Chuyên đề 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG có giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (13.8 MB, 205 trang )
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ THUYẾT
1. Vectơ chỉ phương
r
r
u¹ 0
D
Vectơ
được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng
nếu giá của nó song song hoặc
D
trùng với .
r
r
ku ( k ¹ 0)
u
D
D
Nhận xét : Nếu là VTCP của
thì
cũng là VTCP của .
2. Phương trình tham số của đường thẳng
r
M
(
x
;
y
)
u
= (a;b)
0
0 0
D
Cho đường thẳng
đi qua
và
là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường
thẳng có dạng:
ïìï x = x0 + at
í
ïï y = y0 + bt
î
Nhận xét :
tÎ R
.
A Î D Û A(x0 + at;y0 + bt)
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r
a ¹ 0, b ¹ 0
M
(
x
;
y
)
u
= (a;b)
0
0 0
D
Cho đường thẳng
đi qua
và
(với
) là VTCP. Khi đó phương trình
chính tắc của đường thẳng có dạng:
x - x0
y - y0
=
a
b
4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
u
r
r
n¹ 0
D
D
Vectơ
gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
nếu giá của nó vuông góc với .
u
r
u
r
kn
( k ¹ 0)
n
D
D
Nhận xét : Nếu là VTPT của
thì
cũng là VTPT của .
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng
thẳng có dạng:
Chú ý :
D
đi qua
M 0(x0;y0)
và có VTPT
u
r
n = (a;b)
. Khi đó phương trình tổng quát của đường
u
r
ax
+
by
+
c
=
0
n
= (a;b)
D
D
- Nếu đường thẳng
:
thì
là VTPT của .
6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
•
•
•
•
D
song song hoặc trùng với trục
Ox Û D : by + c = 0
Oy Û D : ax + c = 0
song song hoặc trùng với trục
Û D : ax + by = 0
D
đi qua gốc tọa độ
D
D
A ( a;0) , B ( 0;b) Û D :
đi qua hai điểm
x y
+ =1
a b
( ab ¹ 0)
với
y = kx + m
k = tan a a
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là
với
, là góc hợp bởi tia
Ox
Mt
D
Ox
Mx M
D
của
ở phía trên trục
và tia
(
là giao điểm của
và
).
7. Liên hệ giữa VTCP và VTPT
r
u
r
u
=
(
a
;
b
)
n
= (- b;a)
D
VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu
có VTCP
thì
là một VTPT
D
của .
8. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
Cho hai đường thẳng
∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
∆ 1 và ∆ 2
ta xét số nghiệm của hệ phương trình
a1 x + b1 y + c1 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
Chú ý: Nếu
a2b2 c2 ≠ 0
(I)
thì :
∆1 ∩ ∆ 2 ⇔
a1 b1
≠
a 2 b2
∆1 // ∆ 2 ⇔
a1 b1 c1
=
≠
a 2 b2 c 2
∆1 ≡ ∆ 2 ⇔
a1 b1 c1
=
=
a 2 b2 c 2
9. Góc giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng
∆ 1 và ∆ 2
→
có VTPT
n1 = ( a1;b1 )
→
và
n2 = ( a2 ;b 2 )
được tính theo công thức:
→
→
cos(∆1 , ∆ 2 ) = cos(n1 , n2 ) =
→
→
| n1 . n2 |
→
=
→
| n1 || n2 |
| a1a2 + b1b2 |
a12 + b12 . a22 + b22
10. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm
M ( x0 ; y0 )
đến đường thẳng
∆ : ax + by + c = 0
cho bởi công thức:
| ax0 + by 0 + c |
∆
d(M0, ) =
a2 + b2
II. DẠNG TOÁN
1. Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ chỉ phương của đường thẳng
Phương pháp giải
- Nếu
- Nếu
r
n
r
u
là VTPT của
là VTCP của
∆
∆
thì
thì
r
kn ( k ≠ 0 )
r
ku ( k ≠ 0 )
cũng là VTPT của
cũng là VTCP của
∆
.
∆
.
- Hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường này là VTPT của đường kia; VTCP của
đường này cũng là VTCP của đường kia.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường này là VTCP của đường kia và ngược lại.
r
u = ( a; b )
∆
- VTPT và VTCP của 1 đường thẳng vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP
thì
r
n = (−b; a)
∆
là một VTPT của .
A. VÍ DỤ MINH HỌA
x = 2 + 3t
y = −3 − t
Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng
ur
uu
r
u1 = ( 2; –3) .
u2 = ( 3; –1) .
A.
B.
là:
C.
uu
r
u3 = ( 3; 1) .
D.
uu
r
u4 = ( 3; –3) .
Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
B ( 1; 4 ) ?
A.
ur
u1 = ( −1; 2 ) .
B.
uu
r
u2 = ( 2;1) .
C.
uu
r
u3 = ( −2;6 ) .
2x − 3y + 6 = 0
Ví dụ 3: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
là :
uu
r
uu
r
uu
r
n4 = ( 2; − 3)
n2 = ( 2;3)
n3 = ( 3; 2 )
A.
B.
C.
D.
D.
A ( −3; 2 )
uu
r
u4 = ( 1;1) .
ur
n1 = ( −3; 2 )
và
x y
+ =1
3 2
Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng
là:
r
r
u 4 = ( −2;3)
u 2 = ( 3; − 2 )
A.
B.
r
u 3 = ( 3; 2 )
C.
D.
r
u1 = ( 2;3)
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
x y
+ = 1 ⇔ 2x + 3y − 6 = 0
3 2
nên đường thẳng có VTPT là
r
n = ( 2;3)
. Suy ra VTCP là
2x − 3y + 6 = 0
Ví dụ 5: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
là :
uu
r
uu
r
uu
r
n4 = ( 2; − 3)
n2 = ( 2;3)
n3 = ( 3; 2 )
A.
B.
C.
D.
r
u = ( 3; − 2 )
ur
n1 = ( −3; 2 )
Ví dụ 6: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm
B ( 4;1) ?
