Nghiên cứu biến dạng đàn hồi - phi tuyến và quá trình truyền sóng đàn hồi của kim loại, hợp kim bằng phương pháp mô men

Bộ giáo dục v Đo tạo
Trờng đại học S phạm h nội
***ãá***



Nguyễn Thị Ho




Nghiên cứu biến dạng đn hồi-phi tuyến v
quá trình truyền sóng đn hồi của kim loại,

hợp kim bằng phơng pháp mô men





Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62. 44. 01. 01





tóm tắt Luận án tiến sĩ vật lý












Hà Nội 2007

Công trình đợc hoàn thành tại Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý-
Trờng Đại học S phạm Hà Nội.



Ngời hớng dẫn khoa học:
1. GS. TS. Đỗ Đình Thanh
2. GS. TS. Vũ Văn Hùng



Phản biện 1: GS. TSKH Nguyễn ái Việt
Viện Vật lý và Điện tử.

Phản biện 2: PGS.TS Bạch Thành Công
Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.

Phản biện 3: PGS. TSKH Phạm Khắc Hùng
Trờng Đại học Bách khoa Hà Nội.




Luận án sẽ đợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nớc, họp
tại trờng Đại học S phạm Hà Nội, vào hồi giờ ngày tháng
năm 2007.
Có thể tìm hiểu luận án tại:
Th viện Quốc gia
Th viện trờng Đại học S phạm Hà Nội

danh mục các công trình của tác giả
có liên quan đến nội dung luận án
[1]. Nguyen Quang Hoc and Nguyen Thi Hoa (1999), Critical
Shearing Resistance for Al, Ag, Fe Metallic Crystals, Comm.
in Phys., 9(4), pp. 249-256.
[2]. Vu Van Hung, K. Masuda-Jindo, Nguyen Thi Hoa (2004),
Application of Statistical Moment Method to Elastic-Plastic
Fracture of Metals, Proceedings of the ninth Asia Pacific
Physics Conference, Hanoi, Vietnam, pp. 705-708
[3]. Vu Van Hung and Nguyen Thi Hoa (2005), Application of
Statistical Moment Method to F.C.C and B.C.C Metals: Elastic
Constants, Isothermal Bulk Modulus, and Young

s Modulus,
Comm. in Phys., 15(4), pp. 242-248.
[4]. Vu Van Hung and Nguyen Thi Hoa (2006), Study of Non-
linear Elastic Deformation of Metals, Comm. in Phys., 16(1),
pp. 18-25.
[5]. V.V.Hung, D.D.Thanh and N.T.Hoa (2006), Nonlinear
Deformation of Binary Alloys Investigated by Statistical
Moment Method, Comm. in Phys., 16(2), pp.121-128.
[6]. Vu Van Hung and Nguyen Thi Hoa (2006), Study of Non-
linear Deformation of Binary Alloys with Body-Centred Cubic
Structure, J. Sci. HUE., N
o
1, pp. 51-58.

[7]. Vu Van Hung, Nguyen Thi Hoa and Jaichan Lee (2006),
Equation of State and Thermodynamic Properties of B.C.C
Metals, Asean Journal on Science & Technology for
Development AJSTD, 23(1&2), pp. 27-42.
[8]. Vu Van Hung, K. Masuda-Jindo and Nguyen Thi Hoa (2006),
Calculation of Elastic Constants of Cubic Metals by Statistical
Moment Method: Temperature Dependence, J. Phys. Soc. Jap.,
(Submited).
[9]. Vu Van Hung, K. Masuda-Jindo and Nguyen Thi Hoa (2007),
Study of Ideal Strengths of Metals and Alloys by Statistical
Moment Method: Temperature Dependence, Journal of
Materials Research, Vol.22, N
o
8, pp. 2230-2240.
[10]. Vu Van Hung, Do Dinh Thanh and Nguyen Thi Hoa (2006),
Effect of Stress on Defect Diffusion in Metals, J. Sci. HUE.,
N
o
1, pp. 13-18.


1
Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ, ngành kim loại (KL) và
hợp kim (HK) học đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Một trong những
lĩnh vực lôi kéo đợc nhiều nhà khoa học đó là việc nghiên cứu các tính
chất cơ của KL và HK, đặc biệt là các nghiên cứu về quá trình biến dạng
của loại vật liệu này. KL và HK là vật liệu rất phổ biến, việc nghiên cứu

quá trình BD của chúng đóng vai trò rất quan trọng và có ý nghĩa thực tiễn
cao.
2. Mục đích, đối tợng và phạm vi nghiên cứu của luận án
Mục đích của luận án là xây dựng lý thuyết biến dạng đàn hồi, biến
dạng phi tuyến và vận tốc truyền sóng đàn hồi trong KL, HK thay thế A-B
với hai loại cấu trúc lập phơng tâm diện (LPTD) và lập phơng tâm khối
(LPTK) khi kể đến đóng góp của hiệu ứng phi điều hoà của dao động
mạng. ảnh hởng của nhiệt độ và áp suất lên các quá trình biến dạng và
truyền sóng đàn hồi; ảnh hởng của biến dạng lên hiện tợng khuếch tán
trong KL là các vấn đề đợc quan tâm nghiên cứu trong luận án.


Trong luận án này, chúng tôi chọn đối tợng nghiên cứu là các KL và
HK thay thế A-B với hai cấu trúc LPTD và LPTK, vì đây là các đối tợng
vật liệu phổ biến nhất. Tuy nhiên, phơng pháp này hoàn toàn có thể mở
rộng sang nghiên cứu cho các loại tinh thể với cấu trúc khác. Trong quá
trình nghiên cứu về biến dạng phi tuyến của KL và HK, chúng tôi cha xét
đến ảnh hởng của khuyết tật đờng (chuyển động của các đờng lệch
mạng trong tinh thể).
3. Phơng pháp nghiên cứu của luận án
Để nghiên cứu về quá trình biến dạng đàn hồi và phi tuyến cũng nh
quá trình truyền sóng đàn hồi trong các loại vật liệu nói chung, KL, HK
nói riêng đã có nhiều phơng pháp (PP) đợc sử dụng. Có thể kể ra một số

2
PP tiêu biểu nh: PP động lực học phân tử, PP mô phỏng động lực học
phân tử, PP phần tử hữu hạn, PP ab-initio, PP mô men (PPMM), Mỗi PP
đều có những u và nhợc điểm riêng, việc sử dụng PP nào tốt hơn chỉ có
thể đợc đánh giá tuỳ vào từng bài toán cụ thể.
Trong luận án này, bằng PPMM, chúng tôi xây dựng lý thuyết biến

dạng đàn hồi, biến dạng phi tuyến và vận tốc truyền sóng đàn hồi trong
KL, HK thay thế A-B với hai loại cấu trúc LPTD và LPTK.
PPMM là một trong những PP nghiên cứu lý thuyết hiện đại của vật lý
thống kê. Trong những năm gần đây, PP này đợc nhiều tác giả sử dụng để
nghiên cứu các tính chất cơ - nhiệt của các tinh thể lý tởng và khuyết tật.
Cho đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về KL và HK đợc công
bố trên các tạp chí khoa học trong và ngoài nớc dựa vào những kết quả
nghiên cứu của PPMM.

4. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Những kết quả chính của luận án đã góp phần bổ sung và hoàn thiện lý
thuyết về biến dạng đàn hồi, biến dạng phi tuyến cũng nh lý thuyết truyền
sóng đàn hồi trong KL và HK. Cụ thể:
* Tìm đợc biểu thức giải tích và áp dụng tính số đối với các mô đun đàn
hồi, các hằng số đàn hồi và các vận tốc truyền sóng đàn hồi trong KL, HK
ở nhiệt độ và áp suất khác nhau.
* Xây dựng đợc biểu thức giải tích mô tả mối quan hệ giữa ứng suất và
độ biến dạng trong quá trình biến dạng phi tuyến của KL, HK và biểu
thức giải tích đối với giá trị ứng suất thực cực đại của các KL, HK ở các
nhiệt độ khác nhau cũng nh giới hạn biến dạng đàn hồi của các KL.
* Xây dựng đợc biểu thức giải tích khép kín cho phép tính năng lợng
kích hoạt Q và hệ số khuếch tán D của KL ở các nhiệt độ khác nhau. Tìm
đợc biểu thức giải tích tính hệ số khuếch tán D của KL trong các điều
kiện ảnh hởng của áp suất và ứng suất. Tất cả các biểu thức này đều đợc
áp dụng tính số, so sánh với số liệu thực nghiệm (TN).

3
Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận án
đợc chia làm 4 chơng, 20 mục. Nội dung luận án đợc trình bày trong

132 trang, với 58 bảng số, 36 hình vẽ, 13 trang phụ lục và 178 tài liệu tham
khảo. Những kết quả chính của luận án đã đợc báo cáo tại 4 Hội nghị cấp
Quốc gia và Quốc tế, đợc đăng trong 10 công trình trên các tạp chí khoa
học trong và ngoài nớc. Chơng 1 trình bày tổng quan về lý thuyết biến
dạng của vật rắn nói chung, KL và HK nói riêng, các PP lý thuyết và TN
đã và đang đợc sử dụng để nghiên cứu các quá trình biến dạng của KL,
HK; u và nhợc của mỗi PP cũng nh ảnh hởng của biến dạng lên hiện
tợng khuếch tán của các loại vật liệu và các quá trình truyền sóng đàn
hồi. Chơng 2 trình bày những nét chính của PPMM. Từ những kết quả
thu đợc bằng PPMM, áp dụng vào nghiên cứu quá trình biến dạng đàn hồi
của KL, đã thu đợc biểu thức giải tích tính các mô đun đàn hồi, hằng số
đàn hồi cùng với các vận tốc truyền sóng đàn hồi trong vật liệu này. Xây
dựng lý thuyết biến dạng phi tuyến đối với KL: thu đợc biểu thức giải tích
mô tả mối quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng; tìm đợc biểu
thức tính ứng suất thực cực đại; đa ra đợc đờng cong ứng suất-biến
dạng phù hợp với TN; ảnh hởng của nhiệt độ lên các đờng cong này
cũng đợc đa vào nghiên cứu; đa ra đợc giới hạn của biến dạng đàn hồi
của các KL. ảnh hởng của áp suất lên các đặc tính cơ-nhiệt của KL thông
qua sự phụ thuộc áp suất của một loạt các đại lợng nh: các mô đun đàn
hồi, hằng số đàn hồi, các vận tốc truyền sóng đàn hồi, áp dụng tính số,
so sánh với TN đối với 13 KL cấu trúc LPTD và LPTK. Chơng 3 trình
bày các kết quả nghiên cứu tơng tự ch
ơng 2 với đối tợng là HK thay thế
A-B cấu trúc LPTD và LPTK. Chơng 4 xây dựng đợc lý thuyết khuếch
tán của KL khi kể đến đóng góp của hiệu ứng phi điều hoà trong tinh thể.
Thu đợc biểu thức giải tích tính năng lợng kích hoạt Q và hệ số khuếch
tán D của KL biến dạng và không biến dạng phụ thuộc nhiệt độ; ảnh
hởng của áp suất và ứng suất lên hiện tợng khuếch tán. Tất cả các biểu

4

thức thu đợc từ phần lý thuyết đều đợc áp dụng tính số và so sánh với
TN.
Chơng 1: Tổng quan
1.1. Khái quát chung về biến dạng

Mục 1.1 trình bày các khái niệm về biến dạng đàn hồi, biến dạng phi
tuyến; đặc điểm của các quá trình biến dạng; điều kiện xảy ra biến dạng
phi tuyến, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong các điều kiện khác
nhau.
1.2. Các quá trình truyền sóng đàn hồi trong vật rắn

Trong mục này, chúng tôi trình bày các vấn đề tổng quan về sóng đàn
hồi, các PP thờng dùng trong nghiên cứu sóng đàn hồi và sóng đàn hồi
trong môi trờng vô hạn, sóng phẳng và sóng cầu.
1.3.ảnh hởng của biến dạng lên các quá trình khuếch tán trong vật
rắn

Mục này đã trình bày một cách vắn tắt các khái niệm về khuếch tán, cơ
chế khuếch tán trong các loại vật liệu, ảnh hởng của một số điều kiện bên
ngoài lên quá trình khuếch tán nh nh nhiệt độ, áp suất và ứng suất.
Ngoài ra, chúng tôi cùng đa ra một số PP chủ yếu nghiên cứu về quá trình
khuếch tán của vật rắn nói chung, KL và HK nói riêng.
1.4. Các PP chủ yếu nghiên cứu các tính chất cơ của KL và HK
Trong mục này trình bày vắn tắt nội dung, phạm vi áp dụng, u và
nhợc điểm của một số PP tiêu biểu nghiên cứu về tính chất cơ của KL,
HK nói chung và quá trình biến dạng nói riêng nh: PP động lực học phân
tử, PP mô phỏng động lực học phân tử, PP phần tử hữu hạn, PP ab-initio,
Bên cạnh các PP lý thuyết, chúng tôi cũng giới thiệu một số PP TN dùng
trong các nghiên cứu này. Sau khi phân tích u, nhợc điểm của các PP
nêu trên, chúng tôi đã đa ra lựa chọn PP dùng nghiên cứu trong luận án là

PPMM. Đây là một PP mới, rất có hiệu quả trong nghiên cứu các tính chất
cơ và nhiệt động của tinh thể KL và HK.

5
Chơng 2: Nghiên cứu biến dạng đàn hồi và biến dạng của kim loại
bằng phơng pháp mô men
2.1.Phơng pháp mô men

Trớc hết chúng tôi trình bày các định nghĩa về mô men, công thức
tổng quát về mô men, công thức tổng quát tính năng lợng tự do
(NLTD), Từ đó, áp dụng vào các tinh thể cấu trúc LPTD và LPTK, chúng
tôi đã thu đợc biểu thức tính NLTD Helmholtz của tinh thể có dạng

()
()
,xcthx1
2
xcthx
122
2
xcthx
1xcthx
3
4
k
2
2
xcthx
1
3

2
xcthx
k
N3U
21
2
1
2
2
4
3
1
22
2
2
2
oo









+

++






+

+

+



++
(2.19)
trong đó:
(
)

=
i
iioo
au ;
(
)
[]
x2
o
e1lnxN3

+= ;


=
2
x
h
; k,
1

và
2
là các
thông số đạo hàm bậc 2 và bậc 4 của thế tơng tác
io
theo độ dời của hạt.
2.2. PPMM trong nghiên cứu quá trình biến dạng đàn hồi của KL

Xuất phát từ định luật Hooke mô tả mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng qua hệ số tỉ lệ là mô đun Young E, kết hợp với định nghĩa độ biến
dạng, sự thay đổi năng lợng của vật rắn trong quá trình biến dạng đàn hồi,
chúng tôi đã thu đợc các biểu thức giải tích cho phép tính các đại lợng
đặc trng cho tính chất đàn hồi của KL ở nhiệt độ T nh:

- Các mô đun đàn hồi

100
A)ya(
1
E
+
=
,
)21(3
E
K


,
)1(2

E
G
+
=
, (2.40)
TT
/1B = ,


















+

=
T
aNv3
a
p2/
a
a
3
2
22
3
0
T
; (2.45)
- Các hằng số đàn hồi

)21)(1(
)1(E
C
11
+

=
,
)21)(1(
E

C
12
+

=
,
)1(2
E
C
44
+
=
; (2.50)
- Các vận tốc truyền sóng đàn hồi dọc và ngang


+
=
1244
doc
CC2
V
,

=
44
ngang
C
V
. (2.56)

6
2.3. PPMM trong nghiên cứu quá trình biến dạng phi tuyến của KL
* Xây dựng đợc biểu thức giải tích mô tả sự phụ thuộc của ứng suất vào
độ biến dạng trong quá trình biến dạng phi tuyến
+

=

1
*
ol
, (2.63)
với
o
và
*
là các hằng số với mỗi KL. Đờng cong ứng suất-biến dạng
(2.63) đợc trình bày trên hình 2.6.

