bài tập lớn đại số tuyến tính phần Ma trận

Chơng I: Định thức
Nội dung: Trình bày định nghĩa các tính chất của định thức và các ph-
ơng pháp cơ bản tính định thức. Đó là một phơng tiện để nghiên cứu không
gian vectơ và lý thuyết hệ phơng trình tuyến tính.
Yêu cầu chính của chơng này là:
* Hiểu rõ và nắm vững các tính chất của định thức;
* Nắm vững các phơng pháp tính định thức để có tính thành thạo những
định thức cần thiết.
Cụ thể:
- Ta đã dùng phép thế để mô tả khái niệm định thức.
- Định thức có 7 tính chất
- Các phơng pháp cơ bản
+ Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột
+ Phơng pháp Sarus
+ Phơng pháp đa về dạng tam giác
+ Phơng pháp quy nạp và phơng pháp truy hồi
ứng dụng: giải hệ phơng trình Gramer
Tìm ma trận nghịch đảo
Ta sẽ thấy khi khái niệm định thức cấp n (n là một số nguyên dơng tuỳ
ý) đợc xây dựng, thì nó có một vai trò rất to lớn. Nó góp phần đa vấn đề giải
hệ phơng trình bậc nhất trở thành một lý thuyết.
Chơng II: Ma trận
Nội dung: Nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không
gian vectơ. Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tính đợc nghiên cứu sâu sắc hơn.
Cụ thể:
- Các phép toán trên các ma trận
- Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông
- Giá trị riêng, vectơ riêng
- Chéo hoá một ma trận
Ta đã biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phơng
trình tuyến tính. Bây giờ ta tiếp tục hiểu ma trận sâu hơn nữa: đặc biệt nghiên

cứu mối liên hệ giữa ma trận và ánh sáng tuyến tính.
Nhờ có ma trận mà ta xác định giá trị riêng và vectơ riêng một ánh xạ
tuyến tính; do đó xác định đợc những không gian con bất biến ứng với tuyến
tính đặc biệt nh các phép biến đổi đối xứng, biến đổi trực giao.
Mục lục
Nội dung
Trang
Mở đầu .............................................................................................................................
Chơng i. định thức ......................................................................................................
Định nghĩa, các tính chất của định thức ..........................................................
Các phơng pháp tính định thức, ứng dụng .......................................................
Chơng ii. Ma trận ........................................................................................................
Ma trận của một ánh xạ tuyến tính ..................................................................
Các phép toán trên các ma trận .......................................................................
Cách tính định thức của tích hai ma trận vuông và cách tìm ma trận nghịch
đảo ...................................................................................................................
Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở - ma
trận đồng dạng .................................................................................................
Vectơ riêng - giá trị riêng ................................................................................
Chéo hoá ma trận
Chơng I: định thức
I. Phép thế
1.1. Định nghĩa phép thế
a. Giả sử tập hợp X
n
=
}{
n.....2,1
. Một song ánh . X
n

X
n
đợc gọi
là một phép thế trên tập X
n
.
Nói riêng song ánh đồng nhất đợc gọi là phép thế đồng nhất.
b. Chuyển trí:
Một phép thế //////////// trên tập X
n
đợc gọi là một chuyển trí hai phần tử
i, j thuộc X
n
nếu I (i) = j và I (K) = k , k X
n
, k i, k j. Đợc ký hiệu bởi
(i, j).
VD
X
n
=
}{
n
X3,2,1

( ) ( ) ( ) ( )

=
n
n


321
.......321
-
( )
i

: là ảnh của phần tử i
- Tập hợp tất cả các phép thế trên là tập X
n
. KH S
n
Tập hợp S
n
có n! phần tử.
Ví dụ: S
3
có 3! = 6 phần tử
X
3
=
}{

7,6,5








=
765
765

1








=
675
765

2

=
756
765

3








=
657
765

4

=
657
765

5








=
576
765

6
1.2. Nghịch thế
a. Định nghĩa: giả sử là một phép biến trên tập X
n
. với i, j X
n
, i j
ta nói cặp (
(i)
;
(j)
) là 1 nghịch tế của nếu i < j nhng