A.
ur
n1 = ( 2; −2 ) .
B.
uu
r
n2 = ( 2; −1) .
C.
uu
r
n3 = ( 1;1) .
.
A ( 2;3)
và
uu
r
n4 = ( 1; −2 ) .
D.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1.
Câu 2.
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
A.
ur
u1 = ( 6;0)
.
B.
uu
r
u2 = ( - 6;0)
.
C.
uu
r
u3 = ( 2;6)
.
D.
Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
A.
Câu 5.
ur
u1 = ( - 1;3)
B.
Cho đường thẳng
uu
r æ1 ö
u2 = ç
;3÷
÷
ç
÷
ç
è2 ø
∆
C.
uu
r æ1 ö
u3 = ç
- ;3÷
÷
ç
ç
è 2 ÷
ø
có phương trình tổng quát:
∆
phương của đường thẳng .
D.
ìï x = 2
d : ïí
ïïî y = - 1+ 6t
?
uu
r
u4 = ( 0;1)
ìï
ï x = 5- 1 t
D : ïí
2
ïï
y
=
3
+
3t
îï
.
?
uu
r
u4 = ( - 1;- 6)
–2 x + 3 y – 1 = 0
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ
A.
( 3; 2 ) .
B.
( 2;3) .
C.
( –3; 2 ) .
D.
( 2; –3) .
–2 x + 3 y –1 = 0
có phương trình tổng quát:
. Vectơ nào sau đây không là
∆
vectơ chỉ phương của
2
1; ÷.
( 3; 2 ) .
( 2;3) .
( –3; –2 ) .
3
A.
B.
C.
D.
∆
Câu 6.
Cho đường thẳng
Câu 7.
Cho đường thẳng (d):
A.
ur
n1 = ( 3; 2 )
.
2x + 3y − 4 = 0
B.
uu
r
n2 = ( −4; −6 )
. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?
.
C.
uu
r
n3 = ( 2; −3)
.
D.
uu
r
n4 = ( −2;3)
.
THÔNG HIỂU
Câu 8. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A.
ur
u1 = ( - 1;2) .
Câu 9.
B.
uu
r
u2 = ( 2;1) .
C.
uu
r
u3 = ( - 2;6) .
D.
A ( - 3;2)
B ( 1;4) ?
và
uu
r
u4 = ( 1;1) .
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng:
A. Song song với nhau.
B. Vuông góc với nhau.
C. Trùng nhau.
D. Bằng nhau.
Câu 10. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ
O( 0;0)
và điểm
M ( a;b) ?
A.
ur
u1 = ( 0; a+ b) .
B.
uu
r
u2 = ( a;b) .
C.
uu
r
u3 = ( a;- b) .
D.
uu
r
u4 = ( - a;b) .
Câu 11. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A.
ur
u1 = ( a;- b)
Câu 12. Đường thẳng
B.
A.
Câu 13. Đường thẳng
vectơ chỉ phương của
.
D.
uu
r
u4 = ( - b;a)
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là một
?
B.
d
C.
có một vectơ chỉ phương là
d
ur
n1 = ( - 1;2) .
.
uu
r
u3 = ( b;a)
B( 0;b) ?
và
r
u = ( 2;- 1)
d
vectơ pháp tuyến của
uu
r
u2 = ( a;b)
A ( a;0)
uu
r
n2 = ( 1;- 2) .
C.
uu
r
n3 = ( - 3;6) .
D.
uu
r
n4 = ( 3;6) .
r
n = ( 4;- 2)
có một vectơ pháp tuyến là
d
?
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là một
A.
ur
u1 = ( 2;- 4) .
B.
uu
r
u2 = ( - 2;4) .
uu
r
u3 = ( 1;2) .
C.
r
n = ( −2;3 )
Câu 14. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến
đường thẳng đó.
r
u = ( 2; 3) .
A.
B.
r
u = (3; − 2).
Câu 15. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến
đường thẳng đó.
r
u = ( 0; 3) .
A.
B.
C.
r
n = ( −2;0 )
r
u = ( 0; –7 ) .
C.
D.
uu
r
u4 = ( 2;1) .
. Vectơ nào sau là vectơ chỉ phương của
r
u = ( 3; 2 ) .
D.
r
u = ( –3; 3) .
.Vectơ nào không là vectơ chỉ phương của
r
u = ( 8; 0 ) .
D.
r
u = ( 0; –5 ) .
VẬN DỤNG
Câu 16. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục
A.
ur
u1 = ( 1;0)
.
B.
uu
r
u2 = ( 0;- 1) .
C.
uu
r
u3 = ( - 1;1) .
D.
uu
r
u4 = ( 1;1) .
Câu 17. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục
A.
ur
u1 = ( 1;- 1) .
B.
uu
r
u2 = ( 0;1) .
C.
uu
r
u3 = ( 1;0) .
D.
Ox ?
Oy ?
uu
r
u4 = ( 1;1) .
Câu 18. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất?
A.
ur
u1 = ( 11
; ).
B.
uu
r
u2 = ( 0;- 1) .
C.
uu
r
u3 = ( 1;0) .
D.
uu
r
u4 = ( - 1;1) .
Câu 19. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục
A.
ur
n1 = ( 0;1) .
B.
uu
r
n2 = ( 1;0) .
C.
uu
r
n3 = ( - 1;0) .
D.
uu
r
n4 = ( 1;1) .
Câu 20. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục
A.
ur
n1 = ( 1;1) .
B.
uu
r
n2 = ( 0;1) .
C.
uu
r
n3 = ( - 1;1) .
D.
Ox ?
Oy ?
uu
r
n4 = ( 1;0) .
Câu 21. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A.
ur
n1 = ( 11
; ).
Câu 22. Đường thẳng
B.
uu
r
n2 = ( 0;1) .
C.
r
u = ( 3; - 4)
d
có một vectơ chỉ phương là
một vectơ pháp tuyến là:
A.
ur
n1 = ( 4;3) .
uu
r
n3 = ( 1;0) .
