Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
mn

mk

M(t)

mi
m2

yk (t)

yn (t)

yi (t)
y2 (t)

m1
y1 (t)

(a)
Xét dao động của khung không trọng lượng mang các
khối lượng tập trung (hình a). Chịu các lực kích thích
thay đổi theo thời gian. Bỏ qua biến dạng dọc của khung,
ta có bài toán dao động có n bậc tự do.


CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:

P(t)
mn

mk

M(t)

mi
m2

yk (t)

Zk(t)

P(t)

M(t)

yi (t)

Ri(t)

y2 (t)

R2(t)

Rk(t)
Zi(t)
Z2(t)

R1(t)

Z1(t)

yn (t)

m1
y1 (t)

(a)

Zn(t)

Rn(t)

(b)

Xét tại thời điểm bất kỳ t dưới tác dụng của các lực:
* Lực kích thích: M(t), P(t), q(t).
Zk ( t ) = -mk .&y&k ( t )
* Lực quán tính:
* Lực cản: Rk(t)


CHƯƠNG 2:
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
mn

mk

M(t)

mi
m2

yk (t)

P(t)

M(t)

yi (t)

Ri(t)

y2 (t)

R2(t)

Rk(t)
Zi(t)
Z2(t)

R1(t)

Z1(t)

m1
y1 (t)

(a)

Zk(t)

yn (t)

(b)

Zn(t)

Rn(t)

dk

di
d2

dn

Zi=1

d1

(c)

Gọi dki là chuyển vị khối lượng do Z = 1 tác dụng tĩnh
gây ra:

DkP(t) chuyển vị khối lượng mk do lực kích thích gây ra.

Xem hệ đàn hồi là tuyến tính, chuyển vị là rất nhỏ:


CHƯƠNG 2:
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
mn

mk

M(t)

mi
m2

yk (t)

P(t)

M(t)

yi (t)

Ri(t)

y2 (t)

R2(t)

Rk(t)

Zi(t)
Z2(t)

R1(t)

Z1(t)

m1
y1 (t)

(a)

Zk(t)

yn (t)

(b)

Zn(t)

Rn(t)

dk

di
d2

dn

Zi=1

d1

(c)

Phương trình chuyển vị của các khối lượng:

yk ( t ) = d k1 [Z1 ( t ) - R1 ( t )]+ d k 2 [Z2 ( t ) - R2 ( t )]+ ...

+ Zkn[Zn ( t ) - Rn ( t )]+ D kP ( t ); k = 1,2 ,3,...,n


CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:

yk ( t ) + d k1 [ m1 &y&1( t ) + R1 ( t )] + d k 2 [ m2 &y&2 ( t ) + R2 ( t )] + ... +

+ d kn [ mn &y&n ( t ) + Rn ( t )] - D kP ( t ) = 0 ; k = 1, 2 , ..., n.
Đây là phương trình vi phân tổng quát mô tả dao
động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có bậc tự do
bằng n.


CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.2 Dao động riêng khi không lực cản:
Không kể đến lực kích thích và lực cản. Phương
trình được viết lại như sau:

m1 .d k1 .&y&1 ( t ) + m2 .d k 2 .&y&2 ( t ) + ... + mn .d kn .&y&n ( t ) + yk ( t ) = 0
Nghiệm tổng quát thứ k của phương trình được

biểu thị dưới dạng tổng của các nghiệm riêng:

yk ( t ) =

n

n

i

i =1

 yki( t ) =  yki Fi ( t )

yki : các hằng số chưa biết;
Fi(t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định.


CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.2 Dao động riêng khi không lực cản:
Với một nghiệm riêng thứ i, tại các khối lượng ta có:

y1i ( t ) = y1i Fi ( t ),
y2i ( t ) = y2i Fi ( t ),
..............................,
yni ( t ) = yni Fi ( t ).

y1i y2i
m1

yii

yki

yni

m2 mi mk mn

Điều này chứng tỏ tỷ lệ giữa chuyển vị của các
khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t. Đường
cong tạo bởi các tung độ y1i , y2i , … là đường cong
đàn hồi của dầm và là dạng chính thứ i của dao động
riêng.


CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.2 Dao động riêng khi không lực cản:
Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương
trình cơ bản, ta thu được:

( m1d 11 - ui )
D=

m1d 21

m2d 12
...
( m2d 22 - ui ) ...

...

...

m1d n1

m2 d n 2

Trong đó:

ui =

mnd 1n
mnd 2 n

...
...
... ( mnd nn - ui )

=0

1

i2

Phương trình này được gọi là phương trình tần số
hoặc phương trình thế kỷ. Giải hệ này ta thu được các
giá trị ui,Từ các giá trị này ta tìm được các tần số dao
động riêng i (phổ tần số dao động riêng).

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.3. Dạng chính của dao động riêng:
Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương
trình cơ bản, ta thu được:

&& ( t ) + y F ( t ) = 0
[ m1d k 1 y1i + m2d k 2 y 21 + ... + mnd kn yni ] F
i
ki i


&&i ( t )
F
yki
=Fi ( t )
m1d k1 y1i + m2d k 2 y2i + ... + mnd kn yni

Vế trái phụ thuộc vào thời gian t, vế phải chỉ phụ
thuộc vào kết cấu, vị trí và trị số các khối lượng, nên tỷ
số này là một hằng số và bằng -i2.

&& ( t ) +  2 F ( t ) = 0
F
i
i i
[ m1d k1 y1i + m2d k 2 y21 + ... + mnd kn yni ] i2 - yki = 0


CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.3. Dạng chính của dao động riêng:


Như vậy đối với hệ có n bậc tự do luôn luôn tìm
được n giá trị tần số dao động riêng. Ứng với mỗi tần số
dao động riêng i có một dạng chính của dao động xác
định bằng các chuyển vị y1i, y2i, …, yni của các khối
lượng.
Phương trình dao động của khối lượng thứ k với
tần số i có dạng:

yki ( t ) = yki ai sin( i t + i )
Phương trình dao động tổng quát của khối lượng
thứ k:
n

yk ( t ) =

 yki ai sin(i t + i )
i =1


Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các
tần số dao động riêng?
m1
m2
Phương trình tần số cho
l/3
l/3
l/3
bài toán 2 khối lượng:
Z1=1

( d 11 m1 - u )

d 12 m2

d 21m1

( d 22 m2 - u )

=0

2l / 9

Z2=1
2l / 9

2 =
 u 2 - u( d 11 m1 + d 22 m2 ) + m1m2 ( d 11d 22 - d 12
) 0

33
3 7l 3
4
l
d 11= du221== 5ml ;; du122 == d 21 ml
=
.
243
162EI
EI

486 486
EI EI


Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các
tần số dao động riêng?
m1
m2
Tần số dao động
l/3
l/3
l/3
riêng được xác định:
Z1=1
2l / 9

1
EI
1 =
= 5 ,69
3
u1
ml

2 =

1
EI
= 22
u2

ml3

Z2=1
2l / 9

m1

m2

m1

m2


Ví dụ 2: Tìm các tần số dao
động riêng và các dạng
dao động riêng chính của
dầm công xôn trên hình vẽ.
Cho biết EI = const.

m2=m

m1=3m

EI
l

l

l

Z1=1

( M1 )

2l
Z2=1

Giải:
( M2 )

Hệ có bậc tự do là 2, dao động không cản, phương
trình tần số dao động có dạng:
d 12 m2
( d 11 m1 - u )
=0
d 21m1
( d 22 m2 - u )
2 =
 u 2 - u( d 11 m1 + d 22 m2 ) + m1m2 ( d 11d 22 - d 12
) 0

Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z1 = 1, Z2 = 2.
Xác định các chuyển vị d11, d12, d21, d22.


Ví dụ 2: Tìm các tần số dao
động riêng và các dạng
dao động riêng chính của
dầm công xôn trên hình vẽ.
Cho biết EI = const.

d 11

l .l 2l
l3
= ( M 1 )( M 1 ) =
=
2 EI 3 3 EI

d 22

2l .2l 2.2l 8l 3
= ( M 2 )( M 2 ) =
=
2 EI 3
3 EI

d 12

5l 3
= d 21 = ( M 1 )( M 2 ) =
6 EI

 1 =

1
EI
= 0 ,5345
, 1/ s
3

u1
ml

m2=m

m1=3m

EI
l

l

l
Z1=1

( M1 )

2l
Z2=1
( M2 )

;  2 = 2 ,5

EI
ml

3

, 1/ s

Xác định các dạng
chính của dao động:

m1=3m

EI
l

Cho y11 =1  y21 = 3
Tương ứng với 2, cũng
thực hiện tương tự như
trên, cho y12 = 1 ta sẽ tìm
được dạng chính thứ hai
của dao động riêng chuyển
vị tương ứng tại các khối
lượng.

l

l
Z1=1

( d 11 m1 - u1 )y11 + d 12 m2 y21 = 0

d 21m1 y11 + ( d 22 m2 - u1 )y21 = 0

m2=m

( M1 )

2l
Z2=1
( M2 )

1
y11=1

m1

y21=3
m2
m2
y22= -1

2
y12=1


m2

m1

2EI

2EI
3m

Ví dụ 3: Tìm các tần số
dao động riêng và các

dạng dao động riêng chính
của khung như hình vẽ.
Cho biết EI = 34,8.104 N.m2,
m = 1000/g.Ns2/m. m1 = 2m,
m2 = m.

EI

2,86

EI

2m

2m

Z1=1

5,2

2m

2m

3,12
2,08

Hệ có hai bậc tự do,
Phương trình tần số có dạng:
( d 11 m1 - ui )

d 12 m2

d 21m1

( d 22 m2 - ui )

8,97

3,90

=0

Vẽ các biểu đồ mô men
uốn đơn vị Z1 = 1 và Z2 = 1.

0,78

(M1).1/13

6,24

Z2=1

2,34
9,68
(M2).1/13


m2

m1

2EI

2EI
3m

Để xác định các chuyển
vị dik ta tạo các trạng thái
khả dĩ và vẽ các biểu đồ
mô men uốn đơn vị (M1o)
và (M2o) tương ứng trong
hệ cơ bản.

EI

EI

2m

2m

2m

P=1

Áp dụng các nhân biểu đồ:

0 ,356

EI
0
0 ,4266
d 22 = ( M 2 )( M 2 ) =
EI
0

2m

o

1

(M 1)

d 11 = ( M 1 )( M 1 ) =

d 12 =

0
d 21 = ( M 1 )( M 2

0 ,12
)=
EI

P=1

1

o

(M 2 )


Thay các giá trị tìm
được vào phương trình tần
số ta thu được:

1 =

m2

m1
3m

1
= 65,69 1 / s
u1

EI
2m

EI
2m

1
2 =
= 99 ,1 1 / s
u2

Chu kỳ dao động:

T1 =

2p

1

= 0 ,0956 ; T2 =

Với 1 = 65,69, ta có:
( d 11 m1 - u1 )y11 + d 12 m2 y21 = 0

d 21m1 y11 + ( d 22 m2 - u1 )y21 = 0
Cho y11 = 1  y21 = - 0,6587

2EI

2EI

2p

2

2m

2m

= 0 ,0634

m2

m1

2EI

2EI
3m

Dạng chính thứ nhất của
dao động riêng và chuyển vị
tương ứng của các khối
lượng như hình vẽ.

y11 ( t ) = y11 a1 sin( 1t + 1 )
y11 ( t ) = a1 sin( 65 ,69t + 1 );
y21( t ) = y21a1 sin( 1t + 1 )
y21( t ) = -0,6587a1 sin( 65 ,69t + 1 );

EI

EI
2m

2m

2m

2m

m2
m1
m1

y21 = 0,6587


Tương tự với 2 = 99,1 1/s:

d 21m1 y12 + ( d 22 m2 - u2 )y22 = 0

2EI

2EI
3m

( d 11 m1 - u2 )y12 + d 12 m2 y22 = 0

m2

m1
EI

EI

2m

2m

2m

2m

Cho y12 = 1  y22 = 3,037
Dạng chính thứ hai của
dao động riêng và chuyển vị
tương ứng của các khối
lượng như hình vẽ.

y12( t ) = y12a2 sin( 2t + 2 )
y12( t ) = a1 sin( 99 ,10t + 2 );
y22( t ) = y22a2 sin( 2t + 2 )
y22( t ) = 3,037a2 sin( 99 ,10t + 2 );

m1
y12 = 1

y21 = 0,6587

m1
y12 = 1

y22 = 3,037


Phương trình dao động tổng quát của các khối lượng:

y1 ( t ) = y11 a1 sin( 1t + 1 ) + y12 a2 sin(  2 t +  2 ) =
= a1 sin( 65 ,69.t + 1 ) + a2 sin( 99 ,1.t +  2 )

y2 ( t ) = y21 a1 sin( 1t + 1 ) + y22 a2 sin(  2 t +  2 ) =
= -0,6587 a1 sin( 65 ,69.t + 1 ) + 3,037 a2 sin( 99 ,1.t +  2 )
Các đại lượng a1, 1, a2, 2, được xác định theo
điều kiện ban đầu của dao động ở thời điểm t = 0.

y1 ( t ) = y1 ( 0 ); y& 1 ( t ) = v1 ( 0 );
y2 ( t ) = y2 ( 0 ); y& 2 ( t ) = v2( 0 )


* Cách sử dụng tính đối xứng của hệ trong dao động:
Đối với những hệ đối xứng mang các khối lượng có
giá trị và vị trí được bố trí đối xứng, hệ sẽ dao động
tương ứng với hai loại dao động chính sau:
• Dạng dao động đối xứng tương ứng với các lực
quán tính tác dụng đối xứng.
• Dạng dao động phản xứng tương ứng với các lực
quán tính tác dụng phản xứng


1) Biện pháp biến đổi hệ về sơ đồ nửa hệ tương đương:
m1

m2

l

m1

m1
l

m2 / 2

l

Đối xứng
m1
m3

m2

m1

m4

m6

m4
m5

l

l

m2//2

m1
m3

m3

m6

m6

m4

m1 m2 / 2
l

l

Phản xứng
m2//2

m1
m3

m4

m6

l

m5

l


2) Biện pháp sử dụng chuyển vị kép:

• Dạng dao động đối xứng:
Biểu thị chuyển vị tại
cặp khối lượng có vị trí
đối xứng theo chuyển vị
kép:

Yk (t ) = 2 yk (t ), k = 1,2...( n - 1)
Khối lượng mn không
có chuyển vị kép. yn(t).
Các cặp khối lượng
đối xứng phát sinh các
cặp lực quán tính đối
xứng

y1

yk

m1

mk

yn-1

mn-1

yn

yn-1

mn mn-1

l

yk

y1

m1

mk
l

Z1=1

Z1=1

(M 1 )
Zk=1

Zk=1

(M k)
Zn=1

( M n)


Gọi dik (i  k, k  n):
chuyển vị đơn vị ứng

với vị trí và phương của
các cặp lực quán tính
đối xứng Zi(t) do cặp lực
đối xứng Zk = 1 tác dụng
tĩnh tạ mk.
Gọi dim : chuyển vị đơn
vị ứng với vị trí và
phương của các cặp lực
quán tính đối xứng Zi(t)
do lực Zn = 1 tác dụng
tĩnh tạ vị trí mn .

y1

yk

yn-1

yn

yn-1

l

yk

y1

l

Z1=1

Z1=1

(M 1 )
Zk=1

Zk=1

(M k)
Zn=1

( M n)