phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
DƯƠNG THỊ BÌNH
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ
TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
ĐA TRỊ GIẢ ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM NGỌC ANH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iii
Mở đầu 1
1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 3
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan . . . . 12
1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (MV I) . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều kiện Lipschitz 20
2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Phương pháp xấp xỉ trong không Lipschitz 33

3.1 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Một số kết quả tính toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (MV I) 41
4.1 Thuật toán kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . 41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ii
4.1.2 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Thuật toán mới và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Áp dụng thuật toán ánh xạ co B anach cho (MV I) . . . . . . . . . . . 51
Kết luận 55
Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 56
Tài liệu tham khảo 57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
iii
Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và chỉ
bảo tận tình của thầy giáo TS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Cô ng nghệ Bưu chính Viễn
thông). Thầy luôn động viên và hướng dẫn tận tình cho tôi trong thời gian học tập,
nghiên cứu và làm luận văn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên
đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa cao học này.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan
hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,
cùng các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 2 (2008 - 2010) đã mang đến
cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Xin cảm ơn các bạn học viên cao học toán khóa 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, động
viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót và
hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9-2010
Người viết luận văn
Dương Thị Bình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giải
các bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, lí
thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, ···.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vào
năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bài
toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng.
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạ n chiều và các ứng dụng
của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities
and their application" của D.Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]
và trong cuố n sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free
boundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984.
Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh và
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong các hướng nghiên cứu
quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp
giải. Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện được. Vì vậy các
nhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm của
bài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được. Do đó
người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó.
Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điều

này giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong
đó có bài toán bất đẳng thức biến phân. Vì vậy việc ng hiên cứu bất đẳng thức biến
phân đa trị cũng có những bước phát triển mới. Nhiều phương pháp đã được đề xuất
để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2
chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, ···.
Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biến
phân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interior
proximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variational
inequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] và một kết quả mới về
thuật toán điểm gần kề mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị. [6]
Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương. Chương 1
nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz và ánh
xạ đa trị đơn điệu. Phần tiếp theo, phát biểu bài toán bất đẳ ng thức biến phân đa trị,
các bài toán liên quan và một số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm
của bài toán này. Chương 2 g ồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phương
pháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bài
toán (MV I) giả đơn điệu Lipschitz và chứng minh sự hội tụ của thuật toán. Chương
3 đề xuất thuật toán giải bài toán (MV I) không có điều kiện Lipschitz. Chương này
đưa ra thuật toán xấp xỉ, trong đó có sự kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuật
đường tìm kiếm. Cuối chương trình bày một số kết quả tính toán cụ thể minh họa cho
thuật toán ở chương 2 và chương 3. Chương 4 trình bày phương pháp mới để giải bài
toán (MV I) và các kết quả tính toán để minh họa thuật toán đã đề xuất.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
Bài toán bất đẳng thức biến phân
đa trị
1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Euclid n chiều R
n
. Mỗi
phần tử x = (x
1
, x
2
, ··· , x
n
)
T
∈ R
n
là một véc tơ cột của R
n
. Với hai véc tơ bất kì
x = (x
1
, x
2
, ··· , x
n
)
T
∈ R
n
, y = (y
1
, y
2

, ··· , y
n
)
T
∈ R
n
thì
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y.
Chuẩn Euclid (hay độ dài) của véc tơ x ∈ R
n
, kí hiệu ||x|| được xác định bởi
||x|| =

x, x.
Ta gọi
¯
R = [−∞, +∞] = R ∪{−∞}∪ {+∞} là tập số thực mở rộng.
Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi như: Tập
lồi, hàm lồi, dưới vi phân, ···.
1.1.1 Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.1. [10] Một tập C ⊆ R
n

được gọi là tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.2. [10] Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian
đóng được gọi là tập lồi đa diện hay là khúc lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
4
Định nghĩa 1.3. [10] Một tập C ⊆ R
n
được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C
là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:
(a) λC ⊆ C, ∀λ > 0
(b) C + C ⊆ C
Tập C ⊆ R
n
dưới đây luôn giả thiết là một tập lồi (nếu không giải thích gì thêm).
Định nghĩa 1.4. Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là N
C
(x),
được xác định bởi công thức
N
C
(x) := {w ∈ R
n
| w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Định nghĩa 1.5. Cho ánh xạ f : C →
¯
R. Khi đó, miền hữu hiệu của f, kí hiệu là
domf, được xác định bởi