B.
uu
r
n2 = ( - 4;- 3) .
. Đường thẳng
C.
uu
r
n3 = ( 3;4) .
D.
D
D.
uu
r
n4 = ( - 1;1) .
vuông góc với
uu
r
n4 = ( 3;- 4) .
d
có
Câu 23. Đường thẳng
r
n = ( - 2;- 5)
d
có một vectơ pháp tuyến là
một vectơ chỉ phương là:
A.
ur
u1 = ( 5;- 2) .
B.
uu
r
u2 = ( - 5;2) .
C.
uu
r
u3 = ( 2;5) .
Câu 24. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm
A.
r
n = (4; 4)
B.
r
n = (1;1)
.
D
. Đường thẳng
C.
D.
A ( 1; 2 ) , B ( 5;6 )
r
n = ( −4; 2)
.
.
D.
vuông góc với
d
uu
r
u4 = ( 2;- 5) .
r
n = (−1;1)
.
r
u = ( 3; −4 )
d
∆
có một vectơ chỉ phương là
. Đường thẳng
vuông góc với
có
một vectơ pháp tuyến là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
n1 = ( 4; 3 ) .
n2 = ( −4; −3) .
n3 = ( 3; 4 ) .
n4 = ( 3; −4 ) .
A.
B.
C.
D.
r
n = ( −2; −5 )
d
d
∆
Câu 26. Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là
. Đường thẳng vuông góc với có
một vectơ chỉ phương là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1 = ( 5; −2 ) .
u2 = ( −5; 2 ) .
u3 = ( 2;5 ) .
u4 = ( 2; −5 ) .
A.
B.
C.
D.
r
u = ( 3; −4 )
d
d
∆
Câu 27. Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
. Đường thẳng
song song với
có
một vectơ pháp tuyến là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
n1 = ( 4; 3 ) .
n2 = ( −4;3) .
n3 = ( 3; 4 ) .
n4 = ( 3; −4 ) .
A.
B.
C.
D.
r
n = ( −2; −5 )
d
d
∆
Câu 28. Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là
. Đường thẳng song song với
có
một vectơ chỉ phương là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1 = ( 5; −2 ) .
u2 = ( −5; −2 ) .
u3 = ( 2;5 ) .
u4 = ( 2; −5 ) .
A.
B.
C.
D.
Câu 25. Đường thẳng
d
có
Câu 29. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục
A.
ur
u1 = ( 1;0 )
.
B.
uu
r
u2 = ( 0; −1) .
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. D
2. D
3. D
4. C
5. A
6. C
7. B
11. A
12. D
13. C
14. C
15. C
16. A
17. C
21. A
22. D
23. C
24. D
25. D
26. C
27. A
C.
uu
r
u3 = ( −1;1) .
Ox ?
D.
uu
r
u4 = ( 1;1) .
8. B
9. B
10. B
18. D
19. A
20. D
28. A
29. A
2. Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp giải
1. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng
- Điểm
D
ta cần xác định
A(x0;y0) Î D
- Một vectơ pháp tuyến
u
r
n ( a;b)
D
của
Khi đó phương trình tổng quát của
D
là
a ( x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0
2. Để viết phương trình tham số của đường thẳng
- Điểm
D
A(x0;y0) Î D
- Một vectơ chỉ phương
r
u ( a;b)
Khi đó phương trình tham số của
của
D
là
D
ïìï x = x0 + at
, tÎ R
í
ïï y = y0 + bt
î
3. Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng
- Điểm
ta cần xác định
D
.
ta cần xác định
A(x0;y0) Î D
- Một vectơ chỉ phương
r
u ( a;b) , ab ¹ 0
Phương trình chính tắc của đường thẳng
(trường hợp
ab = 0
4. Đường thẳng qua điểm
của
D
là
D
x - x0
y - y0
=
a
b
thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)
M ( x0 ; y0 )
có hệ số góc
k
có phương trình là
y = k ( x − x0 ) + y0
Chú ý:
Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường
thẳng kia và ngược lại
Nếu
D
có VTCP
r
u = (a;b)
thì
u
r
n = (- b;a)
D
là một VTPT của
.
A. VÍ DỤ MINH HỌA
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT
Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua
A.
x − 2y −5 = 0
.
B.
A ( −1; 2 )
, nhận
2x + y = 0
r
n = ( 1; −2 )
C.
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
x − 2 y −1 = 0
D.
x − 2y + 5 = 0
Lời giải
Chọn D.
Gọi
( d)
là đường thẳng đi qua và nhận
r
n = ( 1; −2 )
làm VTPT
⇒ ( d ) : x + 1 − 2 ( y − 2) = 0 ⇔ x − 2 y + 5 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua
pháp tuyến.
A.
C.
∆ : x + 2y + 5 = 0
x = 1 − 2t
∆:
y = −3 + t
B.
D.
và nhận vectơ
r
n ( 1; 2 )
x = 1+ t
∆:
y = −3 + 2t
∆:
.
M ( 1; − 3)
x −1 y + 3
=
−2
1
Lời giải
Chọn C.
Vì
∆
nhận vectơ
r
n ( 1; 2 )
làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của
Vậy phương trình tham số của đường thẳng
∆
là
∆
là
r
u ( −2;1)
.
x = 1 − 2t
y = −3 + t
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng
( d)
đi qua
M ( –2;3)
và có VTCP
r
u = ( 1; −4 )
.
làm vectơ
A.
x = −2 + 3t
y = 1 − 4t
.
B.
x = −2 + t
y = 3 − 4t
C.
x = 1 − 2t
y = −4 + 3t
.
D.
x = 3 − 2t
y = −4 + t
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng
x = −2 + t
y = 3 − 4t
( d)
đi qua
M ( –2;3)
và có VTCP
r
u = ( 1; −4 )
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua
vectơ chỉ phương.
A.
C.
∆:
∆ : 2x − y − 5 = 0
x = 1+ t
∆:
y = −3 + 2t
B.
∆:
.