Từ điều kiện cực đại
0
p
l
=

, xác định đợc giá trị độ biến dạng
p

tơng ứng với giá trị cực đại của ứng suất thực
lmax
nh sau

*
*
p
1

=
, (2.64)
và
p
*
p
omaxl
1 +

=

. (2.65)
Từ (2.64), muốn xác định đợc hằng số
*
ta cần tìm độ biến dạng
p
. ở
đây chúng tôi tìm
p
thông qua mật độ năng lợng biến dạng (SED) dới
dạng

**
p
SED =
, (2.68)
với
*
,
*
p
lần lợt là NLTD Helmholtz trong một đơn vị thể tích mẫu
trớc và sau khi biến dạng dới tác dụng của ngoại lực P. Trong điều kiện
tốc độ biến dạng không đổi, ta có:
SED = C, (C là hệ số tỉ lệ). (2.72)
Vì độ biến dạng là đại lợng rất nhỏ so với đơn vị, nên ta có thể khai
triển NLTD Helmholtz
P
theo độ biến dạng dới dạng chuỗi (dừng ở gần
đúng bậc 2) nh sau

H
ình 2.6.Đờng cong ứng suất-biến dạn
g

l
O

đh

đh

A
B

lmax

p
M



N


7

2
2
p
2

p
p
T
2
1
T
ì










+ì










+=
. (2.73)

Cuối cùng, thu đợc biểu thức mật độ năng lợng biến dạng dới dạng
SED













ì










+

ì

+

==
vv2
T
v
T
vN
1
)(f
p
2
2
p
2
p
p
p
**
p
. (2.75)

Khảo sát hàm f(), hàm này sẽ đạt cực đại tại độ biến dạng ( =
P
), ta thu
đợc
P
và từ đó ta dễ dàng nhận đợc giá trị cực đại của ứng suất.
* Về giới hạn biến dạng đàn hồi: trên đờng cong ứng suất-biến dạng
(hình 2.6), đoạn OA biểu diễn quá trình biến dạng đàn hồi tuân theo định
luật Hooke, đoạn AB biểu diễn quá trình biến dạng phi tuyến, tuân theo
quy luật hàm mũ (2.63), kết hợp 2 điều kiện này ta thu đợc

dh
*
dh
odh
1
E
+

=

. (2.88)
Dựa vào (2.88), với mỗi KL, ở một nhiệt độ xác định, ta tính đợc
đh
và
từ đó xác định đợc giới hạn biến dạng đàn hồi
đh
.
2.4. Các tính chất đàn hồi và biến dạng phi tuyến của KL dới tác dụng
của áp suất

Xuất phát từ phơng trình trạng thái của tinh thể ở 0
0
K











+


=
a
k
k4a
u
6
1
apv
oo
h
, (2.90)
và biết dạng thế tơng tác

io
giữa các nguyên tử trong hệ, phơng trình
này cho phép xác định khoảng lân cận a(p,0) giữa các hạt trong tinh thể ở
áp suất p và nhiệt độ 0
0
K. Nhìn chung, với các tinh thể, (2.90) là phơng
trình phi tuyến, chúng tôi đã giải gần đúng phơng trình này bằng phần
mềm Maple. Sau khi có khoảng lân cận giữa các nguyên tử ở áp suất và
nhịêt độ tơng ứng, ta có thể tính một loạt các đại lợng nhiệt động nh:
- Sự thay đổi thể tích nguyên tử dới tác dụng của áp suất p ở nhiệt độ T

)T,0(a
)T,0(a)T,p(a
)T,0(V
)T,0(V)T,p(V
V
V
3
33

=

=

; (2.93)
- Hệ số nén đẳng nhiệt và mô đun nén khối đẳng nhiệt

8

T

2
2
2
3
T
a
)T,p(Nv3
)T,p(a
p2
)0,p(a
)T,p(a
3
)T,p(










+

=
;
)T,p(
1
)T,p(B
T
T

=
; (2.94)
- Hệ số dãn nở nhiệt
a)T,p(Nv3
)T,p(a
)T,p(a
)0,p(a
3
)T,p(k
)T,p(
2
2
TB

=
; (2.95)
- Các nhiệt dung riêng đẳng tích, đẳng áp

+

+







+

+



=
)T,p(xsinh
)T,p(xcth)T,p(x2
)T,p(xsinh
)T,p(x
)T,p(
3
)T,p(2
)T,p(xsinh
)T

,p(cthx)T,p(x
3
)T,p(
)T,p(2
)T,p(k
2
)T,p(xsinh
)T,p(x
Nk3)T,p(C
2
24
4
4
2
1
2
3
1
2
2
2
2
BV
, (2.96)

)T,p(
)T,p()T,p(TV9
)T,p(C)T,p(C
T
2

VP


+=
; (2.97)
- Các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và các vận tốc truyền sóng đàn hồi

)T,p(A)T,p(a
1
)T,p(E
1

=
,
)21(3
)T,p(E
)T,p(K


,
)1(2
)T,p(E
)T,p(G
+
=
; (2.98)

)21)(1(
)1)(T,p(E
)T,p(C

11
+

=
,
)21)(1(
)T,p(E
)T,p(C
12
+

=
,
)1(2
)T,p(E
)T,p(C
44
+
=
,(2.103)


+
=
)T,p(C)T,p(C2
)T,p(V
1244
doc
và

=
)T,p(C
)T,p(V
44
ngang
. (2.105)
2.5. Tính số và thảo luận kết quả
2.5.1 Thế tơng tác giữa các nguyên tử trong kim loại
Việc chọn thế tơng tác thích hợp giữa các nguyên tử trong hệ đóng vai
trò hết sức quan trọng. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng thế Lennard-
Jonnes (L-J) trong các tính toán

=
m
o
n
o
*
r
r
n
r
r
m
)mn(
D
)r(
(2.110)
trong đó r
o
là khoảng cách giữa hai nguyên tử tơng ứng với thế năng cực
tiểu lấy giá trị (-D
*
), m, n là các số có giá trị khác nhau đối với các nguyên
tử KL khác nhau và đợc xác định bằng con đờng kinh nghiệm.

