CAC CHUYEN DE LTDH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (718.83 KB, 59 trang )
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn Các bài toán liên quan
Bài1 (DH KB 2009)Cho hm s y = 2x
4
4x
2
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2. Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh
2 2
x x 2 m =
cú ỳng 6 nghim thc phõn bit?
Bài2 (DH KD 2009)Cho hm s y = x
4
(3m + 2)x
2
+ 3m cú th l (C
m
), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho khi m = 0.
2. Tỡm m ng thng y = -1 ct th (C
m
) ti 4 im phõn bit u cú honh nh hn 2.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
A,y = x
4
-2x
2
+1 B, y= -1/2 x
4
-x
2
+3/2
Bài 4 : ĐHQG TPHCM 1996 Cho C
m
: y= x
4
-2 m x
2
+ m
3
-m
2
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1,
2,Tìm m để hàm số tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm phân biệt
Bài 5 :ĐH Huế 1998 Cho C
m
: y= -x
4
+2mx
2
-2m +1
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
2,CMR C
m
luôn đi qua 2 điểm A B cố định.
3.tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
Bài 6: Đề 122 I .Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= x
4
+
3
10
x
2
+1
Bài 7: ĐHNN 1999 1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=
1
4
x
4
-2x
2
-
9
4
2.Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của nó với trục ox.
Bài 8: ĐH Huế 2000
1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y= x
4
-5x
2
+4
2.Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị 3 đoạn thẳng bằng nhau.
3.Tìm m để y = m cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt,
Bài 9: ĐH Y TPHCM 1998 Cho hàm số y = x
4
-2(m+1) x
2
+2m+1
A,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = -2
B,Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Bài 10; ĐHNT 1994 Cho hàm số y = x
4
-4mx
3
+(3-3m)x
2
+3
A,khảo sát và vẽ đồ thị với m =1
B,Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài 11: ĐHSP II 1997. Cho hàm số y= (1-m) x
4
-mx
3
+2m-1
A,Khảo sát và vẽ đồ thị với m = -2
B,Tìm m để hàm số cắt ox tại 4 điểm phân biệt.
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
1
C,Tìm m để hàm số có đúng một cực trị.
D,Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu mà tổng bình phơng các hoành độ bằng 27.
Bài 12: ĐHCĐ B 2002 cho hàm số y= mx
4
+ (m
2
-9) x
2
+10
1,Ksvđt với m=1
2,Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 13.ĐHCĐ dự bị.2002 Cho hàm số y=x
4
mx
2
+ m -1
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=8.
2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt.
Bài 14 Đề tham khảo 2005
1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y= x
4
-6 x
2
+5
2.Tìm m để pt sau có 4 nghiệm x
4
-6 x
2
log
2
m =0
Bài 15. cho hàm số y= x
4
-2 m
2
x
2
+1
1,Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
2.Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 16 khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số
1,y =-x
4
+x
2
+1 2.y = x
4
+x
3
+x+1 3
2
5
3
1
4
1
234
+++
=
xxx
y
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba
Các Bài toán phụ liên quan
Bài 1: (Đại học quốc gia 1998 D ) Cho hàm số f(x) = x
3
+ 3 x
2
-9x + m
1,khảo sát và vẽ đồ thị với m = 12,Tìm m để pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2 : (Đại học bách khoa 1999)
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm y = x
3
-3 x + 2
2,Giải và biện luận theo m số nghiệm của pt x
3
-3 x + 2 =
+
m
m
1
2
2
Bài 3 : (Học viện quan hệ qt 2000)
1.Ks và vẽ đồ thị của hàm số (C) y = 4x
3
-3 x
2,Tìm số nghiệm của pt 4 x
3
-3x =
x
2
1
Bài 4 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
1,y = 2x
3
+ 3x
2
-1 2,y = x
3
+ 3x
2
+ 3x +5 3,y=x
3
-3x
2
-6x +8
4,y= 2x
3
x
2
.Giả sử y = a cất đthị tại x
1
,x
2
,x
3.
.Tính x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
= ?
Bài 5 : (ĐH Mỏ 1997 ) Cho C
m
:y = (m+2)x
3
+ 3 x
2
+ mx-5
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 2,Tìm m để hàm số có CĐ và CT
Bài 6: (HVCNBCVT-2001) Cho hàm số y=x
3
-3x (C)
A,khảo sát hàm số
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
2
b,CMR khi m thay đổi thì đờng thẳng y = m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị tại một điểm A cố
định.Hãy xác định m để đờng thẳng cắt (C) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và
C vuông góc với nhau.
