Phương pháp dưới đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP
Hồ Phi Tứ

Khoa Toán
Email:




Ngày nhận bài: 12/6/2019
Ngày PB đánh giá: 08/8/2019
Ngày duyệt đăng: 16/8/2019
TÓM TẮT
Trong bài báo này chúng tôi áp dụng phương pháp dưới đạo hàm tăng cường để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp BVI ( C , F , G ) . Đây là một phương pháp mới để giải bài toán này. So với các
phương khác thì phương pháp dưới đạo hàm tăng cường có ưu việt là trong thuật toán chỉ cần một phép
chiếu trên C, phép chiếu thứ hai được chiếu lên một nửa không gian. Do đó phương pháp này cho kết
quả tính toán nhanh hơn. Chúng tôi chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp tới nghiệm của bài
toán trên không gian Hilbert thực.
Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân hai cấp, đơn điệu mạnh , dưới đạo hàm
tăng cường, liên tục Lipschitz.
A SUB-EXTRAGRADIENT METHOD FOR BILEVEL VARIATIONAL INEQUALITY PROBLEMS
ABSTRACT
In this paper, we introduce a method for solving bilevel variational inequality problems. With this method,
we need only one projection on C. Therefore, it gives faster calculation results. This is a new iteration
algorithm and we show that these problems can be solved by subgradient extragradient iteration method. We
obtain a strong convergence of iteration sequences generated by this method in a real Hilbert space.
Key words. Variational inequality problem, bilevel variational inequalities problem, strongly monotone,
sub- extragradient, Lipschitz continuous.

1. GIỚI THIỆU
Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực  . Bài toán
bất đẳng thức biến phân VI ( C , F ) có dạng
Tìm x* ∈ C sao cho F ( x *) , x − x * ≥ 0 ∀x ∈ C ,
Trong đó F : Ω →  là ánh xạ đi từ Ω vào  gọi là ánh xạ giá, Ω là C hoặc  .
Trong bài báo này chúng tôi quan tâm tới bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, là
bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán biến phân khác ([1], [5]).
Được tóm tắt như sau: Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
thực 
Tìm x* ∈ Sol (C, G) sao cho F (x * ), y − x * ≥ 0 ∀y ∈ Sol ( C , G ) ,
(1.1)
trong đó F : → và Sol ( C , G ) là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
VI ( C , G ) với G cũng là ánh xạ từ  vào  và bài toán này được ký hiệu vắn tắt là
86

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG


BVI ( C , F , G ) . Bài toán này cũng nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong
nước cũng như trên thế giới và có nhiều thật toán được đưa ra. Những ban đầu chỉ là các
thuật giải trong các trường hợp riêng của bài toán như trương hợp F =
∇f ; G =
∇g với f,
g là các các hàm lồi khả vi và khí đó bài toán BVI ( C , F , G ) chính là bài toán cực tiểu hai
cấp. Một trường hợp khác là F (x) = x khi đó BVI ( C , F , G ) trở thành bài toán tìm chuẩn
nhỏ nhất trên tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán này được Yao, Y. sử
dụng phương pháp đạo hàm tăng cường để giải. Thuật toán được tóm tắt như sau:
 x0 ∈ C,

 k

k
k
k
 y =PC ( x − λG (x ) − α k x ) ,
 k +1
k
k
k
k
 x = PC ( x − λG (x ) + µ (y − x ) ) .
Với điều kiện hàm G đơn điệu mạnh ngược, khi đó dãy {x k } hội tụ mạnh về nghiệm
x* = PSol (C,G) ( 0 ) . Gần đây tác giả Anh P.N. và các cộng sự ([2]) đề xuất một thuật toán
giải bài toán BVI ( C , F , G ) bằng sự kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường và lý
thuyết điềm bất động của ánh xạ không giãn. Thuật toán bao gồm các bước sau:
Bước 1.Tính
=
y k PC ( x k − α k G (x k ) ) và
=
z k PC ( x k − α k G (y k ) )
Bước 2. Vòng lặp trong: xác định h k
 x k ,0= z k − λ F (z k ),

 k, j
=
PC ( x k , j − δ j G (x k , j ) ) ,
y
 k , j +1
= α j x k ,0 + β j x k , j + γ j PC ( x k , j − δ j G (y k , j ) ) .
 x
Nếu x k , j +1 − PSol (C, G ) ( x k ,0 ) ≤ ε k thì đặt h k = x k , j +1 và đi đến bước 3. Ngược lại tăng