D.
nên có phương trình:
M ( 1; − 3)
và nhận vectơ
r
u ( 1; 2 )
làm
x −1 y + 3
=
1
2
x +1 y − 3
=
1
2
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng ∆ đi qua
x −1 y + 3
=
1
2
là
.
M ( 1; − 3)
và nhận vectơ
r
u ( 1; 2 )
làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc
3. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.
( d ) : x − 2 y +1 = 0
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
có phương trình:
x − 2y −3 = 0
2x + y −1 = 0
A.
.
B.
.
. Đường thẳng
( ∆)
đi qua
x − 2y +3 = 0
C.
.
Lời giải
M ( 1; −1)
và song song với
D.
Chọn A.
Do
( ∆)
Mà
Vậy
( d)
song song với
nên có phương trình dạng:
M ( 1; −1) ∈ ( ∆ ) ⇒ 1 − 2 ( −1) + c = 0 ⇔ c = −3
( ∆) : x − 2 y − 3 = 0
x − 2 y + c = 0 ( c ≠ 1)
x + 2 y +1 = 0
( d)
ABC
Ví dụ 2: Cho tam giác
có phương trình:
5x − y + 3 = 0
A.
C.
x + 5 y − 15 = 0
có
A ( −2;0 ) , B ( 0;3) , C ( 3;1) .
B
và song song với
AC
5x + y − 3 = 0
B.
.
Đường thẳng đi qua
D.
x − 5 y + 15 = 0
Lời giải
Chọn D.
Gọi
( d)
Suy ra
⇒ ( d)
là đường thẳng cần tìm. Do
r
n ( 1; − 5 )
là VTPT của
có phương trình:
( d)
(d)
AC
song song với
nên nhận
uuur
AC ( 5;1)
làm VTCP.
.
1( x − 0 ) − 5 ( y − 3) = 0 ⇔ x − 5 y + 15 = 0
4. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng
( d ′ ) : 3x − 4 y + 1 = 0
thẳng
x = 3 − 2t
y = −4 + 3t
A.
B.
là:
x = −2 + 3t
y = 3 − 4t
(d)
đi qua điểm
M ( −2;3)
và vuông góc với đường
x + 2 y −3
=
3
−4
C.
Lời giải
D.
4x + 3 y −1 = 0
.
Chọn B.
Ta có
( d ) ⊥ ( d ′ ) : 3x − 4 y + 1 = 0
x = −2 + 3t
( t ∈¡
y = 3 − 4t
( d) :
Suy ra
Ví dụ 2: Cho tam giác
ABC
của tam giác
là:
3 x − 7 y + 11 = 0
A.
.
3 x − 7 y − 13 = 0
C.
.
ABC
có
uu
r
⇒ VTCP u d = ( 3; −4 )
D.
M ( −2;3)
)
A ( 2; −1) ; B ( 4;5 ) ; C ( −3; 2 )
B.
và qua
. Phương trình tổng quát của đường cao
7 x + 3 y − 11 = 0
7 x + 3 y + 13 = 0
Chọn B.
AH
Gọi
là đường cao của tam giác.
.
Lời giải
AH
AH
đi qua
A ( 2; −1)
và nhận
uuur
BC = ( −7; −3) = − ( 7;3)
làm VTPT
⇒ AH : 7 ( x − 2 ) + 3 ( y + 1) = 0 ⇔ 7 x + 3 y − 11 = 0
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
k =3
.
A.
3x − y − 1 = 0
B.
3x − y − 5 = 0
∆
biết
∆
đi qua điểm
x − 3 y + 5 = 0.
C.
Lời giải
M ( −1; 2 )
D.
và có hệ số góc
3x − y + 5 = 0
Chọn D.
Phương trình đường thẳng
∆
là
y = 3 ( x + 1) + 2 ⇔ 3 x − y + 5 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng
A.
y = −2 x − 1
B.
y = −2 x − 9
.
∆
biết
∆
đi qua điểm
.
M ( 2; − 5 )
y = 2 x −1
C.
.
Lời giải
và có hệ số góc
D.
y = 2x − 9
k = −2
.
.
Chọn A.
Phương trình đường thẳng
∆
là
y = −2 ( x − 2 ) − 5 ⇔ y = −2 x − 1
.
6. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm
A ( −2; 4 ) ; B ( −6;1)
Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
là:
3 x + 4 y − 10 = 0.
3x − 4 y + 22 = 0.
3 x − 4 y + 8 = 0.
A.
B.
C.
Lời giải
D.
3 x − 4 y − 22 = 0
.
Chọn B.
( AB ) :
Ta có
Ví dụ 2: Cho tam giác
là:
5x − 3 y + 6 = 0
A.
C.
x − 3y + 6 = 0
.
x − xA
y − yA
x+2 y−4
=
⇔
=
⇔ 3 x − 4 y + 22 = 0
xB − x A y B − y A
−4
−3
ABC
có
A ( −1; −2 ) ; B ( 0; 2 ) ; C ( −2;1)
B.
D.
. Đường trung tuyến
3 x − 5 y + 10 = 0
3x − y − 2 = 0
Lời giải
BM
có phương trình
Chọn A
Gọi
BM
M
là trung điểm
qua
B ( 0; 2 )
3 1
⇒ M − ;− ÷
2 2
AC
và nhận
r
n = ( 5; −3)
;
uuuu
r 3 5
1
BM = − ; − ÷ = − ( 3;5 )
2
2 2
làm VTPT
⇒ BM : 5 x − 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 5 x − 3 y + 6 = 0
7. Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng
Bài toán: Viết phương trình đường trung trực của đoạn
AB
Đường trung trực của đoạn
đi qua trung điểm
uuur
AB ( x2 − x1 ; y2 − y1 )
làm VTPT.
A ( −2;3) ; B ( 4; −1) .
Ví dụ 1: Cho hai điểm
x − y − 1 = 0.
2 x − 3 y + 1 = 0.
A.
B.