domf := {x ∈ R
n
| f(x) < +∞}.
Hàm f được gọi là chính thường nếu
domf = ∅, f(x) > −∞, ∀x ∈ C
Định nghĩa 1.6. [10] Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó, hàm f được gọi là
(i) lồi trên C nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
(ii) lồi chặt trên C nếu
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
(iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) − λ(1 − λ)β||x − y||
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
5
Định lí 1.1. [2] (i) Cho hàm f lồi, khả vi trên tập lồi C. Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta
có
f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x.
(ii) Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi C thì với mọi x, y ∈ C và x = y, ta có
f(y) − f(x) > ∇f(x), y − x.
(iii) Nếu f lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi trên tập lồi C thì
f(y) − f(x) ≥ ∇f(x), y − x + β||y − x||
2
, ∀x, y ∈ C.
1.1.2 Dưới vi phân
Giả sử f : C →
¯
R là hàm lồi trên C ⊆ R
n

. Ta có định nghĩa dưới vi phân của hàm
lồi như sau.
Định nghĩa 1.7. Véc tơ w ∈ R
n
được gọi là dưới gradient của f tại x
0
∈ C nếu
w, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới gradient của hàm f tại x
0
được gọi là dưới vi phân của f tại x
0
,
kí hiệu ∂f (x
0
), tức là
∂f (x
0
) := {w ∈ R
n
: w, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ C}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x

0
nếu ∂f (x
0
) = ∅.
Ví dụ 1.1. Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian R
n
. Xét hàm chỉ trên tập
C
δ
C
(x) :=

0 nếu x ∈ C,
+∞ nếu x /∈ C.
Khi đó
∂δ
C
(x
0
) = N
C
(x
0
), ∀x
0
∈ C.
Thật vậy, nếu x
0
∈ C thì δ
C

(x
0
) = 0 và
∂δ
C
(x
0
) = {w ∈ R
n
: δ
C
(x) ≥ w, x − x
0
, ∀x ∈ C}.
Hay
∂δ
C
(x
0
) = {w ∈ R
n
: 0 ≥ w, x − x
0
, ∀x ∈ C} = N
C
(x
0
). ✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
6

Ví dụ 1.2. (Hàm lồi thuần nhất dương) [10]
Cho f : R
n
→ R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là: Một hàm lồi f : R
n
→ R
thỏa mãn
f(λx) = λf(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ R
n
.
Khi đó
∂f (x
0
) = {w ∈ R
n
|w, x
0
 = f(x
0
), w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C}.
Chứng minh. Nếu w ∈ ∂f(x
0
) thì
w, x − x
0
 ≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ C. (1.1)
Thay x = 2x
0

vào (1.1), ta có
w, x
0
 ≤ f(2x
0
) − f(x
0
) = f(x
0
). (1.2)
Còn nếu thay x = 0 vào (1.1), ta được
−w, x
0
 ≤ −f(x
0
). (1.3)
Kết hợp (1.2) và (1.3), suy ra
w, x
0
 = f(x
0
).
Hơn nữa
w, x − x
0
 = w, x − w, x
0

= w, x − f(x
0

).
Do đó
w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C.
Ngược lại, nếu x
0
∈ R
n
thỏa mãn
w, x
0
 = f(x
0
) và w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C
thì
w, x − x
0
 = w, x − w, x
0

≤ f(x) − f(x
0
), ∀x ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
7
Vậy nên w ∈ ∂f(x
0
). ✷
Nếu hàm f là hàm lồi thuần nhất dương thỏa mãn: f(−x) = f (x) ≥ 0, ∀x ∈ C thì
w, x ≤ f (x), ∀x ∈ C
tương đương với

|w, x| ≤ f (x), ∀x ∈ C.
Định lí 1.2. [10] Cho f
i
, i = 1, ··· , m là các hàm lồi chính thường trên R
n
. Khi đó,
với mọi x ∈ R
n
thì
∂(
m

i=1
f
i
(x)) ⊇
m

i=1
∂f
i
(x)
Nếu tồn tại một điểm a ∈ ∩
n
i=1
domf
i
mà tại điểm đó mọi hàm f
i
(có thể trừ ra

một hàm nào đó) là liên tục, thì bao hàm thức trên sẽ xảy ra dấu bằng với mọi x ∈ R
n
.
1.2 Ánh xạ đa trị
Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và đưa ra
một số ví dụ minh họa.
Định nghĩa 1.8. [3] Cho X, Y là hai tập con bất kì của R
n
và F : X → 2
Y
là ánh xạ
từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y . Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ X
vào Y , tức là, với mỗi x ∈ X, F (x) là tập con của Y . (F (x) có thể là tập rỗng).
Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị
từ X vào Y .
Ví dụ 1.3. Cho X ⊆ R
2
, X = {(x, 0)| x ∈ R}. Xét ánh xạ F : X → 2
R
2
thỏa mãn
F (x, 0) :=

{(x, y) ∈ R
2
| y =
1
|x|
} nếu x = 0,
{0} × (0, +∞) nếu x = 0

là một ánh xạ đa trị từ X vào R
2
.
Với ánh xạ đa trị F : X → Y , ta xác định đồ thị và miền hữu hiệu của ánh xạ F
tương ứng bằng các công thức
graphF : = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)},
domF : = {x ∈ X| F (x) = ∅}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
8
Ta biết rằng, ánh xạ liên tục Lipschitz là một khái niệm có vai trò quan trọng trong
giải tích toán học. Trong mục này ta sẽ định nghĩa liên tục Lipschitz của một ánh xạ
đa trị dựa trên khoảng cách Hausdorff như sau:
Định nghĩa 1.9. (Khoảng cách Hausdorff)
Với A, B là hai tập con đóng và khác rỗng bất kì của R
n
, khoảng cách Hausdorff
giữa hai tập A và B được xác định bởi
ρ(A, B) := max{d(A, B), d(B, A)},
trong đó
d(A, B) = sup
a∈A
inf
b∈B
||a − b||
d(B, A) = sup
b∈B
inf
a∈A
||a − b||
Định nghĩa 1.10. (Ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz)

Cho C ⊆ R
n
. Ánh xạ đa trị F : C → 2
R
n
được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số
L > 0 (viết tắt là L-Lipschitz) trên C, nếu
ρ(F (x), F (y)) ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C.
Nếu L < 1 thì F là co trên C.
Nếu L = 1 thì F được gọi là không giãn trên C.
Ví dụ 1.4. Cho C = {(x, 0) ∈ R
2
| 0 ≤ x ≤ 1} và ánh xạ F : C → 2
R
2
thỏa mãn
F (x, 0) := {(x, y) ∈ R
2
| 0 ≤ y ≤ x
2
}.
Khi đó F là ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz, với hằng số L =
√
5.
Thật vậy: Với mọi (x
1
, 0), (x
2
, 0) ∈ C (x
1

< x
2
) thì
d(F (x
1
, 0), F (x
2
, 0)) = max
(x
1
,y
1
)∈F (x
1
,0)
min
(x
2
,y
2
)∈F (x
2
,0)
||(x
1
, y
1
) − (x
2
, y

2
)||
= max
(x
1
,y
1
)∈F (x
1
,0)
min
(x
2
,y
2
)∈F (x
2
,0)

(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)

2
= max
(x
1
,y
1
)∈F (x
1
,0)
|x
1
− x
2
|
= |x
1
− x
2
|
= ||(x
1
, 0) − (x
2
, 0)||.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
9
d(F (x
2
, 0), F (x
1

, 0)) = max
(x
2
,y
2
)∈F (x
2
,0)
min
(x
1
,y
1
)∈F (x
1
,0)
||(x
1
, y
1
) − (x
2
, y
2
)||
= max
(x
2
,y
2

)∈F (x
2
,0)
min
(x
1
,y
1
)∈F (x
1
,0)

(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
≤ max
(x
2
,y
1
)∈F (x

1
,0)
√
5|x
1
− x
2
|
=
√
5|x
1
− x
2
|
=
√
5||(x
1
, 0) − (x
2
, 0)||.
Do đó
ρ(F (x
1
, 0), F (x
2
, 0)) ≤
√
5||(x

1
, 0) − (x
2
, 0)||, ∀(x
1
, 0), (x
2
, 0) ∈ C
hay F là ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz, với hằng số L =
√
5. ✷
Định nghĩa 1.11. [3] Ánh xạ đa trị F : C → 2
R
n
, được gọi là:
(i) Nửa liên tục trên tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V chứa F (¯x), tồn tại lân cận
mở U của ¯x sao cho
F (x) ⊆ V, ∀x ∈ U
(ii) Nửa liên tục dưới tại ¯x ∈ domF nếu với mọi tập mở V thỏa mãn F (¯x) ∩ V = ∅,
tồn tại lân cận mở U của ¯x sao cho
F (x) ∩ V = ∅, ∀x ∈ U ∩ domF.
Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên C nếu nó nửa liên
tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc domF .
Ta nói F là liên tục tại ¯x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên
tục dưới tại ¯x. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là liên tục
trên C.
Ví dụ 1.5. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2
R
thỏa mãn:
F (x) =




