Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Bài dạy GTLN GTNN chọn lọc (L12)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (151.65 KB, 6 trang )

1
Tìm GTLN và GTNN
của các loại hàm số sau:
*
A) Hàm tuyệt đối:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
[ ]
2
3 2 , 10;10y x x x
= − + ∈ −
(giá trị tuyêt đối toàn phần)
Giải:
Xét
[ ]
2
1
3 2, 10;10y x x x= − + ∈ −
1 1
3
2 3; 0
2
y x y x
′ ′
= − = ⇔ =
Các giá trị đặc biệt của x là −10;3/2,10
Ứng với y
1
là 72, −1/4 và 132
Suy ra −1/4≤y
1


≤132
Suy ra 0≤y≤132
Min(y)=0 (x=1 hay x=2)
Max(y)=132 (x=10)
2)
[ ]
2
1 , 2;2y x x x
= + − ∈ −
(giá trị tuyệt đối bộ phận)
Giải:
Xét
( ) ( )
2
1
1, 2 1 1 2y x x x x= + − − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤

( )
2
2
1, 1 1y x x x= − + + − ≤ ≤
1
1
0
2
y x


= ⇔ =
(bị loại)

2
1
0
2
y x

= ⇔ =
Các giá trị đặc biệt của x là −2; −1; 1; 2; ½
Ứng với các giá trị của y là 1; −1; 1; 5; 5/4
Min(y)=−1 (khi x=−1)
Max(y)=5 (khi x=2)
3)
[ ]
2 2
4 4 3 , 1;4y x x x x x
= + + − + ∈−
Hướng dẫn: xem bài 2
4)
[ ]
1
, 0;4
1
x
y x
x

= ∈
+
Giải:
Xét

1 1
2
1 2
,
1 ( 1)
x
y y
x x


= =
+ +
1 1
3
(0) 1; (4)
5
y y= − =
Suy ra
1
3 3
1 0
5 5
y y− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Min(y)=0 (khi x=1)
Max(y)=3/5 (khi x=4)
5)
[ ]
2
, 0;4
2 1

x
y x
x

= ∈
+
Giải:
Xét
[ ]
1 1
2
2 5
, 2;4 ; 0
2 1 (2 1)
x
y x y
x x


= ∈ = >
+ +
Xét
[ ]
2 1
2
2 5
, 0;2 ; 0
2 1 (2 1)
x
y x y

x x
− + −

= ∈ = <
+ +
Những giá trị đặc biệt của x là 0; 2; 4
Ứng với y là 2; 0; 2/9
Min(y)=0 (khi x=2)
Max(y)=2 (khi x=0)
B) Hàm hữu tỷ:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
2
1
x
y
x
=
+
(dạng(ax+b)/Q
2
hay P
2
/Q
2
với Q
2
>0 với mọi x)
Giải:
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên của y…

Cách 2:
2
2
0
1
x
y yx x y
x
= ⇔ − + =
+
(1)
Với y=0 cho ta giá trị x=0 để y(0)=0
Với y≠0, phương trình (1) cho ta điều kiện:
2
1 1
0 1 4 0
2 2
y y∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Min(y)=−1/2 khi x=1/(2y)=−1
Max(y)=1/2 khi x=1/(2y)=1
2)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=

− +
Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2
3)
2
1
2 2
x
y
x x

=
+ +
Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2
4)
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
2
Hướng dẫn: xem bài 1 cách 2
5)
2
2
2 2
x

y
x x

=
+ +
Giải:
1
2
2
( 2)
2 2
x
y x
x x

= ≥
+ +
( )
2
1
2
2
4 6
2 2
x x
y
x x
− + +

=

+ +
1
1 1
0 2 10,
2 2
6 2 10
y x y
x

= ⇔ = + = =
+
+
2
2
2
( 2)
2 2
x
y x
x x
− +
= ≤
+ +
( )
2
2
2
2
4 6
2 2

x x
y
x x
− −

=
+ +
2
1 1
0 2 10,
2 2
6 2 10
y x y
x


= ⇔ = − = =
+
− +
Khi x=2 ta có y=0
Min(y)=
1
6 2 10− +
khi x=
2 10−
Max(y)=
1
6 2 10+
khi x=
2 10+