AB
biết
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
x + x y + y2
I 1 2; 1
÷
2
2
của
AB
.
và nhận
AB
Viết phương trình đường trung trực của đoạn
.
2 x + 3 y − 5 = 0.
3 x − 2 y − 1 = 0.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
M
AB ⇒ M ( 1;1)
Gọi uutrung
điểm
u
r
AB = ( 6; −4 ) = 2 ( 3; − 2 )
Ta có
M ( 1;1)
d
AB
là đường thẳng trung trực của
thì qua
và nhận
làm VTPT.
d 3 ( x − 1) − 2 ( y − 1) = 0 ⇔ 3x − 2 y − 1 = 0
Phương trình :
A ( 1; − 1) ; B ( 3; − 5 )
AB
Ví dụ 2: Cho điểm
. Viết phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng
.
Gọi
A.
d
r
n = ( 3; −2 )
x = 2 + 2t
.
y = −3 + t
B.
x = 2 + 2t
.
y = 1 − 3t
C.
x = 2 + t
.
y = −3 − 2t
Lời giải
Chọn A.
M ( 2; − 3)
là trung điểm của
uuur
AB = ( 2; − 4 ) = 2 ( 1; − 2 )
AB
.
D.
x = 1 + 2t
.
y = −2 − 3t
M ( 2; − 3)
d
AB
là đường thẳng trung trực của
thì
qua
và nhận
x = 2 + 2t
.
y = −3 + t
nên có phương trình:
8. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
Gọi
d
Cho 2 đường thẳng cắt nhau:
( d1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 ( d 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0
;
r
u = ( 2;1)
làm VTCP
.
Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:
A1 x + B1 y + C1
A x + B2 y + C2
=± 2
2
2
A1 + B1
A2 2 + B2 2
Chú ý:
∆
Cho ( ):
*
*
A
A
và
và
B
B
f ( x, y ) = Ax + By + C = 0
A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 )
và
,
.
nằm về cùng một phía đối với
nằm khác phía đối với
∆ ⇔ f ( x1 , y1 ) . f ( x2 , y2 ) > 0
∆ ⇔ f ( x1 , y1 ) . f ( x2 , y2 ) < 0
AB : x + y − 1 = 0 AC :7 x − y + 2 = 0
ABC
Ví dụ 1: Cho tam giác
có phương trình các cạnh
;
;
BC :10 x + y − 19 = 0
ABC
A
. Viết phương trình đường phân giác trong góc
của tam giác
.
12 x + 4 y − 3 = 0.
2 x − 6 y + 7 = 0.
12 x + 6 y − 7 = 0.
2 x + 6 y − 7 = 0.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
B = AB ∩ BC ⇒ B ( 2; − 1)
C = AC ∩ BC ⇒ C ( 1;9 )
PT các đường phân giác góc A là:
x + y −1
12 + 12
Đặt
=±
7x − y + 2
7 2 + ( −1)
2
2 x − 6 y + 7 = 0 ( d1 )
⇔
12 x + 4 y − 3 = 0 ( d 2 )
f1 ( x, y ) = 2 x − 6 y + 7; f 2 ( x, y ) = 12 x + 4 y − 3
Suy ra
B, C
nằm khác phía so với
d1
ta có:
f1 ( B ) . f1 ( C ) < 0; f 2 ( B ) . f 2 ( C ) > 0
và cùng phía so với
Vậy phương trình đường phân giác trong góc
A
là:
d2
.
2x − 6 y + 7 = 0
.
.
A ( −2; − 1) ; B ( −1;3) ; C ( 6;1)
ABC
Ví dụ 2: Cho tam giác
có
ABC
A
góc
của tam giác
.
x − y +1 = 0
5 x + 3 y + 9 = 0.
A.
B.
Lời giải
Chọn D.
C.
.Viết phương trình đường phân giác ngoài
3 x + 3 y − 5 = 0.
D.
x+ y+3= 0
x + 2 y +1
=
⇔ 4x − y + 7 = 0
−1 + 2 3 + 1
x + 2 y +1
=
⇔ x − 4y − 2 = 0
( AC ) :
6 + 2 1+ 1
( AB ) :
Phương trình các đường phân giác góc A là:
4x − y + 7
42 + ( −1)
Đặt
2
=±
x − 4y − 2
12 + ( −4 )
2
x + y + 3 = 0 ( d1 )
⇔
x − y + 1 = 0 ( d 2 )
f1 ( x, y ) = x + y + 3; f 2 ( x, y ) = x − y + 1
Suy ra
B, C
nằm cùng phía so với
d1
ta có:
f1 ( B ) . f1 ( C ) > 0; f 2 ( B ) . f 2 ( C ) < 0
và khác phía so với
Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc
A
là:
d2
.
x+ y+3= 0
.
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng
A.
( d)
3x − y + 3 + 2 = 0
B.
3x − y + 2 = 0
C.
Lời giải
Chọn A.
Do
( d)
tạo với trục
Phương trình
( d)
qua
D.
Ox
là:
một góc
600
M ( −1; 2 )
và tạo với trục
một góc cho trước.
Ox
một góc
600
.
3x + y − 3 + 2 = 0
k = tan 600 = 3
y = 3 ( x + 1) + 2 ⇔ 3 x − y + 3 + 2 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng
x − y −1 = 0
A.
x − y −5 = 0
C.
Ox
3x − y − 3 + 2 = 0
nên có hệ số góc:
( d)
.
N ( 3; − 2 )
.
.
qua
và tạo với trục
x − y +1 = 0
B.
x+ y+2=0
D.
Ox
một góc
450
.
Lời giải
Chọn C.
