Một phương pháp giảm bậc cho hệ không ổn định dựa theo thuật toán chặt cân bằng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (410.88 KB, 9 trang )
Nghiên cứu khoa học công nghệ
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC CHO HỆ KHÔNG ỔN ĐỊNH
DỰA THEO THUẬT TOÁN CHẶT CÂN BẰNG
Đỗ Trung Hải*
Tóm tắt: Trong bài báo này, tác giả đã giới thiệu phương pháp giảm bậc
cân bằng của Zhou cho hệ không ổn định. Ứng dụng thuật toán giảm bậc cân
bằng của Zhou vào bài toán giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc 30 của hệ
thống điều khiển cân bằng robot hai bánh cho thấy bộ điều khiển giảm bậc nhỏ
nhất có thể thay thế bộ điều khiển gốc bậc là bộ điều khiển bậc 2. Kết quả mô
phỏng cho thấy tính đúng đắn và khả năng áp dụng của thuật toán giảm bậc cân
bằng của Zhou trong bài toán giảm bậc hệ không ổn định nói chung và bài toán
giảm bậc bộ điều khiển bậc cao nói riêng.
Từ khóa: Giảm bậc cân bằng, Hệ không ổn định, Bộ điều khiển.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương pháp chặt cân bằng của Moore [1] thực hiện bài toán giảm bậc mô hình bằng
cách áp dụng điều kiện tương đương lên quá trình đường chéo hóa đồng thời hai ma trận
Gramian điều khiển và Gramian quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở. Việc
tương đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép chuyển mô hình gốc biểu
diễn trong hệ cơ sở bất kỳ thành hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không
gian cân bằng nội. Từ không gian cân bằng đó, mô hình bậc thấp có thể tìm được bằng
cách loại bỏ các giá trị riêng ít đóng góp cho sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu vào và
đầu ra của hệ, tức là loại bỏ các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát. Trên cơ sở
phương pháp chặt cân bằng của Moore [1] đã có nhiều thuật toán khác được đề xuất như
phương pháp cân bằng ngẫu nhiên [2], cân bằng thực dương [3], phương pháp xấp xỉ
chuẩn Hankel [4], … các thuật toán dựa trên lý thuyết này áp dụng cho hệ tuyến tính ổn
định bởi các khái niệm gốc của phương pháp chặt cân bằng (ma trận Gramian điều khiển
và Gramian quan sát) luôn đi kèm yêu cầu hệ là ổn định. Nhưng trong thực tế, điều kiện
ổn định này không phải lúc nào cũng được thỏa mãn [5], [6], [7]. Để giải quyết bài toán
giảm bậc hệ không ổn định có hai hướng:
- Mở rộng phạm vi của các thuật toán giảm bậc cho hệ ổn định sao cho nó có thể giảm
bậc được cho hệ không ổn định [8], [9], [10]
- Xây dựng thuật toán hoàn toàn mới thực hiện giảm bậc không phân biệt hệ gốc là ổn
định hay không ổn định [11], [12].
Mỗi thuật toán giảm bậc theo hai hướng này đều có cách tiếp cận riêng. Với mong
muốn đưa ra được các đánh giá cụ thể và ứng dụng thuật toán đã được đề xuất để giảm bậc
hệ không ổn định, trong bài báo này, tác giả tập trung giới thiệu và ứng dụng thuật toán
giảm bậc hệ không ổn định theo hướng thứ nhất – cụ thể là đánh giá, ứng dụng thuật toán
thuật toán cân bằng của Zhou [10] vào bài toán giảm bậc bộ điều khiển.
2. THUẬT TOÁN GIẢM BẬC HỆ KHÔNG ỔN ĐỊNH
2.1. Bài toán giảm bậc mô hình
Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, mô tả trong không gian
trạng thái bởi hệ phương trình sau:
x Ax Bu
(1)
y Cx
trong đó, x Rn, u Rp, y Rq, A Rnxn, B Rnxp, C Rqxn.