C) Hàm chứa căn dạng:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
2
1, 3; 3y x x x
 
= + + ∈ −
 
Giải:
2
2 2
1
1
1 1
x x x
y
x x
+ +

= + =
+ +
Giải y’=0 vô nghiệm
( 3) 3 2y − = − +
( 3) 3 2y = +
Min(y)=
( 3) 3 2y − = − +

Max(y)=
( 3) 3 2y = +
2)

[ ]
1 , 3;1y x x x
= + − ∈−
(Chỉ có 1 căn của P
1
thì đặt t là căn ấy)
Giải:
Đặt
2
1 ; 0 2; 1t x t x t= − ≤ ≤ = −
2
1 (0 2)y t t t= − + + ≤ ≤
1
2 1; 0
2
y t y t
′ ′
= − + = ⇔ =
1 5
(0) 1; (2) 1;
2 4
y y y
 
= = − =
 ÷
 
Min(y)=−1 và Max(y)=5/4
3)
[ ]
(2 8) , 1;4y x x x

= − ∈
Hướng dẫn: xem bài 2
4)
( )
[ ]
1 , 0;1y x x x
= + ∈
Hướng dẫn: xem bài 2
5)
1
x
y
x
=
+
Giải:
Xét
0 1 0
1
x
x x
x
≥ ⇔ < − ∨ ≥
+
Xét
1 1
2
1
; 0
1 ( 1)

x
y y
x x

= = >
+ +
Lập biến thiên của y
1
với x<−1 hay x≥0
Ta có : y≥0 và y≠1 Nên Min(y)=0 và không tồn tại
Max(y)
3
D) Hàm lượng giác:
Tìm GTLN và NN của các hàm số sau:
1)
[ ]
2sin cos 2 , 0;y x x x
π
= + ∈
Giải:
[ ]
2
2sin 2sin 1, 0;y x x x
π
= − + + ∈
Đặt t=sinx, 0≤t≤1
y=g(t)=−2t
2
+2t+1, y’=−4t+2 có nghiệm t=1/2
g(0)=1, g(1)=1, g(1/2)=3/2

Min(y)=1 khi t=0 hay t=1 ứng với x=0 hay x=π
Max(y)=3/2 khi t=1/2 ứng với x=π/6 hay x=5π/6
2)
sin 2 , 0;
2
y x x x
π
 
= + ∈
 
 
Giải:
1 2cos 2y x

= +
1
0 cos2
2 3
y x x k
π
π


= ⇔ = ⇔ = ± +
Do
0 x
π
≤ ≤
nên chỉ có
3

x
π
=
y(0)=0; y(π)=π, y(π/3)=
2 3 3
6
π
+
Min(y)= y(0)=0
Max(y)= y(π)=π
3)
[ ]
2sin , 0;y x x x
π
= + ∈
Hướng dẫn:
1 2cos
2 2sin
x
y
x x
+

=
+
1 2
0 cos
2 3
y x x
π



= ⇔ = ⇔ =
y(0)=0; y(π)=
π
;
2 2 3 3
3 3
y
π π
+
 
=
 ÷
 
Min)y)= y(0)=0
Max(y)=
2 2 3 3
3 3
y
π π
+
 
=
 ÷
 
4)
sin tan 2 , 0;
4
y x x x x

π
 
= + − ∈
 
 
Giải:
3 2
2
2
cos 2cos 1
cos tan 1
cos
x x
y x x
x
− +

= + − =
2
2
2
2
(cos 1)(cos cos 1)
cos
(1 cos )(sin cos )
0
cos
x x x
y
x

x x x
x
− − −

= =
− +

Max(y)=
2 2 2
1
4 2 2 2
y
π π π
+ −
 
= + − =
 ÷
 
Min(y)=y(0)=0
5)
[ ]
tan(sin ), 0;y x x
π
= ∈
Giải:
2
1 tan (sin ) cosy x x
′  
= +
 

0
2
y x
π

= ⇔ =
(0) 0y =
,
tan(1)
2
y
π
 
=
 ÷
 
,
( ) 0y
π
=
Min(y)=
(0) 0y =
Max(y)=
tan(1)
2
y
π
 
=
 ÷

 
6)
2
2
1 sin cos cos
2 cos
x x x
y
x
+ +
=
+
Giaỉ:
sin 2 1 cos 2
1
2 2
1 cos2
2
2
x x
y
x
+
+ +
=
+
+
3 sin2x+cos2x
5 cos 2
y

x
+
=
+
(mẫu số luôn dương)
sin2x+(1 y)cos2x=5 3y− −
(dạng ax+by=c cho điều kiện a
2
+b
2
>=c
2
)
Từ phương trình ta có:
2 2
1 (1 ) (5 3)y y+ − ≥ −
2
24 28 7 0y y− + ≤
7 154 7 154
12 12
y
− +
⇔ ≤ ≤
* Min(y)=
7 154
12


khi
2 2

sin2x cos2 s in2x+(1-y)cos2x 5 3
1 1 1 (1 ) 2 2
x y
y y y y

= = =
− + − − +
từ đó suy ra sự tồn tại của x
4
* Max(y)=
7 154
12
+

khi
2 2
sin2x cos2 sin2x+(1-y)cos2x 5 3
1 1 1 (1 ) 2 2
x y
y y y y

= = =
− + − − +
từ đó suy ra sự tồn tại của x
7)
sin cos
1 cos
x x
y
x

+
=
+
Hướng dẫn: xem bài 6
8)
1 cos
2 cos
x
y
x
+
=
+
Hướng dẫn: xem bài 6
9)
2
sin sin cos 2 1y x x x
= + − +
Hướng dẫn: t=sinx, −1≤t≤1
10)
3 3
sin cos 3(sin cos )y x x x x
= + + +
Hướng dẫn: t=sinx+cosx,
2 2t− ≤ ≤
suy ra
2
2
1
1 2sin cos sin cos

2
t
t x x x x

= + ⇒ =
2
3 3
(3 )
sin cos (1 sin cos )
2
t t
x x t x x

+ = − =
3
6 3
2
t t t
y
− + +
=
với
2 2t− ≤ ≤
11) Tìm k để GTNN của
sin 1
2 cos
k x
y
x
+

=
+
nhỏ hơn −1
Giải:
sin 1
2 cos sin 1
2 cos
k x
y y y x k x
x
+
= ⇔ + = +
+
sin cos 2 1k x y x y⇔ − = −
Ta có
( )
2 2
2
2
1 1 1 1
1 2 1
2 2
k k
k y y
− + + +
+ ≥ − ⇔ ≤ ≤
Giá trị nhỏ nhất của y là
2
1 1
2

k− +
Ta cần
2
2
1 1
1 1 3
2
k
k
− +
< − ⇔ + >
2
1 9 2 2 2 2k k k⇔ + > ⇔ < − ∨ >
E) Ápdụng bất đẳng thức:
1) Cho x>0, tìm GTNN của
2
1
y x
x
= +
Giải:
2 2
1 1 1
2 2
y x x
x x x
= + = + +
2
3
3

1 1 3
3 . .
2 2
4
y x
x x
≥ =
2
3 3
3 1 1
( )
2
4 2
Min y x x
x
 
= = ⇒ =
 ÷
 
2) Cho x>0, tìm GTNN của
3
1
y x
x
= +
Hướng dẫn: xem bài 1
3) Cho x>0, tìm GTLN của
( )
2
1y x x= −

Giải:
( )
2 2
1
1 (2 2 )
2
y x x x x= − = −
3
1 2 2 4
2 3 27
x x x
y
+ + −
 
≤ =
 ÷
 
4 2
( ) 2 2
27 3
Min y x x x
 
= = − ⇒ =
 ÷
 
4) Cho x>0, tìm GTLN của
( )
2009
1y x x= −
Hướng dẫn: xem bài 3

5) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN và LN của
2 2 2
y a b c= + +

Giải:
9=(a+b+c)
2
<=3(a
2
+b
2
+c
2
)
suy ra y>=3
Min(y)=3 khi a=b=c=1
Ta có
1
3 3 3
a b c
+ + =
và a,b,c không âm nên các
giá trị a/3, b/3 và c/3 thuộc [0;1]
Do đó
2 2 2
1
9 9 9 3
a b c a b c+ +
+ + ≤ =

Max(y)=9 khi Max(a;b;c)=3 và 2 số còn lại bằng 0.
6) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN và LN của
y ab bc ca= + +
5
Giải:
ta có 9=(a+b+c)
2
>= 3(ab+bc+ca)
suy ra ab+bc+ca<=3
Max(y)=3 khi a=b=c=1
Hiển nhiên ab+bc+ca>=0
Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0.
7) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTLN,
GTNN của
1
y
ab bc ca
=
+ +
Giải:
Từ bài 6 ta có
1 1
3ab bc ca

+ +
Min(y)=1/3 khi a=b=c=1
Cho b=c=1/n và a=3-2/n
Ta có
1 1 1

2 1 1 1 2 1
3 3
y
n n n n n n
= + +
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
2
2
2
3 2
n
y n
n
= +

Khi n tiến ra +∞ thì y tiến ra +∞
Vậy không có GTLN của y
8) Cho a,b,c là 3 số không âm và a+b+c=3. Tìm
GTNN, GTLN của
y abc=
Giải:
Ta có
3
3 3 1a b c abc abc= + + ≥ ⇒ ≤
Max(y)=1 khi a=b=c=1
Min(y)=0 khi Max(a;b;c)=3, hai số còn lại bằng 0.
9) Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c=3. Tìm GTNN

của
2 2 2
1 2
y
a b c ab bc ca
= +
+ + + +
Giải:
( )
2 2 2 2
3
3
( )
y
a b c ab bc ca

+ + + +
2 2 2 2
9 9
1
2( ) ( )
y
a b c ab bc ca a b c
≥ = =
+ + + + + + +
Min(y)=1 khi a=b=c=1
10) Cho x,y,z là 3 số dương. Tìm GTNN cùa
1 1 1
2 2 2
x y z

P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Giải:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
2 2 2
2
x y z x y z
P
yz zx xy
+ +
= + + +
2 2 2 2 2 2

2
x y z x y z
P
xyz
+ + + +
= +
2 2 2
1 1
( )
2
P x y z
xyz
 
= + + +
 ÷
 
2 2 2
1 1 1
( )
2 2 2
P x y z
xyz xyz
 
= + + + +
 ÷
 
2
3
3
2

1 9
9 ( )
8( ) 2
P xyz
xyz
≥ =
Min(P)=9/2 khi a=b=c=1
G) Bất đẳng thức trong hình học:
1) Cho điểm M trên cung lớn AB của đường tròn
(C). Tìm M để MA+MB lớn nhất
D
A
B
M
Hướng dẫn: Trên tia AM lấy D để cho MD=MB
Ta có góc MDB = góc MBD
Suy ra góc AMB=MDB+MBD=2ADB
Vậy góc ADB=1/2.AMB không đổi
Điểm D di động trên cung tròn (L) chứa góc
AMB/2 và nhận AB làm dây cung.
AD = MA+MD=MA+MB dài nhất khi AD là
đường kính của (L), khi đó tam giác ABD vuông tại
B và M là trung điểm AD cho ta MA=MB, M chính
là trung điểm của cung lớn AB trên đường tròn (C).

×