tổng hợp BT chương I

BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10
CHƯƠNG I : VECTO
A. Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) Bằng vectơ
AB
uuur
;
OB
uuur
b) Có độ dài bằng 
OB
uuur

Bài 2 : Cho tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. CMR:
MN BP=
uuuur uuur
;
MA PN=
uuur uuur
.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh :
MQNPQPMN
==
;
.
Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm
đối xứng B qua O . Chứng minh :
CBAH '
=

.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Dựng
BCPQDCNPDAMNBAAM
====
,,,
.
Chứng minh
OAQ
=
B. CH ỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO:
Bài 1: Cho 4 điểm bất kì M,N,P,Q . Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
PQ NP MN MQ+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
; b)
NP MN QP MQ+ = +
uuur uuuur uuur uuuur
;
c)
MN PQ MQ PN+ = +
uuuur uuur uuuur uuur
;
Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng:
a)
0AD BA BC ED EC+ − − + =
uuur uuur uuur uuur uuur r
;
b)
AD BC EC BD AE+ − − =
uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh:
a)
PNMQPQMN
+=+
. b)
RQNPMSRSNQMP
++=++
.
Bài 4: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
b)
AD
uuur
+
BE
uuur

+
CF
uuur
=
AE
uuur
+
BF
uuur
+
CD
uuur
c)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EF
uur
+
GA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur

+
GF
uuur

d)
AB
uuur
-
AF
uuur
+
CD
uuur
-
CB
uuur
+
EF
uur
-
ED
uuur
=
0
r

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O. CMR:
0OA OB OC OD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.

Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA
=++++
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur
+
OE
uuur
+
OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC

uuur
+
OE
uuur
=
0
r
c)
AB
uuur
+
AO
uuur
+
AF
uuur
=
AD
uuur
d)
MA
uuuur
+
MC
uuur
+
ME
uuur
=
MB

uuur
+
MD
uuuur
+
MF
uuur
( M tùy ý ).
Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chứng minh rằng :
RF
uuur
+
IQ
uur
+
PS
uur
=
0
r
1
BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10
Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là trung điểm I J .
CMR:
0EA EB EC ED+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR:
a)

0AN BP CM+ + =
uuur uuur uuuur r
; b)
AN AM AP= +
uuur uuuur uuur
;
c)
0AM BN CP+ + =
uuuur uuur uuur r
.
Bài 11: Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB. CMR:
EA EB EC ED DA BC+ + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B.
a) Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất kì :
2IA IB IM+ =
uur uur uuur
b) Với N sao cho
2NA NB= −
uuur uuur
. CMR với I bất kì :
2 3IA IB IN+ =
uur uur uur
c) Với P sao cho
3PA PB=
uuur uuur
. CMR với I bất kì :
3 2IA IB IP− = −
uur uur uur

Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:
a) CMR:
0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
. Với I bất kì :
3IA IB IC IG+ + =
uur uur uur uur
.
b) M thuộc đoạn AG và MG =
1
4
GA . CMR
2 0MA MB MC+ + =
uuur uuur uuuur r
c) Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR:
+
0AD BE CF+ + =
uuur uuur uuur r
.
+ Tìm điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 14: ( Hệ thức hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR:
a)
0OA OB OC OD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
;
b) với I bất kì :
4IA IB IC ID IO+ + + =
uur uur uur uur uur
.
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI:

Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ
., CBCABCBA
+−
Bài 2: cho hình thoi ABCD cạnh a.
·
0
60BAD =
, gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính:
|
AB AD+
uuur uuur
| ;
BA BC−
uuur uuur
;
OB DC−
uuur uuur
.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính:
AC BD−
uuur uuur
;
AB BC CD DA− − −
uuur uuur uuur uuur
.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Hãy tính :
IB ID JA JC+ + +
uur uur uur uuur
.
D. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Bài 1. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.
b) Gọi E, F thoả mãn :
1
3
ME MN=
uuur uuuur
,
1
3
BF BC=
uuur uuur
. CMR : A, E, F thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng
hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
2
BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10
Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn :
3MB MC O− =
uuur uuuur ur
,
3AN NC=
uuur uuur
,
PB PA O+ =
uuur uuur ur
. CMR : M, N, P thẳng hàng. (

1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA= + = +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
).
Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn
2 ,LB LC=
uuur uuur
1
2
MC MA
−
=
uuuur uuur
,
NB NA O+ =
uuur uuur ur
. CM : L,
M, N thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn :
2 3IA IC O+ =
uur uur ur
,
2 5 3JA JB JC O+ + =
uur uur uur ur
.
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC.
b) CMR J là trung điểm BI.
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn

AE k AB=
uuur uuur
. Xác định k để C, E, J thẳng hàng.
Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn :
2 , 3 2 = IA IB JA JC O= +
uur uur uur uur ur
. CMR : Đường thẳng IJ đi qua
G.
Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm
trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đònh bởi các hệ thức
OACNAABOMABC
=−−=+
3;
. Chứng minh MN // AC.
E. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một điểm
thoả mãn một đẳng thức Vectơ:
Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho :
a)
MB MC AB+ =
uuur uuuur uuur
b)
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c)
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur

d)
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur

e)
MA MB MC O+ − =
uuur uuur uuuur ur
f)
2MA MB MC O+ − =
uuur uuur uuuur ur
Bài 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB . G là trọng tâm tam
giác ABC . D, E xác đònh bởi :
AD
= 2
AB
và
AE
=
5
2
AC
.
Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC

. Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
F. Trục tọa đợ và hệ trục tọa đợ
Bài 1 : Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các
cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài 2 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là trung
điểm BC,
i
cùng hướng với
OC
,
j
cùng hướng
OA
.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 4 : Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O;
i
;
j
), trong đó O là tâm lục giác
đều ,
3
BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10

i
cùng hướng với
OD
,
j
cùng hướng
EC
.
Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 .
Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)
AD
uuur
– 2
BD
uuur
+ 3
CD
uuur
=
0
r
b)
AD
uuur
– 2
AB
uuur
= 2

BD
uuur
+
BC
uuur
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
Bài 6 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Bài 7: Cho
a
r
=(2; 1) ;
b
r
=( 3 ; 4) và
c
r
=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u
r
= 2
a
r
- 3
b
r

+
c
r
b) Tìm tọa độ của vectơ
x
r
thỏa
x
r
+
a
r
=
b
r
-
c
r
Tìm các số m ; n thỏa
c
r
= m
a
r
+ n
b
r
Bài 8 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3).
a/ Chứng minh rằng: B, C, M thẳng hàng và A, D, M thẳng hàng.
b/ Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OM, AC và BD. Chứng minh rằng: 3 điểm P,

Q, R thẳng hàng.
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 2). Đường thẳng đi qua A, B cắt
Ox tại M và cắt Oy tại N. Tính diện tích tam giác OMN.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao
cho G là trọng tâm tam giác OAB.
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2).
a/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b/ Tính chu vi của tam giác ABC.
c/ Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H.
Bài 12. Cho tam giác ABC với A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3).
a/ Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b/ Xác định tọa độ điểm E đối xứng với A qua B.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 13. Cho A(1 ; 3), B(5 ; 1).
a/ Tìm tọa độ điểm I thỏa
.0
=−+
IBIAIO
b/ Tìm trên trục hồnh điểm D sao cho góc ADB vng.
4