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017
77
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử
Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình (1) là tìm mô hình mô tả bởi hệ các
phương trình:
x r A r xr B r u
(2)
yr Cr xr
trong đó, xr Rr, u Rp, yrRq, Ar Rrxr, Br Rrxp, Cr Rqxr, với r n;
Sao cho mô hình (2) có thể thay thế mô hình (1)
2.2. Thuật toán chặt cân bằng của Zhou
Vấn đề khó khăn khi áp dụng thuật toán chặt cân bằng cho hệ không ổn định đó là việc
xác định các gramian luôn đi kèm yêu cầu hệ gốc là ổn định tiệm cận. Để có thể xác định
được các Gramian của hệ không ổn định Zhou [10] đã chứng minh được rằng có thể sử
dụng các hàm đặc biệt X và Y là nghiệm của hai phương trình Lyapunov:
XA A ' X XBB ' X 0
(3)
AY YA ' YC ' CY 0
Từ hai hàm đặc biệt X và Y qua phép đặt F B ' X và L YC ' , ta có thể xác định
Gramian điều khiển và Gramian quan sát của hệ không ổn định qua hai phương trình
Lyapunov sau:
A BF P P A BF ' BB 0
(4)
Q A LC A A LC ' C ' C 0
Sau khi xác định được Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q ta thực hiện các
bước theo thuật toán chặt cân bằng của Moore [1] sẽ thu được hệ giảm bậc của hệ gốc
không ổn định.
Nội dung của thuật toán như sau:
Từ hệ gốc A, B, C được mô tả trong (1) (hệ không ổn định)
Bước 1: Tính hàm đặc biệt X và Y theo (3).
Bước 2: Đặt F B ' X và L YC '
Bước 3: Tính Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q theo (4).
Bước 4: Phân tích các ma trận sau
Phân tích Cholesky ma trận P RR T , với R là ma trận tam giác trên.
Phân tích giá trị suy biến ma trận RQRT UΛVT .
Bước 5:
Tính các ma trận L V1/ 2
Tính ma trận không suy biến T 1 R T UL-1/2
Bước 6: Tính A, B, C T1 AT, T1B, CT .
Bước 7: Chọn số bậc cần rút gọn r sao cho r < n .
Biểu diễn A, B, C ở dạng khối như sau:
A
A 11
A 21
A12
B
, B 1 , C C1
A 22
B 2
C2 ,
(5)
trong đó, A11 rxr , B1 rxp , C1 qxr .
Hệ giảm bậc A11 , B1 , C1 .
78
Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
3. ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC HỆ KHÔNG ỔN ĐỊNH CHO BÀI
TOÁN GIẢM BẬC BỘ ĐIỀU KHIỂN
3.1. Lựa chọn đối tượng
Đối tượng được lựa chọn để tổng hợp bộ điều khiển và thực hiện bài toán giảm bậc mô
hình theo thuật toán đề xuất là mô hình robot hai bánh tự cân bằng [11], [12] như hình 1.
Hình 1. Mô hình chi tiết robot hai bánh tự cân bằng.
Mô hình hóa robot hai bánh tự cân bằng với các thông số danh định ta có mô hình hàm
truyền danh định của hệ thống cân bằng robot như sau [11], [12].
W(s)
(s)
0.223s
= 3
U(s) s 4.722 s 2 47.2 s 254
(6)
Với cấu trúc điều khiển robot hai bánh như hình 2, bộ điều khiển được tổng hợp là bộ
điều khiển bền vững RH [8].
Hình 2. Sơ đồ cấu trúc hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng.
Sau khi tổng hợp ta thu được bộ điều khiển đủ bậc (bậc 30) như sau:
H ( s)
(7)
D( s)
H ( s ) 2.23.107 s 30 4.67.104 s 29 0.266 s 28 22.96 s 27 1006 s 26 2.853.104 s 25
5.837.105 s 24 9.144.106 s 23 1.139.108 s 22 1.158.109 s 21 9.776.109 s 20
6.949.1010 s19 4.199.1011 s18 2.172.1012 s17 9.663.1012 s16 3.71.1013 s15
1.231.1014 s14 3.53.1014 s13 8.74.1014 s12 1.862.1015 s11 3.398.1015 s10
5.276.1015 s 9 6.903.1015 s 8 7.511.1015 s 7 6.676.1015 s 6 4.721.1015 s 5
2.556.1015 s 4 9.953.1014 s 3 2.482.1014 s 2 2.977.1013 s 0.00439
D( s ) 4.971.1014 s 30 2.032.1010 s 29 2.663.107 s 28 1.221.104 s 27 9.72.103 s 26
Wc ( s )
0.3918s 25 10.14 s 24 187.1s 23 2612 s 22 2.862.104 s 21 2.523.105 s 20
1.82.106 s19 1.088.107 s18 5.428.107 s17 2.273.108 s16 8.005.108 s15
2.372.109 s14 5.9.109 s13 1.225.1010 s12 2.107.1010 s11 2.962.1010 s10
3.341.1010 s 9 2.941.1010 s 8 1.931.1010 s 7 8.743.109 s 6 2.286.109 s 5
1.519.108 s 4 5.226.107 s 3 3.6.106 s 2 5.32.1022 s
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017
79
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử
Theo [8], [13], bộ điều khiển có bậc 30 dẫn tới nhiều bất lợi khi thực hiện bài toán điều
khiển, vấn đề đặt ra là cần phải giảm bậc bộ điều khiển bậc 30.
Bộ điều khiển bậc 30 là một mô hình tuyến tính không ổn định. Tác giả sẽ sử dụng bộ
điều khiển bậc 30 như là đối tượng để đánh giá hiệu quả thuật toán giảm bậc đã được giới
thiệu ở mục 2. Để thực hiện giảm bậc bộ điều khiển bậc 30 ta thực hiện như sau:
- Chuyển (7) từ mô hình hàm truyền về mô hình trạng thái dạng (1)
- Thực hiện thuật toán giảm bậc từ bước 1 đến bước 7 trong 2.2
Thực hiện thuật toán giảm bậc bộ điều khiển kết quả thu được như sau (để dễ dàng biểu
diễn kết quả trong bài báo, tác giả chuyển kết quả giảm bậc từ dạng hệ phương trình trạng
thái sang dạng mô hình hàm truyền):
Bảng 1. Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bậc cao.
Bậc
R r (s)
6
5
7
4
5
4.485.10 s 6.677.10 s 4.048.108 s 3 1.188109 s 2 1.799.109 s 1.049.109
s 5 2009s 4 1.776.104 s 3 1866s 2 1.083s 0.1069
4
4.48.106 s 4 2.669.107 s 3 1.68.108 s 2 5.91.107 s 1.595.108
s 4 2000s 3 -111.9s 2 -12.09s 0.5123
3
4.485.106 s 3 2.683.107 s 2 1.689.108 s 5.892.107
s 3 2000s 2 47.15s 0.288
2
4.485.106 s 2 2.686.107 s 1.688.108
s 2 2000s 2 -34.41
1
4.485.106 s 2 2.702.107 s
s 2 2000
Ta sẽ gọi bộ điều khiển giảm bậc (bậc r ) là bộ điều khiển bậc r.
3.2. Mô phỏng kiểm chứng
3.2.1. So sánh, đánh giá các đặc tính của bộ điều khiển
Để so sánh, đánh giá và xác định mô hình giảm bậc thích hợp, ta sử dụng đáp ứng bước
nhảy và đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và bộ điều khiển giảm bậc, các đáp ứng này
thể hiện trên hình 3.
Qua các đặc tính mô phỏng ta thấy:
Với đáp ứng quá độ: Đáp ứng của bộ điều khiển bậc 5, bậc 4, 3, 2, 1 gần như trùng
khớp hoàn toàn với đáp ứng quá độ của bộ điều khiển bậc 30.
Với đáp ứng tần số:
+ Trong vùng tần số > 0.0175 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 5 trùng
khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Trong vùng tần số
<0.0175 thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 5 sai lệch so với đáp ứng tần số của bộ
điều khiển gốc bậc 30.
+ Trong vùng tần số > 7.14 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 4, bậc 3,
bậc 2 trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Trong vùng
tần số < 7.145 thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 4, bậc 3, bậc 2 sai lệch so với đáp
ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30, bậc của bộ điều khiển càng giảm thì mức độ sai
lệch càng tăng.
+ Trong vùng tần số > 16.2 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 1 trùng
khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc bậc 30. Trong vùng tần số <
16.2 rand/s thì đáp ứng tần số của bộ điều khiển bậc 1 sai lệch so với đáp ứng tần số của
bộ điều khiển gốc bậc 30.
80
Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
6
0
Step Response
x 10
Bo
Bo
Bo
Bo
Bo
Bo
-0.5
-1
Amplitude
-1.5
dieu
dieu
dieu
dieu
dieu
dieu
khien
khien
khien
khien
khien
khien
bac 30
bac 5
bac 4
bac 3
bac 2
bac 1
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
Time (seconds)
x 10
(a) Đáp ứng quá độ
Bode Diagram
250
Bo
Bo
Bo
Bo
Bo
Bo
Magnitude (dB)
200
150
dieu
dieu
dieu
dieu
dieu
dieu
khien
khien
khien
khien
khien
khien
bac 30
bac 5
bac 4
bac 3
bac 2
bac 1
100
50
270
180
Phase (deg)
90
0
-90
-180
-270
-360
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Frequency (rad/s)
(b) Đáp ứng tần số
Hình 3. Đáp ứng quá độ - Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều
khiển giảm bậc.
3.2.2. So sánh đánh giá các bộ điều khiển khi điều khiển đối tượng
Vì bộ điều khiển giảm bậc được sử dụng trong hệ thống điều khiển robot hai bánh tự
cân bằng, do đó, muốn xác định chính xác bộ điều khiển giảm bậc nào phù hợp nhất để
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017
81
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử
thay thế bộ điều khiển bậc 30, ta cần áp dụng bộ điều khiển giảm bậc vào hệ thống điều
khiển xe hai bánh.
Sử dụng bộ điều khiển giảm bậc 5, bậc 2, bậc 1 ở bảng 1 để điều khiển robot hai bánh
có mô hình đối tượng điều khiển như (3) với cấu trúc như hình 4 ta thu được kết quả mô
phỏng như hình 5 với góc lệch ban đầu 1(rad ) .
Hình 4. Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng.
Dap ung goc nghieng cua robot hai banh tu can bang
0.02
Bo dieu khien bac
Bo dieu khien bac
Bo dieu khien bac
Bo dieu khien bac
0.015
30
5
2
1
Radian
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
Hình 5. Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng.
Đáp ứng của hệ thống điều khiển cân bằng robot hai bánh (gọi tắt là hệ thống điều
khiển) sử dụng bộ điều khiển bậc 30 và đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều
khiển bậc 5 là hoàn toàn trùng khớp. Chất lượng đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng
bộ điều khiển bậc 30 và bộ điều khiển bậc 5 là: Biên độ dao động cực đại lần 1: - 0,00653
radian; Biên độ dao động cực đại lần 2: + 0,00175 radian; Số lần dao động: 2 lần; Thời
gian quá độ: 2 s; Sai lệch tĩnh: 0%.
82
Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
Chất lượng đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 2 là: Biên độ
dao động cực đại lần 1: - 0,0059 radian; Biên độ dao động cực đại lần 2: + 0,001 radian;
Số lần dao động: 2 lần; Thời gian quá độ: 1,2 s; Sai lệch tĩnh: 0%.
Hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 1 không có khả năng cân bằng ổn định
robot hai bánh.
Từ các kết quả ở trên, ta thấy:
- Bộ điều khiển bậc bậc 5, 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30.
Bộ điều khiển bậc 1 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30.
- Nếu ưu tiên yêu cầu bậc bộ điều khiển nhỏ nhất có thể thì ta có thể sử dụng bộ điều
khiển bậc 2 thay thế bộ điều khiển bậc 30. Nếu ưu tiên sai lệch đáp ứng bước nhảy, sai
lệch đáp ứng tần số, sai lệch chất lượng điều khiển nhỏ nhất có thể thì ta có thể sử dụng bộ
điều khiển bậc 5 thay thế bộ điều khiển bậc 30.
So sánh kết quả giảm bậc bộ điều khiển theo thuật toán chặt cân bằng của Zhou với
phương pháp phương pháp chặt cân bằng của Zilochian [11].
Thực hiện giảm bậc bộ điều khiển bậc 30 theo thuật toán chặt cân bằng của Zilochian
[11], ta thu được bộ điều khiển bậc 2 như sau:
W2 ( s )
4.485.106 s 2 2.621.106 s 6.777.105
s 2 0.1359s 2 +0.003364
(8)
Hình 6. Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng.
Dap ung goc nghieng cua robot hai banh tu can bang
0.02
Bo dieu khien bac 2 theo thuan toan Zilochian
Bo dieu khien bac 2 theo thuan toan Zhou
0.015
Radian
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
Hình 7. Kết quả mô phỏng hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng.
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017
83
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử
Thực hiện mô phỏng hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 2 theo hai phương
pháp giảm bậc theo hình 6, tác giả thu được kết quả đáp ứng góc nghiêng của robot hai
bánh tự cân bằng như hình 7.
Chất lượng đáp ứng của hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển bậc 2 theo thuật
toán chặt cân bằng của Zilochian là: Số lần dao động: >25 lần; Góc nghiêng của robot
không trở về 0 (tồn tại sai lệch tĩnh) – robot không có khả năng cân bằng ổn định.
Từ kết quả trên ta thấy, sử dụng bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân bằng của
Zhou có thể điều khiển cân bằng ổn định robot; Bộ điều khiển bậc 2 theo thuật toán chặt cân
bằng của Zilochian không thể điều khiển cân bằng ổn định robot. Như vậy, thuật toán chặt
cân bằng của Zhou có khả năng giảm bậc tốt hơn (bộ điều khiển bậc thấp hơn) so với thuật
toán chặt cân bằng của Zilochian trong bài toán giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc 30.
4. KẾT LUẬN
Bài báo đã giới thiệu thuật toán giảm bậc cân bằng của Zhou cho hệ không ổn định trên
cơ sở thuật toán chặt cân bằng. Kết quả áp dụng thuật toán chặt cân bằng của Zhou vào bài
toán giảm bậc bộ điều khiển bậc 30 của hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân bằng
cho thấy ta có thể sử dụng bộ điều khiển bậc 2 thay thế bộ điều khiển bậc 30 nếu mong
muốn bộ điều khiển bậc nhỏ nhất và chấp nhận sai lệch giảm bậc và sai lệch điều khiển,
nếu mong muốn sai lệch giảm bậc và sai lệch điều khiển nhỏ nhất ta có thể sử dụng bộ
điều khiển bậc 5 thay thế bộ điều khiển bậc 30. Đồng thời trong bài toán giảm bậc bộ điều
khiển bậc 30, thuật toán chặt cân bằng của Zhou cho kết quả giảm bậc tốt hơn (bậc bộ điều
khiển thấp hơn) so với phương pháp chặt cân bằng của Zilochian.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Moore B. C. (1981), “Principal component analysis in linear systems: Controllability,
observability, and model reduction”, IEEE Trans. Auto. Contr., AC-26, pp 17 – 32.
[2]. Desai U. B., Pal D. (1984), “A Transformation Approach to Stochastic Model
Reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 29, No. 12, pp. 1097.
[3]. Green M. (1988), “A Relative Error Bound for Balanced Stochastic Truncation”,
IEEE Trans. Auto. Contr., Vol. 33, No. 10, pp. 961 – 965.
[4]. Antoulas A. C., Sorensen D. C., Gugercin S. (2001), “A Survey of Model Reduction
Methods for Large-scale Systems”, Structured Matrices in Mathematics, Computer
Science, and Engineering, AMS 2001, pp. 193 – 219.
[5]. Thanh Bui Trung , Parnichkun Manukid (2008), “Balancing control of Bycirobo by
PSO-based structure-specified mixed H2/H∞ control”, International Journal of
Advanced Robotic Systems, Vol. 5(4), pp. 395 – 402.
[6]. Thanh Bui Trung, Parnichkun Manukid, Hieu Le Chi (2009), “Structure-specified
H∞ loop shaping control for balancing of bicycle robots: A particle swarm
optimization approach”, Journal of Systems and Control Engineering, Vol. 224,
No. 7, pp. 857 – 867.
[7]. Nguyễn Hữu Công, Vũ Ngọc Kiên, Đỗ Trung Hải, Bùi Mạnh Cường (2015), “Ứng
dụng thuật toán giảm bậc cho bài toán điều khiển robot hai bánh”, Tạp chí Khoa học
& Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 132, số 2, tr. 95 – 103.
[8]. Nguyễn Hưu Công (2016) “Một phương pháp giảm bậc bộ điều khiển bền vững bậc
cao”, Tạp chí NC KH Công nghệ quân sự, số 42, 04-2016, tr. 95-102.
[9]. Jonckheere E. A., Silverman L. M. (1983), “A New Set of Invariants for Linear
System – Application to Reduced Order Compensator Design”, IEEE Transactions on
Automatic Control, AC- 28, No. 10, pp. 953 – 964.
84
Đỗ Trung Hải, “Một phương pháp giảm bậc cho hệ ... thuật toán chặt cân bằng.”
Nghiên cứu khoa học công nghệ
[10]. Zhou K., Salomon G., Wu E. (1999), “Balanced realization and model reduction
method for unstable systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control,
Vol. 9, No. 3, pp. 183 – 198.
[11]. Vũ Ngọc Kiên (2015), “Nghiên cứu thuật toán giảm bậc mô hình và ứng dụng cho
bài toán điều khiển”, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp,
Đại học Thái Nguyên.
[12]. Cong Huu Nguyen, Kien Ngoc Vu, Hai Trung Do (2015), “Model reduction based
on triangle realization with pole retention”, Applied Mathematical Sciences, Vol. 9,
2015, No. 44, pp. 2187-2196. />[13]. Nguyễn Doãn Phước (2009), “Lý thuyết điều khiển nâng cao”, NXB Khoa học và Kỹ
thuật, Hà Nội.
ABSTRACT
A REDUCTION METHOD FOR UNSTABLE SYSTEM BASED ON BALANCED
TRUNCATION ALGORITHM
In this paper, the author has introduced balanced reduce order algorithm of
Zhou for unstable systems. Applying balanced reduce order algorithm of Zhou to
reducing 30th-oder robust controller of the two-wheel robot control system shows
that the smallest order controller which can replace the 30th-oder robust controller
is the 2nd-order controller. The simulation results show the correctness and
applicability of balanced reduce order algorithm of Zhou in reduce order ustable
system problem in general and the reduce order of the high-order robust controller
in particular.
Keywords: Balanced reduce, Unstable system, Controller.
Nhận bài ngày 20 tháng 7 năm 2017
Hoàn thiện ngày 11 tháng 8 năm 2017
Chấp nhận đăng ngày 18 tháng 8 năm 2017
Địa chỉ:
1
*
Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên
Email :
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 50, 08 - 2017
85