9
Sử dụng biểu thức của thế tơng tác (2.110), chúng tôi thu đợc các

biểu thức tính năng lợng liên kết giữa các nguyên tử trong hệ u
o
, các
thông số đạo hàm bậc hai và bậc bốn của thế tơng tác theo độ dời của hạt,
k,
1
,
2
,
2.5.2.áp dụng tính số khi áp suất p= 0
1.Các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc truyền sóng đàn hồi
trong các KL: Sử dụng các công thức (2.40) ữ (2.56), chúng tôi đã tính
đợc các đại lợng này của 13 KL ở các nhiệt độ khác nhau. Các kết quả
tính toán đợc trình bày trong 14 bảng số và 3 hình vẽ, ví dụ bảng 2.4, 2.9,
2.11.
Từ các số liệu trình bày trong các bảng số và hình vẽ, chúng tôi nhận
thấy, đối với các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc truyền sóng
đàn hồi, khi nhiệt độ tăng, các đại lợng này giảm đáng kể. Điều này hoàn
toàn phù hợp với quy luật của TN. Đối với các đại lợng a, E và K, sai số
đều dới 3%, rất nhiều trờng hợp sai số nhỏ dới 1%. Trong nhiều bảng
số, ngoài các kết quả thu đợc bằng PPMM, chúng tôi còn trình bày các
kết quả tính bởi một số PP khác. Trong nhiều trờng hợp, kết quả tính bởi
PPMM phù hợp với TN hơn so với các kết quả tính bởi các PP khác, ví dụ
xem bảng 2.9. Trong bảng 2.11, với các vận tốc truyền sóng đàn hồi, sai số
so với TN đều dới 5%, điển hình có nhiều trờng hợp nh vận tốc sóng
dọc của các KL: Al (sai số 0,03%), Pt (sai số 0,06%), và vận tốc sóng
ngang của các KL: W (sai số 0,37%), Pt (sai số 1,7%),

Bảng 2.11: Vận tốc sóng đàn hồi (10
5

cm/s) của các KL ở T=300
0
K
so với TN
KL Ag Al Au Ni Cu Pt W Fe Nb Ta
v
ngang


PPMM
TN
1,67
1,61
3,11
3,04
1,29
1,20
2,92
3,00
2,27
2,27
1,70
1,73
2,65
2,64
3,25
3,20

2,47
2,14

2,00
2,04

V
dọc


PPMM
TN
3,79
3,65
6,40
6,42
3,04
3,24
5,12
6,04
4,61
4,76
3,24
3,26
4,87
5,22
5,49
4,99
5,44
4,72

3,81

4,23



10
Bảng 2.4: Giá trị a (A
0
); E, K và G (10
10
Pa) của các KL ở T=300
0
K tính
bởi PPMM và so với TN. ( TN
a
[150]; TN
b
[50]; TN
c
[145]; TN
d
[163])
KL
a
TN [43, 14]
E
TN [177]
K
TN [177]
G
TN [177]

Ag
PPMM
TN
2,8634
2,8891
8,09
8,09
11,23
10,44
2,93
2,96
Au
PPMM
TN
2,8454
2,8838
8,96
8,91
14,94
16,70
3,20
3,10
Al
PPMM
TN
2,8421
2,8576
7,04
7,08
7,82

7,80
c
2,60
2,62
Ni
PPMM
TN
2,4661
2,4900
19,11
19,00
b
15,92
17,60
7,35
7,35
Cu
PPMM
TN
2,5358
2,5510
11,50
11,48
11,98
13,90
b
4,29
4,24
Pt
PPMM

TN
2,7353
2,7744
16,70
16,99
25,30
27,80
d
6,01
6,50
Fe
PPMM
TN
2,4298
2,4800
20,83
20,98
14,47

8,27
8,12
W
PPMM
TN
2,6443
2,7400
41,40
41,50
31,36
30,00

b
16,17
16,00
V
PPMM
TN
2,5397
2,6188
14,81
14,80
15,43

5,53
5,40
Ta
PPMM
TN
2,7945
2,8600
17,45
17,62
18,18

6,51
6,52
Nb
PPMM
TN
2,7843
2,8581

14,33
10,4ữ15,69
17,06
17,14
a
5,27

Cr
PPMM
TN
2,4550
2,4980
23,38
23,50
22,92

8,79
8,82
Bảng 2.9. Hằng số đàn hồi (10
11
Pa) của các kim loại LPTD ở 300
0
K tính
bởi PPMM, so sánh với TN và kết quả tính bằng PP khác
Kết quả tính của các tác giả khác Kim
loại
PP
MM
TN
[ 177]

[41] [162] [151] [147] [47] [130] [26] [116] [118]

Ag

C
11

C
12

C
44

1,51
0,93
0,30
1,31
0,94
0,46
1,32
0,92
0,40
1,29
0,91
0,57
1,41
0,96
0,59
1,28
0,86

0,61
1,21
0,83
0,49
0,88
0,79
0,44
1,32
0,99
0,61
1,33
0,86
0,42
1,22
0,90
0,52

Au
C
11

C
12

C
44

1,92
1,28
0,32

1,96
1,65
0,42
1,92
1,66
0,39
1,83
1,54
0,45
1,79
1,47
0,42
2,09
1,75
0,31
1,36
0,91
0,49
1,50
1,29
0,70
1,97
1,84
0,52
1,84
1,54
0,43
2,00
1,73
0,33

Al
C
11

C
12

C
44

1,12
0,61
0,26
1,12
0,61
0,28


11
2. Biến dạng phi tuyến của các KL: Sau khi khảo sát hàm mật độ năng
lợng biến dạng f() theo độ biến dạng , ta tìm đợc giá trị độ biến dạng

P
tơng ứng với giá trị cực đại của mật độ năng lợng biến dạng f
max
().
Từ đó tính đợc giá trị cực đại của ứng suất thực
lmax

trong KL khi biến
dạng phi tuyến. Giá trị
P
và
lmax
của các KL có so sánh với TN đợc trình
bày trong bảng số 2.12. Từ các giá trị
lmax
trình bày trong bảng số 2.12
cho thấy sự giảm của ứng suất thực cực đại
lmax
theo nhiệt độ. Điều này
hoàn toàn phù hợp với quy luật của TN và đợc thể hiện rõ trên hình 2.11.
Bảng 2.12. Giá trị

P
và

lmax
của các KL ở các nhiệt độ khác nhau
T=300
0
K T=500
0
K T=700
0
K

lmax
(10

7
Pa)
KL

P
(%)
PPMM TN

P
(%)
lmax
(10
7
Pa)
P
(%)
lmax
(10
7
Pa)
Fe 5,5 28,6
16,7ữ45
5,2 27,8 5,0 26,7
W 6,8 160,9
103ữ147,1
6,6 160,4 6,5 158,0
V 8,3 29,3
18ữ58
8,0 29,1 7,7 29,0
Nb 9,6 37,1

25,2ữ40,6
9,4 36,9 9,2 36,7
Ta 8,2 47,0
18ữ51
8,0 46,6 7,8 46,4
Cr 4,9 41,9
29,4ữ48,25
4,7 39,8 4,4 38,8
Al 6,6 15,00
4,9ữ24,5
6,2 14,6 5,8 14,3
Au 8,9 7,10
9,8ữ17,3
8,6 7,06 8,4 6,99
Ni 6,0 44,00
33ữ49
5,7 42,99 5,4 42,37
Cu 6,7 13,04
20ữ40
6,3 12,84 6,0 12,55
024681012
0.22
0.24
0.26
0.28
Fe
T = 300
0
K
T = 1000

0
K

l
(GPa)
(%)
a)

024681012
1.3
1.4
1.5
1.6
W
T = 300
0
K
T = 1000
0
K

l
(GPa)
(%)
b)

Hình 2.11. Đờng cong ƯS-BD của các KL Fe và W ở các nhiệt độ khác nhau.
3. Giới hạn biến dạng đàn hồi: Với mỗi KL, giải phơng trình (2.88), ta
tìm đợc giá trị
đh

và tìm đợc giá trị ứng suất giới hạn đàn hồi
đh
của KL
tơng ứng. Kết quả của
đh
và
đh
của các KL đợc trình bày trong bảng số
2.13. Từ các số liệu trình bày trong các bảng số 2.12 và 2.13 nhận
thấy, kết quả tính toán bởi PPMM khá phù hợp so với số liệu đo đạc từ TN.

