Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

CHƯƠNG 3:

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

3.1 Phương trình vi phân tổng quát:
Xét dao động của thẳng có khối lượng phân bố m(z)
dọc theo ciều dài thanh. Hệ có bậc tự do bằng vô cùng.
Khi chịu lực kích thích bất kỳ thay đổi theo thời gian và
có phương nghiêng so với trục thanh. Dao động ngang
của thanh được xác định bằng phương trình y = y(z, t) là
hàm của tọa độ z của tiết diện ngang và thời gian t biểu
thị đường đàn hồi của thanh.
Từ các liên hệ vi phân giữa đường hồi y(z, t), mô men
uốn M(z, t) và cường độ tải trọng phân bố p(z, t):

 2 y( z, t )
 2 M ( z, t )
= - M ( z , t );
= p( z, t )
EI( z )
2
2
z
z


CHƯƠNG 3:

2
z 2

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO


 2 y( z, t ) 
 EI( z )
 = - p( z , t ).
2
z



q(z,t)

p(z,t) > 0 có chiều hướng lên
* Tải trọng kích thích bố với
cường độ q(z,t) tác dụng
vuông góc với trục thanh >0
khi có chiều hướng lên trên.
* Lực quán tính của khối
lượng phân bố m(z) hướng
theo chiều chuyển động và
bằng:

 2 y( z, t )
- m( z )
t 2

 2 y ( z, t )
- m( z )
t 2

y

z

r(z,t)

* Lực cản r(z,t) ngược
chiều với chiều chuyển
động.


CHƯƠNG 3:



DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

 2 y( z, t )
+ r ( z, t )
p ( z , t ) = q ( z , t ) + m( z )
2
t

Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu được
phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động ngang
của thanh:

2
z 2


 2 y( z, t ) 
 2 y ( z, t )
 EI( z )  2  + m( z )  2 + r ( z , t ) = -q( z , t )
z
t



Nếu thanh có khối lượng m phân bố đều:

 4 y( z, t )
 2 y ( z, t )
+ m( z )
+ r ( z , t ) = - q( z , t )
EI( z )
4
2
z
t


CHƯƠNG 3:

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

3.2. Dao động riêng không lực cản:
3.2.1. Trường hợp tổng quát:
Trong trường hợp này r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương

trình vi phân của dao động riêng có dạng:

2
z 2


 2 y ( z, t ) 
 2 y ( z, t )
 EI( z )  2  + m( z )  2 = 0
z
t


Giải phương trình theo phương pháp tách biến số
Fourier ta đặt nghiệm dưới dạng chuỗi là tổng các
nghiệm riêng:


y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ).
i -1

Lấy đạo hàm và thay vào phương trình trên:




2
&& (t ) = 0.



+
[
EI
(
z
)
y
(
z
).
F
(
t
)]
m
(
z
)
y
(
z
)
F


i
i
i
i
2

z
i =1
i =1

Cho từng số hạng của tổng phương trình trên
bằng không, với số hạng thứ i, ta thu được:

2
&& (t ) = 0.
( z ).F (t )] + m( z ) y ( z ) F
[
EI
(
z
)
y
i
i
i
i
z 2
2






&&
[

EI
(
z
).
y
i ( z )]
2
Fi (t )
z
=.
m( z ). yi ( z )
Fi (t )

Vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế trái phụ
thuộc vào z,  tỷ số này = const. Ký hiệu dại lượng này
là wi2  có 2 phương trình vi phân với biến số độc lâp:


1)

&F& (t ) + w 2 F (t ) = 0.
i
i i

Dạng giống như phương trình vi phân dao động hệ
một bậc tự do, nghiệm của phương trình này là:

Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = ai sin(wi t + ji ).
 Tương ứng với mỗi nghiệm riêng yi(z, t)=yi(z).Fi(t),
dao động riêng của thanh thay đổi điều hòa với tần số

riêng wi.
2)

2
2


w
=
[
EI
(
z
).
y
(
z
)]
m
(
z
).
.
y
(
z
)
0
i
i

i
2
z

Giải phương trình này ta sẽ tìm được hàm yi(z) biểu
thị dạng chính thứ i của dao động riêng ứng với tần số
wi.


