Bài dạy GTLN GTNN chọn lọc (L12)

1
Tìm GTLN và GTNN
của các loại hàm số sau:
*
A) Hàm tuyệt đối:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
[ ]
2
3 2 , 10;10y x x x
= − + ∈ −
(giá trị tuyêt đối toàn phần)
Giải:
Xét
[ ]
2
1
3 2, 10;10y x x x= − + ∈ −
1 1
3
2 3; 0
2
y x y x
′ ′
= − = ⇔ =
Các giá trị đặc biệt của x là −10;3/2,10
Ứng với y
1
là 72, −1/4 và 132
Suy ra −1/4≤y
1

≤132
Suy ra 0≤y≤132
Min(y)=0 (x=1 hay x=2)
Max(y)=132 (x=10)
2)
[ ]
2
1 , 2;2y x x x
= + − ∈ −
(giá trị tuyệt đối bộ phận)
Giải:
Xét
( ) ( )
2
1
1, 2 1 1 2y x x x x= + − − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
Và
( )
2
2
1, 1 1y x x x= − + + − ≤ ≤
1
1
0
2
y x
−
′
= ⇔ =
(bị loại)

2
1
0
2
y x
′
= ⇔ =
Các giá trị đặc biệt của x là −2; −1; 1; 2; ½
Ứng với các giá trị của y là 1; −1; 1; 5; 5/4
Min(y)=−1 (khi x=−1)
Max(y)=5 (khi x=2)
3)
[ ]
2 2
4 4 3 , 1;4y x x x x x
= + + − + ∈−
Hướng dẫn: xem bài 2
4)
[ ]
1
, 0;4
1
x
y x
x
−
= ∈
+
Giải:
Xét

1 1
2
1 2
,
1 ( 1)
x
y y
x x
−
′
= =
+ +
1 1
3
(0) 1; (4)
5
y y= − =
Suy ra
1
3 3
1 0
5 5
y y− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Min(y)=0 (khi x=1)
Max(y)=3/5 (khi x=4)
5)
[ ]
2
, 0;4
2 1

x
y x
x
−
= ∈
+
Giải:
Xét
[ ]
1 1
2
2 5
, 2;4 ; 0
2 1 (2 1)
x
y x y
x x
−
′
= ∈ = >
+ +
Xét
[ ]
2 1
2
2 5
, 0;2 ; 0
2 1 (2 1)
x
y x y

x x
− + −
′
= ∈ = <
+ +
Những giá trị đặc biệt của x là 0; 2; 4
Ứng với y là 2; 0; 2/9
Min(y)=0 (khi x=2)
Max(y)=2 (khi x=0)
B) Hàm hữu tỷ:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
2
1
x
y
x
=
+
(dạng(ax+b)/Q
2
hay P
2
/Q
2
với Q
2
>0 với mọi x)
Giải:
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên của y…

Cách 2:
2
2
0
1
x
y yx x y
x
= ⇔ − + =
+
(1)
Với y=0 cho ta giá trị x=0 để y(0)=0
Với y≠0, phương trình (1) cho ta điều kiện:
2
1 1
0 1 4 0
2 2
y y∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Min(y)=−1/2 khi x=1/(2y)=−1
Max(y)=1/2 khi x=1/(2y)=1
2)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=

− +
Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2
3)
2
1
2 2
x
y
x x
−
=
+ +
Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2
4)
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
2
Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2
5)
2
2
2 2
x

y
x x
−
=
+ +
Giải:
1
2
2
( 2)
2 2
x
y x
x x
−
= ≥
+ +
( )
2
1
2
2
4 6
2 2
x x
y
x x
− + +
′
=

+ +
1
1 1
0 2 10,
2 2
6 2 10
y x y
x
′
= ⇔ = + = =
+
+
2
2
2
( 2)
2 2
x
y x
x x
− +
= ≤
+ +
( )
2
2
2
2
4 6
2 2

x x
y
x x
− −
′
=
+ +
2
1 1
0 2 10,
2 2
6 2 10
y x y
x
−
′
= ⇔ = − = =
+
− +
Khi x=2 ta có y=0
Min(y)=
1
6 2 10− +
khi x=
2 10−
Max(y)=
1
6 2 10+
khi x=
2 10+

C) Hàm chứa căn dạng:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
2
1, 3; 3y x x x
 
= + + ∈ −
 
Giải:
2
2 2
1
1
1 1
x x x
y
x x
+ +
′
= + =
+ +
Giải y’=0 vô nghiệm
( 3) 3 2y − = − +
( 3) 3 2y = +
Min(y)=
( 3) 3 2y − = − +

Max(y)=
( 3) 3 2y = +
2)

[ ]
1 , 3;1y x x x
= + − ∈−
(Chỉ có 1 căn của P
1
thì đặt t là căn ấy)
Giải:
Đặt
2
1 ; 0 2; 1t x t x t= − ≤ ≤ = −
2
1 (0 2)y t t t= − + + ≤ ≤
1
2 1; 0
2
y t y t
′ ′
= − + = ⇔ =
1 5
(0) 1; (2) 1;
2 4
y y y
 
= = − =
 ÷
 
Min(y)=−1 và Max(y)=5/4
3)
[ ]
(2 8) , 1;4y x x x

= − ∈
Hướng dẫn: xem bài 2
4)
( )
[ ]
1 , 0;1y x x x
= + ∈
Hướng dẫn: xem bài 2
5)
1
x
y
x
=
+
Giải:
Xét
0 1 0
1
x
x x
x
≥ ⇔ < − ∨ ≥
+
Xét
1 1
2
1
; 0
1 ( 1)

x
y y
x x
′
= = >
+ +
Lập biến thiên của y
1
với x<−1 hay x≥0
Ta có : y≥0 và y≠1 Nên Min(y)=0 và không tồn tại
Max(y)
3
D) Hàm lượng giác:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
[ ]
2sin cos 2 , 0;y x x x
π
= + ∈
Giải:
[ ]
2
2sin 2sin 1, 0;y x x x
π
= − + + ∈
Đặt t=sinx, 0≤t≤1
y=g(t)=−2t
2
+2t+1, y’=−4t+2 có nghiệm t=1/2
g(0)=1, g(1)=1, g(1/2)=3/2

Min(y)=1 khi t=0 hay t=1 ứng với x=0 hay x=π
Max(y)=3/2 khi t=1/2 ứng với x=π/6 hay x=5π/6
2)
sin 2 , 0;
2
y x x x
π
 
= + ∈
 
 
Giải:
1 2cos 2y x
′
= +
1
0 cos2
2 3
y x x k
π
π
−
′
= ⇔ = ⇔ = ± +
Do
0 x
π
≤ ≤
nên chỉ có
3

x
π
=
y(0)=0; y(π)=π, y(π/3)=
2 3 3
6
π
+
Min(y)= y(0)=0
Max(y)= y(π)=π
3)
[ ]
2sin , 0;y x x x
π
= + ∈
Hướng dẫn:
1 2cos
2 2sin
x
y
x x
+
′
=
+
1 2
0 cos
2 3
y x x
π

−
′
= ⇔ = ⇔ =
y(0)=0; y(π)=
π
;
2 2 3 3
3 3
y
π π
+
 
=
 ÷
 
Min)y)= y(0)=0
Max(y)=
2 2 3 3
3 3
y
π π
+
 
=
 ÷
 
4)
sin tan 2 , 0;
4
y x x x x

π
 
= + − ∈
 
 
Giải:
3 2
2
2
cos 2cos 1
cos tan 1
cos
x x
y x x
x
− +
′
= + − =
2
2
2
2
(cos 1)(cos cos 1)
cos
(1 cos )(sin cos )
0
cos
x x x
y
x

x x x
x
− − −
′
= =
− +
≥
Max(y)=
2 2 2
1
4 2 2 2
y
π π π
+ −
 
= + − =
 ÷
 
Min(y)=y(0)=0
5)
[ ]
tan(sin ), 0;y x x
π
= ∈
Giải:
2
1 tan (sin ) cosy x x
′  
= +
 

0
2
y x
π
′
= ⇔ =
(0) 0y =
,
tan(1)
2
y
π
 
=
 ÷
 
,
( ) 0y
π
=
Min(y)=
(0) 0y =
Max(y)=
tan(1)
2
y
π
 
=
 ÷

 
6)
2
2
1 sin cos cos
2 cos
x x x
y
x
+ +
=
+
Giaỉ:
sin 2 1 cos 2
1
2 2
1 cos2
2
2
x x
y
x
+
+ +
=
+
+
3 sin2x+cos2x
5 cos 2
y

x
+
=
+
(mẫu số luôn dương)
sin2x+(1 y)cos2x=5 3y− −
(dạng ax+by=c cho điều kiện a
2
+b
2
>=c
2
)
Từ phương trình ta có:
2 2
1 (1 ) (5 3)y y+ − ≥ −
2
24 28 7 0y y− + ≤
7 154 7 154
12 12
y
− +
⇔ ≤ ≤
* Min(y)=
7 154
12
−

khi
2 2

sin2x cos2 s in2x+(1-y)cos2x 5 3
1 1 1 (1 ) 2 2
x y
y y y y
−
= = =
− + − − +
từ đó suy ra sự tồn tại của x
4
* Max(y)=
7 154
12
+

khi
2 2
sin2x cos2 sin2x+(1-y)cos2x 5 3
1 1 1 (1 ) 2 2
x y
y y y y
−
= = =
− + − − +
từ đó suy ra sự tồn tại của x
7)
sin cos
1 cos
x x
y
x

+
=
+
Hướng dẫn: xem bài 6
8)
1 cos
2 cos
x
y
x
+
=
+
Hướng dẫn: xem bài 6
9)
2
sin sin cos 2 1y x x x
= + − +
Hướng dẫn: t=sinx, −1≤t≤1
10)
3 3
sin cos 3(sin cos )y x x x x
= + + +
Hướng dẫn: t=sinx+cosx,
2 2t− ≤ ≤
suy ra
2
2
1
1 2sin cos sin cos

2
t
t x x x x
−
= + ⇒ =
2
3 3
(3 )
sin cos (1 sin cos )
2
t t
x x t x x
−
+ = − =
3
6 3
2
t t t
y
− + +
=
với
2 2t− ≤ ≤
11) Tìm k để GTNN của
sin 1
2 cos
k x
y
x
+

=
+
nhỏ hơn −1
Giải:
sin 1
2 cos sin 1
2 cos
k x
y y y x k x
x
+
= ⇔ + = +
+
sin cos 2 1k x y x y⇔ − = −
Ta có
( )
2 2
2
2
1 1 1 1
1 2 1
2 2
k k
k y y
− + + +
+ ≥ − ⇔ ≤ ≤
Giá trị nhỏ nhất của y là
2
1 1
2

k− +
Ta cần
2
2
1 1
1 1 3
2
k
k
− +
< − ⇔ + >
2
1 9 2 2 2 2k k k⇔ + > ⇔ < − ∨ >
E) Ápdụng bất đẳng thức:
1) Cho x>0, tìm GTNN của
2
1
y x
x
= +
Giải:
2 2
1 1 1
2 2
y x x
x x x
= + = + +
2
3
3

1 1 3
3 . .
2 2
4
y x
x x
≥ =
2
3 3
3 1 1
( )
2
4 2
Min y x x
x
 
= = ⇒ =
 ÷
 
2) Cho x>0, tìm GTNN của
3
1
y x
x
= +
Hướng dẫn: xem bài 1
3) Cho x>0, tìm GTLN của
( )
2
1y x x= −