( d)
Do
Ox
tạo với trục
( d)
Phương trình
một góc
450
nên có hệ số góc:
k = tan 450 = 1
.
y = x −3−2 ⇔ x − y −5 = 0
là:
10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc.
ur
n1 ( A1 , B1 )
( d1 )
Giả sử
có VTPT là
u
r
·r uu
cos(d· 1 , d 2 )= cos(n1 , n2 ) =
;
( d2 )
uu
r
n2 ( A2 , B2 )
có VTPT
thì
A1 A2 + B1B2
A + B12 . A2 2 + B2 2
2
1
Chú ý:
Giả sử
( d1 ) ( d 2 )
;
có hệ số góc lần lượt là
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
M ( 2;1)
và tạo với
( d)
thì:
có phương trình:
(d)
một góc
B. 2
A. 1
Lời giải
k1 ; k2
tan(d· 1 , d 2 ) =
450
x − 2y + 5 = 0
k1 − k2
1 + k1.k2
.
. Có mấy phương trình đường thẳng qua
.
C. 3
D. Không có.
Chọn B.
Gọi
Để
∆
∆
là đường thẳng cần tìm;
lập với
cos 450 =
+ Với
+ Với
( d)
một góc
A − 2B
A2 + B 2 . 5
A = −3B
B = 3A
, chọn
, chọn
=
450
A.
và tạo với
∆ : 2x + y + 4 = 0
(A
2
+ B2 ≠ 0)
thì:
B = −1 ⇒ A = 3
A =1⇒ B = 3
( d)
là VTPT của
∆
A = −3B
1
2
⇔ 2 ( A − 2 B ) = 5 ( A2 + B 2 ) ⇔
2
B = 3A
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
A ( −2;0 )
r
n ( A, B )
( d)
ta được phương trình
ta được phương trình
có phương trình:
∆ :3 x − y − 5 = 0
.
∆ : x + 3y − 5 = 0
x + 3y − 3 = 0
. Viết phương trình đường thẳng qua
450
một góc
.
∆ :x + 2y + 2 = 0
hoặc
B.
∆ :2 x + y + 4 = 0
hoặc
∆ :x + 2y + 2 = 0
∆ : 2x + y + 4 = 0
∆ :x − 2y + 2 = 0
∆ :2 x − y + 4 = 0
∆ :x − 2y + 2 = 0
C.
hoặc
D.
hoặc
.
Lời giải
Chọn C.
r
2
2
n
( A, B )
∆
∆ ( A + B ≠ 0)
Gọi là đường thẳng cần tìm;
là VTPT của
Để
∆
lập với
cos 450 =
+ Với
+ Với
( d)
một góc
A + 3B
A + B . 10
2
A = 2B
2
, chọn
B = −2 A
=
450
thì:
A = 2B
1
2
⇔ 2 ( A + 3B ) = 10 ( A2 + B 2 ) ⇔
2
B = −2 A
B =1⇒ A = 2
ta được phương trình
A = 1 ⇒ B = −2
, chọn
∆ :2 x + y + 4 = 0
ta được phương trình
.
∆ :x − 2y + 2 = 0
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1. Đường thẳng đi qua
A.
C.
Câu 2.
A.
x – 2y – 4 = 0
Đường thẳng
số là:
x = 3 + t
d :
y = 5 − 2t
d:
C.
Câu 3.
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
x+ y+4=0
B.
.
.
x – 2y + 5 = 0
D.
đi qua điểm
.
x −1 y + 2
=
3
5
, nhận
r
n = (2; −4)
.
– x + 2y – 4 = 0
d
A ( −1; 2 )
M ( 1; −2 )
B.
.
D.
và có vectơ chỉ phương
x = 1 + 3t
d :
y = −2 + 5t
x = 3 + 2t
d :
y = 5+ t
A.
4 x − 3 y + 4 = 0.
C.
B.
D.
4 x + 3 y − 4 = 0.
4 x − 3 y − 4 = 0.
có phương trình tham
.
.
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm
4 x + 3 y + 4 = 0.
.
r
u = ( 3;5 )
A(−2; 4), B(1;0)
là
M ( −2;3)
Câu 4. Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm
thẳng
A.
Câu 5.
và vuông góc với đường
( d ′) : 3x − 4 y + 1 = 0
4 x + 3 y − 1 = 0.
B.
là:
x = −2 + 3t
y = 3 − 4t
.
C.
x = −2 + 4t
y = 3 + 3t
.
D.
x = 5 + 4t
y = 6 − 3t
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
B ( 2;5 )
và
.
A.
C.
x = 2
.
y = −1 + 6t
B.
x = 2 + t
.
y = 5 + 6t
D.
x = 2t
.
y = −6t
x = 1
.
y = 2 + 6t
Câu 6. Phương trình tổng quát của đường thẳng
thẳng
A ( 2; −1)
∆ : 6x − 4x + 1 = 0
A.
C.
d
đi qua
O
và song song với đường
là:
3 x − 2 y = 0.
B.
3 x + 12 y − 1 = 0.
D.
4 x + 6 y = 0.
6 x − 4 y − 1 = 0.
THÔNG HIỂU
Câu 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
A.
C.
x y
+ =1
5 3
x y
− =1
3 5
.
.
Câu 8. Đường thẳng
∆ : 2 x + 3 y − 12 = 0
A.
C.
2x + 3y − 8 = 0
4x + 6 y + 1 = 0
B.
D.
d
x y
− + =1
5 3
x y
− =0
3 5
A ( 0; −5 )
.
M ( 1; 2 )
có phương trình tổng quát là:
.
B.
.
D.
4x − 3y − 8 = 0
.
.
.
.
đi qua điểm
2x + 3y + 8 = 0
và
B ( 3;0 )
và song song với đường thẳng
A(1; −4)
Câu 9. Cho hai điểm
trung trực của đoạn
x + 3y +1 = 0
A.
x− y+4=0
C.
và
AB
B ( 3; 2 ) .
.
3x + y + 1 = 0
.
B.
.
D.
x + y −1 = 0
Câu 10. Đường trung trực của đoạn
A.
C.
x + y = 1.
AB
.
.
với
A ( 4; −1)
và
B ( 1; −4 )
có phương trình là:
x + y = 0.
B.
y − x = 0.
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
D.
x − y = 1.
VẬN DỤNG
M ( −2; −5 )
Câu 11. Viết phương trình đường thẳng qua
góc phần tư thứ nhất.
x + y −3 = 0
A.
x+ y+3= 0
C.