j: = j+1
Bước 3. Đặt x k +1 =α k u + β k x k + γ k h k . Tăng k lên 1 và quay lại bước 1.
Trong đó F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz; G giả đơn điệu và liên tục Lipschitz
trên C cùng với các tham số được chọn thích hợp. Khi đó các dãy {x k } và {z k } cùng
hội tụ về nghiệm của bài toán BVI ( C , F , G ) . Tuy nhiên tại mỗi bước lặp ta chỉ tìm được
nghiệm xấp xỉ của bài toán.
Ta có các định nghĩa ([3], [4])
Ÿ Ánh xạ F : → được gọi là β - đơn điệu mạnh trên , nếu tồn tại β > 0 sao cho

F ( x) − F ( y), x − y ≥ β x − y
∀x, y ∈ .
Ÿ Ánh xạ F : → được gọi là L - liên tục Lipschitz trên , nếu tồn tại L > 0
2

sao cho

F ( x ) − F ( y ) ≤ L x − y ∀x, y ∈ �
.
Ÿ Ánh xạ G : → được gọi là η - đơn điệu mạnh ngược trên , nếu tồn tại
η > 0 sao cho
Tạp chí khoa học, Số

, tháng 09 năm 2019

87


2

G ( x) − G ( y), x − y ≥ η G ( x) − G ( y)

∀x, y ∈ .
Ta giả thiết các ánh xạ F , G : → của bài toán bất đẳng thức biến phân hai

cấp (1.1) thỏa mãn các điều kiện:
( A1 ) : F là β - đơn điệu mạnh và L - liên tục Lipschitz trên .
( A2 ) : G là η - đơn điệu mạnh ngược trên .
II. THUẬT TOÁN VÀ KẾT QUẢ HỘI TỤ

Thuật toán 2.1.
2β
Bước 0. Chọn x 0 ∈ , 0 < µ < 2 , các dãy {α k } ⊂ ( 0,1) và {λk } sao cho
∞

α k =∑
0, α k =
∞,
lim
n =0
 k →∞
{λk } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0;η ) .

L

(

)

(

)

Bước 1. Tính y k =−
PC x k λk G ( x k ) , z k =
PTk x k − λG ( y k ) ,
(k = 0, 1, 2,…)
trong đó Tk = ω ∈  : x k − λG ( x k ) − y k , ω − y k ≤ 0 .

{

( )

}

Bước 2. Tính x = z − α k µ F z ,
Nếu x k +1 = x k thì dừng thuật toán và khi đó x k là nghiệm của bài toán BVI ( C , F , G ) .
Ngược lại, k := k + 1 và quay lại Bước1.
1
Nhận xét 2.1. Ở thuật toán 2.1, ta có thể chọn,
chẳng hạn, α k =
. Khi đó dễ
∞
3
k
+
∞.
dàng thấy rằng {α k } ⊂ ( 0,1) , lim α k = 0 và ∑ α k =
k →∞
k =0
Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 2.1, ta cần sử dụng một số bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. ([7]) Giả sử G : → là η - đơn điệu mạnh ngược trên . Khi đó G

1
là - liên tục Lipschitz và tập nghiệm Sol ( C , G ) của bài toán bất đẳng thức biến phân
VI η( C , G ) là lồi và đóng.
Bổ đề 2.2 ([9]) Giả sử F : → là β - đơn điệu mạnh, L - liên tục Lipschitz trên
k +1

, 0 < α < 1, 0 < µ <
Khi đó

k

k

2β
.
L2

x − αµ F ( x ) −  y − αµ F ( y )  ≤ (1 − ατ ) x − y

∀x, y ∈ ,

trong đó

τ =−
1 1 − µ ( 2 β − µ L2 ) ∈ ( 0,1].