12
Bảng 2.13: Giá trị

dh
và

dh
(10
8
Pa) của các KL ở T=300
0
K
KL Ag Al Au Fe V Nb Cr

dh
(%)
0,0301 0,0351 0,0222 0,0464 0,0615 0,1313 0,0801

dhPPMM

0,24 0,24 0,199 0,97 0,91 1,88 1,87

dhTN

0,29 0,29 0,196 1,18 0,84 2,56 1,67
2.5.3. Tính chất nhiệt động và đàn hồi của KL ở áp suất khác 0
Sau khi giải phơng trình trạng thái, tìm đợc khoảng lân cận giữa các
nguyên tử KL ở điều kiện áp suất và nhiệt độ tơng ứng, dùng các công
thức (2.93) ữ (2.105), chúng tôi tính đợc các đại lợng đặc trng cho tính
chất đàn hồi và nhiệt động của KL nh: các mô đun đàn hồi, hằng số đàn
hồi, sự thay đổi thể tích tơng đối của nguyên tử, hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt
dung riêng đẳng tích, nhiệt dung riêng đẳng áp và vận tốc truyền sóng đàn
hồi ở nhiệt độ T, áp suất p của 9 KL. Các kết quả tính toán đợc trình bày
trong 12 bảng số và 9 hình vẽ, ví dụ hình vẽ 2.12.
Từ các số liệu trình bày trên các bảng số và hình vẽ cho thấy, các mô
đun đàn hồi, hằng số đàn hồi, hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng
tích, nhiệt dung riêng đẳng áp và vận tốc truyền sóng đàn hồi phụ thuộc
mạnh vào nhiệt độ và áp suất. Khi nhiệt độ tăng, các mô đun đàn hồi này
giảm, kéo theo sự giảm của các hằng số đàn hồi và do đó các vận tốc sóng
đàn hồi cũng giảm theo. Khi áp suất tăng, hằng số mạng giảm, dẫn đến sự
tăng đáng kể của các đại lợng đặc trng cho tính chất đàn hồi của KL.
Trong hầu hết các trờng hợp, kết quả tính bởi PPMM có sự phù hợp tốt
với TN, sai số chỉ vào khoảng dới 5%. Trong nhiều trờng hợp, sai số
dới 1%.
2.6. Kết luận chơng 2
Bằng PPMM, chúng tôi đã xây dựng đợc các biểu thức giải tích cho
phép tính các đại lợng đặc trng cho tính chất đàn hồi của các KL cấu
trúc LPTD và LPTK nh: các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc
truyền sóng đàn hồi.
Đặc biệt, nghiên cứu quá trình biến dạng phi tuyến của các KL, đã thu

đợc biểu thức mô tả quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và độ biến dạng. Các

13
đờng cong ứng suất-biến dạng thu đợc với tất cả các KL có dáng điệu
hoàn toàn phù hợp với TN. Các giá trị ứng suất thực cực đại của các KL
phù hợp khá tốt với TN. ảnh hởng của nhiệt độ lên các đờng cong ứng
suất-biến dạng cũng đã đợc nghiên cứu. Sự giảm của ứng suất thực cực
đại khi nhiệt độ tăng cũng phù hợp với kết quả đo đợc của TN.
Ngoài ra, chúng tôi đã đa ra đợc giới hạn biến dạng đàn hồi của
các KL với kết quả tính số phù hợp khá tốt với TN.
Phần cuối chơng, chúng tôi đã xây dựng phơng trình trạng thái mô tả
sự phụ thuộc của khoảng lân cận vào áp suất, áp dụng cho KL cấu trúc
LPTD và LPTK. Phơng trình này đã đợc giải bằng sự hỗ trợ của phần
mềm Maple và đã tìm đợc các khoảng lân cận ở các nhiệt độ và áp suất
khác nhau. Các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi, vận tốc truyền sóng đàn
hồi dọc và ngang, các nhiệt dung riêng đẳng tích, đẳng áp và hệ số dãn nở
nhiệt đã đợc tính số cho 13 KL nh: Au, Ag, Al, Ni, Cu, Fe, W, Nb, Ta,
Các kết quả tính số đợc so sánh với số liệu TN và kết quả của các PP
khác cho thấy có sự phù hợp tốt.







Chơng 3: Nghiên cứu BD đàn hồi và BDPT của HK bằng PPMM
3.1. Năng lợng tự do và thông số mạng của HK
Xét mô hình HK thay thế A-B với cấu trúc LPTD và LPTK, xuất phát từ
biểu thức định nghĩa của NLTD trong vật lý thống kê, chúng tôi đã tìm

đợc biểu thức tính NLTD Hemlholtz
AB
của HK dới dạng
c
,
AB
TSP

=





(3.12)
Hình 2.12.Sự phụ thuộc của V/V
o
theo áp suất của các kim loại
T=300
0
K, số liệu thực nghiệm của W trích dẫn từ [114] còn của Nb lấy
từ [115]
0
0.2
0.4
0.6

0.8
1
1.2

0
50
100
150
200

p (GPa)
PPMM
TN.
V/Vo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 50 100 150 200
PPMM
TN.
V/Vo
p

(
GPa
)
a) W
b) Nb

14

với


P
- xác suất để nguyên tử (=A, B) nằm trên nút (=a,b), thoả
mãn

1P,CP,1P
,
=

=

=










, (3.13)
và



là năng lợng tự do của hệ hiệu dụng (, ).

Với HK hoàn toàn vô trật tự, NLTD có dạng đơn giản nh sau

c
*
BB
*
AAAB
TSCC += , (3.20)
ở đây
N/
*

là NLTD của một nguyên tử trong hệ hiệu dụng (, ).
Sử dụng điều kiện cân bằng nhiệt động của hệ, chúng tôi đã thu đợc
biểu thức tính khoảng lân cận a
0AB
và a
AB
ở các nhiệt độ 0
0
K, T
0
K trong HK
thay thế A-B cấu trúc LPTD, LPTK dới dạng

T0
B,T0
B0B
T0
A,T0

A0AAB0
B
B
aC
B
B
aCa +=
(ở 0
0
K) (3.32)

T
B,T
BB
T
A,T
AAAB
B
B
aC
B
B
aCa +=
,(ở T
0
K). (3.33)
3.2. Biến dạng đàn hồi của HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK
Sử dụng cách tính tơng tự nh đối với KL, chúng tôi thu đợc biểu
thức tính các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc sóng đàn hồi của
HK dới dạng

AB,1AB
AB
Aa
1
E

=
,
)21(3
E
K
AB
AB
AB


,
)1(2
E
G
AB
AB
AB
+
=
,
AB,T
AB,T
1
B

=
, (3.34)
)21)(1(
)1(E
C
ABAB
ABAB
AB11
+

=
,
)21)(1(
E
C
ABAB
ABAB
AB12
+

=
,
)1(2
E
C
AB
AB
AB44
+

=
,
AB
AB12AB44
docAB
CC2
V

+
=
,
AB
AB44
ngangAB
C
V

=
. (3.45)
3.3. Biến dạng phi tuyến của HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK
Cũng giống nh trong KL, với HK, khi xảy ra quá trình biến dạng phi
tuyến, quan hệ giữa ứng suất-biến dạng có thể mô tả bằng quy luật hàm
mũ

+

=

1
AB

oABlAB
, (3.49)
ở đây,
oAB
và
AB
là các hằng số với mỗi HK.

15
Tơng tự nh đối với KL, muốn xác định đợc sự phụ thuộc của ứng
suất vào độ biến dạng theo (3.49), chúng ta cần xác định 2 hằng số
oAB
và

AB
với mỗi HK. Sử dụng hàm mật độ năng lợng biến dạng trong HK
tơng tự nh khi nghiên cứu với KL, cuối cùng chúng tôi đã thu đợc các
biểu thức xác định độ biến dạng
P
AB
tơng ứng với giá trị cực đại của ứng
suất thực nh sau

AB
AB
P
AB
1

=

và
(
)
P
AB
AB
P
AB
oABmaxlAB
1 +

=

. (3.60)
3.4. Các tính chất đàn hồi và BDPT của HK ở áp suất khác không
ảnh hởng của áp suất lên các tính chất cơ của HK thể hiện qua sự thay
đổi khoảng lân cận giữa các nguyên tử, dẫn tới ảnh hởng của các mô đun
đàn hồi, hằng số đàn hồi và các vận tốc truyền sóng đàn hồi trong HK.
Chúng tôi đã thu đợc biểu thức tính các đại lợng này của HK thay thế A-
B ở áp suất khác không có dạng tơng tự phần áp suất bằng không (3.34) ữ
(3.45). Tuy nhiên lúc này các biểu thức này đều là hàm của khoảng lân cận
giữa các nguyên tử trong HK ở điều kiện áp suất tơng ứng.

3.5. Tính số và thảo luận kết quả
1. Các tính chất đàn hồi của HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK
Đối với các HK vô trật tự, để áp dụng tính số, chúng tôi cũng sử dụng
dạng thế tơng tác cặp L-J. Nhờ sự giúp đỡ của các công thức thu đợc,
chúng tôi đã tính đợc các khoảng lân cận giữa các nguyên tử, các mô đun
đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc truyền sóng đàn hồi của 14 HK thay
thế A-B cấu trúc LPTD, LPTK với nhiều nồng độ khác nhau. Các giá trị

tính toán của các đại lợng này đợc trình bày trong 9 bảng số và 1 hình
vẽ, ví dụ bảng 3.6.
Từ các số liệu trình bày trong các bảng số và hình vẽ cho thấy sự phù
hợp giữa kết quả tính bằng PPMM và số liệu TN. Tơng tự trong KL,
chúng tôi cũng nhận thấy khi nhiệt độ tăng, khoảng lân cận giữa các
nguyên tử trong HK tăng, dẫn tới các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và
các vận tốc truyền sóng trong HK cũng là hàm giảm theo nhiệt độ. Trong

16
nhiều trờng hợp, sai số giữa các kết quả tính bằng PPMM và số liệu TN
khá nhỏ, hầu hết các sai số đều dới 10%, đặc biệt có nhiều trờng hợp sai
số chỉ dới 1%, ví dụ nh trong HK Ag-7,33Mg sai số là 0,2%, HK Cu-
4,59Zn sai số là 0,6%, HK Ag-3,07Mg sai số là 0,9% (xem bảng 3.6)
Bảng 3.6: Hằng số đàn hồi C
11AB
(10
11
Pa) của các hợp kim LPTD tại áp
suất p=0 và T=300
0
K tính bởi PPMM và so sánh với TN
HK Ag-3,07Mg Ag-7,33Mg Ag-6,22Pd Ag-2,4Zn Ag-3,53Zn
PPMM 1,209 1,162 1,296 1,222 1,211
TN 1,198 1,159 1,277 1,209 1,230
HK Cu-4,1Zn Cu-4,59Zn Cu-9,1Zn Cu-17,1Zn Cu-22,7Zn
PPMM 1,651 1,644 1,587 1,482 1,409
TN 1,633 1,634 1,571 1,499 1,447
2.Biến dạng phi tuyến của HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK
Sau khi khảo sát hàm mật độ năng lợng BD trong HK, chúng tôi tìm
đợc độ BD

P
AB
tơng ứng với giá trị cực đại f
ABmax
. Từ đó chúng tôi đã thu
đợc các giá trị của ứng suất thực cực đại
ABlmax
trong 8 HK thay thế A-B
cấu trúc LPTD và LPTK với nhiều nồng độ khác nhau. Các giá trị tính toán
này đợc trình bày trong 4 bảng số có so sánh TN, ví dụ bảng số 3.8.
Bảng 3.8: Giá trị

AB lmax
và
P
AB
của các hợp kim LPTK
tính bởi PPMM và so sánh với TN
T=293
0
K T=923
0
K T=1253
0
K

ABlmax
(10
8
Pa)

ABlmax
(10
8
Pa)
ABlmax
(10
8
Pa)
H.Kim
P
AB

(%)
PPMM TN
P
AB

(%)
PPMM TN
P
AB

(%)
PPMM TN
V-10Nb 7,5 6,54 6,28 6,6 3,70 6,2 2,10 2,55
V-10W 7,0 5,51 5,39 6,1 2,28 2,55 5,7 0,89
V-20W 6,8 8,09 7,06 6,0 4,05 4,90 5,7 1,54 1,86
Từ các kết quả trong các bảng số cho thấy, các kết quả tính ứng suất
thực cực đại của các HK
AB lmax

bằng PPMM và số liệu TN là khá phù hợp.
Sai số ở đây nằm trong khoảng từ 1,9% đến 15%. Rất nhiều trờng hợp, sai
số giữa kết quả tính và TN trong khoảng 1% ữ 2%. Trong tất cả các trờng
hợp, quy luật giảm của ƯS thực cực đại khi nhiệt độ tăng đợc thể hiện rõ
qua số liệu trong các bảng số và trên các đồ thị trong hình 3.2. Điều này
hoàn toàn phù hợp với quy luật TN (xem bảng 3.8).

17
024681012
2.2
2.4
2.6
2.8
Al-8M g
T = 300
0
K
T = 700
0
K

l
(GPa)
(%)

0246810
4.0
4.1
4.2
4.3

4.4
4.5
4.6
Cu-20Zn
T=300
0
K
T=700
0
K

l
(10
8
Pa)
(%)

Hình 3.2. Đờng cong ứng suất-biến dạng của các hợp kim
thay thế A-B tơng ứng các nhiệt độ khác nhau
3. Các tính chất đàn hồi của HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK
ở áp suất khác không
Cũng giống nh đối với các KL, muốn tính toán đợc các đại lợng
đặc trng cho tính chất đàn hồi của các HK ở áp suất khác không, đầu tiên
ta tính khoảng lân cận của các HK này ở các nhiệt độ và áp suất tơng ứng.
Sau khi có khoảng lân cận giữa các nguyên tử trong HK, chúng tôi tính
đợc các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc truyền sóng đàn hồi
trong 6 HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK với nhiều nồng độ khác
nhau. Các giá trị này đợc trình bày trong 7 bảng số và 2 hình vẽ. Từ các
số liệu trong các bảng số và các hình vẽ ta có nhận xét nh sau: ở một
nhiệt độ xác định, các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc truyền

sóng đàn hồi đều tăng theo áp suất. Điều này hoàn toàn phù hợp với quy
luật của TN, vì khi áp suất tăng, khoảng lân cận giữa các nguyên tử trong
HK giảm, do đó các mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi tăng (hình 3.4) và
kéo theo sự tăng của các vận tốc truyền sóng đàn hồi. Quy luật này cũng
tơng tự nh trong KL.
10 20 30 40 50 60 70
1
2
3
4
5
Al-4,5Cu khi T=300
0
K
C
11
; C
12
C
44
C
i j
(10
11
Pa)
p (GPa)

10 20 30 40 50 60 70
1
2

3
4
5
Cu-20Zn khi T=300
0
K
C
11
; C
12
C
44
C
i j
(10
11
Pa)
p (GPa)

Hình 3.4. Sự phụ thuộc áp suất của các hằng số đàn hồi của các HK ở
nhiệt độ T=300
0
K

18
3.6. Kết luận chơng 3
Bằng PPMM, chúng tôi đã xây dựng đợc biểu thức giải tích tính các
mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và vận tốc truyền sóng đàn hồi của các
HK thay thế A-B cấu trúc LPTD, LPTK.
Chúng tôi đã xây dựng đợc biểu thức giải tích mô tả mối quan hệ phi

tuyến giữa ứng suất và độ biến dạng. Các đờng cong ứng suất-biến dạng
thu đợc với hầu hết các HK hoàn toàn phù hợp với TN ở cả hai loại cấu
trúc. Các giá trị ứng suất thực cực đại của các HK phù hợp tốt với TN. ảnh
hởng của nhiệt độ lên các đờng cong ứng suất-biến dạng cũng đã đợc
nghiên cứu một cách chi tiết. Sự giảm của ứng suất thực cực đại khi nhiệt
độ tăng phù hợp với kết quả đo bởi TN.
Sự phụ thuộc của khoảng lân cận trong HK vào áp suất cũng nh các
mô đun đàn hồi, hằng số đàn hồi và các vận tốc truyền sóng đàn hồi đã
đợc nghiên cứu.
Tất cả các biểu thức thu đợc trong phần lý thuyết đợc áp dụng tính số
với 14 HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK với nhiều nồng độ thành
phần khác nhau nh: Al-3,8Mg, Al-4,5Cu, Cu-10Zn, Cu-30Ni (LPTD),
V-10W, V-20W, V-10Nb, (LPTK) có sự phù hợp tốt với số liệu TN.