B.
.
D.
Câu 12. Cho đường thẳng
A.
d
d
B.
C.
D.
d
d
x− y−3= 0
.
có vectơ pháp tuyến
có vectơ chỉ phương
k=
có hệ số góc
5
3
.
2x − y −1 = 0
d : 3x + 5 y + 2018 = 0
r
n = ( 3;5 )
.
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
.
r
u = ( 5; −3)
.
.
song song với đường thẳng
∆ : 3x + 5 y = 0
A.
C.
5 x + 2 y + 11 = 0
5 x − 2 y + 11 = 0
và
d2 : 3x + 2 y − 3 = 0
B.
D.
.
A(−3; −2)
Câu 13. Viết phương trình đường thẳng qua
d1 : 2 x − y + 5 = 0
và song song với đường phân giác
.
x − y −3= 0
2 x − 5 y + 11 = 0
và giao điểm của hai đường thẳng
Câu 14. Cho tam giác
tuyến của tam giác
A.
C.
x + y − 2 = 0.
ABC
ABC
B.
x + 2 y − 3 = 0.
D.
có
A ( 1;1) , B (0; −2), C ( 4; 2 ) .
kẻ từ
A.
2 x + y − 3 = 0.
x − y = 0.
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
C ( −3; 2 )
A.
C.
Oxy
B.
3 x + 7 y + 1 = 0.
D.
ABC
ABC
có
kẻ từ
A ( 2; −1) , B ( 4;5 )
và
A.
−3x + 7 y + 13 = 0.
7 x + 3 y + 13 = 0.
Câu 16. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
sao cho M là trung điểm của AB.
3 x − 5 y − 30 = 0.
A.
C.
, cho tam giác
. Lập phương trình đường cao của tam giác
7 x + 3 y − 11 = 0.
Lập phương trình đường trung
M ( 5; −3)
B.
5 x − 3 y − 34 = 0.
D.
và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B
3 x + 5 y − 30 = 0.
5 x − 3 y + 34 = 0
Câu 17. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng
x = 3 − 5t
d :
y = 1 + 4t
A.
C.
?
4 x + 5 y + 17 = 0
4 x + 5 y − 17 = 0
.
B.
.
D.
4 x − 5 y + 17 = 0
4 x − 5 y − 17 = 0
.
.
Câu 18. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng
d : x− y+3= 0
A.
C.
?
x = t
.
y = 3+t
x = 3
.
y = t
VẬN DỤNG CAO
B.
D.
x = t
.
y = 3−t
x = 2 + t
.
y = 1+ t
A ( 4; −2 )
BH : 2 x + y − 4 = 0
CK : x − y − 3 = 0
có
. Đường cao
và đường cao
. Viết
phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A.
4x + 5 y − 6 = 0
4 x − 5 y − 26 = 0
A.
B.
Câu 19. Cho
C.
∆ABC
4 x + 3 y − 10 = 0
D.
4 x − 3 y − 22 = 0
H (1;1)
AB : 5 x − 2 y + 6 = 0
biết trực tâm
và phương trình cạnh
, phương
AC : 4 x + 7 y − 21 = 0
BC
trình cạnh
. Phương trình cạnh
là
4x − 2 y +1 = 0
x − 2 y + 14 = 0
x + 2 y − 14 = 0
x − 2 y − 14 = 0
A.
B.
C.
D.
Câu 20. Cho tam giác
ABC
Câu 21. Cho tam giác
ABC
BN : 2 x + y + 5 = 0
A.
( 4;3)
Câu 22. qua
A.
C.
M
A ( 1; −2 )
có
. Tọa độ điểm
( 4; −3)
B.
lần lượt cắt hai tia
B
, đường cao
là
C.
CH : x − y + 1 = 0
( −4;3)
D.
, đường phân giác trong
( −4; −3)
Ox Oy
OAB
A
B
,
tại
và sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất.
x + 4 y − 17 = 0
B.
2x + y − 6 = 0
D.
4x − y = 0
4x + y − 8 = 0
M ( 2; −3)
Câu 23. Có mấy đường thẳng đi qua điểm
và cắt hai trục tọa độ
tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
A. 2
B. 3
C. 1
D. Không có.
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. D
2. B
3. B
4. B
5. A
6. A
7. C
8. A
9. A
10. B
11. B
12. C
13. C
14. A
15. A
16. A
17. C
18. A
19. A
20. D
21. C
22. D
23. A
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
Câu 16
Chọn A.
Gọi
A ∈ Ox ⇒ A ( x A ;0 ) ; B ∈ Oy ⇒ B ( 0; y B )
Ta có
M
x A + x B = 2 xM
x A = 10
⇒
⇒
y A + yB = 2 yM
yB = −6
AB
là trung điểm
( AB ) :
Suy ra
x
y
+
= 1 ⇔ 3 x − 5 y − 30 = 0
10 −6
.
Câu 19
Chọn A
Gọi
H
AI
AI
là đường cao kẻ từ đỉnh
thỏa mãn hệ phương trình
qua
7 2
H1 ; − ÷
3 3
và nhận
A
. Gọi
H1
là trực tâm của
7
x=
2 x + y − 4 = 0
3
⇔
x − y − 3 = 0
y = − 2
3
r
n = ( 4;5 )
.
∆ABC
uuuur 5 4
AH1 = − ; ÷
3 3
làm VTPT
7
2
⇒ AI : 4 x − ÷+ 5 y + ÷ = 0 ⇔ 4 x + 5 y − 6 = 0
3
3
Câu 20
Chọn D.
