Xây dựng thuật toán xác định tham số luật điều khiển cho chuyển động đồng bộ

Nghiên cứu khoa học công nghệ

XÂY DỰNG THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ
LUẬT ĐIỀU KHIỂN CHO CHUYỂN ĐỘNG ĐỒNG BỘ
Nguyễn Văn Diên1*, Trần Đức Thuận2
Tóm tắt: Thiết lập hệ phương trình mô tả quan hệ giữa vận tốc và quãng đường
đi được với luật điều khiển dạng rơ le để xác định thời điểm chuyển dấu lực điều
khiển đạt yêu cầu đồng bộ về thời gian và quãng đường đi được. Sau đó, ứng dụng
phương pháp Newton-Raphson giải phương trình siêu việt để xác định các tham số
luật điều khiển cho vật thể chuyển động trong chuyển động đồng bộ.
Từ khóa: Luật điều khiển; Tối ưu; Chuyển động đồng bộ.

1. MỞ ĐẦU
Trong nhiều quá trình kỹ thuật cần phải đồng bộ [4, 5] các chuyển động. Một trong các
vấn đề đồng bộ phổ biến trong công nghệ sản xuất đó là đòi hỏi mỗi một chuyển động
trong khoảng thời gian định trước phải đi được quãng đường định trước (không đi đến
đích quá sớm hoặc quá muộn). Ngoài việc đạt được trên còn phải đạt được những chỉ tiêu
kinh tế kỹ thuật khác. Trong kỹ thuật xây dựng hoặc dây truyền tuyển chọn khoáng vật
cần các chuyển động đạt vận tốc định trước khi cán đích. Vấn đề này còn chưa được đề
cập nhiều ở Việt Nam và trong tài liệu [4, 5] cũng chưa đề cập đến vấn đề này. Chính vì
vậy, trong công trình này nhóm tác giả sẽ ứng dụng giải thuật Newton-Raphson để giải
phương trình siêu việt nhằm giải quyết vấn đề nêu trên.
2. BÀI TOÁN ĐỒNG BỘ CÁC CHUYỂN ĐỘNG KỸ THUẬT VÀ
VẤN ĐỀ TỔNG HỢP LỆNH ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
Giả sử có vật thể kỹ thuật chuyển động, tâm khối của nó được mô tả bằng phương trình
sau:

d 2x
dx
M 2  F  a  G , i  1, N
(1)

dt
dt
Trong đó x là dộ dịch chuyển; M là khối lượng (khi xét chuyển động của vật nặng
dx
trên đường ray thẳng), F là lực điều khiển; a
là thành phần lực cản ma sát; G là
dt
thành phần lực trọng trường. Các giá trị ban đầu của hệ:

x(0)  0 ;

x (0) 

dx
t 00
dt

(2)

Cần xác định luật thay đổi giá trị F sao cho sau khoảng thời gian T định trước vật thể
chuyển động được đoạn đường định trước:

x(T )   với mọi i  1, N

(3)

Và vận tốc cán đích đạt giá trị xác định (cho trước):

x (T )  V *

(4)

Trong một số chuyển động kỹ thuật thì V *  0 .
Trong thực tế, nhiều hệ thống sử dụng phương pháp điều khiển dạng rơ le tức là lực F
nhận một trong hai giá trị sau:

F  F  hoặc F   F 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018

(5)

65


Kỹ thuật điều khiển & Điện tử

Vấn đề đặt ra ở đây là cần xác định giá trị U  và thời điểm chuyển giá trị lực điều
khiển từ U  sang U  để đạt yêu cầu (3) và (4).
Đặt
x1  x ;

dx
 x1  x
dt

(6)

d 2 x F ax2 G




dt 2 M M M

(7)

F
a
G
; am 
; g
M
M
M

(8)

x2 
Khi đó:

x2 
Tiếp tục đặt:

U

Khi này phương trình (7) sẽ là:
(9)

x2  U  am x2  g

Ở đây, U có thể coi là lệnh điều khiển và nó chỉ nhận một trong hai giá trị sau:

U U 

F
F
hoặc U  U   
M
M

(10)

