Bài giảng cơ học công trình chương 4 trần minh tú

CƠ HỌC CÔNG TRÌNH
TRẦN MINH TÚ – KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
ĐẠI HỌC XÂY DỰNG


Chương 4

THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
VÀ CHỊU UỐN PHẲNG

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1. THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1. Thanh chịu xoắn thuần túy

NỘI DUNG
4.1.1. Khái niệm chung

4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn

4.1.4. Điều kiện bền
4.1.5. Điều kiện cứng

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



Ví dụ thanh chịu xoắn

A

F
B

x

C

z
y
National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



Ví dụ thanh chịu xoắn

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1.1. Khái niệm chung (1)
1. Định nghĩa
Thanh chịu xoắn thuần túy
là thanh mà trên các mặt cắt
ngang của nó chỉ có một
thành phần nội lực là mô
men xoắn Mz nằm trong mặt
phẳng vuông góc với trục
thanh.
Ví dụ: Các trục truyền động, các
thanh trong kết cấu không gian,…

Ngoại lực gây xoắn: mô
men tập trung, mô men
phân bố, ngẫu lực trong
mặt cắt ngang
National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1.1. Khái niệm chung (2)
2. Biểu đồ mô men xoắn nội lực







Xác định mô men xoắn nội
lực trên mặt cắt ngang –
PHƢƠNG PHÁP MẶT CẮT
Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt
ngang, nếu Mz có chiều thuận
chiều kim đồng hồ thì nó mang
dấu dƣơng và ngƣợc lại.
Mz nội lực trên mặt cắt ngang
bằng tổng mô men quay đối với
trục thanh của những ngoại lực
ở về một bên mặt cắt

M

z

0

Mz > 0

y

y

z

z

Mz =

National University of Civil Engineering

x

x
Tran Minh Tu



4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (1)
Thí nghiệm
Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đƣờng thẳng //
trục thanh
- Hệ những đƣờng tròn
vuông góc với trục thanh
- Các bán kính
QUAN SÁT
- Các đƣờng // trục thanh
=> nghiêng đều góc g so
với phƣơng ban đầu
- Các đƣờng tròn vuông
góc với trục thanh =>
vuông góc, khoảng cách 2

đƣờng tròn kề nhau không
đổi
- Các bk trên bề mặt thanh
vẫn thẳng và có độ dài
không đổi
1.

National University of Civil Engineering

g
Tran Minh Tu



4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (2)

GIẢ THIẾT
Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang
trƣớc biến dạng là phẳng và vuông góc với trục
thanh thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông
góc với trục. Khoảng cách giữa 2 mặt cắt ngang
là không đổi.
Gt2 – Gt về các bán kính: Các bán kính trƣớc và
sau biến dạng vẫn thẳng và có độ dài không đổi.
Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu

4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (3)

2. Công thức tính ứng suất
 Từ gt1 => ez=0 =>z=0
 Từ gt2 => ex=ey=0 => x=y=0



Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng
suất tiếp
Ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc
với bán kính, chiều cùng chiều mô
men xoắn nội lực

Mz
  
Ip

Mz – mô men xoắn nội lực
Ip – mô men quán tính độc cực

Mz


O



 – toạ độ điểm tính ứng suất
National University of Civil Engineering

K

Tran Minh Tu


max


4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (4)
 Biến thiên của ứng suất tiếp theo
khoảng cách  là bậc nhất => Biểu
đồ ứng suất tiếp
 Những điểm nằm trên cùng đƣờng
tròn thì có ứng suất tiếp nhƣ nhau.
 Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi
mặt cắt ngang

 max

Wp 

 D4
32

/  D / 2   0,2 D3

Mz

Mz

.R 
Ip
Wp

 Wp =Ip/R là mô men chống xoắn của
mặt cắt ngang
Wp  0,2 D3 1   4 
National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Trƣớc biến dạng : ab//Oz;
• Chịu xoắn: ab => ac
j - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt
cắt ngang cách nhau chiều dài L
g - góc trƣợt (biến dạng góc)
• Góc xoắn (góc xoay) tương đối
giữa hai mặt cắt ngang A và B
•

L

M z dz
M z dz



GI p
GI p
B
0

g

j AB

A

c
a

b

A

O
B

L

 rad 

G – mô-đun đàn hồi khi trƣợt của vật liệu
 GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang


National University of Civil Engineering

j

Tran Minh Tu



4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Mz
 const
 Khi trên đoạn AB chiều dài L có
GI p

j AB


M zL

GI p

Khi đoạn AB gồm n đoạn, trên mỗi đoạn
thứ i có chiều dài li :
n 
 Mz 
Mz 
j AB   

  const
 li


i 1  GI p 
 GI p i
i



Góc xoắn tỉ đối: góc xoắn giữa hai mặt cắt cách nhau 1 đ.v chiều dài

dj M z


[rad / m]
dz GI p
National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



Bài tập - Ví dụ 4.1
Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay đổi chịu
tác dụng của mô men xoắn ngoại lực nhƣ hình vẽ
2.
3.

Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực
Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất
Tính góc xoắn của mặt cắt ngang D
Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2

3M

M

B

C

D

1.

2D



2a
National University of Civil Engineering

D
a
Tran Minh Tu



Bài tập - Ví dụ 4.1
3M

đồ mô men xoắn
Đoạn CD  0  z1  a 

2a

M

BC
z

D
a

M

M zCD  3M  15kNm
Đoạn BC

D

C

CD
z

3M

D

 0  z2  2a 

z1

M

BC
z

3M

M

 2M  10kNm

C
z2

D

1. Biểu

B

2D

M

D
a

15
10

National University of Civil Engineering

Mz
kNm

Tran Minh Tu



Ví dụ 4.1
2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất
CD

 max 
BC

M zBC

0, 2  2 D 

3

B

10  102
2


0,625(

kN
/
cm
)
3
0, 2  20

  max  7,5(kN / cm )
2

C
2a

D

M zCD
15  102
2



7,5(
kN
/
cm
)
3
3
0,2 D
0,2 10

2D

 max

3M

M

D
a

15

10

Mz
kNm

3. Góc xoắn tại D
CD
BC
M

a
M
 2a
j D  j BC  jCD  j D  z CD  z BC
GI p
GI p

15  102 102
10 102  2 102
jD 

 0,02(rad )
3
4
3
4
8  10  0,110 8 10  0,1 20

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1.4. Điều kiện bền
1.

Điều kiện bền

  

0

 max

Mz


  
Wp

- 0 xác định từ thực nghiệm

n
2. Ba bài toán cơ bản:
a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền
b) Bài toán 2: Chọn kích thƣớc mặt cắt ngang
Mz
Mz
3
3
Wp  0,2d 
d 
0,2 
 

c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác
dụng
M z  Wp . 
National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.1.5. Bài toán siêu tĩnh

Bài toán siêu tĩnh

 Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phƣơng trình cân
bằng tĩnh học thì ta không thể xác định hết các phản
lực, cũng nhƣ các thành phần nội lực trong thanh.
 Phƣơng pháp giải: Viết thêm phƣơng trình bổ sung –
phƣơng trình biểu diễn điều kiện biến dạng
 Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực

B
a

d

A

2d

M
D

2a

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



Ví dụ 4.2

M zAB a M zBD 2a

j AD  j AB  j BD 

AB
GI p
GI pBD
MD  M a

M D 2a
j AD 

0
4
4
G  0,1  2d  G  0,1 d

MD 

1
M;
33

MA 

MA

B

d

A

MD

M

2d

• Giả sử phản lực tại ngàm
MA, MD có chiều như hình vẽ.
• Ta có: MA + MD = M
(1)
• Điều kiện biến dạng
jAD = 0
(2)

D

2a

a

CD

M zBD  M D
M

AB
z

Mz

 MD  M

MD
D

z

M/33

Mz

32
M
33
32M/33

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm
Nội lực

Ứng suất

Nz

Nz
z 
A

Xoắn thuần túy
Mz
Mz


Ip

Phân bố

ứng suất
 z  const
National University of Civil Engineering

 max

Mz

Wp

Tran Minh Tu



Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm

Định luật
Hooke

 z  Ee z

Xoắn thuần túy

  Gg

Biến dạng
N z dz  N z L 
L  


EA
EA


0
L

n

Biến dạng

n

N zi Li
L   Li  
i 1

i 1  EA i
National University of Civil Engineering

M z dz  M z L 
j



GI p
0
 GI p 
L

n

n

i 1

i 1

j   ji  

M zi Li

 GI 

Tran Minh Tu

p i


4.2. THANH CHỊU UỐN PHẲNG

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.2. Thanh chịu uốn phẳng

NỘI DUNG
4.2.1. Khái niệm chung

4.2.2. Uốn thuần túy thanh thẳng
4.2.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu



4.2.1. Khái niệm chung (1)
 Thanh chịu uốn: khi có tác dụng của ngoại lực trục thanh

thay đổi độ cong
 Dầm: thanh chịu uốn

National University of Civil Engineering

Tran Minh Tu