{0} nếu x < 0,
[−1, 1] nếu x = 0,
{1} nếu x > 0.
Khi đó, ánh xạ F là nửa liên tục trên trên R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
10
Chứng minh. Dễ thấy ánh xạ F nửa liên tục trên tại mọi điểm x = 0. Hơn nữa, F
nửa liên tục trên tại ¯x = 0, vì với mọi tập mở (a, b) ⊃ [−1, 1] = F(0), tồn tại lân cận
của 0, chẳng hạn (−1, 1), ta có
F (x) =



{0} nếu −1 < x < 0,
[−1, 1] nếu x = 0,
{1} nếu 0 < x < 1.
Do đó F (x) ⊆ (a, b) với mọi x ∈ (−1, 1).
Vậy F là ánh xạ nửa liên tục trên trên R . ✷
Ví dụ 1.6. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2
R
thỏa mãn
F (x) =

[0, 1] nếu x = 0,
{0} nếu x = 0
Khi đó F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0.
Thật vậy: Với mọi tập mở (a, b) thỏa mãn

(a, b) ∩ F (0) = {0} = ∅,
tồn tại lân cận của 0, chẳng hạn U = (−
1
2
,
1
2
). Ta có
F (x) =

[0, 1] nếu x ∈ (−
1
2
,
1
2
)\{0},
{0} nếu x = 0
Do đó
F (x) ∩ (a, b) = 0, ∀x ∈ (−
1
2
,
1
2
)
Vậy F nửa liên tục dưới tại ¯x = 0. ✷
Định nghĩa 1.12. [3] Một ánh xạ F : R
n
→ 2

R
n
được gọi là đóng tại x, nếu với mọi
dãy x
k
→ x, mọi dãy y
k
∈ F(x
k
) và y
k
→ y, thì y ∈ F (x). Ánh xạ F là đóng trên tập
C, nếu nó đóng tại mọi điểm thuộc C.
F được gọi là ánh xạ giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈domF .
Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ giữa tính nửa liên tục trên và ánh xạ đóng.
Mệnh đề 1.1. Giả sử F : C → 2
R
n
là ánh xạ đa trị, U là tập con lồi của C.
(i) Nếu F là nửa liên tục trên trên U và có giá trị đóng, thì nó đóng trên U.
(ii) Nếu F đóng và với mỗi tập compact X ⊆ U, tập F (X) là compact thì F là nửa
liên tục trên trên U.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
11
Định nghĩa 1.13. [9] Với C ⊆ R
n
, ánh xạ đa trị F : C → 2
R
n
, được gọi là:

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu
w − w

, x − x

 ≥ β||x − x

||
2
, ∀x, x

∈ C, w ∈ F (x), w

∈ F(x

)
(ii) đơn điệu ngặt trên C, nếu
w − w

, x − x

 > 0, ∀x, x

∈ C, w ∈ F (x), w

∈ F(x

), x = x

(iii) đơn điệu trên C, nếu

w − w

, x − x

 ≥ 0, ∀x, x

∈ C, w ∈ F (x), w

∈ F(x

)
(iv) giả đơn điệu trên C, nếu với mọi x, x

∈ C, w ∈ F (x), w

∈ F(x

), ta có
w

, x − x

 ≥ 0 kéo theo w, x − x

 ≥ 0
Ví dụ 1.7. Ánh xạ F được định nghĩa như sau:
F (x, 0) := {(x, y) ∈ C| 0 ≤ y ≤ x}
C := {(x, 0)| x ≥ 0}
là đơn điệu trên C, vì với mọi (x, 0), (x


, 0) ∈ C và với mọi (x, y) ∈ F (x, 0), (x

, y

) ∈
F (x

, 0), ta có
(x, y) − (x

, y

), (x, 0) − (x

, 0)
= (x −x

, y − y

), (x − x

, 0)
= (x −x

)
2
≥ 0.
Hơn nữa, F còn đơn điệu ngặt trên C vì bất đẳ ng thức trên là ngặt khi (x, 0) =
(x


, 0).
Ví dụ 1.8. (Tính đơn điệu của dưới vi phân của hàm lồi).
Với bất kì hàm lồi, chính thường f : R
n
→
¯
R, ánh xạ ∂f : R
n
→ 2
R
n
là đơn điệu
trên dom(∂f).
Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi, với mọi x, x