Bổ đề 2.3 ([6]) Cho {an } là dãy số thực không âm. Giả sử rằng với mọi số tự nhiên
m, tồn tại số tự nhiên p ≥ m sao cho ap ≤ ap+1. Gọi n0 là số tự nhiên sao cho an0 ≤ an0 +1
và xác định τ ( n ) với mọi n ≥ n0 bởi

( n ) max {k ∈  : n0 ≤ k ≤ n, ak ≤ ak +1}.
τ=
Khi đó {τ ( n )}n ≥ n là dãy không giảm thỏa mãn điều kiện lim τ ( n ) = ∞ và các bất
0

đẳng thức sau thỏa mãn
88

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

n →∞


aτ ( n ) ≤ aτ ( n )+1 , an ≤ aτ ( n )+1 ∀n ≥ n0 .
Bổ đề 2.4 ([8]) Giả sử {an } là dãy các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
an +1 ≤ (1 − α n ) an + α nξ n , ∀n ≥ 0,
trong đó {an } là dãy trong ( 0,1) và {ξ n } là dãy số thực sao cho
∞

(i ) ∑ αn =
∞;
n =0

( ii ) lim sup ξ n ≤ 0.
n →∞

Khi đó lim an = 0.
n →∞
Kết quả hội tụ
Định lý 2.1. Giả sử các điều kiện ( A1 ) , ( A2 ) được thỏa mãn và Sol ( C , G ) ≠ ∅. Khi

đó dãy { xk } trong thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp (1.1) .
Ta chứng minh định lý trên theo các bước sau:
Bước 1. Chứng minh: Với mọi x∗ ∈ Sol ( C , G ) , ta có
( 2.5 )
(η − λk ) x k − y k − (η − λk ) y k − z k .
z k − z ∗ ≤ x k − x∗ −
η
η
Thật vậy. Từ định nghĩa y k và tính chất của phép chiếu
x k − λk G ( x k ) − y k , z − y k ≤ 0. ∀z ∈ C.
Sử dụng ( 2.6 ) và cách xác định Tk , ta thu được C ⊂ Tk .
Vì G là η - đơn điệu mạnh ngược trên  và x∗ ∈ Sol ( C , G2) nên

( 2.6 )

G ( y k ) , y k − x∗ ≥ G ( x∗ ) , y k − x∗ + η G ( y k ) − G ( x∗ )

( 2.7 )

≥ G ( x∗ ) , y k − x∗
≥ 0.
Theo tính chất của phép chiếu và ( 2.7 )2, ta được
2

z k − x∗ =

PTk ( x k − λk G ( y k )) − x∗

≤ x k − λk G ( y k ) − x∗

2

− x k − λk G ( y k ) − z k

2

1

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và chú ý rằng G là - liên tục Lipschitz trên
η
, ta có

2 G ( x k ) − G ( y k ), z k − y k ≤ 2 G ( x k ) − G ( y k ) z k − y k

≤
≤

2

xk − y k

η
1

η

(

xk − y k

zk − yk
2

Tạp chí khoa học, Số

+ yk − zk

2

)

.

( 2.9 )

, tháng 09 năm 2019

89


Từ định nghĩa của Tk và z k ∈ Tk , ta có

x k − λk G ( x k ) − y k , z k − y k ≤ 0.
Kết hợp bất đẳng thức trên với ( 2.8 ) và ( 2.9 ) , ta được
2

z k − x∗

2

≤ x k − x∗

Bước 2. Chứng minh:
= x −x

∗ 2

+ 2λk y − z , G ( y

= xk − x

∗ 2

+ 2λk y k − z k , G ( y k ) − x k − y k

k

k

)

Các dãy

k

k

2

− xk − z k

− (x − y
k

k

{ x k } , {F ( x k )} ,

)+(y
2

+ 2λk y k − z k , G ( y k )

k

−z

k

)

− yk − zk

2

và

{z k }

là bị chặn. Vì

2

− 2 y k − z k , xk − y k
= x k − x∗

2

− xk − y k

2

− yk − zk

2

+ 2 y k − z k , λk G ( y k ) − x k + y k
= x k − x∗

2

− xk − y k

2

− yk − zk

2

+ 2 x k − λk G ( y k ) − y k , z k − y k + 2λk G ( x k ) − G ( y k ) , x k − y k
≤ x k − x∗

2

− xk − y k
+

k

=x − x

∗ 2

−

λk
η

2

( x −y
k

(η − λk )

− yk − zk
k

2

+ yk − zk

xk − y k

η

2

2

−

2

)

(η − λk )

yk − zk

2

η

{λ k } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0; η ) nên từ ( 2.5 ) ,
k

.

ta có

z − x ≤ x k − x∗
Thật vậy. Từ ( 2.10 ) và Bổ đề 2.2
∗

∀k ∈ �

(2.10)

x k +1 − x∗ = z k − α k µ F ( z k ) − x∗
= z k − α k µ F ( z k ) −  x∗ − α k µ F ( z k )  − α k µ F ( x∗ )
≤ z k − α k µ F ( z k ) −  x∗ − α k µ F ( z k )  + α k µ F ( x∗ )
≤ (1 − α kτ ) z k − x∗ + α k µ F ( x∗ )
≤ (1 − α kτ ) x k − x∗ + α k µ F ( x∗ )

=(1 − α kτ ) x − x + α kτ
k

trong đó

∗

τ =−
1 1 − µ ( 2 β − µ L2 ) ∈ ( 0,1]. .

90

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

µ F ( x∗ )
τ

( 2.11)


Từ ( 2.11) , ta nhận được

µ F ( x∗ )
 k
∗
∗
k +1
x − x ≤ max  x − x ,
τ







.

Bằng quy nạp, ta chứng minh được

µ F ( x∗ )

x k − x∗ ≤ max  x 0 − x∗ ,
τ




.

∀
≥
k
0



Do đó dãy { x k } là bị chặn và do đó các dãy { F ( x k )} , { y k } và { z k } cũng bị chặn.
Bước 3. Ta chứng minh dãy x k hội tụ mạnh đến x∗ , trong đó x∗ là nghiệm duy nhất
của ( 2.1) .
Thật vậy. Sử dụng Bổ đề 2.2, ( 2.10 ) và bất đẳng thức

x− y

2

Ta được

≤ x − 2 y, x − y ∀x, y ∈  �

x k +1 − x∗

2

2

= z k − α k µ F ( z k ) − x∗

= z k − α k µ F ( z k ) −  x∗ − α k µ F ( x∗ )  − α k µ F ( x∗ )

( 2.12 )

2

Ta xét hai trường hợp.
k
∗
Trường hợp 1: Tổng tại k0 sao cho dãy x − x
là giảm với k ≥ k0 . Khi đó dãy
k
∗
số x − x
hội tụ. Do đó từ ( 2.10 ) và ( 2.12 ) , ta được

{

{

}

0 ≤ x k − x∗

2

− z k − x∗

≤ −α kτ z k − x∗

2

{x

k

− x∗

( 2.13)

2

− 2α k µ F ( x∗ ) , x k +1 − x∗

(

+ x k − x∗

Vì dãy

}

2

− x k +1 − x∗

2

).

} hội tụ, lim α = 0, {x } và {z } là bị chặn, từ ( 2.12) ta có
( 2.14 )
lim(η
x
−
x
−
z
−
x
=
0.
)
( − b ) x − y ≤ (η − λ ) x − y
k →∞

k

k →∞

k

k

k

∗ 2

k

η
Từ ( 2.5 ) và {λk } ⊂ [ a, b ] ⊂ ( 0,η ) , ta có

k
k 2

∗ 2

k

k

k 2

η

2

≤ x k − x* − z k − x*

Do đó từ ( 2.14 ) và ( 2.15 ) , ta thu được

2

( 2.15 )

lim x k − y k =
0.

k →∞

Ta chứng minh
Tạp chí khoa học, Số

, tháng 09 năm 2019

91


lim sup F ( x ) , x − x
∗

{ }
F ( x ), x − x

∗

k +1

( 2.16 )

≤ 0.

k →∞

{ }

Chọn dãy con x ki của dãy x k sao cho

lim sup
k →∞

∗

∗

k +1

≤ lim F ( x∗ ) , x∗ − x ki .
i →∞

{ } là bị chặn nên ta có thể giả thiết rằng x

Vì dãy x ki
Do đó

ki

hội tụ yếu đến x ∈ .

limsup F ( x∗ ) , x∗=
− x k +1 lim F ( x∗ ) , x∗ − x ki
F ( x* ) , x* − x .

=
k

( 2.17 )

i →∞

k →∞

k

0 và x ki  x nên ta suy ra dãy y
Vì lim x − y =
k →∞
lồi đóng nên nó đóng yếu, và do đó x ∈ C .
Tiếp theo ta chứng minh x ∈ Sol (C , G ).
Thật vậy, lấy x ∈ C Từ ( 2.6 ) ta có

ki

hội tụ yếu đến x . Vì tập C là

( )

x ki − λki G x ki − y ki , x − y ki ≤ 0 ∀i ∈ .
Vì G là η - đơn điệu mạnh ngược trên  và bất đẳng thức Cauchy-Shwarz, ta đư

( )

G ( x ) , x ki − x ≤ G ( x ) , x ki − x + η G x ki − G ( x )

2

( )

≤ G x ki , x ki − x

( )

G x ki , x ki − y ki +

=

1

λk G ( x k ) , y k − x
i

λk

i

i

i

( )

G x ki , x ki − y ki +

=

1

x ki − y ki , y ki − x

λk

i

+

1

λk

( )

( 2.18 )

x ki − λki G x ki − y ki , x − y ki

i

( )

≤ G x ki , x ki − y ki +

1

λk G ( x k ) , y k − x
i

λk

i

i

i

( )

≤ G x ki

x ki − y ki +

1

λk

x ki − y ki

y ki − x

i

( )

≤ G x ki

x ki − y ki +

1

α

x ki − y ki

y ki − x .