Giải:
( )
2 2
1
1 (2 2 )
2
y x x x x= − = −
3
1 2 2 4
2 3 27
x x x
y
+ + −
 
≤ =
 ÷
 
4 2
( ) 2 2
27 3
Min y x x x
 
= = − ⇒ =
 ÷
 
4) Cho x>0, tìm GTLN của
( )
2009
1y x x= −
Hướng dẫn: xem bài 3

5) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN và LN của
2 2 2
y a b c= + +

Giải:
9=(a+b+c)
2
<=3(a
2
+b
2
+c
2
)
suy ra y>=3
Min(y)=3 khi a=b=c=1
Ta có
1
3 3 3
a b c
+ + =
và a,b,c không âm nên các
giá trị a/3, b/3 và c/3 thuộc [0;1]
Do đó
2 2 2
1
9 9 9 3
a b c a b c+ +
+ + ≤ =

Max(y)=9 khi Max(a;b;c)=3 và 2 số còn lại bằng 0.
6) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN và LN của
y ab bc ca= + +
5
Giải:
ta có 9=(a+b+c)
2
>= 3(ab+bc+ca)
suy ra ab+bc+ca<=3
Max(y)=3 khi a=b=c=1
Hiển nhiên ab+bc+ca>=0
Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0.
7) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTLN,
GTNN của
1
y
ab bc ca
=
+ +
Giải:
Từ bài 6 ta có
1 1
3ab bc ca
≥
+ +
Min(y)=1/3 khi a=b=c=1
Cho b=c=1/n và a=3-2/n
Ta có
1 1 1

2 1 1 1 2 1
3 3
y
n n n n n n
= + +
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
2
2
2
3 2
n
y n
n
= +
−
Khi n tiến ra +∞ thì y tiến ra +∞
Vậy không có GTLN của y
8) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN, GTLN của
y abc=
Giải:
Ta có
3
3 3 1a b c abc abc= + + ≥ ⇒ ≤
Max(y)=1 khi a=b=c=1
Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0.
9) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTNN

của
2 2 2
1 2
y
a b c ab bc ca
= +
+ + + +
Giải:
( )
2 2 2 2
3
3
( )
y
a b c ab bc ca
≥
+ + + +
2 2 2 2
9 9
1
2( ) ( )
y
a b c ab bc ca a b c
≥ = =
+ + + + + + +
Min(y)=1 khi a=b=c=1
10) Cho x,y,z là 3 số dương. Tìm GTNN cùa
1 1 1
2 2 2
x y z

P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Giải:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
2 2 2
2
x y z x y z
P
yz zx xy
+ +
= + + +
2 2 2 2 2 2

2
x y z x y z
P
xyz
+ + + +
= +
2 2 2
1 1
( )
2
P x y z
xyz
 
= + + +
 ÷
 
2 2 2
1 1 1
( )
2 2 2
P x y z
xyz xyz
 
= + + + +
 ÷
 
2
3
3
2

1 9
9 ( )
8( ) 2
P xyz
xyz
≥ =
Min(P)=9/2 khi a=b=c=1
G) Bất đẳng thức trong hình học:
1) Cho điểm M trên cung lớn AB của đường tròn
(C). Tìm M để MA+MB lớn nhất
D
A
B
M
Hướng dẫn: Trên tia AM lấy D để cho MD=MB
Ta có góc MDB = góc MBD
Suy ra góc AMB=MDB+MBD=2ADB
Vậy góc ADB=1/2.AMB không đổi
Điểm D di động trên cung tròn (L) chứa góc
AMB/2 và nhận AB làm dây cung.
AD = MA+MD=MA+MB dài nhất khi AD là
đường kính của (L), khi đó tam giác ABD vuông tại
B và M là trung điểm AD cho ta MA=MB, M chính
là trung điểm của cung lớn AB trên đường tròn (C).