∈ dom(∂f), w ∈ ∂f(x) và w

∈ ∂f(x

),
ta có
w

, x − x

 ≤ f(x) − f(x

)
w, x


− x ≤ f(x

) − f(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
12
với các giá trị f(x) và f(x

) hữu hạn. Cộng hai bất đẳng thức trên ta được
w

, x − x

 + w, x

− x ≤ 0
hay w − w

, x − x

 ≥ 0, ∀x, x

∈ dom(∂f), w ∈ ∂f(x), w

∈ ∂f(x

)
Vậy ∂f đơn điệu. ✷
1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị
1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan
Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong R

n
và F : C → 2
R
n
là một ánh xạ đa
trị. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị đượ c phát biểu như sau:
(MV I)

Tìm x
∗
∈ C và w
∗
∈ F(x
∗
) sa o cho
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân (MV I).
Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng (viết tắt
(V I))
Tìm x
∗
∈ C sao cho F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.

Bài toán bất đẳng thức biến phân (MV I) có quan hệ mật thiết với nhiều bài toán
khác của giải tích, như là: Bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động và bài toán
quy hoạch lồi, ···.
Bài toán điểm bất động Kakutani
Cho C là tập lồi, đóng tùy ý trong R
n
và T là ánh xạ đa trị từ C vào chính nó. Bài
toán điểm bất động của ánh xạ đa trị T được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho x
∗
∈ T(x
∗
). (1.4)
Đặc biệt, nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trở thành
bài toán điểm bấ t động Brower có dạng:
Tìm x
∗
∈ C sao cho x
∗
= T(x
∗
).
Mệnh đề sa u cho ta thấy mối liên hệ giữa bài toán (MV I) với bài toán điểm bất
động (1.4).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
13
Mệnh đề 1.2. Nếu ánh xạ F được xác định bởi
F (x) := x − T (x), ∀x ∈ C

thì bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (MV I) xảy ra đồng thời với bài toán điểm
bất động (1.4).
Chứng minh . Giả sử x
∗
là nghiệm của bài toán (MV I) và F(x) = x − T (x), tức là
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C, w
∗
∈ F(x
∗
)
Do w
∗
∈ F(x
∗
) = x
∗
− T (x
∗
) nên tồn tại ξ
∗
∈ T(x
∗
) sao cho w
∗
= x
∗

− ξ
∗
.
Ta có
x
∗
− ξ
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C
Cho x = ξ
∗
ta được
||x
∗
− ξ
∗
|| ≤ 0
Suy ra x
∗
= ξ
∗
hay x
∗
∈ T(x
∗
). Vậy nên x
∗
là nghiệm của bài toán (1.4).

Chiều ngược lại hiển nhiên đúng. ✷
Bài toán bù phi tuyến
Chú ý rằng khi C là một nón lồi trong R
n
thì bài toán (MV I) trở thành bài toán
bù:
Tìm x
∗
∈ C, w
∗
∈ F(x
∗
), w
∗
∈ C

sao cho w
∗
, x
∗
 = 0, (CP )
trong đó
C

:= {y ∈ R
n
| x, y ≥ 0, ∀x ∈ C}
là nón đối ngẫu của C. Khi đó, ta có mệnh đề s au:
Mệnh đề 1.3. Nếu C là một nón lồi, đóng trong R
n

thì bài toán bù (CP ) tương đương
với bài toán bất đẳng thức biến phân (MV I).
Chứng minh. Nếu x
∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (MV I) và
w
∗
∈ F(x
∗
) thì
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C (1.5)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
14
Do C là nón lồi, x
∗
∈ C nên
x
∗
+ x ∈ C, ∀x ∈ C
Trong bất đẳng thức trên ta thay x bởi x
∗
+ x, ta được
w
∗
, x
∗

+ x − x
∗
 = w
∗
, x ≥ 0, ∀x ∈ C.
Suy ra w
∗
thuộc nón đối ngẫu C

.
Còn nếu thay x = 0 vào (1.5), ta được
w
∗
, x
∗
 ≤ 0
Suy ra w
∗
, x
∗
 = 0, hay x
∗
∈ C, w
∗
∈ F(x
∗
), w
∗
∈ C


là nghiệm của bài toán bù CP )
Ngược lại, nếu x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán bù thì
w
∗
, x
∗
 = 0, w
∗
∈ F(x
∗
), w
∗
∈ C