(i)
>
(j)
.
VD: Trên X
3
, phép thế








=
657
765

5
có 3 nghịc thế là (7,6); (5,6); (7,5).
1.3. Dấu hiệu của phép thế
Định nghĩa: Ta gọi phép thế là một phép thế chẵn nếu có một số chẵn
nghịch thế. gọi là phép nghịch thế lẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế 7.
Gán cho mỗi phép thế chẵn 1 giá trị bằng +1; mỗi phép thế lẻ - một giá
trị bằng -1
* Hệ quả
1.
(j)

(i)

ji
ji;
)(Sgn


=






2.
).Sgn(u)Sgn(u),(Sgn
=
3. Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ
II. Khái niệm ma trận, định nghĩa tính chất của định thức
1. Khái niệm ma trận
Định nghĩa 1: Một bảng gồm m.n số đợc viết thành m dòng n cột nh sau

=
nnnjn2n1
iniji2i1
2n2j2221
inij1211
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
B
đợc gọi là 1 ma trận kiểu (m,n).
Ký hiệu: A = a (i,j) (m,n) .
n1,j,m1,i;Ra
ij
==
- Các ma trận ký hiệu bằng chữ in hoa
- Nếu m = n ta gọi A là ma trận vuông cấp n.

VD:










=
90417
84525
83717
A
là ma trận cấp 3; m = n = 3

=
90
83
64
62
B
ma trận cột;
)84714(
=
C
ma trận dòng
Định nghĩa 2: có ma trận:

nnnjn2n1
njij2j1j
n2i22212
n1i12111
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
là ma trận chuyển vị của ma trận
A: KH A
t
VD:








=
1243
6521
A
; A

t
=










=
16
42
31
A
2. Định nghĩa của định thức
Định nghĩa: Cho ma trận vuông, cấp n

=
nnnjn2n1
2n2j2221
1nij1211
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
A
ta thấy tổng
(2)2
Sn
(1)1
a)aSng(D


=
Tổng đợc gọi là định thức của ma trận A

nnnjn2n1
2n2j2221
1nij1211
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
đợc ký hiệu
A
hay det A
3. Các tính chất của định thức
3.1. Tính chất 1
Nếu định thức D có tính chất mỗi dòng thứ i, mọi thành phần đều có dạng:
a
ij
= a
ij
+ a
ij
thì D = D
1
+D
2

+














=
nn'nj'n2n1
2n'2j'2221

1n'' ij1211
nnnj'n2n1
2n2j'2221
1n' ij1211
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
a......a.......aa
...............................................
a......a.......aa
a......a.......aa
D
VD:
a0
0b1
3
2b1
a70
0b
a73
21
a703
02b1
D
−
+
+
+
=

−
+
−
=
−+
++
=
3.2. TÝnh chÊt 2
NÕu ∀ thµnh phÇn thø i, cã thõa sè chung lµ C th× ta cã












=













=
nnn2n1
2n2221
1n1211
nnn2n1
2n2221
1n1211
a.......aa
.............................
a.......aa
a........aa
a.......aa
.............................
a.......aa
a........aa
D C
VD:













=












=
10987
5432
7654
4321
2
10987
10864
7654
4321
D
3.3. TÝnh chÊt 3: Trong ®Þnh thøc nÕu ®æi chç 2 dßng cho nhau th× ®æi
dÊu.
VD

65
21
43
65
43
21
=
3.4. Tính chất 4: Nếu định thức có 2 dòng (2 cột) giống nhau = 0
3.5. Tính chất 5: nếu định thức có 2 dòng (cột) có các thành phần tơng
ứng tỉ lệ hệ thức đó = 0
3.6. Tính chất 6: Nếu mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một số C
rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì ta đợc 1 định thức mới bằng
định thức đã cho.
VD:
25
50
65
710
65
Dhay25
710
65
D
=