{ ( )} , { y }

Lấy giới hạn ở ( 2.18 ) khi i → ∞, sử dụng tính bị chặn ở các dãy G x ki
k

và chú ý rằng lim x i − y
i →∞

92

ki

→ 0, x ki  x , ta được G ( x ) , x − x ≤ 0 và do đó

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

ki


G ( x ) , x − x ≥ 0 ∀x ∈ C.

( 2.19 )

Đặt xt := (1 − t ) x + tx ∈ C , t ∈ [ 0,1]. Từ ( 2.19 ) , ta có

0 ≤ G ( xt ) , x − x
Do đó với mọi 0 < t ≤ 1
= G ( xt ) − G ( x ) , xt − x + G ( x ) , x − x
0 ≤ G ( xt ) , xt − x
1
x x − x + G ( x ), x − x
=≤ ηG x( tx−
t ) , (1 − t ) x + tx − x

= t1 G ( xt ) , x − x .
=
(1 − t ) x + tx − x x − x + G ( x ) , x − x

η

=

t

η

x−x

2

+ G ( x ), x − x .

Cho t → 0+ , ta được G ( x ) , x − x ≥ 0 hay x ∈ Sol (C , G ).
Vì x∗ là nghiệm của bài toán ( 2.1) và x ∈ Sol (C , G ), ta có

F ( x× ) , x − x∗ ≥ 0.

( )

Kết hợp với ( 2.17 ) , ta thu được lim sup F x∗ , x∗ − x k +1 ≤ 0.
k →∞

Bất đẳng thức ( 2.12 ) có thể được viết lại như sau

x k +1 − x∗

2

2

≤ (1 − α kτ ) x k − x*

2 µ F ( x∗ ) , x∗ − x k +1

+ α kτξ k ,

trong đó

ξk =

τ

.

Từ ( 2.16 ) , ta có lim sup ξ k ≤ 0. Theo bổ đề 2.4, ta được lim x k − x∗
k →∞
x k → x∗ khi k → ∞. k →∞
k
Trường hợp 2: Tồn tại dãy con x j của dãy x k sao cho
kj

x − x∗ ≤ x

{ }

k j +1

2

=
0, hay

{ }

− x∗ ∀j ∈ .

Theo Bổ đề 2.3, tồn tại dãy không giảm {τ ( k )} ⊂  sao cho lim τ ( k ) = ∞ và các
k →∞
bất đẳng thức sau đúng với mọi k ∈  (đủ lớn).
τ (k )

x

τ ( k ) +1

− x∗ ≤ x

− x∗ ,

τ ( k ) +1

x k − x∗ ≤ x

− x∗ .

( 2.20 )

Do đó từ ( 2.11) và ( 2.20 ) ta được
Tạp chí khoa học, Số

, tháng 09 năm 2019

93


τ (k )

x

τ ( k ) +1

− x∗ ≤ x

( 2.21)

− x∗

(

)

≤ 1 − ατ ( k )τ z

τ (k )

Từ ( 2.10 ) và ( 2.21) , ta có
τ (k )

0≤ x

− x∗ − z

τ (k )

− x∗ ≤ −ατ ( k )τ z

τ (k )

− x ∗ + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) .

− x ∗ + ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) .

{ }

( 2.22 )

Từ lim α k = 0 , tính bị chặn của z k và ( 2.22 ) , ta thu được
k →∞

(

τ (k )

− x* − z

lim x
k →∞

τ (k )

)

( 2.23)

− x* =
0.