Ta có
Ta có
Mà
Có
uuur
A = AB ∩ AC ⇒ A ( 0;3) ⇒ AH = ( 1; −2 )
BH ⊥ AC ⇒ ( BH ) : 7 x − 4 y + d = 0
H ( 1;1) ∈ ( BH ) ⇒ d = −3
suy ra
( BH ) : 7 x − 4 y − 3 = 0
19
B = AB ∩ BH ⇒ B −5; − ÷
2
Phương trình
( BC )
nhận
uuur
AH = ( 1; −2 )
( BC ) : ( x + 5) − 2 y +
Suy ra
Câu 21
Chọn C.
là VTPT và qua
19
÷ = 0 ⇔ x − 2 y − 14 = 0
2
, khi đó tọa độ điểm
19
B −5; − ÷
2
AB ⊥ CH ⇒ ( AB ) : x + y + c = 0
Ta có
Mà
A ( 1; −2 ) ∈ ( AB ) ⇒ 1 − 2 + c = 0 ⇒ c = 1
Suy ra
Có
( AB ) : x + y + 1 = 0
B = AB ∩ BN
⇒
Toạ
B
độ
x + y +1 = 0
x = −4
⇒
⇒ B ( −4;3)
2 x + y + 5 = 0 y = 3
là
nghiệm
hệ
phương
trình
.
Câu 22
Chọn D.
4 10
M
; −1 ÷
÷
A ( a; 0 ) , B ( 0; b )
5
Giả sử
với
. Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng
160 1
+ = 1 ⇒ a2 = 8
25a 2 5
Mặt khác
. Do
1
1
SOAB = OA.OB = ab
2
2
Áp dụng BĐT Côsi ta có
M (1;
Suy ra
x2 y 2
+
=1
8
5
nên
F1 (− 3; 0)
.
a 2 = b2 + c 2 = b2 + 3
4 33
1
528
) ∈ (E ) ⇒ 2 +
=1
5
a
25b 2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
1 4
=
a b
nhỏ nhất khi
x y
+ =1
2 8
hay
và
1 4
+ =1
a b
do đó
a = 2; b = 8
4x + y − 8 = 0
Câu 23
Chọn A.
( AB ) :
Phương trình đoạn chắn
Do
∆OAB
TH1:
Vậy
b=a
vuông cân tại
⇒
TH2:
b = a
⇔ a = b ⇔
O
b = − a
x y
+ =1⇔ x + y = a
a a
( AB ) : x + y + 1 = 0
x y
+ =1
a b
mà
M ( 2; −3 ) ∈ ( AB ) ⇒ 2 − 3 = a ⇔ a = −1 ⇒ b = −1
.
x y
⇒ − =1⇔ x − y = a
b = −a
a a
mà
M ( 2; −3) ∈ ( AB ) ⇒ 2 + 3 = a ⇔ a = 5 ⇒ b = −5
Vậy
( AB ) : x − y − 5 = 0
.
3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp:
Dùng Casio bấm giải hệ phương trình từ hai phương trình của hai đường thẳng:
•Hệ vô nghiệm: hai đường thẳng song song
•Hệ có nghiệm duy nhất: hai đường cắt nhau
Nếu tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 thì vuông góc
•Hệ có vô số nghiệm: hai đường trùng nhau
Cách khác: Xét cặp VTPT của hai đường thẳng
•Không cùng phương: hai đường thẳng cắt nhau
Nếu tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 thì vuông góc
•Cùng phương: hai đường thẳng song song hoặc trùng
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của
∆1 x − 2 y + 1 = 0
:
và
2
đường thẳng sau đây:
∆ 2 −3 x + 6 y − 1 = 0
:
A. Song song.
.
B. Trùng nhau.
C. Vuông góc nhau. D. Cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Giải hệ phương trình thấy vô nghiệm nên hai đường thẳng song song
Cách 2: Đường thẳng
Hai đường thẳng
Ví dụ 2: Đường thẳng
A.
∆1
∆ 2 ∆1
,
có vtpt
có
uu
r
ur
n2 = −3n1
∆ : 3x − 2 y − 7 = 0
d1 : 3x + 2 y = 0.
d3 : −3x + 2 y − 7 = 0.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
ur
n1 = (1; −2)
và
và
1 ≠ −1
∆2
có vtpt
uu
r
n2 = (−3; 6)
nên hai đường thẳng này song song
cắt đường thẳng nào sau đây?
B.
D.
.
d 2 : 3x − 2 y = 0.
d 4 : 6 x − 4 y − 14 = 0.
3 −2
≠
⇒∆
∆ : 3x − 2 y − 7 = 0 và d1 : 3x + 2 y = 0 có 3 2
cắt d1.
Ví dụ 3: Hai đường thẳng
A.
d1 : 4 x + 3 y − 18 = 0; d 2 : 3x + 5 y − 19 = 0
( 3; 2 ) .
B.
( −3; 2 ) .
C.
cắt nhau tại điểm có toạ độ:
( 3; −2 ) .
D.
( −3; −2 )
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giải hệ phương trình
4 x + 3 y − 18 = 0
3x + 5 y − 19 = 0
ta được
x = 3
.
y = 2
Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường
thẳng
d : y = 2 x − 1?
A.
2 x − y + 5 = 0.
B.
2 x − y − 5 = 0.
C.
−2 x + y = 0.
D.
2 x + y − 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
( d ) : y = 2x −1 ⇔ 2x − y −1 = 0
Ví dụ 5: Hai đường thẳng
A.
và đường thẳng
2x + y − 5 = 0
d1 : m x + y = m + 1; d 2 : x + my = 2
m = 2.
B.
m = ±1.
C.
không song song vì
2 −1
≠
2 1
.
song song khi và chỉ khi:
m = −1.
D.
m = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
D1 //D2 ⇔
Khi
Khi
m =1
m 1 m +1
= ≠
.
1 m
2
ta có:
m = −1
1 1 2
= = ⇒ D1 ≡ D2 .
1 1 2
ta có:
−1 1 0
=
≠ ⇒ D1 / / D2 .
1 −1 2
Ví dụ 6: Cho 3 đường thẳng
d1 : 2 x + y –1 = 0, d 2 : x + 2 y + 1 = 0, d 3 : mx – y – 7 = 0.
thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của
A.
m = –6
B.
m=6
m
là:
C.
m = –5
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Để ba đường
D.
m=5