Chơng 4: ảnh hởng của biến dạng lên quá trình khuếch tán của
kim loại cấu trúc LPTD và LPTK
4.1. Khuếch tán của KL biến dạng
Các nghiên cứu cả lý thuyết lẫn thực nghiệm đã đợc thừa nhận rộng rãi
là hiện tợng khuếch tuân theo định luật Agrenhius







=
Tk
Q
expDD

B
o
, (4.1)
trong đó D là hệ số khuếch tán của tinh thể ở nhiệt độ T, D
o
là thừa số dạng
hàm mũ, Q là năng lợng kích hoạt của nguyên tử, k
B
là hằng số
Boltzmann.
4.1.1. Lý thuyết khuếch tán của kim loại
Khi kể đến ảnh hởng của hiệu ứng phi điều hoà trong dao động mạng,

19
chúng tôi đã thu đợc các biểu thức tổng quát của năng lợng kích hoạt Q
và hệ số khuếch tán D trong các KL. áp dụng vào trờng hợp áp suất p=0,
các biểu thức này có dạng

)T,0(TSTS)T,0()T,0()T,0(u)T,0(Q
m
v
f
v
1
oo
*
o
+++= , (4.20)

=
Tk
)T,0(Q
exp)T,0(D)T,0(D
B
o
, (4.23)
trong đó








=
B
f
v
2
11o
k
S
expr

2
fn)T,0(D
. (4.24)
4.1.2. ảnh hởng của biến dạng lên hệ số khuếch tán của kim loại
Trong mục này, chúng tôi đã đa ra đợc biểu thức mô tả sự phụ thuộc
của D trong các KL theo ứng suất kéo nh sau

()






+
=
Tk
VV
exp).0(D)(D
B
mR
, (4.42)
trong đó D(0) là hệ số khuếch tán trong KL khi cha biến dạng ;V
m
là thể
tích dịch chuyển vacancy, V
R
là thể tích hồi phục mạng tinh thể đợc xác
định nhờ điều kiện cực tiểu của NLTD Helmholtz trong tinh thể lý tởng
và trong tinh thể khuyết tật. Thông qua các điều kiện này, chúng tôi đã xác

định đợc khoảng lân cận giữa các nguyên tử trong KL lý tởng a
LT
và a
KT
,
từ đó tìm đợc thể tích V
R
bằng công thức

33
a4
33
a4
V
3
LT
3
KT
R
=
, đối với các kim loại có cấu trúc LPTK và (4.47a)

2
a2
2
a2
V
3
LT
3

KT
R
=
, đối với các kim loại có cấu trúc LPTD. (4.47b)
Kết hợp sự ảnh hởng của ứng suất lên quá trình khuếch tán của các KL
qua (4.42) và sự thay đổi của ứng suất theo nhiệt độ theo (2.61), chúng tôi
đã thu đợc biểu thức mô tả sự phụ thuộc của hệ số khuếch tán D vào độ
biến dạng trong các KL ở các nhiệt độ khác nhau

(
)










+
=

Tk
VV
exp).0(D)(D
B
mR
*

o
, (4.48)
với
o
và
*
là hằng số với mỗi KL.


20
4.2. ảnh hởng của áp suất lên hệ số khuếch tán của kim loại
Trong phần này, chúng tôi thu đợc biểu thức mô tả sự phụ thuộc của
hệ số khuếch tán D theo áp suất p nh sau







=
Tk
pV
exp).0(D)p(D
B
a
, (4.55)
với V
a
là thể tích kích hoạt của nguyên tử và có dạng V

a
= v + V
R
+ V
m
.
4.3. áp dụng tính số và thảo luận kết quả
1.áp dụng các công thức tổng quát thu đợc trong phần 4.1.1, chúng tôi
tính đợc hệ số khuếch tán D và năng lợng kích hoạt Q ở các nhiệt độ
khác nhau của 8 KL cấu trúc LPTD và LPTK. Các kết quả này đợc trình
bày trong 3 bảng số, so sánh với TN và kết quả tính của PP khác, ví dụ
bảng 4.1.
Bảng 4.1. Năng lợng kích hoạt Q, thừa số D
o
ở gần nhiệt độ nóng chảy
của các KL tính bởi PPMM, so sánh với TN và kết quả tính bằng PP khác
Kim loại Q(Kcal/mol) D
o
(cm
2
/s) .
PPMM TN PPM
M
TN Tính toán của Zinher
Fe 55,30 57,20 0,60 0,19 8,00
Nb 98,17 105,10 0,72 1,65
Ag 40,86
40,8
ữ45,9
0,41 0,4 0,63

Al 35,70
34,6
ữ36,5
0,83 0,17 0,50
Cu 43,92 49,10 0,41 0,24 0,20
Ta 99,77 101,20
Từ các số liệu trình bày trong các bảng số, chúng tôi nhận thấy sự phù
hợp giữa các kết quả tính năng lợng kích hoạt Q bằng PPMM với TN, sai
số đều dới 10%. Đặc biệt có một số trờng hợp nh Ag, Al, Ta sai số là
nhỏ (xem bảng 4.1). Đối với thừa số dạng hàm mũ D
o
, sai số giữa kết quả
tính bởi PPMM so với TN có lớn hơn so với trờng hợp tính Q. Cũng từ
các bảng số này cho thấy, đối với tất cả các KL, giá trị của hệ số khuếch
tán D chỉ đáng kể ở vùng nhiệt độ cao. Điều này chứng tỏ rằng quá trình
khuếch tán của các nguyên tử KL chỉ xảy ra mạnh ở vùng nhiệt độ cao.
2. ảnh hởng của ứng suất lên hệ số khuếch tán: Với (4.42), chúng tôi tìm
đợc quy luật phụ thuộc của
D() trong KL biến dạng vào ứng suất . ở

21
đây, chúng tôi tính hệ số khuếch tán D() của 4 KL cấu trúc LPTD và
LPTK dới tác dụng của ứng suất kéo. Các kết quả đợc chỉ rõ trên hình
4.3.

Hình 4.3. Sự phụ thuộc

của D(

) của các KL Ag và Nb ở T=700
0
K
Từ các đồ thị trên hình 4.3 cho thấy, hệ số khuếch tán giảm khi ứng
suất kéo tăng hoàn toàn phù hợp với các tiên đoán của Aziz trong công
trình đã công bố trên Physical Review B.
Sử dụng công thức (4.48), chúng tôi tính đợc hệ số khuếch tán của các
KL biến dạng ở các nhịêt độ khác nhau. Các kết quả này đợc trình bày
trong 2 bảng số. Từ các bảng số này, chúng tôi nhận thấy:
ở một nhiệt độ không đổi, khi độ biến dạng tăng thì thừa số dạng hàm
mũ D
o
và hệ số khuếch tán D đều giảm yếu.
ở một độ biến dạng không đổi, khi nhiệt độ tăng thì hệ số khuếch tán
D tăng rất mạnh còn thừa số D
o
giảm đôi chút. Nh vậy, ảnh hởng
của nhiệt độ lên hệ số khuếch tán lớn hơn rất nhiều ảnh hởng của
biến dạng.
3. ảnh hởng của áp suất lên hệ số khuếch tán: Nhờ sự giúp đỡ của các
biểu thức giải tích thu đợc, chúng tôi đã tính đợc hệ số khuếch tán của
các KL ở các nhiệt độ và áp suất khác nhau. Các kết quả này đợc trình
bày trên 2 bảng số và 2 hình vẽ. Từ các số liệu trình bày trong các bảng số
và hình vẽ cho thấy sự phù hợp khá tốt giữa kết quả tính bằng PPMM và số
liệu đo đạc từ TN (hình 4.5). Trong một số trờng hợp sai số là nhỏ nh
trờng hợp tính D của Fe ở 1478

0
K và 100MPa, (sai số là 0,4%, bảng
4.6).

c) D(

) - Metal Ag
7.29
7.3
7.31
0246810

(%)
D (10
-13
cm
2
/s)


D()-Ag
b) D(

) - Metal Nb
3.31
3.33
3.35
3.37
0246810

(%)
D (10
-27
cm
2
/s)
D
(

)
-Nb

22
Bảng 4.6. Sự phụ thuộc nhiệt độ và áp suất của hệ số khuếch tán
D(10
-10
cm
2
/s) trong Fe tính bởi PPMM và so sánh với TN[142]
T(
0
K) p(10
2
MPa) PPMM TN
2 0,687 0,721
1453
3 0,678 0,509
1 0,972 0,976
1478
7 0,899 0,832

3 1,482 1,378
1513
7 1,407 1,377
1 2,261 3,192
1545
7 2,094 1,801
5.2 5.6 6.0 6.4 6.8
-15
-14
-13
Au
P=10GPa
P=10GPa-TN
P=15GPa
P=20GPa
Log(D) (m
2
/s)
1/T ( 10
-4
K
-1
)

5.2 5.6 6.0 6.4 6.8
-16
-15
-14
-13
Pd

P=10GPa
P=10GPa-TN
P=15GPa
P=20GPa
Log(D) (m
2
/s)
1/T ( 10
-4
K
-1
)

a) Au b) Pd
Hình 4.5. Quy luật Arrhenius của các kim loại Au và Pd ở các áp suất
khác nhau tính bởi PPMM và so sánh với TN[139]
4.4. Kết luận chơng 4
Bằng PPMM, áp dụng vào nghiên cứu quá trình khuếch tán của
các KL biến dạng cấu trúc LPTD và LPTK, đã thu đợc một số kết quả
chính nh sau

Thu đợc biểu thức giải tích tính năng lợng kích hoạt Q, hệ số khuếch
tán D và thể tích kích hoạt của các KL biến dạng và không biến dạng.
Tìm đợc biểu thức giải tích cho phép xác định sự phụ thuộc ứng suất
và áp suất cũng nh nhiệt độ của hệ số khuếch tán trong KL.
áp dụng tính số, so sánh với TN và kết quả tính bằng các PP khác đối
với các KL cấu trúc LPTD và LPTK nh: Al, Ag, Au, Cu, Ni, Pd, Fe,
Nb, Ta có sự phù hợp khá tốt.

23
Kết luận chung
PPMM đã đợc áp dụng nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các
tinh thể khí trơ, KL lý tởng, KL khuyết tật và HK, đã cho kết quả phù hợp
khá tốt với TN. Trong luận án này, chúng tôi hoàn thiện và phát triển
PPMM vào nghiên cứu các quá trình biến dạng đàn hồi, biến dạng phi
tuyến của các KL, HK và ảnh hởng của biến dạng lên quá trình khuếch
tán trong các KL. Các kết quả chính của luận án gồm:
1. Xây dựng đợc các biểu thức giải tích đối với các mô đun đàn hồi E, K,
G; các hằng số đàn hồi C
11
, C
12
, C
44

; vận tốc truyền sóng đàn hồi dọc v
doc
và ngang v
ngang
trong các KL và HK thay thế A-B cấu trúc LPTD và LPTK.
2. Nghiên cứu quá trình biến dạng phi tuyến của các KL và HK. Đã thu
đợc các biểu thức giải tích mô tả mối quan hệ phi tuyến giữa ứng suất
và độ biến dạng ; biểu thức đối với ứng suất thực cực đại. Đã tìm đợc
biểu thức cho phép xác định giới hạn biến dạng đàn hồi của các KL. ảnh
hởng của nhiệt độ lên đờng cong ứng suất-biến dạng cũng đã đợc
nghiên cứu.
3. ảnh hởng của áp suất lên các tính chất cơ-nhiệt của các KL và HK đã

đợc xét đến. Xây dựng đợc phơng trình trạng thái mô tả sự phụ thuộc
của hằng số mạng tinh thể vào áp suất cho các KL cấu trúc LPTD và
LPTK. Phơng trình trạng thái này đã đợc giải bằng sự hỗ trợ của phần
mềm Maple và đã tìm đợc các hằng số mạng ở các nhiệt độ, áp suất khác
nhau. Thu đợc các biểu thức giải tích đối với các mô đun đàn hồi, hằng số
đàn hồi, vận tốc truyền sóng đàn hồi, nhiệt dung riêng đẳng tích, nhiệt
dung riêng đẳng áp, hệ số giãn nở nhiệt ở nhiệt độ T, áp suất p trong các
KL và HK.
4. Xây dựng đợc lý thuyết khuếch tán của các KL biến dạng. Đã thu đợc
các biểu thức giải tích tính năng lợng kích hoạt Q, hệ số khuếch tán D và
thể tích kích hoạt của các KL biến dạng và không biến dạng. Tìm đợc
biểu thức giải tích cho phép xác định sự phụ thuộc ứng suất và áp suất
cũng nh nhiệt độ của hệ số khuếch tán trong các KL.

24
5. áp dụng tính số đối với các đại lợng đặc trng cho tính chất đàn hồi
của KL và HK ở các nhiệt độ và áp suất khác nhau nh: các mô đun đàn
hồi E, K, G; các hằng số đàn hồi C
11
, C
12
, C
44

; vận tốc truyền sóng đàn
hồi ; các đại lợng đực trng cho quá trình biến dạng phi tuyến của KL
và HK nh: ứng suất thực cực đại, giới hạn biến dạng đàn hồi, ; các đại
lợng đặc trng cho quá trình khuếch tán của các KL biến dạng nh: thể
tích kích hoạt, hệ số khuếch tán, năng lợng kích hoạt, Các kết quả tính
số đều đợc so sánh với TN và kết quả tính bằng các PP khác đối với 13

KL và 14 HK thay thế A-B cấu trúc LPTD, LPTK nh: Au, Ag, Al, Cu, Ni,
Pd, Pt, W, Fe, V, Nb, Ta, Cr và Al-Cu, Cu-Ni, Cu-Zn, Al-Mg, Ag-Mg, Ag-
Pd, Ag-Zn, Cr-Ni, Cr-Fe, V-W, V-Nb, V-Ta, Fe-Cu, Pt-Ir (với nhiều nồng
độ thành phần khác nhau) cho thấy có sự phù hợp tốt với TN và kết quả
tính bằng các PP khác.
Các biểu thức tính các đại lợng đặc trng cho tính chất cơ-nhiệt của
KL và HK thu đợc bằng PPMM khi kể đến đóng góp của hiệu ứng phi
điều hoà trong dao động mạng tinh thể trình bày trong luận án đều có dạng
giải tích, khép kín và dễ dàng cho việc tính số. Các kết quả tính số bằng
PPMM trong hầu hết các nghiên cứu đều phù hợp tốt với TN, hầu hết các
sai số đều dới 10% và rất nhiều trờng hợp sai số dới 1%. Trong nhiều
trờng hợp, kết quả nghiên cứu bằng PPMM phù hợp với TN hơn so với
kết quả nghiên cứu bằng các PP khác.