Bài 7:(ĐHL-ĐHD-2001) Cho hàm số y= x
3
-3(a-1)x
2
+ 3a(a-1)x +1
A,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
B,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập sao cho
21
x
.
Bài 8:(ĐHBK-99) Cho hàm số y = x
3
+ax +2
A,khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b,tìm a để đồ thị cắt ox tại đúng 1 điểm(Tiếp xúc,cắt tại 3 điểm phân biệt )
Bài 9ĐHCĐ A 2002.cho hàm số y=-x
3
+3mx
2
+3(1-m
2
)x +m
3
-m
2
(1)
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2, Tìm k để pt x
3
+3x +k
3
-3k
2
=0 có 3 nghiệm phân biệt
3,Viết pt đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Bài 10 ĐHCĐ 2002 Dựbị: Cho hàm số y =
3
1
22
3
1
23
+
mxm
xx
(1) với m là tham số
Cho m =1/2
*hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến song song với (d):y=4x+2
Bài 11.ĐHCĐ-B-2003: Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+m
1,Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
2.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2
Bài 12>ĐHCĐ dự bị 2003 Cho hàm số y=(x-1)(x
2
+mx+m) với m là tham số
1,Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt
2,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 4
Bài 13>ĐHCĐ dự bị 2003
1,Khảo sát y = 2x
3
-3x
2
-1 (C)
2, Gọi d
k
là đờng thẳng đi qua M(0:1) và có hệ số góc bằng k.Tìm k để đờng thẳng cắt đồ thị
tại 3 điểm phân biệt.
Bài 14>ĐHCĐ B 2004 Cho hàm số y=
x
xx
32
3
1
23
+
(1) có đồ thị (C )
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )
2,Viết pt tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại điểm uốn .CM hệ số góc của
là tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C )
Bài 15>ĐHCĐ D 2004 Cho hàm số y=x
3
-3 m x
2
+9x +1 (1) Với m là tham số.
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
2,Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số thuộc đờng thẳng y=x +1
Bài 16>ĐHCĐ D 2005 Gọi( C
m
) là đồ thị hàm số
3
1
23
1
23
+=
xx
m
y
(*)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị với m= 2
2.Gọi điểm M thuộc đồ thị có hoành độ = -1,tim m sao cho tiếp tuyến tại M song song với đ-
ờng thẳng 5 x y = 0
Bài 17>CĐ SP Hà Nam A 2005 Cho hàm số
mxmy
xx
+=
23
(1 ) có đồ thị (C
m
)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
2.tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
3.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
3
Bài 18>CĐSP KT 2005 Cho hàm số y=x
3
+3x
2
+4 (1)
1,Khảo sát và vẽ đò thị hàm số
2.Chứng minh đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng
3,Viết pttt của đồ thị hàm số đi qua A(0:1).
Bài 19>ĐHCĐ D 2006 Cho hàm số y=x
3
-3x +2
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m.Tim m để d cắt đồ thị hàm số tại 3
điểm phân biệt.
Bài 20.ĐHCĐ A 2006
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=2x
3
-9x
2
+12x -4
2.Tim m để pt sau có 6 nghiệm phân biệt
mx
x
x
=+
1292
2
3
Khảo sát hàm phân thức bậc 1/bậc 1
Bài 1:Đại học thơng mại 1999 cho hàm số (C):
1
42
+
=
x
x
y
1,khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2,Giải và biện luận số giao điểm của (l) 2x-y +m=0 với (C).Khi chúng có hai giao điểm M và N.Hãy
tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài 2: Đại học an ninh 1997
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
12
+
=
x
x
y
2,Tìm M
(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 đờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 3:Đại học ngoại thơng tp.HCM 1997
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
1
+
=
x
x
y
2,Tìm M
(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất.
Bài 4: [38 III] 1,Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2
12
+
+
=
x
x
y
2,CMR đờng thẳng y=-x+m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B.Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất.
3,Tìm m để phơng trình
m
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
có đúng 2 nghiệm x
[ ]
;0
Bài 5: [40 I] cho (C
m
)
mx
mxm
y
+
++
=
)1(
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=1
2.Tìm M
( )
C
để tổng khoảng cách đến 2 đờng tiệm cận nhỏ nhất.
3.CMR
m
0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định.
Bài 6; [ĐHQG.TP.HCM1997]
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
4
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
12
=
x
x
y
2,Tìm M
( )
C
với x
M
=m.Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đờng tiệm cận tại A và B .Gọi I là giao
điểm của 2 đờng tiệm cận .CMR M là trung điểm của AB và diện tích tam giác (IAB) không đổi
m
.
Bài 7: Đại học quốc gia 1997 D
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
13
=
x
x
y
2,Tìm Max y và Min y = ?
Bài 8 : Đại học Thái Nguyên 1997 D
1,Khảo sát và vẽ đồ thị (C)hàm số
1
23
+
=
x
x
y
2,Tìm trên (C) các điểm có toạ độ nguyên.
3.CMR không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị đi qua giao điểm của 2 đờng tiệm cận.
Bài 9 : Đại học cảnh sát 1997
1,Khảo sát,vẽ
2
23
+
+
=
x
x
y
2,Viết pt tiếp tuyến với hệ số góc =4.Tìm tiếp điểm.
Bài 10 Đại học quốc gia 1998.
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
1
+
=
x
x
y
2.Tìm trên oy các điểm kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị .
Bài 11: [CĐSP-TP.HCM 1998]1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1
1
+
=
x
x
y
2,CMR đờng thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A,B nằm về 2nhánh của đồ thị.
3.Tìm m sao cho AB nhỏ nhất.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc hai/bậc nhất.
Bài 1.1,khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2
33
2
+
++
=
x
x
y
x
2,biện luận số nghiệm của phơng trình x
2
+(3-a)x+3-2a=0 và so sánh các nghiệm đó với -3 và -1
Bài 2: 1,khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1
2
=
x
y
x
2,Biện luận số nghiệm của pt
m
xx
gxtagxxx
=
++++++
cos
1
sin
1
cot
2
1
cossin1
Bài 3:Đại học tài chính kế toán 1997
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
5
1,khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=
1
32
2
+
x
mx
x
với m=2
2,Biện luận số nghiệm của pt
1
32
2
+
x
mx
x
+log
1/2
a=0
Bài 4: Đại học kiến trúc 1998
1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=
1
12
2
+
++
x
x
x
2,Tìm Max,Min của A=
1cos
1cos2
cos
2
+
++
x
x
x
Bài 5:HVKTQS 2000
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=
2
54
2
+
++
x
x
x
2,Tìm M
( )
C
để khoảng cách từ M đến
( )
:y+3x+6=0
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6 ĐHQG.HCM 1997
1,khảo sát và vẽ đồ thị y=
1
1
2
+
++
x
x
x
(C)
2,Biện luận số nghiệm của pt x
2
+(1-m)x+1-m=0
3,Tìm k để tồn tại ít nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị sông song với y=kx+2.Từ đó tìm k để mọi tiếp
tuyến của đồ thị đều cắt y=kx+2
Bài 7: 1,Khảo sát y=
2
33
2
+
x
x
x
2,Tìm 2 điểm M,N thuộc đồ thị đối xứng nhau qua A(3;0)
Bài 8:Đại học kiến trúc cho hàm số y=
1
1
2
++
x
mx
x
1,Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=0
2.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
3.Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số
4.Biện luận số nghiệm của pt
k
x
x
=
+
1
1
2
Bài 9:ĐHCĐ dự bị 2002
Cho hàm số y=
2
2
2
+
x
mx
x
(1) (m là tham số )
1,Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [-1;0]
2,Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
3,Tìm a để pt sau có nghiệm
012)2(
39
22
1111
=+++
++
a
t
a
t
Bài 10 ĐHCĐ dự bị 2002
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
6
Cho hàm số y=
x
mx
x
+
1
2
(1)
1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m=1
2.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu ,Khi nào khoảng cách giữa chúng = 10
Bài 11,ĐHCĐ A 2003
Cho hàm số y=
1
2
++
x
mx
mx
(1) (m là tham số )
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài 12:ĐHCĐ tk 2003
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
( )
12
34
2
2
=
x
x
y
x
2.Tìm m để pt 2x
2
-4x-3 +2m
1
x
=0 có2 nghiệm phân biệt
Bài 13.ĐHCĐ D 2004
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
42
2
+
=
x
x
y
x
(1)
2,Tìm m để đờng thẳng d
m
: y=mx+2-2m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt
H M S
1. TNH N IU CA HM S
Dng 1: Tớnh n iu ca hm s
I. Kin thc c bn
1. nh ngha
Gi s hm s y = f(x) xỏc nh trờn K:
+ Hm s y = f(x) c gi ng bin trờn khong K nu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x < <
+ Hm s y = f(x) c gi l nghch bin trờn khong K nu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x < >
2. Qui tc xột tớnh n iu
a. nh lớ
Cho hm s y = f(x) cú o hm trờn K:
+ Nu f(x) > 0 vi mi x thuc K thỡ hm s ng bin
+ Nu f(x) < 0 vi mi x thuc K thỡ hm s nghch bin
b. Qui tc
B1: Tỡm tp xỏc nh ca hm s
B2: Tớnh o hm ca hm s. Tỡm cỏc im x
i
(i = 1, 2,,n) m ti ú o hm bng 0 hoc khụng xỏc
nh.
B3: Sp xp cỏc im x
i
theo th t tng dn v lp bng bin thiờn.
B4: Nờu kt lun v cỏc khong ng bin, nghch bin.
II. Cỏc vớ d
Loi 1: Xột s bin thiờn ca hm s
Vớ d 1. Xột s ng bin v nghc bin ca hm s:
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
x d
+ + +
+
Vớ d 2. Xột s bin thiờn ca cỏc hm s sau:
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
7
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9y x= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b. Hàm số
4
y x
x
= +
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a. Hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c. Hàm số
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x= + + +
đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số
2 2
5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+
đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x= − + − + +
đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )+∞
c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)−∞
Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng
(2; )+∞
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a= − − − + + − −
đồng biến trên
[2:+ )∞
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
8
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
÷
b. Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) t anx - xf x =
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
÷
b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π
> + ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x
π
π
= − ∈
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π
b. Chứng minh rằng
4
tan , [0; ]
4
x x x
π
π
≤ ∀ ∈
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x)
không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là
x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0 thì
hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
Qui tắc I. Qui tắc II
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
9
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2
3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=
⇔
= −
+
∞
-
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞
-
∞
y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2
3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=
⇔
= −
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và
y
cđ
=71
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0
không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m= − + −
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m⇔ − + − = ⇔ =
Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=
= − ⇒ = ⇔
=
tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực
tiểu
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
10
Vy m = 1 l giỏ tr cn tỡm
Bi 1. Xỏc nh m hm s
3 2
3 5 2 đạt cực đại tại x = 2y mx x x= + + +
Bi 2. Tỡm m hm s
3 2
2
( ) 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số có CĐ hay CT
3
y x mx m x= + +
Bi 3. Tỡm m hm s
2
1
đạt cực đại tại x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bi 4. Tỡm m hm s
3 2 2
2 2 đạt cực tiểu tại x = 1y x mx m x= +
Bi 5. Tỡm cỏc h s a, b, c sao cho hm s:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
t cc tiu ti im x = 1, f(1) = -3 v th
ct trc tung ti im cú tung bng 2
Bi 6. Tỡm cỏc s thc q, p sao cho hm s
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
t cc i ti im x = -2 v f(-2) = -2
Hng dn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
=
+
+ Nu
0 thì f'(x) > 0 với x -1. Do đó hàm số luôn đồng biến . Hàm số không có cực trị.q
+ Nu q > 0 thỡ:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x
x q
=
+ +
= =
+
= +
Lp bng bin thiờn xem hm t cc ti ti giỏ tr x no.
Dng 3. Tỡm iu kin hm s cú cc tr
Bi toỏn: Tỡm m hm s cú cc tr v cc tr tho món mt tớnh cht no ú.
Phng phỏp
B1: Tỡm m hm s cú cc tr.
B2: Vn dng cỏc kin thc khỏc Chỳ ý:
Hm s
3 2
ax ( 0)y bx cx d a= + + +
cú cc tr khi v ch khi phng trỡnh y = 0 cú hai nghim phõn bit.
Cc tr ca hm phõn thc
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Gi s x
0
l im cc tr ca y, thỡ giỏ tr ca y(x
0
) cú th c tớnh
bng hai cỏch: hoc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoặc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
= =
Vớ d . Xỏc nh m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+
+ + +
+
Hng dn.
a. TX: R
2
' 2 6y x mx m= + + +
.
hm s cú cc tr thỡ phng trỡnh:
2
2 6 0 có 2 nghiệm phân biệtx mx m+ + + =
2
3
' 6 0
2
m
m m
m
>
= >
<
b. TX:
{ }
\ 2Ă
2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
àm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 ó hai nghiệm phân biệt khác -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + + + + +
= =
+ +
= + + + =
> >
<
+ +
Bi 1. Tỡm m hm s
3 2
3 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?y x mx= +
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
11
Bài 2. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2 · 12 13y x x= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị
cách đều trục tung.
Bài 4. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
12
Bi1. Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
+
+
3
f. y = - x - 5x
Bi 2. Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+
+ + +
+
+
Bi 3. Tỡm cc tr cỏc hm s
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
Bi 4. Tỡm cc tr cỏc hm s:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
y = 2sinx + cos2x với x [0; ]
Bi 5. Xỏc nh m hm s
3 2
3 5 2 đạt cực đại tại x = 2y mx x x= + + +
Bi 6. Tỡm m hm s
3 2
2
( ) 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số có CĐ hay CT
3
y x mx m x= + +
Bi 7. Tỡm m hm s
2
1
đạt cực đại tại x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bi 8. Tỡm m hm s
3 2 2
2 2 đạt cực tiểu tại x = 1y x mx m x= +
Bi 9. Tỡm cỏc h s a, b, c sao cho hm s:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
t cc tiu ti im x = 1, f(1) = -3 v th
ct trc tung ti im cú tung bng 2
Bi 10. Tỡm cỏc s thc q, p sao cho hm s
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
t cc i ti im x = -2 v f(-2) = -2
Bi 11. Tỡm m hm s
3 2
3 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?y x mx= +
Bi 12. Tỡm m hm sụ
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ + +
=
luụn cú cc i v cc tiu.
Bi 13. Cho hm s
3 2
2 ã 12 13y x x= +
. Tỡm a hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tiu ca th
cỏch u trc tung.
Bi 14. Hm s
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= + +
. Tỡm m hm s cú cc i cc tiu.
Bi 15. Cho hm
2
1
x mx
y
x
+
=
. Tỡm m hm s cú cc tr
Bi 16. Cho hm s
2
2 4
2
x mx m
y
x
+
=
+
. Xỏc nh m hm s cú cc i v cc tiu.
GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S
DNG 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s
tỡm GTLN, GTNN ca hm s y = f(x) trờn
( )
;a b
:
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
13
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i
[ ]
;a b∈
(i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
B3: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x
= +
trên khoảng
(0; )+∞
Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )+∞
2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )x = − ∉ +∞
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈
∈
= −
= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒
= −
− −
− = − = − − = = −
= −
−
=
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a ∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
π π
TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
• y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:
0 0
lim ( ) ,hc lim ( )
x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =
Chuyªn ®Ị líp 12 GV Ngun V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
14
GTLN
-
+
y
y'
b
x
0
a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
+
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
1
0
x
• x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞
• Đường thẳng y = ax + b (
0a
≠
) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −
II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=
Phương pháp
• Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
• Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách
phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )x
ε
với
lim ( ) 0
x
x
ε
→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2
2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −
Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +
→− →−
− −
= −∞ = +∞
+ +
nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3
x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
1
2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.
c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+
2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1
x
x
x x
x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)y bx c a= + + >
Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
15
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→−∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20y x x= − +
Híng dÉn
2
9( 2) 6y x= − +
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
16
Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=
lim ( )
0
f x
x x
lim ( )
0
g x
x x
Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0
f x
x x
g x
L
Tuỳ ý 0
L > 0 0
+ +
- -
L < 0 0
- +
+ -
Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1
Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+
3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 + h. y =
2(x- 1) 1
x
x
+
Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x
a
x
x
c y
x
+
+
=
Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m
=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+
Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=
tạo với hai trục toạ độ
một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
+ +
=
(1)
a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)A
b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x=
tại hai điểm phân biệt.
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
17
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +
Phơng pháp
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phơng trình:
3 2
3 1x x m + =
Hớng dẫn
a.
1. TXĐ: D = Ă
2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực
3 3
2 3
3 3
2 3
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
+ +
+ = + = +
+ = + =
c. Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=
= + = + =
=
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ
=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y =
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1y x x= + = =
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1y x x= + và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.
3 phương trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Phương trình có 3 nghiệm.
m = -1: Phương trình có 2 nghiệm
m < -1: Phương trình có 1nghiệm
m =
Các bài toán về hàm bậc ba
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
18
3
-
+
-1
--
+
0
0
2
0
+
-
y
y'
x
2
-2
-5 5
Bài 1(TNTHPT 2008)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =
Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.
Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)
Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y=x+m
2
-m i qua trung im ca on thng ni cc i vo cc
tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
Bài 7 (ĐH- A- 2002)
Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b. Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b. Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
19
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)
Cho hàm số
3
3 2y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phần
biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
20
Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0a
Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0y x ax b = + =
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
<
Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.
Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
Cho hàm số
4 2
2y x x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b. Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
21
Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
= 1
Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phơng trình
4 2
2 1 0x x + =
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1x x +
c. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0x x m + =
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số
4 2
m
2 (C )y x mx= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4y x x= +
2. Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x=
Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
4 2
2 2y x x m= + (C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
22
HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
=
( m là tham số )
Biện luận theo m số đường cong của họ
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta có :
Họ đường cong
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM
⇔
),(
00
mxfy
=
(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0
Cụ thể:
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0
• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0
• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0
Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong
)(
m
C
D¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong
),(:)( mxfyC
m
=
( m là tham số )
Tìm điểm cố đònh của họ đường cong (C
m
)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Gọi
);(
000
yxM
là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua. Khi đó phương trình:
),(
00
mxfy
=
nghiệm đúng
∀
m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0
=+
BAm
m
∀
Dạng 2:
0
2
=++
CBmAm
m
∀
Áp dụng đònh lý:
0
=+
BAm
=
=
⇔∀
0
0
B
A
m
(2)
=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx
Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)
3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − + . CMR: Khi m thay ®ỉi th× hä ®êng cong lu«n
qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Chuyªn ®Ị líp 12 GV Ngun V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
23
Bài 2. Cho họ đồ thị (C
m
):
1mx
x m
+
=
+
. Tìm các điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi 1m
Bài 3. Cho họ (C
m
) có phơng trình:
2
1
1
x mx m
y
x
+
=
+
. Chứng minh rằng (C
m
) luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho hàm số (C
m
):
3
3 2y x mx m= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Chứng minh rằng họ đờng cong luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho hàm số:
1
, m 1
mx
y
x m
=
. Gọi (H
m
) là đồ thị của hàm số đã cho.
a. Chứng minh rằng với mọi
1m
, họ đờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
3 2
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )y m x m x m x m= + + + + +
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua ba
điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đờng thẳng.
Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Phơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
B2: Khi có phơng trình:
),(
00
mxfy
=
vô nghiệm với m từ đó tìm đợc (x
0
; y
0
)
B3: Kết luận về điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
Bài 1. Cho hàm số
2 2
m
( 2)( 2 1) (C )y x x mx m= +
. Tìm các điểm mà (C
m
) không thể đi qua.
Bài 2. Cho hàm số
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ +
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
3 2
m
2 3( 3) 18 8 (C )y x m x mx= + +
. Chứng minh rằng trên đờng cong y = x
2
có hai
điểm mà (C
m
) không đi qua với mọ m.
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
24
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình
a) Phương pháp
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :
A B C D+ = +
, ta thường bình phương 2 vế , điều
đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau
( )
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + =
và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C+ =
ta được phương trình :
3
3 . .A B A B C C+ + =
b) Ví dụ
Bài 1. Giải phương trình sau :
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
Giải: Đk
0x
≥
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
( ) ( ) ( )
1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + +
, để giải phương
trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − +
Bình phương hai vế ta có :
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ =
Thử lại x=1 thỏa
Nhận xét : Nếu phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x+ = +
, thì ta biến đổi phương trình về dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả
Bài 2. Giải phương trình sau :
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
Giải:
Điều kiện :
1x ≥ −
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
+
+ = − + +
+
, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
3
2
1
(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x
+
⇔ − + = − + − +
+
Bình phương 2 vế ta được:
3
2 2
1 3
1
1 2 2 0
3
1 3
x
x
x x x x
x
x
= −
+
= − − ⇔ − − = ⇔
+
= +
Thử lại :
1 3, 1 3x x= − = +
l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
Mà có :
( ) ( ) ( ) ( )
. .f x h x k x g x=
thì ta biến đổi
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
25