.
Vì x
∗
∈ C

nên w
∗
, x
∗
 ≤ 0, ∀x ∈ C. Ta có
w
∗
, x − x
∗

 ≤ 0, ∀x ∈ C,
hay x
∗
∈ C, w
∗
∈ F(x
∗
) là nghiệm của bài toán (MV I) . ✷
Bài toán quy hoạch lồi
Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong R
n
và f : C → R ∪{+∞} là một hàm lồi
trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho
f(x
∗
) = min{f(x) | x ∈ C}. (1.6)
Trong trường hợp f là hàm lồi, khả vi, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4. Giả sử f : C → R là hàm khả vi, lồi trên tập lồi C ⊂ R
n
. Khi đó,
x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán (1.6) khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân (V I), với F (x) := ∇f(x).
Chứng minh. Giả sử x

∗
là nghiệm của bài toán (1.6), tức là:
f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
15
Để chứng minh x
∗
là nghiệm của bài toán (V I), ta giả sử ngược lại rằng:
∇f(x
∗
), x − x
∗
 < 0, ∀x ∈ C.
Khi đó, lấy α > 0 đủ nhỏ, do C là tập lồi nên
y
α
= x
∗
+ α(x − x
∗
) = αx + (1 − α)x
∗
∈ C, ∀x ∈ C.
và
f(y
α
) = f(x
∗

) + α∇f(x
∗
), x − x
∗
 + θ(α)
< f(x
∗
),
tức là x
∗
không là nghiệm của bài toán (1.6). Điều này trái với giả thiết. Vậy x
∗
là
nghiệm của bài toán (V I).
Ngược lại, nếu x
∗
là nghiệm của bài toán V I), tức là:
∇f(x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Do f là hàm lồi, khả vi nên
f(x) −f(x
∗
) ≥ ∇f(x
∗
), x − x
∗
, ∀x ∈ C

Suy ra
f(x) ≥ f(x
∗
), ∀x ∈ C.
hay x
∗
là nghiệm của bài toán (1.6). ✷
Trong trường hợp f là hàm không khả vi thì ta có cách tiếp cận dựa trên mệnh đề
sau:
Mệnh đề 1.5. Cho f : C → R là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C. Khi đó, x
∗
là
nghiệm của bài toán (1.6 ) khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân (MV I), với F(x) := ∂f(x).
Chứng minh. Giả sử x
∗
∈ C và w
∗
∈ ∂f(x
∗
) thỏa mãn
w
∗
, x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Vì w
∗

∈ ∂f(x
∗
) nên
w
∗
, x − x
∗
 ≤ f(x) − f(x
∗
), ∀x ∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
16
Từ đó suy ra
f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ C.
hay x
∗
là nghiệm của bài toán (1.6).
Ngược lại hiển nhiên đúng. ✷
Dưới đây ta xét hai ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ví dụ 1.9. Bài toán cân bằng mạng giao thông
Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi •N: tập hợp
các nút mạng.
•A: là tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng).
Giả sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅. Mỗi phần tử của O được gọi là điểm
nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích
được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi là một tuyến đường).
Kí hiệu:
•f

i
a
là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt f là véc tơ có
các thành phần là f
i
a
với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các phương tiện giao thông).
•c
i
a
là chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A. Đặt c là véc tơ
có các thành phần là c
i
a
với i ∈ I, a ∈ A.
•d
i
w
là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w = (O, D) với
O ∈ O, D ∈ D.
Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f) là một hàm
của f.
•λ
i
w
là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông i.
•x
i
w
là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D.

Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn
d
i
w
=

p∈P
w
x
i
p
∀i ∈ I, w ∈ O ×D, (1.7)
trong đó, P
w
kí hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O , D) (nối điểm nguồn O và
điểm đích D). Theo phương trình (1.7), thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên
tuyến đường w bằng đúng mật độ giao thông của phương tiện đó trên mọi tuyến đường
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
17
nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi đó ta có
f
i
a
=

p∈P
w
x
i
p

δ
ap
∀i ∈ I, w ∈ O ×D, (1.8)
trong đó
δ
ap
:=

1 nếu a ∈ p
0 nếu a /∈ p
Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt
c
i
p
=

a∈A
c
i
a
δ
ap
.
Như vậy, c
i
p
là chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Đặt d là
véc tơ có thành phần là d
i
w