CHƯƠNG 3:

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO
3.2.1. Trường hợp EI = const :
Phương trình vi phân dao động có dạng:

m (z)  2 y ( z, t )
 4 y( z, t )
+
=0
4
2
EI
z
t
Nghiệm của phương trình cũng được tìm dưới
dạng chuỗi:


y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ).
i -1

Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = ai sin(wi t + ji ).
2
2


w
=
[
EI
(
z
).
y
(
z
)]
m
(
z
).
.
y
(
z
)
0
i
i
i

2
z


2
w
m i .
4
ki =

4
y ( z ) ki yi ( z ) = 0;
IV

EI

Giải phương trình đặc trưng: r4 – ki4 = 0 của
phương trình trên ta thu được các nghiệm:

r1 = ki ; r2 = -ki ; r3 = iki ; r4 = -iki ; i = - 1.


Vì:

yi ( z ) = a.e
e

ki z

ki z

+ b.e

- ki z

+ c. cos ki z + d . sin ki z.

= chki z + shki z , e

- ki z

= chki z - shki z

 Ta thu được các phương trình sau:


yi ( z ) = C1chki z + C 2 shki z + C3 cos ki z + C 4 sin ki z;
yi( z ) = C1ki shki z + C 2 ki chki z - C3 ki sin ki z + C4 ki cos ki z;
Mi ( z)


yi ( z ) = C1ki2 chki z + C 2 ki2 shki z - C3 ki2 cos ki z - C 4 ki2 sin ki z;
EI
Qi ( z )



=
yi ( z )
C1ki3 shki z + C2 ki3chki z + C3 ki3 sin ki z - C 4 ki3 cos ki z.

EI
Dạng chính yi(z) được xem như đường đàn hồi của
thanh nên ta có thể xác định các hằng số tích phân Ci
theo điều kiện ban đầu.
Giả sử z = 0 tương ứng với dạng chính thứ i của
dao động, ta có các thông số ban đầu: độ võng yi(0),
góc xoay y’i(0); mô men uốn Mi(0); lực cắt Qi(0). Thay
các giá trị này vào phương trình trên ta thu được:


yi (0) = (C1 + C3 );

yi (0) = (C2 + C4 )ki ;

M i (0) = - EI(C1 - C3 )ki2 ; Qi (0) = - EI(C2 - C4 )ki3 .


M i (0)
1
1 yi(0) Qi (0)
- 3 ];
C1 = [ yi (0) - 2 ]; C2 = [
2
ki EI
2 ki
ki EI
1
M i (0)
1 yi(0) Qi (0)
+ 3 ].

C3 = [ yi (0) + 2 ]; C4 = [
2
ki EI
2 ki
K i EI

Thay các giá trị của Ci vào phương trình đầu của
hệ gồm 4 phương trình , ta có được phương trình xác
định chuyển vị tương ứng với dạng chính thứ i của
dao động riêng viết theo thông số ban đầu:


yi(0)
M i (0)
Qi (0)
yi ( z ) = yi (0) A1 (ki z ) +
A2 (ki z ) - 2
A3 (ki z ) - 3 A4 (ki z ),
ki
ki EI
ki EI
trong đó:

1
1
A1 (ki z ) = (chki z + cos ki z ); A2 (ki z ) = ( shki z + sin ki z );
2
2
1
1

A3 (ki z ) = (chki z - cos ki z ); A4 (ki z ) = ( shki z - sin ki z );
2
2
Các hàm Aj(kiz) với j = 1, 2, 3, 4 do viện sỹ người Nga
A. N. Krưlôv đề xuất nên được gọi là các hàm Krưlôv.
Giá trị được tra theo bảng. Các hàm Krưlôv có các tính
chất sau:


* A1(0) = 1; A2(0) = 0; A3(0) = 0; A4(0) = 0.
* Giữa các hàm có sự liên hệ vi phân tuân theo quy
tắc vòng tròn như hình vẽ:

A1( ki z ) = ki A4 (ki z ).
A4 ( ki z ) = ki A3 ( ki z ).
A3 (ki z ) = ki A2 ( ki z ).
A2 ( ki z ) = ki A1 (ki z ).

A2

A1

A3

A4


Từ phương trình:

yi(0)

M i (0)
Qi (0)
yi ( z ) = yi (0) A1 ( ki z ) +
A2 (ki z ) - 2
A3 (ki z ) - 3 A4 ( ki z ),
ki
ki EI
ki EI
 Các phươngtrình góc xoay, mô men uốn …:
M ( 0)
Q (0)
yi ( z ) = yi (0) ki A4 ( ki z ) + yi (0) A1 ( ki z ) - i
A2 ( ki z ) - 2i
A3 ( ki z );
ki EI
ki EI
M i ( z ) = - EIyi( z ) = - EIyi (0) ki2 A3 ( ki z ) - EIyi(0) ki A4 ( ki z ) +
+ M i (0) A1 ( ki z ) +

Qi (0)
A2 ( ki z );
ki

Qi ( z ) = - EIyi( z ) = - EIyi (0) ki3 A2 ( ki z ) - EIyi(0) ki2 A3 ( ki z 0 +
+ M i (0) ki A4 ( ki z ) + Qi (0) A1 ( ki z ).

Tần số dao động riêng:

2
i

wi = k

EI
m


Ví dụ 1: Xác định tần số
dao động riêng và lập
phương trình cho các
dạng dao động riêng
chính tương ứng của
dầm như hình vẽ.
Giải:

m = const
EI = const
l

Tại z = 0 ta có các thông số ban đầu:

yi(0) = 0; y’i(0) = ? ; Mi(0) = 0; Qi(0) = ?
Thay giá trị ban đầu vào các phương trình đã xét:
'
i

y (0)
Qi (0)
yi ( z ) =
A2 (ki z ) - 3 A4 (ki z ),

ki
ki EI
Qi (0)

=
+
Mi ( z )
EIyi (0)ki A4 (ki z )
A2 (ki z ).
ki


Tại z = l ta có yi(l) = 0,
Mi(l) = 0

m = const
EI = const
l


'
i

y (0)
Qi (0)
yi ( l ) =
A2 (ki l ) - 3 A4 (ki l ) = 0 ,
ki
ki EI
Qi (0)


M i ( l ) = - EIyi (0)ki A4 (ki l ) +
A2 (ki l ) = 0 .
ki
Đây là hệ phương trình thuần nhất. Để các ẩn số
khác không nghĩa là dao động của hệ tồn tại thì định
thức các hệ số của hệ phương trình phải bằng không:


1
A2 ( ki l )
ki

1
- 3 A4 (ki l )
ki EI
=0
1
- ki EIA4 (ki l )
A2 (ki l )
ki

m = const
EI = const
l

1 2
= 2 [ A2 ( ki l ) - A42 ( ki l )] = 0
ki
Thay các hàm Krưlôv vào ta có:

2
2
+
( shki l sin ki l ) ( shki l sin ki l ) = 0

 shki l. sin ki l = 0
Do kil  0 nên shkil  0  sinkil = 0  kil = ip  ki = ip/l.


2
i

wi = k

EI i 2p 2
= 2
m
l

EI
.
m

3,1416 2
* i = 1  w1 =
2
l
9,42482
* i = 3  w3 =
2

l

m = const
EI = const
l

EI
6,2832 2
, i = 2  w2 =
2
m
l
EI
12,5664 2
, i = 4  w4 =
2
m
l

'
i

y (0)
Qi (0)
yi ( l ) =
A2 (ki l ) - 3 A4 (ki l ) = 0 ,
ki
ki EI
A2 ( ki l )
2


 Qi (0 ) = yi (0 ) ki EI
A4 ( ki l )

EI
,
m
EI
m


Do kil = 0 nên:
A2(kil) = A4(kil)

m = const
EI = const
l

 Qi (0) = yi(0)ki2 EI
Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình sau:

yi' (0)
Qi (0)
yi ( z ) =
A2 (ki z ) - 3 A4 (ki z ),
ki
ki EI
Ta tìm được phương trình của dạng chính thứ i
của dao động riêng:

yi(0)
yi(0)
yi ( z ) =
[ A2 (ki z ) - A4 (ki z )] =
sin ki z
ki
ki


ip
yi ( z ) = Ci sin z;
l
yi(0)
Ci =
ki
Dạng chính của dao
động riêng trong dầm đơn
giản có hai đầu khớp là
dầm điều hòa theo quy luật
hàm số sin với số nửa
bước sóng bằng chỉ số của
tần số dao động riêng
tương ứng.

m = const
EI = const
l
i = 1, y1 = C1 sin

i = 3, y3 = C3 sin

p
l

z

3p
l

z

i = 2, y2 = C2 sin

2p
l

z


Ví dụ 2: Xác định tần số
dao động riêng của dầm
côngxôn
mang
khối
lượng phân bố đều m và
có độ cứng không đổi EI
như hình vẽ.

z
l

y

Giải:
Tại z = 0 

yi(0) = 0, y’i(0) = 0, Mi(0) = ?, Qi(0) = ?

M i (0)
Qi (0)
yi ( z ) = - 2
A3 (ki z ) - 3 A4 (ki z )'
ki EI
ki EI
Qi (0)
A2 (ki z ),
ki
Qi ( z ) = M i (0 )ki A4 (ki z ) + Qi (0) A1 (ki z ).
M i ( z ) = M i (0) A1 (ki z ) +


Vì tại z = l thì Mi(l) = 0
và Qi(l) = 0 nên:

z
l
y

Qi (0 )
A2 (ki l ) = 0
ki

Qi ( l ) = M i (0 )ki A4 (ki l ) + Qi (0) A1 (ki l ) = 0
M i ( l ) = M i (0) A1 (ki l ) +

Để các ẩn số khác không có nghĩa là để dao
động tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương
trình trên phải bằng không:

A1 ( k i l )
ki A4 (kil )

1
A2 (kil )
=0
ki
A1 (ki l )

 A12 ( k il ) - A2 ( ki l ) A4 (kil ) = 0


Thay các hàm Krưlôv vào ta thu được phương
trình siêu việt để xác định các tần số:

D = chki l. cos ki l + 1 = 0
Để giải phương trình này ta vận dụng cách thử dần.
Cho kil nhiều giá trị khác nhau và tính các giá trị D
tương ứng:
k il

D

k il

0

2

0,2p = 0,628

1,97

1,2p = 3,770

- 16,56

0,4p = 1,257

1,59

1,4p = 4,399

- 11,63

0,6p = 1,885

- 0,04

1,6p = 5,027

24,67

0,8p = 2,514

- 4,39

p = 3,14

D
- 10,57

Nghiệm k1l  0,6p = 1,885 (chính xác 1,8751) thỏa mãn.
k2l = 1,49p = 4,68 (chính xác 4,691).


Thực hiện tương tự với những giá trị kil lớn hơn
ta thu được:
k3l = 7,855; k4l = 10,996.
Các tần số dao động riêng:

w1 =

1,875
l2

2

7 ,855 2
w3 =
l2

EI

4,6941
w
=
;
2
m
l2

2

EI
10,996 2
; w4 =
m
l2

EI
;
m
EI
.
m

Tương tự như phần trước ta cũng thu được các
dạng dao động riêng như hình vẽ:


z
l
y

y1 (w1)
y3 (w3)
y2 (w2)

0,5001l
0,7739l
0,8679l


CHƯƠNG 3:

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

3.2 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần
hoàn q(z)sinqt:
Khi không kể đến lực cản, phương trình được viết:

 4 y( z, t ) m  2 y( z, t )
q ( z ). sinq t
+
=2
z 4
EI t
EI
Do có lực cản nên sau một thời gian dao động
riêng sẽ mất đi và chỉ còn dao động thuần cưỡng bức
do lực kích thích gây ra. Nghiệm riêng có dạng:

y ( z, t ) = y ( z ). sinq t

Thay vào phương trình trên ta thu được: