau bằng phương pháp Euler:
2t

.C
e

sin t , t

ne

y" 2 y ' 2 y

0 .4 , y ' ( 0 )

0 .6

Zo

y (0 )

0

u2'
0

w1

0

w2

u2

f1 t , u 1 , u 2
2t

2y

2 y' e

0 .4

Si

u1 '

nh
Vi
en

Đổi biến đưa về bài toán Côsi cấp 1: u1 = y(t), u2 = y’(t)

0 .6

SinhVienZone.com

1

w1

1

w2

&

sin t

0

w1

0

w2

u1 0
2u1

0 .4 , u 2 0
2u 2

0

e
0

hf 1 t 0 , w 1 , w 2
hf

0

2

0

t0 , w1 , w 2

2t

sin t

0 .6
f 2 t, u1 , u 2

0 .4

0 .1 f1 0 , 0 .4 , 0 .6

0 .6

0 .1 f 2 0 , 0 .4 , 0 .6

/>

BÀI TOÁN BIÊN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

om

Bài toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trình
f ( x , y , y ' ),

a

x

b

r ( x ),

a

.C

y''

, y b

ne

y (a )

nh
Vi
en

Zo

Hay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp 2
y"

, y b

Si

y a

p(x) y' q(x) y

SinhVienZone.com

/>
x

b


MINH HOẠ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x

y 0

1 y' 2 y
1, y 1

1

0

x

2

e

x

,0

x

1

.C

y''

om

Tính giá trò nghiệm y của bài toán biên tuyến tính cấp 2

ne

tại các điểm chia cách đều của [0, 1] với bước chia h =

nh
Vi
en

Zo

1/3 và xấp xỉ đạo hàm y’, y’’ bằng công thức hướng tâm

Điểm chia:

y 0

0

Si

x0

y0

SinhVienZone.com

1

x1

y

1
3

1 3

y1

x2

?

y

2
3

x3

2 3

y2

?

/>
y 1

1

y3

0


PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

p(x) y' q(x) y
, y b

x

b *

.C

y a

r ( x ), a

om

BT biên tuyến tính

y"

ne

Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ bằng nhau. Thay x = xk vào

y x2

y ' x1

y " ( x1 )

y x0

2h

Si

h

a= x0

nh
Vi
en

Zo

(*). Xấp xỉ y’(xk) , y’’(xk): công thức đạo hàm hướng tâm

y x2
SinhVienZone.com

x1

2 y x1
h

2

y ' x2

x2
y x0

y" ( x2 )

y x3

y x1
2h

x3
y x3

b= xn+1
2 y x2

h
/>
2

y x1


CÔNG THỨC LẮP GHÉP
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(a, b) – ứng n giá trò yk chưa biết

1

2
A

0


p2

2
2




p1



0

2

h q2

1

h

nh
Vi
en

h

1

2





0

1

0


SinhVienZone.com

0

1

2

pn 2

h r1

h

1

2

p1

h r2



2

0
h
2

h

2

2

p2 





y= [y1, … yn]T: Ay = b

ne

h q1

Si

2

h

n

Zo

2

k

.C

Ký hiệu pk = p(xk) … yk = y(xk), 1

Ma trận cấp n

om

n mốc xk

h r3

b



pn
2

h qn

2

1

h rn
2

h rn

/>
1

1

h
2

pn


LẬP BẢNG LẮP GHÉP
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

p(x) y' q(x) y

y a

, y b

r ( x ), a

x

b *

om

BT biên tuyến tính

y"

ne

.C

 Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ độ dài h. n điểm chia xk
pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk)

nh
Vi
en

 Lập bảng cột xk

n ẩn số yk

Zo

(không kể 2 đầu) – ứng với yk chưa biết

(đ/chéo chính), ak,k+1 (chéo trên), ak-1,k (dưới), bk

i

xk

pk

Si

 Đ/chéo akk: k = 1
qk

n; ak,k+1: k = 1
rk

akk

ak,k+1

Nghiệm yk

(n – 1), ak-1,k: k = 2
ak-1,k

bk

1
2
3

SinhVienZone.com

akk

/>
n
yk

VÍ DỤ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

hữu hạn với bước chia h = 0.2

.C

y"

om

Giải bài toán biên cấp 2 sau bằng phương pháp sai phân

6 điểm chia

Zo

n=5

nh
Vi
en

h = 0.2

2x

2 , y (1 )

3

1

ne

y (0 )

3 y' 2 y

Hệ phương trình 4 ẩn

ri

aii

Si

Ma trận cấp 4: Chéo chính akk – 4 phần tử; Chéo trên ak, k+1: 3
i

xi

pi

1

0 .2

3

2

0 .4

3
4

2

3 .4

2 . 08

1 .3

3

2

3 .8

2 . 08

1 .3

0 .7

0 . 152

0 .6

3

2

4 .2

2 . 08

1 .3

0 .7

0 . 168

0 .8

3

2

4 .6

2 . 08

0 .7

1 . 116

SinhVienZone.com

qi

ai,i+1

ai-1,i

bi
1 . 264

/>

KẾT QUẢ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 . 08

0

2 . 08

1 .3

Ab
0

SinhVienZone.com

0

0

1 . 642

0 .7
0

2 . 08

Zo

0 .7

0 . 625

Si

0

0

nh
Vi
en

0

ne

Ab

1

0

.C

0 .7

1 .3

om

Giải hệ bằng phép khử Gauss (làm tròn 3 chữ số lẻ):

0 .7

1 . 264

0

0 . 152

1 .3

0 . 168

2 . 08

1 . 116

0

0

0 . 608

1 . 006

1 .3

0

0 . 273

0 . 636

2 . 08

0 .7

y
1 .3
2 . 08

0 . 168
1 . 116

/>

0 . 593
0 . 736