{ } { } bị chặn và ( 2.23) , ta có

Vì x k , z k

lim  x
k →∞ 

τ (k )

Từ

2

− x∗

− z

τ (k )

− x∗

(η − λk ) ≥ (η − b ) > 0,
η

τ (k )

lim x
k →∞

η

( 2.24 )

=
 0


( 2.5 ) và ( 2.24 ) , ta suy ra

−=
y ( ) 0, lim y
τ k

2

τ (k )

−=
z ( ) 0.
τ k

k →∞

( 2.25 )

Theo bất đẳng thức tam giác
τ (k )

x

−z

τ (k )

τ (k )

≤ x

−y

τ (k )

+ y

τ (k )

−z

τ (k )

.

Kết hợp với ( 2.25 ) , ta được
τ (k )

lim x
k →∞

−z

τ (k )

=
0.

Theo Bổ đề 2.2
τ ( k ) +1

x

τ (k )

−x

= z
≤ z

τ (k )

τ (k )

( ( ))− x ( ) .
+ α ( )µ F ( x ( ) ) .

− ατ ( k ) µ F z
τ (k )

−x

τ k

τ k

τ k

τ k

{ ( )}, ta được

τ (k )
Kết hợp với ( 2.26 ) , lim α k = 0 và tính chặn của dãy F x
τ ( k ) +1

lim x
k →∞

τ (k )

−x

k →∞

=
0.

Bằng chứng mình tương tự như Trường hợp 1, ta thu được
∗
limsup F ( x∗ ) , x=
−x ( )
limsup F ( x* ) , x* − x

τ (k )

τ k +1

x →∞

94

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

x →∞

≤ 0.

( 2.27 )


Từ ( 2.12 ) và ( 2.20 ) , ta được
τ ( k ) +1

x

τ (k )

−x

2

(
) ( )−x
≤ (1 − α ( )τ ) x ( ) − x
τ k

≤ 1 − ατ ( k )τ x

τ k +1

τ k

Do đó, từ ( 2.20 ) , ta được

x k − x∗

2

τ ( k ) +1

≤ x

− x∗

2

≤

2µ

τ

2

∗

∗

2

( 2.28 )

+ ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) , x ∗ − x

τ ( k ) +1

+ ατ ( k ) µ F ( x ∗ ) , x ∗ − x

τ ( k ) +1

F ( x∗ ) , x∗ − x

τ ( k ) +1

.

( 2.28 )

.

Lấy giới hạn khi k → ∞ ở ( 2.28 ) và sử dụng ( 2.27 ) , ta được

lim sup x k − x∗
k →∞

2

≤ 0.

Do đó x k → x* khi k → ∞. Định lý hoàn toàn được chứng minh. 
III. KẾT LUẬN
Bài báo đã đưa ra được một thuật giải mới cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai
cấp và chứng minh được sự hội tụ mạnh của thuật toán về nghiệm của bài toán trên một
không gian Hilbert thực. Với phương pháp dưới đạo hàm tăng cường, trong thuật toán chỉ
cần một phép chiếu trên tập ràng buộc C , do đó việc tính toán được giảm nhẹ đi rất nhiều.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Anh, P.N., Kim, J. K., Muu, L. D.(2012): An extragradient algorithm for solving bilevel variational
inequalities. J. Glob. Optim. 52, 527 – 539 .
2. Anh, P.N., Kim, J. K., Muu, L. D.(2012): An extragradient algorithm for solving bilevel
pseudomonotone variational inequalities. J. Glob. Optim. 52, 627 – 639.
3. Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A.(2005): Equilibrium Programing in Hilbert Space. J. Nonlinear
Convex Anal. 5, 117 – 136.
4. Konnov, I.V.(2000): Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities. Springer, Berlin.
5. Kalashnikov, V.V., Klashnikova, N.I.(1996): Solving two-level vatiational inequality. J. Glob .
Optim. 8, 289 – 294.
6. Maingé, P.E.(2008): A hybird extragradient-viscosity mwthod for monotone operators and fixed
point problem. SIAM J. Control Optim. 47 1499 – 1515.
7. Muu, L. D.(1998): Nhập môn các phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ Thuật, Hà Nội.
8. Xu, H. K.(2002): Iterative algotithms for nonlinear operators. J. London Math. Soc. 66, 240 – 256.
9. Yamada, I.(2011): The hybird steepest method for the variational inequality problem over th intersection
of fixed point sets on nonexpansive mappings, in Inherently Parallel Algorithms for Feasibility anh Optimization
anh Their Applications, Butnariu. D, Censo. Y, Reich. S (Eds.), Elsevier, New York, pp. 472 – 504.

Tạp chí khoa học, Số

, tháng 09 năm 2019

95