Kết hợp phương trình (6) với (9) nhận được hệ phương trình mô tả chuyển động của
vật dưới dạng véc tơ trạng thái như sau [1]:


 x 
 f ( X ,U )   x2
X   1   F ( X ,U )   1



 x2 
 f 2 ( X ,U )  U  am x2  g 

(11)

Việc điều khiển chuyển động đồng bộ bản chất là tìm luật thay đổi lệnh điều khiển

U (t ) trong miền giới hạn (10) để đưa hệ (11) trong khoảng thời gian xác định T từ trạng
thái ban đầu:

 x (0)  0 
X (0)   1    
 x2 (0)  0 

(12)

 x (T )   
X (0)   1
   *
 x2 (T )  V 

(13)

về trạng thái cuối:

Vì ban đầu vật thể đứng yên nên để đưa nó vào chuyển động thì lệnh điều khiển phải có
thứ tự thay đổi như sau:

U khi t  tk
U (t )   
U khi t  tk

(14)

Khi đó, trong khoảng thời gian [0, tk ] phương trình (9) sẽ có dạng sau:

x2  U   am x2  g

(15)

Biến đổi (15) về dạng:

66

N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

x2  am x2  U   g

(16)

Lời giải phương trình (16) sẽ có dạng [3]:

(U   g )
x2 (t ) 
 c3e  amt
am

(17)

Theo điều kiện ban đầu (12) nên có:

x2 (0) 

(U   g )
(U   g )
 c3e  am 0 

 c3  0
am
am
c3  

Vậy:

Do đó, nghiệm (17) sẽ là:

x2 (t ) 

(U   g )
am

(18)

(19)

(U   g )
(1  e  amt )
am

(20)

Từ phương trình (6) ( x1  x2 ) có lời giải đối với biến số x1 như sau:
t

t

(U   g )

(1  e  am )d
a
m
0

x1 (t )   x2 ( )d  
0

t

(U   g ) (U   g )  am

t
0 e d
am
am


(21)

(U   g ) (U   g ) 1
t
(1  e  amt )
am
am
am

Ở thời điểm chuyển đổi giá trị điều khiển tk thì các biến x1 , x2 sẽ là:

x2 (tk ) 

x1 (tk ) 

(U   g )
(1  e  amtk )
am

(U   g )
(U   g ) 1
tk 
(1  e  amtk )
am
am
am

(22a)
(22b)

Còn trong khoảng thời gian [tk , T ] lệnh điều khiển đổi dấu, khi đó phương trình (9)
sẽ có dạng sau:

x2  U   am x2  g
Hoặc:

x2  am x2  U   g

(23)
(24)

Lời giải phương trình (24) sẽ có dạng:

x2 (t ) 
Khi t  tk thì:

(U   g )
 c4 e  am ( t tk )
am

(U   g )
x2 
 c4
am

(25)

(26)

So sánh (26) với (22a) sẽ xác định được phương trình:

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018

67


Kỹ thuật điều khiển & Điện tử

(U   g )
(U   g )
(1  e  amtk ) 
 c4
am

am

(27)

Vậy c4 sẽ là:

c4  2

U  (U   g )  amtk

e
am
am

(28)

Thay (28) vào (25) nhận được:

x2 (t ) 

(U   g )
U  (U   g )  amtk  am (t tk )
 (2

e
)e
am
am
am

(29)

Tương tự (21) có thể xác định x1 (t ) như sau:
t

x1 (t )  x1 (tk )   x2 ( )d

(30)

tk

Thay x1 (tk ) bằng vế phải biểu thức (35b) và thay x2 ( ) bằng vế phải biểu thức (29)
vào (30) có:

(U   g )
(U   g ) 1
x1 (t )  [
tk 
(1  e  amtk )]
am
am
am
t

(U   g )
U  (U   g )  amtk  am ( tk )
+ (
 (2

e

)e
)d
am
am
am
tk

(31)

Thực hiện phép lấy tích phân trong biểu tức (31) nhận được:

x1 (t )  [

(U   g )
(U   g ) 1
tk 
(1  e  amtk )]
am
am
am
t

(U   g )
U  (U   g )  amtk
+
(t  tk )  (2

e
)  e  am ( tk ) d
am

am
am
tk
Hoặc:

(U   g )
(U   g ) 1
x1 (t )  [
tk 
(1  e  amtk )]
am
am
am
(U   g )
U  (U   g )  amtk (1  e  am ( t tk ) )
+
(t  tk )  (2

e
)
am
am
am
am

(32)

Khi t  T thì:

(U   g )

(U   g ) 1
x1 (T )  [
tk 
(1  e  amtk )]
am
am
am
(U   g )
U  (U   g )  amtk (1  e  am (T tk ) )
+
(T  tk )  (2

e
)
am
am
am
am

(33)

Theo điều kiện biên (13) ( x1 (T )   ) sẽ có phương trình sau:

68

N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

x1 (T )  [
+

(U   g )
(U   g ) 1
tk 
(1  e  amtk )]
am
am
am

(U   g )
U  (U   g )  amtk (1  e  am (T tk ) )
(T  tk )  (2

e
)

am
am
am
am

hoặc:

[

(U   g )
(U   g ) 1
tk 

(1  e  amtk )]
am
am
am

(U   g )
U  (U   g )  amtk (1  e  am (T tk ) )
+
(T  tk )  (2

e
)
  0
am
am
am
am

(34)

Theo điều kiện vận tốc tiếp cận đích (4) và từ các biểu thức (6), (29) có phương trình sau:

x2 (T ) 

(U   g )
U  (U   g )  amtk  am (T tk )
 (2

e
)e

V*
am
am
am

hoặc:

(U   g )
U  (U   g )  amtk  am (T tk )
 (2

e
)e
V *  0
am
am
am

(35)

Vì các tham số g , am , T ,  là các tham số xác định nên giải hai phương trình (34)
và (35) sẽ xác định được tham số tk và U  , tức là xác định được lực điều khiển tối đa cần
có và thời điểm thay đổi lệnh điều khiển từ mức U  sang mức U  để thỏa mãn các điều
kiện (3) và (4). Gọi U   y , tk  z từ hai phương trình (34) và (35) có hệ phương trình
đại số sau:

( y  g )
y ( y  g )  am z  am (T  z )
 (2 
e )e

 V *  f1 ( y, z )  0
am
am
am
( y  g)
( y  g) 1
[
z
(1  e  am z )]
am
am am

( y  g )
y ( y  g )  am z (1  e  am (T  z ) )
+
(T  z )  (2 
e )
   f 2 ( y, z )  0
am
am
am
am

(36)

(37)

Hệ phương trình đại số (36) và (37) là hệ phương trình phi tuyến, nên không có lời giải
giải tích. Vì vậy, cần phải xây dựng thuật toán để xác định nghiện y, z . Để thực hiện việc
này, xin đề xuất áp dụng phương pháp số Newton-Raphson [3]. Theo phương pháp này để

xác định nghiệm hệ phương trình (36), (37) tiến hành phép truy hồi như sau:

 f1
 y (i  1)   y (i )   y
 z (i  1)    z (i )    f

 
  2
 y


Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018

1

f1 
z   f1 ( y (i ), z (i )) 

f 2   f 2 ( y (i ), z (i )) 
z 

(38)

69


Kỹ thuật điều khiển & Điện tử

Ở đây, giá trị ban đầu có thể nhận giá trị sau:

y (0)  U 0 , z (0)  T

(39)

Giá trị có thể là giá trị ước lượng nào đó.
Từ (36), (37) có thể xác định các đạo hàm riêng như sau:

f1 ( y, z ) 1 2e  am (T  z ) e  am z e  am (T  z )



y
am
am
am
2e  am (T  z )  e  amT  1

am
f1 ( y, z )
y ( y  g )  am z  am (T  z )
 (2 
e )e
z
am
am
 2 ye

 amT

e

(40)

(41)

am z

f 2 ( y, z ) z 1  e  am z T  z 2(1  e  am (T  z ) ) (1  e  am (T  z ) )e  am z





y
am
am2
am
am2
am2


2 z  T 2  2e  am (T  z )  1  e  am z  e  am z  e  am (T  z ) e  am z

am
am2



2 z  T 1  e  am (T  z ) (e  am z  2)


am
am2

(42)

f 2 ( y, z ) ( y  g ) (U   g )e  am z


z
am
am



(43)

2 g 2 ye  am (T  z ) 2( y  g )  am z


e
am
am
am

Hình 1. Vận tốc dịch chuyển.

70

( y  g )
ye  am (T  z ) ( y  g )  am z

2

e
am
am
am

Hình 2. Quãng đường đi được.

N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

Hình 3. Thời điểm chuyển dấu
lực điều khiển.

Hình 4. Lực điều khiển.

Hình 5. Vận tốc dịch chuyển.

Hình 6. Quãng đường đi được.

Hình 7. Thời điểm chuyển dấu
Hình 8. Lực điều khiển.
lực điều khiển.
Các hình trình bày bên trên từ hình 1 đến hình 8 là kết quả mô phỏng Matlab [2] cho
trường hợp chuyển động với các tham số sau: M  100 kg ; a  10 ; g  9,81

m

;
s2

T  1,5 s ;   30 m ; V *  0 . Hình 3 và hình 4 là quá trình thực hiện thuật toán truy hồi
Newton-Raphson để xác định hai nghiệm y, z (giá tri lệnh điều khiển U   54, 6 m / s 2
và thời điêm chuyển lệnh điều khiển tk  0, 6428 giây). Qua đồ thị cho thây đúng 1,5
giây thì vật cán đích   30 m , hình 1 là vận tốc chuyển động, hình 2 là độ dịch chuyển.

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018

71


Kỹ thuật điều khiển & Điện tử

Qua các đồ thị cho thấy, vào đúng thời điểm cận đích định trước ( T  1,5 s ) quãng đường
đi được là 30 m và vận tốc là bằng không như mong muốn. Trên các hình 5, 6, 7, 8 là đồ
thị cho trường hợp, thay đổi vận tốc cán đích là V *  5 m / s . Khi này có sự thay đổi U 
và tk ( U   47 m / s 2 , tk  0, 68 giây).
3. KẾT LUẬN
Nhờ việc áp dụng phương pháp số Newton-Raphson đã xây dựng thuật toán giải hệ
phương trình siêu việt để xác định được các tham số luật điều khiển (gồm thời điểm
chuyển dấu lệnh điều khiển và lực điều khiển khi lệnh điều khiển có dạng rơ le) nhằm
đảm bảo tính đồng bộ khi chuyển động. Các thông tin này phục vụ việc thiết kế hệ
thống và chương trình điều khiển cho các vật thể chuyển động có yêu cầu về tính đồng
bộ (đi được quãng đường định trước, với khoảng thời gian định trước với vận tốc tiếp
cận đích cho trước).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Thương Ngô (2009), Lý thuyết điều khiển thông thường và hiện đại, Quyển
Hệ xung số. NXB Khoa học & kỹ thuật.

[2]. Nguyễn Phùng Quang (2006), "Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động",
NXB Khoa học & kỹ thuật.
[3]. Nguyễn Doãn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển nâng cao. NXB Khoa học & kỹ
thuật.
[4]. Ковчин С. А., Сабинин Ю. А. “Теория электропривода: Учебник для вузов”. –
СПб.: Энергоатомиздат, 2000. – 496 с.
[5]. Коноплев В. А. “Агрегативная механика систем твердых тел”. – СПб.: Наука,
1996. – 166 с.
ABSTRACT
DEVELOPMENT OF CONTROL ALGORITHM TO DETERMINE
CONTROL LAW PARAMETERS FOR SYNCHRONOUS MOTIONS
The system equations to describe the relationship between velocity and
displacement with the relay control law to determine the moment of transfer of the
synchronous control force to the required time and displacement are set up. Then,
the Newton-Raphson method is applied to solves the complex equation to determine
the control law parameters for moving objects in synchronized motion.
Keywords: Control law; Optimization; Synchronous motion.

Nhận bài ngày 13 tháng 08 năm 2018
Hoàn thiện ngày 12 tháng 10 năm 2018
Chấp nhận đăng ngày 12 tháng 10 năm 2018
Địa chỉ: 1 Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên;
2
Viện Khoa học và Công nghệ quân sự.
*
Email:

72

N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”