(i ∈ I, w ∈ O × D ) và đặt f là véc tơ có thành phần là
f
i
a
(i ∈ I, a ∈ O ×D). Một cặp (d
∗
, f
∗
) thỏa mãn các điều kiện (1.7) và (1.8) được gọi
là điểm cân bằng mạng giao thông nếu
c
i
p
(f
∗
)

= λ
i
w
(d
∗
) khi x
i
p
> 0,
> λ
i
w
(d

∗
) khi x
i
p
= 0,
với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đối với
mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi có lưu
lượng giao thông trên tuyến đó. Trái lại, chi phí sẽ không phải thấp nhất. Đặt
K = {(f, d) | ∃ x ≥ 0 sao cho (1.7) và (1.8) đúng}.
Khi đó ta có định lí sau.
Định lí 1.3. Một cặp véc tơ (f
∗
, d
∗
) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng giao thông
khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau:
Tìm (f
∗
, d
∗
) ∈ K sao cho 

c(f
∗
), λ(d
∗
)

, (f, d) − (f
∗

, d
∗
) ≥ 0, ∀(f, d) ∈ K.
Ví dụ 1.10. Bài toán kinh tế bán độc quyền.
Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận p
i
của mỗi công
ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công ty σ :=

n
i=1
x
i
. Kí
hiệu h
i
(x
i
) là chi phí của công ty i khi sản xuất ra lượng hàng hóa x
i
. Giả sử lợi nhuận
của công ty i được cho bởi
f
i
(x
1
, ··· , x
n
) = x
i

p
i


n

j=1
x
j


− h
i
(x
i
) (i = 1, ··· , n), (1.9)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
18
trong đó p(

n
j=1
x
j
) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sản phẩm,
còn hàm chi phí của một công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuất của công ty đó.
Đặt U
i
⊂ R, (i = 1, ··· , n) là tập chiến lược của công ty i. Lẽ dĩ nhiên, mỗi công
ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất. Tuy

nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công ty đều có lợi nhuận cực đại là
khó có thể được. Vì vậy người ta dùng đến khái niệm cân bằng:
Một điểm x
∗
= (x
∗
1
, ··· , x
∗
n
) ∈ U := U
1
× ··· × U
n
được gọi là điểm cân bằng Nash
nếu
f
i
(x
∗
1
, ··· , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, ··· , x

∗
n
)  f
i
(x
∗
1
, ··· , x
∗
n
), ∀y
i
∈ U
i
, ∀i = 1, ··· , n.
Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và hàm lợi nhuận của mỗi
công ty là affine có dạng
p
i
(σ) ≡ p(σ) = α
0
− βσ, α
0
≥ 0, β > 0, với σ =

n
i=1
x
i
,

h
i
(x
i
) = µ
i
x
i
+ ξ
i
, µ
i
≥ 0, ξ
i
≥ 0 (i = 1, ··· , n).
Ta đặt
A =



β 0 0 ··· 0
0 β 0 ··· 0
··· ··· ··· ··· ···
0 0 0 0 β



,
˜
A =




0 β β ··· β
β 0 β ··· β
··· ··· ··· ··· ···
β β β ··· 0



và
α
T
= (α
0
, ··· , α
0
), µ
T
= (µ
1
, ··· , µ
n
).
Theo [9], điểm x
∗
là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân:


Tìm điểm x ∈ U sao cho

˜
Ax + µ − α, y − x + y
T
Ay − x
T
Ax ≥ 0, ∀y ∈ U.
1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (MV I)
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (MV I) phụ thuộc vào hàm giá F và miền ràng
buộc C. Định lí sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán (MV I).
Định lí 1.4. [9] Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của không gian R
n
và F : C →
2
R
n
là ánh xạ nửa liên tục trên, F (x) là tập lồi, compact với mỗi x ∈ C. Giả sử rằng
một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
19
(i) C là tập bị chặn.
(ii) Tồn tại một tập con U khác rỗng và bị chặn của C sao cho với mọi x ∈ C\U, tồn
tại y ∈ U thỏa mãn
w, x − y > 0, ∀w ∈ F (x).
Khi đó, bài toán (MV I) có nghiệm.
Mệnh đề sau chỉ ra tính chất nghiệm của bài toán (MV I).
Mệnh đề 1.6. [9] Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng của không gian R
n

và
F : C → 2
R
n
là ánh xạ đa trị. Khi đó:
(i) Nếu F đơn điệu ngặt trên C thì bài toán (MV I) có nhiều nhất một nghiệm.
(ii) Nếu F là đơn điệu mạnh, nửa liên tục trên và F (x) lồi, compact, khác rỗng với
mọi x ∈ C, thì bài toán (MV I) có duy nhất nghiệm.
Kết luận chương
Trong chương này, ta nhắc lại các kết quả quan trọng của giải tích lồi, mối quan hệ
giữa bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị với các mô hình toán học khác, các khái
niệm về ánh xạ đa trị đơn điệu mạ nh, đơn điệu, g iả đơn điệu, đơn điệu ngặt và các
điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (MV I). Chương này cũng trình bày một cách
chi tiết các ví dụ minh họa cho một vài tính chất đơn điệu, Lipschitz theo khoảng cách
Hausdorff của ánh xạ đa trị.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Phương pháp xấp xỉ trong với điều
kiện Lipschitz
Trong chương này, ta sẽ trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng
thức biến phân (MV I), khi hàm giá F là đa trị giả đơn điệu, Lipschitz trên một tập
lồi đa diện C. Cơ sở của phương pháp này là thay thế dạng toàn phương thông thường
bởi một hàm đặc biệt, đó là sự kết hợp giữa dạng toàn phương thông thường với hàm
chắn dạng logarit để trở thành hàm xấp xỉ trong lồi mạnh. [4]
2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong [1]
Trước hết ta nhắc lại nội dung phương pháp điểm trong giải bài toán tối ưu sau:
min{f(x)|x ∈ D} (P )
trong đó D được xác định như sau:
D := {x ∈ R

n
|g
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m},
f và g
i
: R
n
→ R, i = 1, 2, , m là các hàm liên tục, g
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m được
gọi là các ràng buộc và D được gọi là miền chấp nhận được của bài toán. Ở đây ta luôn
giả thiết rằng D là tập compact.
Đối với các bài toán tối ưu không có ràng buộc thường dễ xử lí hơn các bài toá n có
ràng buộc. Chẳng hạn như phương pháp hướng có thể cho bài toán không có ràng buộ c,
ta chỉ cần tìm hướng tụt mà không cần quan tâm đến tính chấp nhận được, vì trong
trường hợp này mọi hướng đều chấp nhận được. Từ đó nảy sinh ý tưởng là chuyển bài
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
21
toán có ràng buộc về các bài toán không có ràng buộc. Kỹ thuật cơ bản để thực hiện
ý tưởng này là hàm xấp xỉ. Điều này đặt ra hai vấn đề cần giải quyết là xây dựng hàm
xấp xỉ và bài toán phụ sao cho có thể xấp xỉ lời giải của bài toán ban đầu từ lời giải
của các bài toán phụ. Có hai loại hàm xấp xỉ cơ bản là hàm xấp xỉ trong và hàm xấp
xỉ ngoài.
Hàm xấp xỉ trong thường dùng khi biết trước một điểm x
0
∈ intD. Người ta xâp
dựng một hàm xấp xỉ trong sao cho nó hữu hạn trong miền intD, nhưng trên biên của
D nó sẽ là +∞. Cụ thể, ta giả thiết hàm ϕ thỏa mãn các tính chất sau:
(a) ϕ liên tục trên tập

D
0
:= {x ∈ R
n
: g
i
(x) < 0, ∀i = 1, , m}
(b) Với mọi dãy {x
k
} ⊂ D
0
hội tụ đến một điểm x ∈ D
0
ta có lim
k
ϕ(x
k
) = +∞ khi
k → +∞.
Hai hàm xấp xỉ trong được sử dụng nhiều, do Fiacco và McCormick đưa ra là
ϕ(x) = −
m

i=1
log(−g
i
(x))
hoặc
ϕ(x) = −
m


i=1
1
g
i
(x)
.
Rõ ràng khi x ∈ D và g
i
(x) → 0 với một i nào đó thì ϕ(x) → +∞.
Cho s(t) là hàm số một biến thỏa mãn các tính chất:
(i) s(t) > 0, ∀t > 0,
(ii) s(t) liên tục trên (0, +∞) và s(t) → 0 khi t → +∞,
(iii) s(t) đơn điệu giảm trên khoảng (0, +∞), nghĩa là s(t
1
) > s(t
2
), với mọi 0 < t
1
<
t
2
.
Ví dụ 2.1. Ta có thể lấy hàm s(t) =
1
t
hoặc s(t) =
1
t
2

.
Đặt
F (x, t) := f(x) + s(t)ϕ(x),
với miền xác định là
C := {(x, t)| x ∈ intD, t > 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên