Áp dụng phương pháp không lưới cho tính toán cọc đơn trong môi trường đất đàn hồi ba chiều

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI CHO TÍNH TOÁN
CỌC ĐƠN TRONG MÔI TRƯỜNG ĐẤT ĐÀN HỒI BA CHIỀU
LÊ ĐỖ KIÊN, VƢƠNG VĂN THÀNH
NGHIÊM MẠNH HIẾN*

The meshless method for single pile behavior in tri-dimentioned
elastic medium
Abstract: This paper presents a novel method to analyze the behavior of the
pile-soil system in a linear elastic soil medium based on the meshless method.
The meshless method used in this study is Moving Least Square (MLS).
Results of an analysis of single pile under vertical load using meshless
method are good agreement with the results from finite element analysis.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ *
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là
một phƣơng pháp phổ biến áp dụng vào cơ học
tính toán trong nhiều thập kỷ qua, phƣơng pháp
này đã có những đóng góp đáng kể cho sự phát
triển của khoa học và kỹ thuật. Tuy nhiên,
phƣơng pháp PTHH không hoàn toàn phù hợp
với các vấn đề có lƣới biến dạng phức tạp của
vật liệu hay trƣờng hợp xuất hiện những biến
dạng không liên tục nhƣ lan truyền vết nứt dọc
theo đƣờng bất kỳ và các vết nứt phức tạp. Bên
cạnh đó, phƣơng pháp PTHH cũng gặp khó
khăn liên quan đến việc chia lƣới và chia lại
lƣới trong vấn đề tối ƣu hóa lƣới phần tử hoặc
trong phân tích ảnh hƣởng của vật liệu đa miền.
Khác với các phƣơng pháp PTHH, phƣơng
pháp không lƣới chỉ sử dụng một tập hợp các
điểm nút, các xấp xỉ và hàm dạng đƣợc xây dựng
hoàn toàn dựa trên các nút, không sử dụng lƣới

hoặc các phần tử trong phƣơng pháp này. Điều
này hạn chế đƣợc những khó khăn liên quan đến
hệ lƣới và đƣa ra một cách tiếp cận linh hoạt hơn
trong các ứng dụng vào tính toán cơ học.
Phƣơng pháp không lƣới bắt đầu đƣợc phát
triển từ những năm 1980, đến nay đã có rất nhiều
*

Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
DĐ: 0972056219
Email:

46

phƣơng pháp không lƣới khác nhau đƣợc xây
dựng nhƣ: Phƣơng pháp không lƣới bình phƣơng
di chuyển nhỏ nhất MLS, phƣơng pháp không
lƣới cục bộ Petrov-Galerkin (MLPG), phƣơng
pháp không lƣới sử dụng tích phân điểm PIM [3]
… Trong bài báo, tác giả trình bày quy trình cụ
thể của phƣơng pháp không lƣới bình phƣơng di
chuyển nhỏ nhất (MLS) áp dụng cho bài toán địa
kỹ thuật, đồng thời phát triển phƣơng pháp này
để phân tích bài toán tƣơng tác của cọc đơn và
nền đất đàn hồi ba chiều.
2. PHƢƠNG PHÁP KHÔNG LƢỚI ÁP
DỤNG TRONG BÀI TOÁN BA CHIỀU
Quy trình của phƣơng pháp không lƣới bình
phƣơng di chuyển nhỏ nhất MLS cũng giống
nhƣ các phƣơng pháp không lƣới khác, đều bao

gồm 2 bƣớc [2],[4]:
- Bƣớc 1: Lập hàm dạng.
- Bƣớc 2: Phân tích không lƣới.
2.1. Lập hàm dạng
Hàm dạng không lƣới đƣợc xây dựng thông
qua các hàm xấp xỉ hoàn toàn dựa trên các nút.
Xét một hàm vô hƣớng chƣa xác định của một
biến trƣờng u(x) trong miền . Các xấp xỉ bình
phƣơng di chuyển nhỏ nhất MLS của u(x) đƣợc
xác nghĩa nhƣ sau [4]:
m

u h ( x )   pi ( x ).a i ( x)  pT ( x).a( x)

(1)

i 1

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015


Trong đó:
- p(x): là hàm cơ sở của các không gian tọa
độ x, các hàm cơ sở p(x) đƣợc xây dựng từ tam
giác Pascal.
- pt : là hàm chuyển của p.
Trong không gian ba chiều, hàm cơ sở
T
p ( x ) bậc 2 đƣợc định nghĩa nhƣ sau [2]:

pT ( x)  1, x, y, z, x 2 , y 2 , z 2 , xy, yz, zx  .
- m: là số lƣợng các hàm cơ sở.
- a(x) : là các hệ số tƣơng ứng và là hàm của
tọa độ không gian x. Số lƣợng các hệ số a(x)
phụ thuộc vào bậc và kích thƣớc của hàm cơ sở.
Hệ số a(x) đƣợc xác định theo phƣơng trình
tuyến tính sau [2],[4]:
A(x)a(x)=B(x)U
hay a(x) = A-1(x).B(x)U
trong đó U  {u1 ,u 2 ,...,u n }T

(2)
(3)

n

A   WI ( x)p( xI )pt ( xI )

(4)

I 1

B  {W1 ( x)p( x1 ),W2 ( x)p( x2 ),..,Wn ( x)p( xn )} (5)
Wi ( x) : là hàm trọng số tại nút thứ I.
Tác giả lựa chọn các miền hỗ trợ có dạng
hình chữ nhật, kích thƣớc của miền hỗ trợ theo
các hƣớng x, y và z tƣơng ứng là dsx , dsy và dsz.
Hàm trọng số tƣơng ứng với miền hỗ trợ hình
chữ nhật đƣợc xác định nhƣ sau:
Wi(x)= W ix(x). W iy(x).

W iz(x) = W rx. W ry. W rz (6)
với W ix(x), W iy(x) và W iz(x) là hàm trọng
số tiêu chuẩn theo hƣớng x, y và z. Các hàm
trọng số có dạng đƣờng cong bậc 4 đƣợc xác
định theo GR Liu và Liu [2],[4]:

1  6rix2  8rix3  3rix4 víi 0  rix  1
W(rix )  
0
víi rix  1

1  6riy2  8riy3  3riy4 víi 0  riy  1
W(riy )  
0
víi riy  1


ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015

2
3
4

1  6riz  8riz  3riz
W(riz )  
0



Với rix 

và riz 

víi 0  riz  1
víi riz  1

x  xi
y  yi
; riy 
dsx
dsy

z  zi
dsz

Kết hợp (1) và (2), xấp xỉ u(x) có thể đƣợc
biểu diễn nhƣ sau:

u h ( x )  p ' ( x ) A 1 ( x ) B(x) U  ( x ) U (8)
trong đó:

( x )  p ' ( x ) A 1 ( x ) B(x) là hàm dạng.
2.2. Phân tích không lƣới
Xét vấn đề của cơ học vật rắn đàn hồi tuyến
tính trong một miền Ω đƣợc giới hạn bởi biên Γ.
Hệ phƣơng trình vi phân từng phần và điều kiện
biên đƣợc viết dƣới dạng sau [1],[2]:
- Phƣơng trình cân bằng:

LT   b  0 trong Ω
- Điều kiện biên tự nhiên:

 n  t trên Γt

(10)

- Điều kiện biên cần thiết:

u  u trên Γu

(11)

Trong đó:
-  : Véc tơ ứng suất.
- u: Véc tơ chuyển vị, đối với vấn đề 3 chiều,
u x 
 
u  v y 
 
 z
- b: Véc tơ lực khối.
- t : Lực kéo quy ƣớc trên lực kéo biên (biên
tự nhiên).
- u : Chuyển vị quy ƣớc trên chuyển vị biên
(biên cần thiết).
- n: Các véc tơ đơn vị tại một điểm trên biên

(7)

tự nhiên.
- L: Toán tử khác biệt, đối với vấn đề 3 chiều

47


0
0 
 x
 0
 y
0 


0
 z 
 0
L
 z  y 
 0
  z
0
 x 


0 
 y  x
Các biến phân tiêu chuẩn hình thức dạng yếu của phƣơng trình (9) có dạng sau [2]:
T
T
T
 ( L u) ( DLu)d     u bd     u td   0 (12).





t

D là ma trận ứng suất – biến dạng, đối với vật liệu đẳng hƣớng:

 1 2 2

1 2
 2
  2 1
D  1  2
0 0 0
0 0 0

0 0 0
E (1   )
với 1 
;
(1   )(1  2 )

0
0
0

3
0
0

0
0
0
0

3
0

2 

0
0

0

0
0

3 



3 

và

1 

1  2

2(1   )

Sử dụng các hàm dạng không lƣới MLS trên n nút trong các miền hỗ trợ cục bộ:

u 
I
n


h
h
u ( x )    I ( x )uI hoặc u  v     0

I
I
 
 0
 
h

n

0

I
0

0   uI 
  n
0   v I     I uI


I
I  I 

I

(13)

uI

h

Sử dụng phƣơng trình (13), Lu trở thành:

n

Lu  L  I uI =
h

I

n


I

0
0 
 x
 0

 y
0 

 
0
 z   I
 0
 0
 0


z


y

 0
  z
0
 x  


0 
 y  x

0 
I , x 0
 0 
0 
I ,y



n
0 I ,z 
 0

u

 I  BI uI
0


I
I
,z
I
,y


I ,z 0 I , x 


I ,y I , x 0 

0

I
0

0

0  .uI

I 

(14)

Trong đó I , x , I ,y và I ,z là các đạo hàm của hàm dạng MLS đối với x, y và z.

48

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015


BI là ma trận biến dạng của nút I.
Thay phƣơng trình (13) và (14) vào phƣơng trình (12) trở thành:
T

T

T

 n
  n

 n

 n


B

u
D
B
u
d




u
b
d



  I I    J I 
  I I 
    I uI  t d   0

 I
  J

 I


- Xét thành phần thứ nhất trong phƣơng trình (15)


t



I



(15)

T

 n
  n

 n T T  n


B
u
D
B
u
d



D BJ uI  d 
  I I I   J J I 
  I uI BI 
 J


n

=

n

 u  B DB d .u
T
I

I

J

T
I

J

J



n

n

I

J

  uIT KIJ uJ

KIJ

=  u1T K11u1   u2T K12 u2  ...   uNT K1 N uN +  u2T K21u1   u2T K22 u2  ...   u2T K2 N uN
+….+  uNT K N 1u1   uNT K N 2u2  ...   uNT K NN uN =  U T KU

(16)

Với K: là ma trận độ cứng tổng thể đƣợc xây dựng từ ma trận độ cứng của các nút.
U: là véc tơ chuyển vị tổng thể đƣợc xây dựng từ véc tơ chuyển vị của các nút.
- Tiếp theo, xét thành phần thứ hai trong phƣơng trình (15):
T

T
  u bd  =      I uI  bd    uIT  TI b d    uIT FIb
n







I

n



n



I

(17)

I

FIb

với F1 là véc tơ lực khối của nút, FIb    TI bd 
b



n

Vế phải của phƣơng trình (17) :

 u

T
I

FIb =  u1T F1b   u2T F1b  ...   uNT FNb

I

=  u1T

F 
 
= U T F b
...  uNT (1 x 2 N )  ... 
F b 
 N (2 Nx1)
b
1

Fb là véc tơ lực khối tổng thể đƣợc tập hợp từ
các vectơ lực khối của tất cả các nút trong toàn
bộ miền tính toán.
Thực hiện tƣơng tự với thành phần thứ 3 của
phƣơng trình (15), véc tơ lực khối đƣợc thay thế
bởi các véc tơ lực kéo trên biên tự nhiên và tích
phân trên miền biên tự nhiên Γ. Các véc tơ lực
kéo tại nút là: FIt    TI t d 


Kết hợp các phƣơng trình (16), (18) và (19),
phƣơng trình (15) trở thành:

U T KU  U T F ( b)  U T F ( t )  0
Hoặc U T  KU  F ( b )  F ( t )   0
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015

(20)

(18)

Do  U là bất kỳ, phƣơng trình (20) thỏa
mãn chỉ khi:
KU  F ( b )  F ( t )  0 hoặc KU  F
với F là véc tơ lực khối tổng thể:

F  F (b)  F (t )
Các chuyển vị nút thu đƣợc bằng cách giải
phƣơng trình (20), sau đó thông qua mối quan
hệ tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng có thể
(19)
xác định đƣợc trạng thái ứng suất tại các điểm
trong môi trƣờng đất đàn hồi.
Tác giả đã xây dựng các chƣơng trình con
tính hàm dạng và các đạo hàm của hàm dạng, bổ
sung vào phần mềm SSI3D để tính toán chuyển
vị và ứng suất tại các điểm của hệ cọc – đất.
49


3. VÍ DỤ MINH HỌA
Tính toán cọc đơn có đƣờng kính 1,0m ;
chiều dài 30m chịu tải trọng đứng tại đỉnh cọc
P= 1000 tấn. Các đặc trƣng của vật liệu cọc và
môi trƣờng mà cọc nằm trong đƣợc trình bày
trong bảng 1 và bảng 2. Do tính đối xứng nên
chỉ 1/4 mô hình thực tế đƣợc xây dựng để giảm
thời gian tính toán, mô hình tính toán đƣợc trình

bày trong hình 1.

a)
a) không gian

Điểm

1
2
3
4
5
6

16178
15777
15376
14975
14574
14173

50

Đặc trƣng
Mô đun đàn hồi
Hệ số Poisson
Trọng lƣợng riêng
Đặc trƣng
Mô đun đàn hồi
Hệ số Poisson

Trọng lƣợng riêng

0
-1
-2
-3
-4
-5

0,017144468
0,016591175
0,016167579
0,015735774
0,015327275
0,014934254

Giá trị
2700000
0.2
2.5

Đơn vị
T/m2
T/m3

Giá trị
4000
0.3
1.9

c)
c) mặt đứng

toán thu đƣợc tại đỉnh cọc là 0.017 m và tại mũi
cọc là 0.01 m, kết quả này phù hợp với kết quả
tính toán theo phƣơng pháp không lƣới bằng
phần mềm SSI3D.

Tọa độ Tọa độ Chuyển vị thẳng
điểm (X) điểm (Y) đứng UY (m)
0
0
0
0
0
0

Đơn vị
T/m2
T/m3

Bảng 2: Đặc trƣng đất nền

b)
Hình 1: Vị trí các nút
b) mặt bằng

Kết quả tính toán chuyển vị của cọc theo độ
sâu đƣợc trình bày trong hình 2. Mô hình tƣơng
tự đƣợc xây dựng trên phần mềm Plaxis 2D theo

bài toán đối xứng trục. Kết quả chuyển vị tính

STT

Bảng 1: Đặc trƣng vật liệu làm cọc

STT
16
17
18
19
20
21

Tọa độ Tọa độ
Điểm điểm điểm
(X)
(Y)
10163
0
-15
9762
0
-16
9361
0
-17
8960
0
-18

8559
0
-19
8158
0
-20

Chuyển vị
thẳng đứng
UY (m)
0,01186453
0,011636637
0,011422201
0,011221083
0,011033172
0,010858398

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015


Tọa độ Tọa độ Chuyển vị thẳng
điểm (X) điểm (Y) đứng UY (m)

Tọa độ Tọa độ Chuyển vị
Điểm điểm điểm thẳng đứng
(X)
(Y)
UY (m)

STT

Điểm

7

13772

0

-6

0,014558229

22

7757

0

-21

0,010696728

8

13371

0

-7

0,014198372

23

7356

0

-22

0,010548174

9

12970

0

-8

0,013854434

24

6955

0

-23

0,010412801

10

12569

0

-9

0,013526035

25

6554

0

-24

0,010290737

11

12168

0

-10

0,013212843

26

6153

0

-25

0,010182188

12

11767

0

-11

0,012914536

27

5752

0

-26

0,01008744

13

11366

0

-12

0,012630816

28

5351

0

-27

0,010007087

14

10965

0

-13

0,012361406

29

4950

0

-28

0,009941257

15

10564

0

-14

0,012106053

30

4549

0

-29

0,009892469

16

10163

0

-15

0,01186453

31

4035

0

-30

0,00986384

STT

cho kết quả tính toán phù hợp với kết quả tính
toán theo phần mềm Plaxis 2D.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Hình 2: Chuyển vị nút theo độ sâu

4. KẾT LUẬN
Trong bài báo, tác giả đã trình bày quy trình
cụ thể của phƣơng pháp không lƣới bình
phƣơng di chuyển nhỏ nhất và vận dụng phƣơng
pháp này cho bài toán tính toán cọc đơn trong
môi trƣờng đất nền đàn hồi tuyến tính. Ví dụ
tính toán đối với cọc đơn chịu tải trọng đứng

1. G.R. Liu (2003); “Meshfree Method:
Moving beyond the finite element Method”.
National University of Singapore, Singapore.
2. G.R. Liu and Y.T. Gu, (2003); “An
Introduction to Meshfree Methods and Their
Programming”.
National
University of
Singapore, Singapore.
3. Huafeng Liu and Pengcheng Shi, (2003);
“Meshfree Particle Method”. Department of
Electrical and Electronic Engineering Hong
Kong University of Science and Technology,
Hong Kong.
4. Youping Chen, James D. Lee and Azim
Eskandarian, (2006); “Meshless Methods in Solid
Mechanics”. Springer Science+Business Media,
Inc., 233 Spring Street, New York, USA.

Người phản biện: GS.TS. ĐỖ NHƢ TRÁNG

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015

51