DE VAO nguyen trai Hai Duong 05-06 (VONG2

sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
-------------
đề thi chính thức
kì thi tuyển sinh lớp 10 thpt nguyễn trãi
năm học 2005-2006
môn thi toán
Ngày thi: 1 tháng 7 năm 2005
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi gồm 1 tờ)
=============
Bài 1 (2, 0 điểm)
Cho phơng trình x
2
- 5x + 3 = 0
Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
, x
2
. Tính giá trị của biểu thức:
A =
12
21
+
xx
Bài 2 (3, 0 điểm)
1) Giải hệ phơng trình:

=++
=++
4106
4610
yx
yx
2) Cho phơng trình (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) = (m
2
- 1)x
2
; (ẩn x)
Giả sử phơng trình có bốn nghiệm là x
1
, x
2
, x
3
, x
4
. Chứng minh giá trị của biểu
thức
1
1
x
+
2
1
x

+
3
1
x
+
4
1
x
không phụ thuộc vào m.
Bài 3 (2, 0 điểm)
Cho tam giác ABC (

A
90
0
) nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng thẳng AB, AC
cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I lần lợt tại M, N. Gọi J là điểm đối
xứng của I qua MN. Chứng minh:
1) Tam giác AMC là tam giác cân;
2) AJ vuông góc với BC.
Bài 4 (1, 5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn, gọi M, H, K theo thứ tự là chân đờng
vuông góc kẻ từ A đến CD, DB, BC. Chứng minh HM = HK khi và chỉ khi các đ-
ờng phân giác của

BAD
,

BCD
và BD đồng qui.

Bài 5 (1, 5 điểm)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn:
a b c > 0 ; abc = 1 và a + b+ c >
cba
111
++
Chứng minh a + b > ab + 1.
Hết
______________________________________
Họ và tên thí sinh: ...................................................... số báo danh:....................
Giám thị số 1: ...................................... Giám thị số 2 : ......................................
Hớng dẫn chấm và biểu điểm môn Toán
thi tuyển sinh trờng thpt nguyễn trãi
Bài 1
= 13 x
1
+ x
2
= 5 ; x
1
x
2
= 3 x
1
, x
2
> 0 0,50
x
1
2

5 x
1
+ 3 = 0 (x
1
- 2)
2
= x
1
+ 1
21
11
=+
xx
0,50
A =
11
21
++
xx
A
2
= x
1
+ x
2
+ 2 - 2
1
2121
+++
xxxx

= 1 0,75
A 0 A = 1 0,25
Bài 2
1) Điều kiện x , y 6 0,25






+=+
+=+
)106(4)10()6(
)610(4)6()10(
yxyx
yxyx
0,25






+=
+=+
)106(416
)610(416
yxyx
yxyx
0,25

Trừ hai vế
8106610
=+++
xxyx
0,25
Mặt khác ta có
8106610
=+++++
yyxx
0,25

066
=+
yx
x = 6; y = 6 0,25
2) (x
2
-7x + 6)(x
2
- 5x + 6) = (m
2
- 1)x
2
0,25
(x
2
- 6x + 6)
2
- x
2

= (m
2
- 1)x
2
(x
2
- 6x + 6)
2
= m
2
x
2
0,25
x
2
- 6x + 6 = mx ; x
2
- 6x + 6 = - mx 0,25
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình x
2
- (6 + m)x + 6 = 0
Gọi x
3
, x
4
là nghiệm của phơng trình x

2
- (6 - m)x + 6 = 0 0,25
x
1
+ x
2
= 6 + m ; x
1
x
2
= 6 và x
3
+ x
4
= 6 - m ; x
3
x
4
= 6 0,25

=
+
+
+
=+++
43
43
21
21
4321

1111
xx
xx
xx
xx
xxxx
2 0,25
Bài 3
Học sinh vẽ hình sai không chấm
1) MCO=MBO (chắn cung MO)
MBO =MAO; OCA = OAC 0,25
MCA = MCO + OCA =
= MBO + OAC =

= MAO + OAC = MAC 0,50
Tam giác MAC cân 0,25
A
N
C
B
M
J
O
I
2) Từ đó A nằm trên cung chứa góc đối xứng qua MN 0,25
I , J đối xứng qua MN J là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN 0,25
BCA = AMN =
2
1
AJN 0,25

AJC = 180
0
- 2JAN BCA = 90
0
- JAN 0,25
AJ vuông góc với BC
Chú ý: Học sinh vẽ hình nh hai trờng hợp sau câu 1) chứng minh sẽ khác
Bài 4
Chứng minh M, H, K thẳng hàng:
Tứ giác ADMH là tứ giác nội tiếp DAM =DHM
Tứ giác AHBK là tứ giác nội tiếp KAB =KHB
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ADC =ABK
ABK + KAB = 90
0
= ADC + DAM DAM =KAB
DHM = KHB M, H, K thẳng hàng 0,25
ADH =AMK ; ABD =AKM
ADB đồng dạng AMK
AK
AM
AB
AD
=
(1)
ACD = ABD =AKH; AHK =ABK =ADC
ACD đồng dạng với AKH
KH
CD
AK
AC

=
AK =
CD
KHAC.
(2)
AMH = ADH =ACB ; ABC+ ADC =AHM +ADM
ABC đồng dạng với AHM
HM
BC
AM
AC
=
AM =
BC
HMAC.
(3) 0,25
Thay (2) và (3) vào (1)

CB
CD
HK
HM
AB
AD
=
0,25
* HM = HK
CB
CD
AB

AD
=
0,25
Chứng minh bổ đề: OPQ, E trên PQ và
QE
PE
OQ
OP
=
OE là phân giác của
POQ ; Giả sử OF là phân giác
QF
PF
OQ
OP
=

QF
PF
QE
PE
=

PQ
PF
PQ
PE
=
K
A

B
D
H
M
C
⇒ E trïng víi F 0,25

CB
CD
AB
AD
=
⇒ hai ®êng ph©n gi¸c vµ BD ®ång qui
* Ba ®êng ®ång qui vµ
CB
CD
HK
HM
AB
AD
=
⇒ HM = HK 0,25
Bµi 5
a ≤ 1 ⇒ a ≤
a
1
, a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ b ≤
b
1
vµ c ≤

c
1
a + b + c
cba
111
++≤
m©u thuÉn 0,50
a > 1
NÕu b ≥1 ⇒ a - 1 > 1 -
a
1
; b - 1≥ 1 -
b
1
0,25
(a – 1)(b – 1)
)
1
1)(
1
1(
ba
−−≥
ab – a – b + 1 ≥ 1 -
abba
111
+−


c

1
- a – b ≥ -
ba
11
−
+ c

cba
111
++
≥ a + b + c m©u thuÉn 0,25
⇒ b < 1 ⇒ (a - 1)(b - 1) < 0 ⇒ ab - a - b + 1 < 0 0,25
a + b > ab + 1 0,25