Tối ưu hóa trong mô hình chống khủng bố bất đối xứng lanchester (2,1)

Nghiên cứu khoa học công nghệ

TỐI ƯU HÓA TRONG MÔ HÌNH CHỐNG KHỦNG BỐ BẤT ĐỐI
XỨNG LANCHESTER (2,1)
Nguyễn Hồng Nam*, Hy Đức Mạnh, Vũ Anh Mỹ
Tóm tắt: Chống khủng bố là một nhiệm vụ toàn cầu mà mọi quốc gia đều quan
tâm. Để cải thiện hiệu quả của hoạt động chống khủng bố, nhiều quốc gia đã liên
minh với nhau để cùng nhau lên phương án thực hiện các hoạt động chống khủng
bố. Bài báo này mở rộng mô hình KKS (do Kaplan, Kress và Szechtmann đưa ra
[10,11]), với nhiều lực lượng quân chống khủng bố chống lại một nhóm khủng bố.
Chúng tôi sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin để đưa ra phương án tình báo và
bổ sung quân số tối ưu cho các lực lượng chống khủng bố. Chúng tôi cũng đưa ra
một số kết quả tính toán cho thấy chống khủng bố bằng liên minh hiệu quả hơn
chống khủng bố đơn lẻ.
Từ khóa: Mô hình Lanchester; Điều khiển tối ưu; Tình báo; Chống khủng bố; Mô hình KKS.

1. MỞ ĐẦU
Mô hình toán học cho một trận đánh lần đầu tiên được Lanchester đưa ra vào
năm 1916 dưới dạng một hệ phương trình vi phân với hai phương trình hai hàm
ẩn là quân số của hai bên tham chiến [12]. Quân số của mỗi bên tham chiến được
giả thiết là đồng nhất (cùng một loại vũ khí). Loại vũ khí của hai bên có thể như
nhau, nhưng nói chung là bất kỳ. Mô hình không phân biệt loại vũ khí của các bên
mà chỉ chú ý đến hiệu quả tiêu diệt đối phương của chúng. Thực chất đó là cường
độ dòng các phát bắn hiệu quả. Mô hình này về sau được gọi là mô hình
Lanchester hay mô hình Lanchester tổ chức cao. Tính tổ chức cao của mô hình thể
hiện ở cách xử lý thông tin của tiến trình trận đánh. Mỗi đơn vị chiến đấu của mỗi
bên đều chỉ tồn tại ở hai trạng thái: còn chiến đấu (chưa bị tiêu diệt) và bị tiêu diệt
(không chiến đấu được nữa). Đồng thời trên quan điểm “điều khiển trận đánh” thì
các trạng thái của các đơn vị chiến đấu được các bên nhận biết một cách tức thời
(một đơn vị bị diệt thì đối phương biết ngay để không bắn vào đó nữa).
Mãi đến năm 1962, Deitchman [6] mở rộng mô hình Lanchester bằng cách xét

trận đánh của một bên là quân chính qui và một bên không chính qui. Tính chính
qui dựa vào các xử lý thông tin. Trong mô hình mở rộng thông tin không được xử
lý tức thời mà có độ trễ. Mô hình được gọi là mô hình chiến tranh du kích. Mô
hình còn được gọi là mô hình Lanchester bất đối xứng. Trong mô hình này, hỏa
lực của lực lượng du kích là xác định, trong khi hỏa lực của lực lượng quân chính
quy là không xác định. Sau Deitchmann, Schaffer[14] và Schreiber[15] đã mở
rộng mô hình của Deitchmann bằng cách đưa vào yếu tố thông tin tình báo và
xem xét vấn đề phân bố hỏa lực tối ưu của bên quân chính qui.
Gần đây, Kaplan, Kress và Szechtman (KKS) [10,11] cũng xem xét mô hình
Lanchester có thêm thông tin tình báo. Mô hình được ứng dụng cho chống khủng
bố. Theo mô hình này thì thông tin tình báo ảnh hưởng rất lớn đến kết quả của
cuộc chiến giữa lực lượng chống khủng bố và lực lượng khủng bố. Kaplan, Kress

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018

133


Công nghệ thông tin

và Szechtman gọi mô hình này là mô hình bất đối xứng (do lực lượng không cân
bằng).
Năm 1974, Taylor [16] nghiên cứu hỏa lực tối ưu theo thời gian cho một số mô
hình trận đánh. Mackay và các tác giả [13] mở rộng các kết quả của Taylor cho bài
toán hỏa lực tối ưu theo thời gian cho mô hình Lanchester (n,1). Chen và nhóm tác
giả [4] lại nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu cho mô hình Lanchester (1,1) có
bổ sung quân số với tham số điều khiển là tốc độ bổ sung quân số; kết quả sau đó
được mở rộng cho mô hình Lanchester (2,2) [5]. Đặc điểm chung của các nghiên
cứu trên là hàm mục tiêu đều là các hàm về quân số. Theo một hướng khác,
Feichtinger và nhóm tác giả [1, 2, 3, 7] nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu cho

mô hình KKS và một số mô hình khác với hàm mục tiêu là chi phí cho trận đánh
chống khủng bố, các biến điều khiển là thông tin tình báo và tốc độ bổ sung quân
số.
Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng kết quả nghiên cứu của Feichtinger và
nhóm tác giả cho mô hình KKS bằng cách đưa ra mô hình chống khủng bố bất đối
xứng Lanchester (2,1) giữa 2 lực lượng chống khủng bố và một nhóm khủng bố.
2. MÔ HÌNH
Giả sử có hai lực lượng tham gia chống khủng bố và tại thời điểm t bất kỳ có
quân số là X 1  t   0 và X 2  t   0 đối đầu với một nhóm khủng bố với quân số là

Y  t  (nằm trong tổng dân số P ). Để đơn giản ta cũng gọi các lực lượng chống
khủng bố là X1 và X2 và bọn khủng bố là Y . Không mất tổng quát, ta giả thiết
P  1, suy ra 0  Y  1. Ký hiệu:
- 1 ,  2 là hiệu quả tấn công của lực lượng khủng bố Y lên X 1 và X 2 ; và  1 ,  2
là hiệu quả tấn công của các lực lượng chống khủng bố X 1 và X 2 lên Y ,

(0  1 ,  2 ,  1 ,  2  1).
-  là mức độ thông tin tình báo của 2 lực lượng chống khủng bố, có nghĩa là 2
lực lượng chống khủng bố có sự chia sẻ thông tin tình báo giúp xác định vị trí
chính xác của lực lượng khủng bố, trong khi đó phần 1   là không xác định
được vị trí của khủng bố. Ở đây 0    1; với   0 có nghĩa là lực lượng
chống khủng bố không có thông tin gì về quân khủng bố, còn   1 có nghĩa là
lực lượng chống khủng bố có đầy đủ thông tin gì về quân khủng bố (thực tế thì
điều này không thể xảy ra (xem [11]) nên ta luôn coi   1).
- 1 ,  2 là hệ số tự tiêu hao của X 1 , X 2 (đào ngũ, bệnh tật …), 0  1 ,  2  1.
- 1 ,  2 là tốc độ bổ sung quân số của 2 lực lượng chống khủng bố.

134

N. H. Nam, H. Đ. Mạnh, V. A. Mỹ, “Tối ưu hóa trong mô hình … Lanchester (2, 1).”

Nghiên cứu khoa học công nghệ

Do đó, theo kết quả tương tự như Gustav Feichtinger và nhóm tác giả [7],
chúng ta có mô hình dưới dạng hệ phương trình vi phân như sau:
 X 1  1Y  1 X 1  1

(1)
 X 2   2Y   2 X 2   2

Y  ( 1 X 1   2 X 2 )(   (1   )Y )   (C )
Trong đó,  (C ) là hiệu ứng con dao 2 lưỡi với:
(2)

C  ( 1 X 1   2 X 2 )(1   )(1  Y ).

Theo Gustav Feichtinger và nhóm tác giả [11], chúng tôi giả sử chi phí để thu
thập thông tin tình báo là một hàm lồi nào đó của  thỏa mãn:
C (0)  0, C (  )  0, C (  )  0, C (1)=.
(3)
Thiệt hại do khủng bố gây ra cũng là một hàm lồi D (Y ) nào đó của biến Y thỏa
mãn:
D (0)  0, D(Y )  0, D(Y )  0.

(4)

Chi phí để duy trì quân đội, ký hiệu A( X 1 ), A( X 2 ) , có thể giả thiết là hàm tuyến
tính hoặc lõm của các biến X 1 , X 2 thỏa mãn:
(5)

A1 (0)  0, A2 (0)  0, A1( X 1 )  0, A2 ( X 2 )  0, A1( X 1 )  0, A2( X 2 )  0.

Chi phí để bổ sung quân số, ký hiệu K ( 1 ), K (  2 ), theo các bài toán về quy
hoạch nguồn nhân lực, chi phí này thường được giả thiết là các hàm bình phương
của các biến 1 ,  2 . Do đó, nhiệm vụ của các lực lượng chống khủng bố là giải
quyết bài toán:


min  e  rt ( D (Y )  C (  )  A1 ( X 1 )  A2 ( X 2 )  K ( 1 )  K (  2 ))dt.

 , 1 ,  2

(6)

0

Trong bài báo này, chúng tôi lựa chọn thiệt hại do khủng bố gây ra là hàm bình
fY 2
(với f  0 ), chi phí để duy trì quân đội là tuyến tính: c1 X 1 , c2 X 2 (
2
c1 , c2  0 ), chi phí để thu thập thông tin tình báo là hàm logarith: log(1   ) và chi

phương

phí để bổ sung quân số là

12  22
2

,

2

tương ứng. Hơn nữa, chúng tôi giả thiết

 (C )   C 2 .
3. KẾT QUẢ
Theo trên, nhiệm vụ của các lực lượng chống khủng bố là giải quyết bài toán:

2 2
fY 2
min  e  rt (
 c1 X 1  c2 X 2  log(1   )  1  2 )dt.
 , 1 ,  2
2
2
2
0

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018

135


Công nghệ thông tin

Sử dụng nguyên lý tối ưu Pontryagin, ta có hàm Hamilton:
 fY 2
2 2 

H  
 c1 X 1  c2 X 2  log(1   )  1  2  
2
2 
 2
 1 (1Y  1 X 1  1 )  2 ( 2Y   2 X 2   2 ) 
2

2

2

+3 (   1 X 1   2 X 2     1    Y      1 X 1   2 X 2  1    1  Y  ),

Với 1 , 2 , 3 là các biến liên hợp.
Ta có:

H
  i  i  0  i  i ,
i
H
1
2
2

 3     1 X 1   2 X 2 1  Y   2   1 X 1   2 X 2  1   1  Y   .



1 

Nếu 3  0 thì hàm Hamilton là đơn điệu giảm. Khi đó thông tin tình báo tối ưu
là   0. Do đó 3  0.
H
1
 0  2 x 2  x   0.

3

(7)

Phương trình này có nghiệm là
1  1 
x

4

8

3

. Vì x  1 suy ra 3  

1
1

.
x 1  2 x 
1  2

Vậy

  1

x
.
  1 X1   2 X 2 1  Y 

(8)
.

Các biến liên hợp thỏa mãn các phương trình vi phân: i  r i 
.

H
, i  1; 2 và
X i

H
.
Y
Ta có các phương trình liên hợp:

3  r 3 
.

1   r  1  1  c1 
2
2
 3   1    1    Y   2 1   1 X 1   2 X 2 1    1  Y   ,




136

(9)

N. H. Nam, H. Đ. Mạnh, V. A. Mỹ, “Tối ưu hóa trong mô hình … Lanchester (2, 1).”


Nghiên cứu khoa học công nghệ
.

2   r   2  2  c2 
2
2
 3   2    1    Y   2 2   1 X 1   2 X 2 1    1  Y   ,



(10)

.

3  r 3  fY  11   2 2 
2
2
 3     1 X 1   2 X 2 1     2   1 X 1   2 X 2  1    1  Y   .


Chú ý rằng:

(11)



1
2
2
 i    1    Y   2 i   1 X 1   2 X 2 1    1  Y    i 1 
,
 3   1 X 1   2 X 2  

và
2

2

   1 X 1   2 X 2 1     2   1 X 1   2 X 2  1    1  Y  

1
,
3 1  Y 

và
2

2

2

   1 X 1   2 X 2     1    Y      1 X 1   2 X 2  1    1  Y      1 X 1   2 X 2   x 1   x  .

Cuối cùng chúng ta có hệ bao gồm các phương trình trạng thái và phương trình
liên hợp:
.

X 1  1Y  1 X 1  1 ,

(12)

.

X 2   2Y   2 X 2  2 ,

(13)

.

Y     1 X 1   2 X 2   x 1   x  ,
.

1   r  1  1  c1   13 

1
,
 1 X1   2 X 2

(14)
(15)

2
,
 1 X1   2 X 2

(16)

1
.
1 Y

(17)

Y  0   1 X 1   2 X 2  x 1   x  ,

(18)

.

2   r   2  2  c2   2 3 
.

3  r 3  fY  11   2 2 
3.1. Trạng thái ổn định trong
.

.

i  0  i  

1

r  i



 i
 c1 
 ,
1


x
1

2

x






(19)

.

X i  0   21 X 1  1 2 X 2   2 1  12 .

(20)

Ta có hệ tuyến tính:

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018

137


Công nghệ thông tin

 1 X 1   2 X 2  x 1   x  ,
(21)

 21 X 1  1 2 X 2   2 1  12 .
Định thức cơ sở của hệ là khác 0, do đó hệ có nghiệm duy nhất X 1 , X 2 . Từ đó
ta tìm được Y 
Vì

1  1 X 1 1 1 2 1  1 212  11 2 x 1   x 

.
1
1 21 2  12 2 1

1  0, 2  0 nên Y  0. Để tồn tại trạng thái ổn định trong cần có

c1  0, c2  0.
Thay i , X i , Y

vào phương trình (17) ta thu được phương trình 1 chiều

F  x   0. Từ đó ta thu được trạng thái ổn định trong.
3.2. Tính ổn định
Ma trận Jacobian cho bởi:
1
0


0
 2


 1
 2



 12
 1 2


2
2
J 
 1 X1   2 X 2 
  1 X1   2 X 2 

 1 2
 22



2
   X   X 2
 1 X1   2 X 2 
1 1
2 2


0
0


Với

f

1
 2

1
0

0
1

0

0

0

0

r  1

0

0

0

r  2

1

2

1

1  Y 

2

0
0




x 
1  2 x  

3 

1




2



r



x
1

.
2
3
3 3  83

3.3. Trạng thái ổn định biên
Nếu chỉ có 1 lực lượng chống khủng bố tham gia cuộc chiến, thì ta thu được kết
quả như trong bài báo [7].
4. MỘT SỐ TÍNH TOÁN SỐ
Trong
bài
báo

[7]
các
tác
giả
chọn
các
tham
số:
r  2.2;   2.23;   0.34;   1.19;   1.86; c  2.3734; f  1.12 . Kết quả tính
toán số như sau: trạng thái ổn định trong là X  1.39523; Y  0.16034, tốc độ bổ
sung quân số tối ưu là     0.83193 , và   0.48822 là mức độ thông tin tình
báo tối ưu. Để so sánh, chúng tôi sử dụng lại các tham số này cho mô hình của
chúng tôi.

138

N. H. Nam, H. Đ. Mạnh, V. A. Mỹ, “Tối ưu hóa trong mô hình … Lanchester (2, 1).”


Nghiên ccứu
ứu khoa học công nghệ

Hình 1.
1 K
Kết
ết quả cho trư
rường
ờng hợp 1.
Trường hợp 11: r  2.2, 1   2  2.23; 1   2  0.34;  1   2  1.19;  1.86. V
Trường

Với
ới
các tham ssố
ố này,
này, chúng tôi có kkết
ết quả số nh
như
ư sau:
Trạng thái ổn định trong:
Trạng
X 1  X 2  0.294785; Y  0.284383; 1  2  0.7344; 3  0.998427.
Mức độ thông tin ttình
Mức
ình báo ttối
ối ưu:   0.200107.
Trạng
Tr
ạng thái ổn định chỉ có thể đạt
ạt đư
được
ợc bởi hai đa tạp ổn định. Kết quả đđược
ợc chỉ
ra dư
dưới
ới Hình
Hình 1.
1
Trường hợp 2: Ch
Trường
Chọn

ọn một bộ tham số ttùy
ùy ý:

Hình 2. K
Kết
ết quả cho tr
trư
ường
ờng hợp 2.
r  2.5; 1  2.0;  2  1.9; 1  0.34;  2  0.37;  1   2  1.3; c1  c2  2.5; f  1.2;  1.86.
Với
V
ới các tham số nnày,
ày, chúng tôi có kkết
ết quả số nh
như
ư sau:
Trạng thái ổn định trong:
Trạng
X 1  0.355214; X 2  0.387704; Y =0.302679;

1  0.726132; 2  0.718542; 3  0.698659.
M
Mức
ức độ thông tin ttình
ình báo ttối
ối ưu:   0.257162.

Tạp
ạp chí Nghi

Nghiên
ên cứu
cứu KH&CN quân
uân sự,
sự, Số
ố Đặc san CNTT,
CNTT 11
1 - 20
20188

139


Công nghệ thông tin

Trạng thái ổn định chỉ có thể đạt được bởi hai đa tạp ổn định. Kết quả được chỉ ra
dưới Hình 2.
5. KẾT LUẬN
Bài báo là kết quả của sự mở rộng mô hình KKS. Các kết quả của Feichtinger
và nhóm tác giả trong [7] cũng là một trường hợp riêng của bài báo này. Các
nghiên cứu của bài báo cũng chỉ ra rằng nếu có sựu hợp tác giữa 2 lực lượng chống
khủng bố thì hiệu quả sẽ tốt hơn nhiều khi từng lực lượng riêng lẻ chống khủng bố.
Dựa trên mô hình và các kết quả đạt được, chúng tôi đề xuất mở rộng cho mô hình
tổng quát khi có n (n  1) lực lượng chống khủng bố liên kết với nhau cùng chống
lại một lực lượng khủng bố.
TÀI LỆU THAM KHẢO
[1]. Andrea Seidl, Edward H. Kaplan, Jonathan P. Caulkins, Stefan Wrzaczek,
Gustav Feichtinger. Optimal control of a terror queue. European Journal of
Operational Research, 248, 2016, 246–256.
[2]. Caulkins, J.P., Grass, D., Feichtinger, G., Tragler, G. Optimizing counterterror operations: Should one fight fire with fire or water? Computer and

Operations Research, 35, 2008, 1874-1885.
[3]. Caulkins, J.P., Feichtinger, G., Grass, D., Tragler, G. Optimal Control of
Terrorism and Global Reputation. Operations Research Letters, 37, 2009,
387-391.
[4]. Chen, X.Y., Jiang, N., Jing, Y., Stojanovski, G., Dimirovski, G.M.
Differential Game Model and Its Solutions for Force Resource
Complementary via Lanchester Square Law Equation. International
Federation of Automatic Control (IFAC), 18, 2011, 14229-14233.
[5]. Chen, X.Y., Cao, J., Qiu, J., Jing, Y., Yang, L., Zheng, B. Optimal Control of a
Class of Warfare Dynamic Systems Based on Lanchester (2,2) Attrition Model.
27th Chinese Control and Decision Conference (CCDC), 2015, 1263-1267.
[6]. Deitchman, S.J. A Lanchester model of guerilla warfare. Operations
Research, 10, 1962, 818-827.
[7]. [7] Feichtinger, G., Novak, A., Wrzaczek, S. Optimizing Counter-terroristic
Operations
[8]. An Asymmetric Lanchester Model. 15th IFAC Workshop on Control
Applications of Optimization, 2012, 27-32.
[9]. Grass, D., Caulkins, J.P., Feichtinger, G., Tragler, G., Behrens, D.A. Optimal
Control of Nonlinear Processes: With Applications in Drugs, Corruption and
Terror. Springer, Heidelberg, 2008.
[10]. Grass, D. Numerical computation of the optimal vector field: exemplified by
a fishery model. Accepted for Journal of Dynamics and Control, 2012.
140

N. H. Nam, H. Đ. Mạnh, V. A. Mỹ, “Tối ưu hóa trong mô hình … Lanchester (2, 1).”


Nghiên cứu khoa học công nghệ

[11]. Kaplan, E.H., Mintz, A., Mishal, S., Samban, C. What happened to suicide

bombings in Israel? Insights from a terror stock model. Studies in Conflict
and Terrorism, 28, 2005, 225-235.
[12]. Kress, M., Szechtmann, R. Why defeating insurgencies is hard: the effect of
intelligence in counter insurgency operations - a best case scenario.
Operations Research, 57 (3), 2009, 578-585.
[13]. Lanchester, F.W. Aircraft in Warfare: The Dawn of the Fourth Arm.
Constable, London, 1916.
[14]. Lin, K.Y, Mackay, L.J. The optimal policy for the one-against-many
heterogeneous
[15]. Lanchester model. Operations Research Letters, 42, 2014, 473-477.
[16]. Schaffer, M.B. Lanchester models of guerrilla engagements. Operations
Research, 16, 1968, tr.457-488.
[17]. Schreiber, T.S. Letter to the Editor—Note on the Combat Value of
Intelligence and Command Control Systems. Operations Research, 12(3),
1964, 507-510.
[18]. Taylor, J.G. Lanchester-Type Models of Warfare and Optimal Control.
Naval Research Logistics Quarterly, 21, 1974, 70-106.
ABSTRACT
OPTIMIZING IN AN ASYMMETRIC LANCHESTER (2,1) MODEL
FOR COUTER-TERRORISM
Counter-terrorism is a global task that every nation is concerned about.
To improve operations against terrorism, many nations carry out counterterroristic operations not only by themselves but also by cooperation with
other ones. In this paper, we propose an extended KKS model to cope with
multi-party counter-terrorism. Optimal control problem for this model is
studied. Our main tool is Pontryagin's maximal principle. Optimal
intelligence level and individual reinforcement of each party are found.
Numerical results show that counter-terroristic operations in a cooperative
model are more effective than that in single model.
Key word: Lanchester Model; Optimal Control; Intelligence; Counter-terrorism; KKS Model.

Nhận bài ngày 04 tháng 7 năm 2018
Hoàn thiện ngày 09 tháng 10 năm 2018
Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 11 năm 2018

Địa chỉ: Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Học viện KTQS.
*
Email:

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 11 - 2018

141