Phương pháp mô men tổng quát và phương sai thay đổi

Phương pháp mô men tổng quát ...

PHƯƠNG PHÁP MÔ MEN TỔNG QUÁT
VÀ PHƯƠNG SAI THAY ĐỔI
Phạm Văn Chững*, Đoàn Hồng Chương**

TÓM TẮT

Phương pháp mô men tổng quát
(Generalized Method of Moments, viết tắt
là GMM), được giới thiệu bởi Hansen, đã
và đang trở thành công cụ thiết yếu cho các
nghiên cứu kinh tế, tài chính trong những năm
gần đây. Phương pháp này là dạng mở rộng
của nhiều phương pháp ước lượng quen thuộc
như phương pháp bình phương tối thiểu (LS),
phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS),
phương pháp dùng biến công cụ (IV) và phương
pháp hợp lý cực đại (ML). Ưu điểm của GMM
so với các phương pháp được đề cập ở trênlà
nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và tính toán đơn
giản hơn. Một trong những ví dụ điển hình về

ưu điểm của GMM so với phương pháp bình
phương tối thiểu (LS) là trường hợp mô hình
có phương sai thay đổi (Heteroskedasticity).
Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày ứng
dụng của phương pháp mô men tổng quát
trong mô hình Klein-I, là một mô hình kinh
tế có phương sai thay đổi. Dữ liệu của bài
báo được trích xuất từ bộ dữ liệu “Klein.wf1”

về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai đoạn
1920-1941.Các tính toán và ước lượng được
thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.
Từ khóa: Phương pháp mô men tổng quát
(GMM), Phương sai thay đổi), Mô hình Klein-I.

GENERALIZED METHOD OF MOMENTS
AND HETEROSKEDASTICITY
ABSTRACT

The Generalized Method of Moments
(GMM), introduced by Hansen, has been
an essential tool for economic and financial
research in recent years. This method
generalizes many usual estimation methods
such as Least Squares (LS), Two Stage Least
Squares (2SLS), Instrumental Variables (IV)
and Maximal Likelihood (ML). The advantage
of GMM over the methods mentioned above
is that it requires fewer hypotheses and its
manipulation method is simple. One of the
best examples of the advantage of GMM
*

versus the Least Squares method (LS) is the
case of heteroskedasticity. In this paper, we
will present the application of Generalized
Method of Moments in the Klein-I model
which is an economic model occurring the
heteroskedasticity.Data was extracted from

the “Klein.wf1” database of the US economy
during the period of 1920-1941. The software
Eviews 9 was used to analyze the data.
Keywords: Generalized Method of
Moments (GMM), Heteroskedasticity, Klein-I
model.

TS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email:
ThS. GV. Trường Đại Học Kinh Tế - Luật, ĐHQG Tp.HCM; Email:

**

55


Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật

1. MỞ ĐẦU

wf1” về nền kinh tế Mỹ hàng năm trong giai
đoạn 1920-1941.Các tính toán và ước lượng
được thực hiện bằng phần mềm Eviews 9.

Phương pháp mô men tổng quát
(Generalized Method of Moments, viết tắt
là GMM), được giới thiệu trong bài báo của
Hansen [1], đã và đang trở thành công cụ
thiết yếu cho các nghiên cứu kinh tế, tài chính
trong những năm gần đây. GMM là dạng mở
rộng của nhiều phương pháp ước lượng quen

thuộc như phương pháp bình phương tối thiểu
(LS), phương pháp hồi quy 2 giai đoạn (2SLS,
Two Step Least Square), phương pháp dùng
biến công cụ (IV, Instrumental Variables) và
phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (ML,
Maximal Likelihood) (xem [2], [3], [4]). Ưu
điểm của GMM so với các phương pháp được
đề cập ở trên là nó đòi hỏi ít giả thiết hơn và
tính toán đơn giản hơn. Một trong những ví
dụ điển hình về ưu điểm của GMM so với
phương pháp bình phương tối thiểu (LS) là
trường hợp mô hình có phương sai thay đổi
(Heteroskedasticong đó x1t là vecto gồm K1 biến và x2t là
vecto gồm K 2 biến thỏa mãn giả thiết

m ( β ) = g n ( β ) 'Wg n ( β )

E ( x1tε t ) = 0 và E ( x2tε t ) ≠ 0 .

=
gn ( β )
trong đó

Các biến x2t được gọi là biến nội sinh.
Khi đó, ước lượng LS cho các tham số β của
mô hình bị chệch (biased) và không nhất quán
(inconsistent). Để giải bài toán này, chúng ta
thay thế K 2 biến x2t bởi K 2 biến mới z2t ,
gọi là biến công cụ, trong đó z2t thỏa mãn tính
chất z2t có tương quan với x2t và

(2.5)

1 n
∑ xt ( yt − x 't .β ) và W là
n t =1

ma trận xác định dương. Cách xác định W dựa
vào thuật toán Hansen sẽ được trình bày trong
mục 2.3.
2.3. Phương pháp mô men tổng quát
(GMM)

Cho mẫu số liệu ( yt , xt ) , (với t = 1,..., n
và xt ( x1t ,..., xmt ) ∈ � m ), độc lập, có cũng
=
E ( z2 t ε t ) = 0
phân phối (ký hiệu là i.i.d.) và θ ∈ Θ là tham
Để đơn giản hóa mô hình, ta ký hiệu
số chưa biết của mô hình. Mục tiêu của chúng
 x1t 
 x1t 
ta là ước lượng giá trị thật θ0 của θ hoặc giá
xt =   và zt =  
x
z
 2t 
 2t 
trị gần đúng nhất θ0 của θ dựa vào mẫu số
thì điều kiện về mô men của mô hình với biến

liệu đã cho.
công cụ zt có dạng (ở đây x1t được xem là
Giả sử điều kiện về mô men của mô hình
biến công cụ của chính nó)
ước lượng tham số θ là
E ( zt ( yt − x 't .β ) ) =
0
(2.6)
=
m (θ ) E=
( g ( yt , xt ,θ ) ) 0
57


Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật

trong đó E (.) là kỳ vọng, ( yt , xt ) là các biến
quan sát, g (., θ ) là hàm liên hệ giữa mẫu số
liệu ( yt , xt ) và tham số θ cần ước lượng
trong mô hình.

trong trường hợp R > K thì hệ phương trình
trên có thể không tồn tại nghiệm. Do đó thay vì
tìm nghiệm, GMM sẽ tìm θˆ cực tiểu khoảng
cách giữa mˆ (θ ) và gốc tọa độ.

Giả sử mô hình thỏa mãn luật số lớn. Khi
đó ta có thể thay thế kỳ vọng E ( g ( yt , xt , θ ) )
bởi trung bình mẫu. Công thức (2.6) khi đó trở
thành

1 n
=
mˆ (θ ) =
∑ g ( yt , xt , θ ) 0
n t =1

Hàm khoảng cách giữa mˆ (θ ) và gốc tọa
độ có công thức như sau:
ˆ (θ )
m

2
W

ˆ (θ ) ' Wm
ˆ (θ )
=m

,
với W là ma trận xác định dương và W được
xác định từ mẫu số liệu đã cho. Khi đó ước
lượng của θ trong GMM chính là nghiệm của
bài toán tối ưu:

()

Nếu tồn tại θˆ để mˆ θˆ = 0 thì θˆ chính
là ước lượng tốt nhất của mô hình. Tuy nhiên

(2.7)

Với các điều kiện chính quy thích hợp (xem [2]), ước lượng θˆ → θ0 khi n → +∞ . Ma trận W
trong bài toán (2.7) được xác định dựa vào thuật toán sau đây của Hansen [1].
Thuật toán 2 bước (Two Step Efficient GMM)

1: Đặt W = I (ma trận đơn vị). Tìm
1
2: Tính
và
với
Quá trình trên lặp cho đến khi dãy {θ k } hội tụ.
Ví dụ 2.2. Xét lại mô hình

trong đó Yn×1, X n× K và Z n × R là các ma trận
tương ứng với yt , xt và zt . Áp dụng GMM, ta
có bài toán tối ưu sau:

y=t x 't .β + ε=t x '1t γ + x '2t δ + ε t ,=t 1,..., n
trong đó E ( x1tε t ) = 0 và E ( x2tε t ) ≠ 0
Giả sử rằng số mô men R của mô hình
lớn hơn số tham số K cần ước lượng. Với các
ký hiệu như trong mục 2.2, ta có hàm số sau


mˆ ( β ) =

Thay hàm ˆ ( ) ở (2.8) vào hàm mục
tiêu, ta được dạng toàn phương:

1 n
1

∑ zt ( yt − x 't .β ) = Z ' (Y − X β ) ,
n t =1
n

(2.8)
58


Phương pháp mô men tổng quát ...

Điều kiện cần cực trị của bài toán trên là
∂Q ( β )
2
2
0
=
− 2 X ' ZWZ ' Y + 2 X ' ZWZ ' X β =
∂β
n
n

Vì Q ( β ) là dạng toàn phương nên hàm số
sẽ đạt cực tiểu tại
βˆ
(W ) = ( X ' ZWZ ' X )−1 X ' ZWZ ' Y .

định White. Nguyên lý chung của các kiểm
định ở trên là chúng khảo sát mối liên hệ giữa
phần dư với các biến giải thích có trong mô
hình. Để minh họa, trong bài báo này chúng

tôi khảo sát kiểm định White.

GMM

Với giả thiết các nhiễu độc lập và có cùng
phân phối (i.i.d.), ma trận W opt tối ưu được
xác định như sau:

Xét mô hình hồi quy gồm 2 biến độc lập
yt =β 0 + β1x1t + β 2 x2t + ε t , t =1,..., n (3.1)

W opt = Sˆ −1,

Kiểm định White được tiến hành như sau:

σˆ 2 n
σˆ 2
=
Sˆ =
Z ' Z.
∑ zt z 't
n t =1
n

Bước 1: Ước lượng các tham số của mô
hình (3.1) và tìm các phần dư ε t .

Thay kết quả trên vào βˆGMM (W ) , ta có:

(

−1
βˆGMM = X ' Z ( Z ' Z ) Z ' X

)

−1

Bước 2: Thực hiện mô hình hồi quy bổ trợ

−1

X ' Z ( Z ' Z ) Z 'Y .

(3.2)

Phương sai của ước lượng được xác định
bởi công thức:

(

)

(

−1
Var βˆGMM = σˆ 2 X ' Z ( Z ' Z ) Z ' X

)

Tìm R 2 từ mô hình hồi quy bổ trợ (3.2).
Bước 3: Với giả thiết H 0 : “không có
hiện tương phương sai thay đổi trong mô hình
(3.1)”, thống kê LM = nR 2 có phân phối chi
bình phương với bậc tự do df= K − 1 , với K
là số tham số cần ước lượng trong mô hình hồi
quy bổ trợ (3.2).

−1

3. GMM VÀ HIỆN TƯỢNG PHƯƠNG SAI
THAY ĐỔI
So với các phương pháp ước lượng khác
như LS, 2SLS và IV, các ước lượng của GMM
luôn hiệu quả ngay cả khi hiện tượng phương
sai thay đổi xảy ra. Trong trường hợp không
có hiện tượng phương sai thay đổi thì các ước
lượng của GMM cũng không xấu hơn so với
các phương pháp ước lượng được liệt kê ở
trên. Tuy nhiên, Hayashi (xem [2]) chỉ ra rằng
ma trận trọng số tối ưu Sˆ trong GMM là một
hàm mô men bậc 4 mà việc ước lượng nó đòi
hỏi mẫu số liệu rất lớn. Do đó, các ước lượng
của GMM sẽ không hiệu quả đối với các mẫu
số liệu nhỏ.

Bước 4: Nếu nR 2 lớn hơn giá trị tới hạn
thì ta bác bỏ giả thiết H 0 .
4. KIỂM ĐỊNH SARGAN-HANSEN
Nếu mô hình có số biến công cụ nhiều

hơn số biến nội sinh (tức là R > K ) thì
mô hình được gọi là xác định quá mức
(overidentified). Kiểm định Sargan-Hansen
(hay kiểm định J) (xem [10]), thường được
áp dụng để kiểm tra mô hình hồi quy có xác
định quá mức hay không.
Với giả thiết H : mˆ θˆ = 0 và các điều

Để xác định có hiện tượng phương sai thay
đổi trong mô hình hay không, người ta thường
dùng các kiểm định Breusch-Pagan hoặc kiểm

0

()

kiện chính quy thích hợp [2], thống kê
59


Tạp chí Kinh tế - Kỹ thuật

()

()

J = n.mˆ θˆ 'Wmˆ θˆ

CONS = β 0 + β1Y + β 2Y ( −1) + β 3W + ε (5.1)

có phân phối chi bình phương với bậc tự do là
R − K . Trong kiểm định J, bác bỏ giả thiết H 0
đồng nghĩa với việc dạng mô hình không phù
hợp với dữ liệu được khảo sát.

trong đó CONS là biến tiêu dùng, Y là biến lợi
tức cá nhân, Y ( −1) là biến lợi tức cá nhân trễ,
W là biến tiền lương.
Các biến công cụ trong mô hình lần lượt
là P ( −1) (lợi tức ròng trễ), K ( −1) (vốn cổ
phần trễ), X ( −1) (GNP trễ), TM (xu thế),
WG (lương ngân sách), G (chi tiêu công) và
T (thuế). Dữ liệu sử dụng trong ví dụ được
trích xuất từ bộ dữ liệu mẫu “Klein.wf1” của
phần mềm Eviews 9. Để xác định mô hình có
phương sai thay đổi hay không chúng tôi thực
hiện kiểm định White.

5. ÁP DỤNG GMM CHO MÔ HÌNH KLEIN-I
Mô hình Klein-I (1950) là một trong
những mô hình cơ bản trong kinh tế (xem [8],
[9]). Mô hình bao gồm nhiều phương trình dựa
trên dữ liệu hàng năm về nền kinh tế Mỹ trong
giai đoạn 1920-1941. Mô hình Klein-I được
sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu kinh
tế bởi tính đơn giản của nó khi ước lượng các
tham số của mô hình cũng như khi giải thích ý
nghĩa của các biến trong mô hình. Trong mục
này chúng tôi giới hạn sử dụng GMM để ước
lượng các tham số cho mô hình Klein-I sau

Kết quả trong bảng 1 cho thấy mô hình có
hiện tượng phương sai thay đổi ( p < 5% ) . Vì
vậy, GMM là phương pháp thích hợp cho mô
hình với bộ số liệu nói trên.

Bảng 1. Kiểm định White

60


Phương pháp mô men tổng quát ...

Bảng 2 trình bày kết quả ước lượng các tham số của mô hình (5.1). Từ kết quả ước lượng
ta suy ra phương trình hồi quy
CONS
= 20.5398 − 1.29898* Y + 1.23668* Y ( −1) + 0.87568* W
Bảng 2. Ước lượng các tham số của mô hình (5.1) bằng GMM

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hansen, L. P. (1982). Large sample
properties of generalized method of
moments estimates, Econometrica, 50,
1029-1054.
[2]. Hayashi, F. (2000). Econometrics.
Princeton University Press, New Jersey.
[3]. Wooldridge, J. (2001). Applications
of Generalized Method of Moments
Estimation,
Journal

of
Economic
Perspectives, 15(4), 87–100.
[4]. Wooldridge, J. (2002), Econometric
Analysis of Cross Section and Panel Data,
MIT Press, Cambridge, MA.
[5]. Green, W. H. (2012). Econometric
Analysis, Pearson, NJ.
[6]. Kunst, R. M. (2008). The generalized
method of moments, University of Vienna
and Institute for Advanced Studies Vienna,

Retrieved from http: //homepage.univie.
ac.at/robert.kunst/gmm.pdf
[7]. Nielsen, H. B. (2005). Generalized
Method of Moments (GMM) Estimation,
Retrieved from />metrics/Econometrics2_05_II/Slides/13_
gmm_2pp.pdf
[8]. Klein, L. R. (1950), Economic Fluctuations
in the United States, 1921-1941, Wiley,
New York.
[9]. Tingbergen, J. (1959), Selected Papers,
edited by L. H. Klaassen, L. M. Koyck
and J. H. Witteveen, North-Holland,
Amsterdam.
[10]. Baum, C. F., Schaffer, M. E., Stillman, S.
(2003). Instrumental variables and GMM:
estimation and testing, The Stata Journal,
3(1), 1-31.
61