Ổn định hóa hệ thống hai cánh quạt nhiều đầu vào nhiều đầu ra dựa trên phương pháp quy hoạch động của Bellman

ng Danh Hong

Tp chớ KHOA HC & CễNG NGH

128(14): 155 - 160

ễN NH HểA H THNG HAI CNH QUT NHIU U VO NHIU U
RA DA TRấN PHNG PHP QUY HOCH NG CA BELLMAN
Nguyn Th Mai Hng1, Mai Trung Thỏi1,
Li Khc Lói2*, Th Tỳ Anh3
1Trng

i hc K Thut Cụng Nghip H Thỏi Nguyờn,
2i hc Thỏi Nguyờn, 3i hc Bỏch khoa H Ni

TểM TT
iu khin d bỏo theo mụ hỡnh trc õy hu nh ớt quan tõm n tớnh n nh ca h thng. H
thng hai cỏnh qut nhiu u vo nhiu u ra (Twin Rotor MIMO system - TRMS) l mt h
thng phi tuyn, cú c tớnh ng hc khỏ phc tp [11]. Cỏc tỏc gi trong [10] ó xột tớnh n nh
ca h thng TRMS theo phng phỏp rng buc im cui. Bi bỏo ny a ra kt qu ỏp dng
iu khin d bỏo trc tip trờn nn quy hoch ng cho h thng TRMS xột tớnh n nh ca
h. Cỏc kt qu mụ phng khi ca s d bỏo tin n vụ cựng cho thy cỏc tham s trng thỏi ca
i tng tin v khụng (im cõn bng ca h thng) chng t h thng n nh ton cc.
T khoỏ: Tham s trng thỏi, h thng hai cỏnh qut nhiu u vo nhiu u ra, s n nh, quy
hoch ng, iu khin d bỏo

GII THIU CHUNG*
Ti u húa trong iu khin d bỏo l mt
vn khú ang c nhiu nh khoa hc
trong v ngoi nc quan tõm nghiờn cu. T
trc n nay ngi ta ch yu s dng cỏc

phng phỏp tỡm nghim cú hng trờn ca
s d bỏo hu hn ti u húa trong iu
khin d bỏo nh phng phỏp gradient,
Newton Raphson (Newton Optimization,
Newton type), hay Gauss Newton vỡ cỏc
phng phỏp ny khỏ thun li cho dng cỏc
bi toỏn ti u b rng buc. Cng ó cú mt
vi ng dng cỏc phng phỏp ti u húa
khỏc khụng s dng hng tỡm nh
Levenberg-Marquardt hay trust region, song
tt c cỏc phng phỏp ti u húa a c s
dng ú u ch cú th c ci t vi ca
s d bỏo hu hn, do ú khụng m bo
c tớnh ton cc ca nghim ti u tỡm
c v dn n vic khú m bo c tớnh
n nh trong h thng [2].
Phng phỏp quy hoch ng l mt cụng c
rt tt cho vic gii bi toỏn ti u nhiu bin
v m bo c tớnh ton cc ca nghim ti
u. Tuy nhiờn hin nay phng phỏp ny mi
c ỏp dng gii bi toỏn ti u cho h
*

Tel:

162

tuyn tớnh cú tham s l hng s hoc tham s
bin i theo thi gian. Bi bỏo ny chỳng tụi
ỏp dng phng phỏp quy hoch ng gii

bi toỏn ti u cho h thng cú tham s ph
thuc trng thỏi TRMS.
Mễ HèNH TRMS
Hỡnh 1 l h thng TRMS
Rotor đuôi

Hộp bảo vệ
Chốt quay
Hộp bảo vệ
Rotor chính
Cánh tay đòn tự do

Đối trọng

Trụ
TRMS 33-220

Hỡnh 1. H thng TRMS

Xột h thng TRMS cú mụ hỡnh d bỏo nh sau:
x ( k i 1 k ) A( x (k i k )) x (k i k ) B ( x (k i k ))u ( k i k )

y ( k i k ) C ( x ( k i k )) x ( k i k )


(1)
i 0,1,..., N p 1


Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

Để xác định được tín hiệu điều khiển uk tại
cửa sổ dự báo hiện tại, sao cho sự ảnh hưởng
của sai lệch mô hình k tới chất lượng ổn
định xk  0 là nhỏ nhất ứng với mô hình dự
báo (1), ta sẽ sử dụng hàm mục tiêu dạng toàn
phương [1]:
N P 1

J   x k i
i 0

2
Qk

 uk i

2
Rk

 min

(2)

trong đó:
x k i

2

Qk

u k i

2
R

 xT
k iQk x k i và

 uTk i Rk u k i

với Qk , Rk là hai ma trận đối xứng xác định
dương tùy chọn. Để tăng tính mềm dẻo cho
bộ điều khiển sau này, ta có thể thay đổi
Qk , Rk theo k , tức là thay đổi dọc theo trục
thời gian t  kTa .
Khi cửa sổ dự báo là vô hạn ( N P   ) thì
việc tối ưu hóa được thực hiện như sau: hàm
mục tiêu (2) sẽ viết lại được thành:


J   x k i
i 0

2
Qk

 uk i

2
Rk

 min

(3)

phương pháp quy hoạch động cho ra kết quả
sau [1]:



u k   Rk  BkT LBk



1

BkT LAk x k

(4)

trong đó L là nghiệm đối xứng của:






L  Qk  AkT L I  Bk Rk  BkT LBk



1




BkT L Ak

(5)
Các biến trạng thái, các đầu vào và các đầu ra
của TRMS như sau:
x (k ) 

iah (k )

h (k ) Sh (k )  h (k )

iav (k ) v (k ) Sv (k )  v (k )

T

u (k )  U h (k ) U v (k ) 

T

(6)

T

Trong đó:

iah: dòng điện phần ứng của động cơ đuôi (A)
ωh: Vận tốc góc của cánh quạt đuôi (rad/s)
Sh: Vận tốc góc của cánh tay đòn TRMS
trong mặt phẳng ngang mà không bị ảnh
hưởng bởi cánh quạt chính (rad/s)
iav: Dòng điện phần ứng của động cơ đuôi (A)
ωv: Vận tốc góc của cánh quạt chính (rad/s)
Sv: Vận tốc góc của cánh tay đòn TRMS trong
mặt phẳng thẳng dọc mà không bị ảnh hưởng
của cánh quạt đuôi (rad/s)
v: Vị trí theo phương thẳng đứng (pitch
angle) của cánh tay đòn TRMS (rad)
Uh: Tín hiệu điện áp đầu vào của động cơ
đuôi (V)
Uv: Tín hiệu điện áp đầu vào của động cơ
chính (V)
Các phương trình không gian trạng thái liên
tục phi tuyến của TRMS được đưa ra trong
[10]:
R
k 
1


 ah iah  ah h h 
f 6 (U h )
iah  


L
L
L
ah
ah
ah
  

  

kah h
Btr
f1 (h )
h  
iah  h 

J tr
J tr
J tr
  

  

lt f 2 (h ) cos  v  f 7 ( h )  f3 ( h )
 Sh  

2
2
D cos v  E sin  v  F

  

  

k

cos

m v
v
  
Sh 

2
2
h
  
D cos v  E sin  v  F

  

R
k 
1
d   

 av iav  av v v 
f8 (U v )

i

av
Lav
Lav
Lav

dt   
  

kavv
Bmr
f 4 (v )
  

i




av
v
 v 

J mr
J mr
J mr
  

   f5 (v )(lm  k g  h cos  v )  f9 (v )

 Sv  


Jv
  

    g  ( A  B ) cos   C sin    0.5 2 H sin 2 
v
v
h
v
  

Jv
  


 v 

k
  
S v  t h

 
Jv



(9)
(7)

y (k )   h ( k )  v ( k ) 

128(14): 161 - 165

(8)

trong đó

Rah , Lah , kah h , J tr , Btr , lt , D, E , F , k m , Rav , Lav ,

kavv , J mr , Bmr , lm , k g , g , A, B, C , H , J v , kt

là các hằng số dương,  h và  v được tính
như sau:
163


Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg

h  Sh 

kmv cos  v
D cos v  E sin 2  v  F

(10)

v  Sv 

kt h

Jv

(11)

2

f1 đến f9 là các hàm phi tuyến.
Khi Lah<tính chính xác, số bậc của hệ thống có thể
giảm xuống bậc 6 như sau:
T
x(k )  h (k ) Sh (k )  h (k ) v (k ) Sv (k )  v (k ) 
(12)

 k1kahh
J R
 tr ah
 0

0
B( x )  

 0

 0

 0

128(14): 161 - 165




0 

0 
k2 kavv 

J mr Rav 
0 

0 
0

Ma trận A(x ) và B (x ) phụ thuộc vào các
tham số trạng thái.

B
f ( ) k 
 (k  )

 
 

f (U ) 
 
J
J
J R
  J R


 

l f ( ) cos   f ( )  f ( )
 

D cos   E sin   F
 

 

k  cos 
 
S 

D cos   E sin   F
 

 

    ( k  )   B   f ( )  k  f (U ) 
  J R

J
J
J R
 

  f ( )(l  k  cos  )  f ( ) 

 


J
 

  g  ( A  B ) cos   C sin    0.5 H sin 2 
 

J
 

 

k
S 

 

J


2




S






d 

dt 


S







ah

h

h

tr

h

tr

h

v

7

h

2

3

h

k := 0

h

2

v

v

m

h

h

ah

6

tr

2

ah

tr

h

ah

t

h

1

h

tr

h

v

Đo xk

v

2

2

v

v

2

av

v

v

mr

5

v

mr

4

v

mr

v

v

g

mr

h

v

9

mr

Xác định Ak , Bk

v

8

mr

m

av

v

v

av

Tính L

v

v

2

v

v

h

v

uk

v

v

t

v

h

v

(13)
Mặc dù số bậc của mô hình giảm xuống
nhưng không ảnh hưởng đến độ chính xác của
mô hình, nhưng có ảnh hưởng đáng kể đến
khối lượng tính toán do đó giảm tải cho bộ xử
lý và tăng tốc độ của bài toán tối ưu. Phương
trình không gian trạng thái phi tuyến của hệ
thống TRMS có thể xấp xỉ và được biểu diễn
như phương trình không gian trạng thái trạng
thái phụ thuộc sau:
dx
 A(x )x  B (x )u
dt
(14)
Trong đó:
 (kahh )2 Btr kthp / n
 

J tr J tr
 J tr Rah
 lt k fhp / n h cos  v

f10 ( v )




0

A( x )  

0



k

vfv kt

J v2

kt


Jv


164

0

0

0

kvfh

kchp / n

kvfh km cos  v

f10 ( v )

f10 ( v )

( f10 ( v )) 2

1

0

km cos  v
f10 ( v )

0

0

0

(kavv )2 Bmr ktvp / n


v
J mr Rav
J mr J mr

0

0

0

0

0

0
0

k fvp / n v (lm  k g  h cos  v ) kvfv
Jv

Jv

0

1





0 


0 



0 



f11 ( v ) 


0 

0

TRMS
xk 1

k := k+1
Sai
k≥N

Đúng
Dừng
Hình 2. Lưu đồ thuật toán phương pháp quy
hoạch động

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO CHO
TRMS TRÊN NỀN QUY HOẠCH ĐỘNG
Xét phương trình không gian trạng thái phụ
thuộc của TRMS (14)

dx
 A(x )x  B (x )u
dt


Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg

Tại t = k.Ts
Trong đó Ts: là chu kì trích mẫu (đủ nhỏ)
x (t )  x k với (k  1)Ts  t  kTs

128(14): 161 - 165

3

2

1

u (t )  uk với (k  1)Ts  t  kTs

Trang thai (x3)

0

Suy ra

-1

-2

k

k

k

k

-3

-4

-5

0

20

40

60

80

100
Thoi gian (s)

120

140

160

180

200

Hình 5. Đáp ứng thời gian
của biến trạng thái thứ ba
1

0

-1

Trang thai (x4)

dx
 A(xk )x  B (xk )u với
dt
(k  1)Ts  t  kTs
dx xk 1  xk

Thay
ta được:
dt
Ts

xk 1  xk  Ts A(xk )xk  Ts B (xk )uk
 [I+Ts A(xk )]xk  Ts B (xk )uk
(15)
 Aˆ (x )x  Bˆ (x )u
 Ak xk  Bk uk

-2

-3

-4

-5

1

0

20

40

60

80

100
Thoi gian (s)

120

140

160

180

200

Hinh 6. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ tư
4

3

2

1

Trang thai (x5)

Lưu đồ thuật toán của phương pháp quy
hoạch động được biểu diễn trong Hình 2.
KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
Đáp ứng thời gian của các biến trạng thái của
TRMS được đưa ra trong các hình vẽ từ Hình
3 đến Hình 8

0

-1

-2

0
-3

-4

-1

Trang thai (x1)

-5

0

20

-2

60

80

100
Thoi gian (s)

120

140

160

180

200

Hinh 7. Đáp ứng thời gian
của biến trạng thái thứ năm

-3

10

-4

-5

40

5

0

20

40

60

80

100
Thoi gian (s)

120

140

160

180

200

0
Trang thai (x6)

Hình 3. Đáp ứng thời gian
của biến trạng thái thứ nhất

-5

3

-10

2
-15

0

20

40

60

80

100
Thoi gian (s)

120

140

160

180

200

1

Hình 8. Đáp ứng thời gian
của biến trạng thái thứ sáu

Trang thai (x2)

0

-1

-2

-3

-4

-5

0

20

40

60

80

100
Thoi gian (s)

120

140

160

Hình 4. Đáp ứng thời gian
của biến trạng thái thứ hai

180

200

Với thời gian mô phỏng là 200s, các kết quả
mô phỏng cho thấy: biến trạng thái thứ nhất
(ωh) và biến trạng thái thứ tư (ωv) tiến về
không ngay ở những giây đầu tiên của quá
trình mô phỏng, biến trạng thái thứ hai và thứ
ba (Sh, αh) tiến về không ở thời điểm khoảng
giây thứ 30 và 2 biến trạng thái thứ năm và
165


Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg

Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ

thứ sáu (Sv, αv) cũng tiến về 0 ở thời gian mô
phỏng khoảng giây thứ 100. Vậy khi cửa sổ dự
báo (Np) tiến ra vô cùng, cả 6 tham số trạng thái
của hệ thống TRMS đều tiến dần về 0, điều đó
chứng tỏ hệ thống ổn định toàn cục.
KẾT LUẬN
Bằng phương pháp quy hoạch động của
Bellman, chúng tôi đã xây dựng bộ điều khiển

dự báo cho hệ thống TRMS để xét tính ổn
định của hệ thống khi cửa sổ dự báo là vô
hạn. Kết quả mô phỏng trên Matlab chứng tỏ
hệ thống ổn định toàn cục, kết quả này cũng
chứng minh tính đúng đắn của phương pháp
luận đã được xây dựng trong tài liệu [1]. Các
nghiên cứu tiếp theo có thể xét đến tính bền
vững của hệ thống TRMS.

128(14): 161 - 165

IMechE, Part I. Journal of Systems and Control
Engineering 221 (2007) 89–101.
5. Ahmad, S. M., Shaheed, M. H., Chipperfield,
A. J., and Tokhi, M. O. Nonlinear modelling of a
twin rotor MIMO system using radial basis
function networks. IEEE National Aerospace and
Electronics Conference, 2000, pp. 313–320.
6. Ahmad, S. M., Chipperfield, A. J., and Tokhi, M.
O. Dynamic modelling and optimal control of a twin
rotor MIMO system. IEEE National Aerospace and
Electronics Conference, 2000, pp. 391–398.
7. Shaheed, M. H. Performance analysis of 4 types
of conjugate gradient algorithm in the nonlinear
dynamic modelling of a TRMS using feedforward
neural networks. IEEE International Conference on
Systems, man and cybernetics, 2004, pp. 5985–5990.
8. Islam, B. U., Ahmed, N., Bhatti, D. L., and
Khan, S. Controller design using fuzzy logic for a
twin rotor MIMO system. IEEE International

Multi Topic on Conference, 2003, pp. 264–268.
9. A. Rahideh, M.H. Shaheed, state model
pridictive control for a nonlinear system, Journal
of the Franklin Institute 348 (2011) 1983-2004.
10. A. Rahideh, M.H. Shaheed, constrained output
feedback model predictive control for nonlinear
systems, Control Engineering Practive 20 (2012)
431-443.
11. Nguyễn Thị Mai Hương, Mai Trung Thái,
Nguyễn Hữu Chinh, Lại Khắc Lãi. Nghiên cứu
ảnh hưởng của các tham số trạng thái trong hệ
thống hai cánh quạt nhiều đầu vào nhiều đầu ra.
Tạp chí Khoa học Công nghệ – Đại học Thái
Nguyên, 2014, số 06, tập 120, trang 87 – 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đỗ Thị Tú Anh, Nguyễn Doãn Phước, Ổn định
hóa hệ song tuyến liên tục với bộ điều khiển dự
báo, tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái
Nguyên, 2014, số 06, Tập 120, trang 73 – 79.
2. Grüne, L. and Pannek, J. (2010): Nonlinear model
predictive control. Theory and Algorithms. Springer.
3 Twin Rotor MIMO System 33-220 User
Manual, 1998 (Feedback Instruments Limited,
Crowborough, UK).
4 A. Rahideh, M.H. Shaheed, Mathematical
dynamic modelling of a twin rotor multiple input–
multiple output system, Proceedings of the

SUMMARY

STABILIZATION FOR TWIN ROTOR MIMO SYSTEM BASED
ON BELLMAN’S DYNAMIC PROGRAMMING METHOD
Nguyen Thi Mai Huong1, Mai Trung Thai1,
Lai Khac Lai2*, Do Thi Tu Anh3
1

College of Technology - TNU, 2Thai Nguyen University,
3Hanoi University of Science and Technology

Before Model Predictive Control was rarely interested in the stability of the systems. The Twin
Rotor MIMO system (TRMS) is a nonlinear object, having a complex dynamic [11]. The authors
of [10] have considered the stability of the TRMS with the method of terminal equality constraints.
This paper indicates the survey results apply Model Predictive Control for the TRMS based on
Bellman’s dynamic programming method in order to consider the stability of this system. All of
the state parameters reach to zero (the equation point of the system) prove the stable global of the
system when the predictive window (NP) goes to infinity with simulation results.
Keywords: State parametters, Twin rotor MIMO system (TRMS), stable, dynamic programming,
model predictive control
Ngày nhận bài:18/9/2014; Ngày phản biện:05/11/2014; Ngày duyệt đăng: 25/11/2014
Phản biện khoa học: PGS.TS Nguyễn Thanh Hà – Đại học Thái Nguyên
*

Tel:

166