===
3.7. Tính chất 7: Với A
t
là ma trần chuyển vị của ma trận A ta có
AA

t
=
tức là 2 mà trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau.
III. Khai triển định thức
1. Định thức con - Phần bù đại số
a. Định nghĩa: Cho định thức D cấp N
+ Nếu chọn dòng i
1
, ...., i
r
và r cột j
1
, ....j
r
(r<n) thì các thành phần nằm
ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành 1 định thức con cấp r của D.
+ Nếu xoá đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành 1
định thức kí hiệu bởi
r1
r1
...jj
....ii
~
M
và gọi là định thức con bù của định thức
r1
r1
...jj
....ii
M

1.
r1
r1
r121r1
r1
...jj
....ii
~
....jjii...jj
....ii
M1)(M
+=
++
đợc gọi là phần bù đại số của
r1
r1
...jj
....ii
~
M
VD: Cho định thức
651
423
321
A
=
Chọn cột thứ nhất và dòng thứ nhất thì a
11
= 1 là định thức con cấp 1
của A.

65
42
M
11
~
=
là định thức con bù của 1
8M.)1(
11
~
11
11
==
+
A
là phần bù đại số của 1
2. Khai triển định thức theo dòng
Định ý: cho định thức A cấp n có các thành phần là a
ij
. Với mỗi i
}{
n.....2,1
ta đều có

=
=+++=
n
1j
ijijinini2i2i1i1
Aa.Aa......Aa.AaA

đợc gọi là khai triển định thức A theo dòng thứ i.
VD:
245.28)4.(18
74
32
5
84
62
4
87
63
1
874
632
541
A
=+=
+==
3. Khai triển định thức theo r dòng
Định lý Laplace: Nếu trong định thức D đã chọn r dòng cố định i
1
, i
2
....,
i
r
, M
1
, M
2

... M
s
là tất cả các định thức on cấp r của D chọn trong r dòng này và
A
1
, A
2
là những phần bù đại số tơng ứng thì.

=
=
s
1j
jj
AMD
VD: XÐt ®Þnh thøc:
5670
0302
2413
1201
A
=
Chän dßng thø nhÊt vµ dßng thø 3 ta cã 6 ®Þnh thøc cÊp 2
03
12
M;
00
10
M
30

20
M;
02
11
M;
32
21
M;
02
01
M
65
4321
==
====
Gọi A
1
, A
2
... A
6
lần lợt là các phần bù đại số của M
1
, M
2
..., M
6
theo
định lý ta có
D = A

1
M
1
+ A
2
M
2
+ ...+A
6
M
6
Mà ta có M
2
, M
3
, M
6
0 nên ta chỉ tính 3 phần bù đại số của chúng
- M
2
đợc tạo thành từ dòng 1,3 các cột 1, 3 nên
9
57
21
1)(A
3131
2
==
+++
- M

3
đợc tạo thành từ dòng 1,3, cột 1,4 nên
22
67
41
1)(A
9
3
+==
- M
6
đợc tạo thành từ dòng 1,3, cột 3,4 nên
21
70
13
1)(A
11
6
+==
983)21.(2)22.(1).(M.AM.AM.AD
663322
=++=++=
Bài tập đề nghị
1. Tính định thức theo r dòng (cột)
a.
15570
0-2010
1-753
-4521
b.

17020
2-354
8053
2-111
2. Tính định thức dùng định lý Paplace.
a.
1100
1230
0-213
0021
b.
310916
10-5-131
012156
00032-
00048
Ph¬ng ph¸p tÝnh ®Þnh thøc
1. TÝnh ®Þnh thøc cÊp 3
Quy t¾c Sarus
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
D
−−+++==
§îc tÝnh theo s¬ ®å sau:

DÊu “+” DÊu “ -”
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
VD:
178.3.27.1.56.5.47.4.26.5.38.5.1
854
753
621
−=−−−++=
VD 2:
529.5.18.7.24.3.18.5.479.3.2
974
831
152
=−−−++=
VD3:
2387.5.4)3(0.106.2.12.0.510.4.17.6.3
7102
064
153

=++=

2. áp dụng phép triển khai định thức dòng hoặc cột
Để phép tính đợc đơn giản ta nên khai triển theo dòng (hoặc cột) có
nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số đơn giản.
Ví dụ:
VD1: Tính định thức
9204
10001
3607
0523


=
D
Giải: Nhận thấy cột thứ hai có nhiều thành phần bằng 0. Khai triển định
thức theo cột này ta không cần tính phần bù đại số của những thành phần
bằng 0. Vậy :
D = (-1)
1+2
(-2). A
Trong đó:
924
1001
367
A

=
D = 2 [6.10. (-4) + 3.1.2 - 6.1.9 - 7.10.2] = -856
VD2. Tính

9224
10011
3607
0523


=
D
Ta cũng có thể khai triển định thức này theo dòng hoặc cột có thành
phần bằng 0. Tuy nhiên nhờ tính chất 6, ta có thể biến đổi định thức để trong
1 dòng hoặc trong 1 cột chỉ còn nhiều nhất là một thành phần khác 0. Chẳng
hạn ta sẽ biến đổi dòng thứ 3. Nhân cột thứ nhất với -1 rồi cộng vào cột thức
hai, nhân cột thứ nhất với -10 rồi cộng vào cột thứ 4 t đợc.
4926
6767
3055
11)(
49264
0001
67677
30553
D
13


=



=

+
Giữ nguyên cột thứ hai, cộng cột thứ 2 vào cột thứ nhất, nhân cột thứ
hai với 6 rồi cộng vào cột thứ 3, ta đợc.
935248)61(5
618
311
51)(
6128
3161
050
D
21
−=+−−=
−−
−=−−=
+
VD3.

3
613
353
4107
1
1052
1013
4107
1
1052
613
353

2.
10521
6130
3531
41072
D
−=
−
−
+−
−
+−=
−
−
=
3. §a ®Þnh thøc vÒ d¹ng tam gi¸c
§Þnh thøc d¹ng tam gi¸c díi lµ ®Þnh thøc cã d¹ng
nnnin2n1
iji2i1
2221
11
......a.......aaa
.......0.......aaa
........................................
.........0.......0aa
.........00..........0a
D
=
(a
ij

= 0 nếu i <j)
Định thức dạng tam giác trên là định thức dạng
nn
inii
2n2i22
1n1i1211
......a....0..............00
...............................................
........a.......a0.......0
................................................
.........aa..........a0
.........aa..........aa
D
=
(a
ij
= 0 nếu i > j)
Khi đó nhờ phép khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột ta có
D = a
11
a
22
......a
nn
Ví dụ:
VD 1:
42)3.(2.7
264
031
007

605.6.2
200
960
975
==

==

áp dụng tính chất 3 và tính chất 6 ta có thể đa mọi định thức về dạng
tam giác.
VD 2: Đa về dạng tam giác rồi tính
1322
1312
6100
4213
D


=
Giải: Trong cột 1 ta có thể giữ nguyên số 3, rồi triệt tiêu các số 2
Song muốn thế ta phải nhân dòng thứ nhất với
3
2

. Phép tính sẽ phức
tạp. Để tránh ta đổi chỗ cột 1 và cột 2 cho nhau ta đợc.
1322-
1312
6-100
4431

D
=
Trong cột 1 giữ nguyên số 1 và triệt tiêu các thành phần khác thuận lợi.
Nhân dòng 1 lần lợt với -1 và 2 rồi lần lợt cộng vào dòng thứ 3 và thứ 4 ta đ-
ợc:
9780
-31-10
6-100
4231
D
=
Đổi chỗ dòng 2 và dòng 3 cho nhau
9780
6100
3--110
4231
D

=
Nhân dòng 2 với 8 rồi cộng và dòng 4
151500
6100
3110
4230
D



=
Có thể tiếp tục nhân dòng 3 với 15 rồi cộng vào dòng 4, song có thể áp

dụng tính chất 3, đa thừa số 15 ra ngoài định thức
75.51)1).((15.1
5000
6100
3110
4231
15
-1100
6-100
-31-10
4231
15D
==


==
Hiển nhiên ta cũng có thể biến đổi các cột hoặc cả cột lẫn dòng để đa
định thức về dạng tam giác.
VD 3. Đa định thức về tam giác rồi tính